2023年北京海淀高三二模数学试题及答案解析

这是一份2023年北京海淀高三二模数学试题及答案解析，共23页。

2023 北京海淀高三二模数 学
本试卷共 6 页，150 分．考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
A
B =Æ
1. 已知集合 A = {x∣-1 < x < 2}, B = {0,1}，则（ ）

B
A. A
B. B
C. A = B
D. A

2. 在平面直角坐标系 xOy 中，角a 以Ox 为始边，其终边经过点 P(1, 2) ，则sin a = （ ）
2 5
5
1

A．
5
B． C．2 D．
5 2

3. 若(2 - x)n (n Î N* )的展开式中常数项为 32，则n =（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1) 上单调递增的是（ ）

A. y = lg x
B. y = 2
x

C. y = 2|x|

D. y = tan x

5. 已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， a1 = 3, a1 - a2 = a3 ，则 Sn 的最大值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6. 已知抛物线C : y2 = 4x ，经过点 P 的任意一条直线与 C 均有公共点，则点 P 的坐标可以为（ ）
A. (0,1) B． (1, -3) C． (3, 4) D． (2, -2)
7. 芯片是科技产品中的重要元件，其形状通常为正方形．生产芯片的原材料中可能会存在坏点，而芯片中出现坏点即报废，通过技术革新可以减小单个芯片的面积，这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片，同时可以提高芯片生产的产品良率．
产品良率= 切割得到的无坏点的芯片数´100%
切割得到的所有芯片数

1
在芯片迭代升级过程中，每一代芯片的面积为上一代的
2

．图 1 是一块形状为正方形的芯片原材料，上面

有 4 个坏点，若将其按照图 2 的方式切割成 4 个大小相同的正万形，得到 4 块第 3 代芯片，其中只有一块
无坏点，则由这块原材料切割得到第 3 代芯片的产品良率为25% ．若将这块原材料切割成 16 个大小相同
的正方形，得到 16 块第 5 代芯片，则由这块原材料切割得到第 5 代芯片的产品良率为（ ）

A. 50% B． 62．5% C． 75% D． 87．5%
8. 已知正方形 ABCD 所在平面与正方形 CDEF 所在平面互相垂直，且CD = 2 ，P 是对角线 CE 的中点，Q

是对角线 BD 上一个动点，则 P，Q 两点之间距离的最小值为（ ）


2
A.1 B．
C． 6 D．
6
2

9. 已知 a，b 是平面内两个非零向量，那么“ a ∥ b ”是“存在 l ¹ 0 ，使得| a + lb |=| a | + | lb | ”的
（ ）
6
A. 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知动直线 l 与圆O : x2 + y2 = 4 交于 A，B 两点，且ÐAOB = 120° ．若 l 与圆(x - 2)2 + y2 = 25 相交所得的弦长为 t，则 t 的最大值与最小值之差为（ ）

6
A．10 - 4
B．1 C． 4 - 8
D．2

第二部分 （非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11. 在复平面内，复数 z 所对应的点为(1,1) ，则 z × z = ．
12. 已知双曲线 C 经过点(2, 0) ，渐近线方程为 y =± 2 x ，则 C 的标准方程为 ．
2

2
13. 如图， 在△ABC 中，D 是边 BC 上一点， AD = BD = 4, CD = 2, AC = 3
； △ABD 的面积为 ．
，则 cos ÐADC =



14. 设函数 f (x) = sin w x, g(x) = mx3 ．
①若w = π , m = 1 ，则不等式 f (x) > g(x) 的解集为 ；
2
②若w = π ，且不等式 f (x) > g(x) 的解集中恰有一个正整数，则 m 的取值范围是 ．
4
15. 在数列{xn} 中， x1 = 1, x2 = 2 ．设向量 an = ( xn , xn+1 ) ，已知an ×(an+1 - an ) = 0(n = 1, 2, ) ，给出下列四个结论：

① x = 3 ；② "n Î N*, x
> 0 ；③ "n Î N*, x > x ；④ "n Î N*, x
¹ x ．其中所有正确结论的序号

3 n
是 ．
n+2 n
n+1 n

三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．（本小题 13 分）
已知函数 f (x) = a sin x cos x + cosæ 2x + π ö ，且 f æ π ö = 1 ．
ç 6 ÷ ç 4 ÷ 2
è ø è ø
（I） 求 a 的值和 f (x) 的最小正周期；
（II） 求 f (x) 在[0, π] 上的单调递增区间．
17．（本小题 14 分）
某大学A 学院共有学生 1000 人，其中男生 640 人，女生 360 人．该学院体育社团为了解学生参与跑步运动
的情况，按性别分层抽样，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在 5 月份的累

计跑步里程进行统计，得到下表． 跑步里程 s（ km ） 0 £ s < 30

30 £ s < 60

60 £ s < 90

s ³ 90

男生 a 12 10 5
女生 6 6 4 2
（I） 求 a 的值，并估计 A 学院学生 5 月份累计跑步里程 s（ km ）在[0, 30) 中的男生人数；
（II） 从A 学院样本中 5 月份累计跑步里程不少于90(km) 的学生中随机抽取 3 人，其中男生人数记为 X，求 X 的分布列及数学期望；
（III） 该大学 B 学院男生与女生人数之比为l ，B 学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性
别进行分层抽样．已知 A 学院和 B 学院的样本数据整理如下表．
5 月份累计跑步里程平均值（单位： km ）
学院
性别
A
B
男生
50
59
女生
40
45
设 A 学院样本中学生 5 月份累计跑步里程平均值为 xA ，B 学院样本中学生 5 月份累计跑步里程平均值为
xB ，是否存在l ，使得 xA ³ xB ?如果存在，求l 的最大值；如果不存在，说明理由．
18．（本小题 13 分）
如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PD ^ 平面 ABCD，底面 ABCD 为菱形，E，F 分别为 AB，PD 的中点．
（I） 求证：EF∥平面 PBC；
3
（II） 若 AD = 2 ，二面角 E - FC - D 的大小为 45° ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作
为已知．求 PD 的长．

条件①： DE ^ PC ；条件②： PB = PC ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
19．（本小题 15 分）
x2 y2

已知椭圆 E : +
a2 b2
= 1(a > b > 0) 的左顶点为 A， 上、下顶点分别为 B1 , B2 ，直线 AB1 的方程为

3
x - 3y + = 0 .
（I） 求椭圆 E 的方程及离心率；
（Ⅱ）P 是椭圆上一点，且在第一象限内，M 是点 P 关于 x 轴的对称点．过 P 作垂直于 y 轴的直线交直线
AB1 于点 Q，再过 Q 作垂直于 x 轴的直线交直线 PB2 于点 N．求ÐMNQ 的大小．
20．（本小题 15 分）

已知函数 f (x) =
（I） 求曲线 y =
x ln x
f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；

（II） 求证： f (x) < x ；
（III） 若函数 g(x) = f (x) + a (x2 - x) 在区间(1, +¥) 上无零点，求 a 的取值范围．
21．（本小题 15 分）
设l 为整数．有穷数列{an} 的各项均为正整数，其项数为 m（ m ³ 2 ）．若{an} 满足如下两个性质，则称
{an} 为 Pl 数列：
① am = 1 ，且 ai ¹ 1(i = 1, 2, , m -1) ；

ì lan +1 ,
② a = ï
an 为奇数,

, m -1)
(n = 1, 2,

ï
n+1
í an ,
î 2
an 为偶数

（I） 若{an} 为 P1 数列，且 a1 = 5 ，求 m；
（II） 若{an} 为 P-1 数列，求 a1 的所有可能值；
（III） 若对任意的 P1 数列{an} ，均有 m £ 2 log2 a1 + d ，求 d 的最小值．

海淀区2022—2023学年第二学期期末练习
高三数学
参考答案

一、选择题

题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
D
B
D
C
C
C
D
二、填空题

2
2
1
（11）2 （12） x - y =


7
（13） 1 ； 3
4 2

[ ,
（14） (-¥, -1) (0,1) ； 1 2 )


8 8 2

（15）②③④

三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
p p p p p
解：（Ⅰ）由 f ( ) = a sin cos + cos(2 ´ + )
4 4 4 4 6

= a 2 ´ 2 - sin p = 1


得 a = 2 .
2 2 6 2

所以， f (x) = 2sin x cos x + cos(2x + p)
6
= sin 2x + cos 2x cos p - sin 2x sin p
6 6

= 1 sin 2x + 3 cos 2x = sin(2x + p)
2 2 3
所以， f (x) 的最小正周期T = 2p = p .
2

2k p p p
5p p

（II） 由
p - £ 2x + £ 2kp + 得 kp - £ x £ kp + (k ÎZ) ，

2 3 2 12 12

所以 f (x) = sin(2x + p) 的单调递增区间为[kp - 5p , kp + p ] (k ÎZ) .
3 12 12
当 k = 0 时， f (x) 的单调递增区间为[- 5p , p ] ，
12 12
当 k = 1时， f (x) 的单调递增区间为[ 7p , 13p] ，
12 12
所以 f (x) 在[0, p] 上的单调递增区间为[0, p ] ，[ 7p , p] .
12 12



（17）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）由题意知，男女比例为 16∶9，则 a + 12 + 10 + 5 = 16 ，故a = 5 .
18 9

估计 A 学院学生 5 月跑步里程在[0,30) 中的男生人数为1000 ´ 5
50
（Ⅱ）X 的取值范围是{1, 2,3} .
= 100 人.


C1C2 5 1
P ( X = 1) = 5 2 = = ,


C
3
7
C2C1
35 7
20 4

P ( X = 2) = 5 2 = = ,

C
7
3 35 7
C3 10 2
P ( X = 3) = 5 = = .
C
7
3 35 7

因此 X 的分布列为

X
1
2
3
P
1

7
4

7
2

7
E( X ) = 1´ 1 + 2 ´ 4 + 3´ 2 = 15 .
7 7 7 7
（III） 存在满足条件的l ，且l 的最大值为 1 .
9
设 B 学院女生人数为 x，则男生人数为lx , 则 xB = 59l x + 45x = 59l + 45 ，


而 x A = 50 ´ 640 + 40 ´ 360 = 232 .
1000 5
l x + x
l + 1

依题意， x A ³ xB ，得 232 ³ 59l + 45 ，解得l £ 1 ，所以l 的最大值为 1 .

5 l + 1 9 9

（18）（本小题 13 分）
（I） 取 PC 中点 M ，连接 FM , BM .
在△PCD 中， M , F 分别为 PC, PD 的中点，所以 MF DC ， MF = 1
2
在菱形 ABCD 中，因为 AB DC ， BE = 1 DC ，
2




DC .

所以 BE MF ， BE=MF .
BM
所以四边形 BEMF 为平行四边形，因此 EF .
又因为 EF Ë 平面 PBC ， BM Ì 平面 PBC ，所以 EF 平面 PBC .
（II） 选择条件①: DE ^ PC
PC = P
z
P

F
M
D
C y
x
E
B
因为 PD ^ 平面 ABCD ， DE, DC Ì 平面 ABCD ，所以 PD ^ DE ， PD ^ DC .
又因为 DE ^ PC ， PD
所以 DE ^ 平面 PCD ，又 DC Ì 平面 PCD
所以 DE ^ DC A
所以建立如图空间直角坐标系 D - xyz ．又因为 AB DC ， DE ^ AB .
又 E 为 AB 中点，所以 AD = DB ，即△ADB 为正三角形. 因为 AD = 2 3 ，所以 DE = 3 .

设 F(0,0,t)(t > 0) ， E(3,0,0) ， C(0, 2 3, 0) .

EF = (-3, 0,t) , EC = (-3, 2 3, 0) .

平面 FCD 的法向量为n1 = (1, 0, 0) .

设平面 EFC 的法向量为n2 = (x, y, z) ，则

ìïn2 × EF = 0,
ïîn2
í × EC = 0.
ìï-3x + tz = 0,
î
得 ïí-3x + 2 3y = 0. 取 x = 2t ，则 y = 3t ， z = 6 .

所以n2 = (2t, 3t, 6) .

由题意，二面角 E - FC - D 的大小为 45°

所以| cos < n1 , n2
> |=|
n1 × n2
| n1 || n2
| =| 2t
3t2 + 4t2 + 36
|
|= 2
2


解得t = ±6 （舍负）.
因为 F 是 PD 的中点，所以 PD 的长为 12.
经检验符合题意.

z
P

F
M
D
C y
x
E
B
选择条件②：

因为 PD ^ 平面 ABCD ， DB, DC, DE Ì 平面 ABCD ，所以 PD ^ DB ， PD ^ DC ， PD ^ DE .
又因为 PB2 = PD2 + BD2 ， PC2 = PD2 + DC2 ，
A
且 PB = PC
所以 BD = DC ，在菱形 ABCD 中， AB = BD = AD ，即△ADB 为正三角形.
又因为 E 为 AB 中点，所以 DE ^ DC
建立如图空间直角坐标系 D - xyz ．又因为 AB DC ， DE ^ AB .
因为△ADB 为正三角形. 且 AD = 2 3 ，所以 DE = 3 .

设 F(0,0,t)(t > 0) ， E(3,0,0) ， C(0, 2 3, 0) .

EF = (-3, 0,t) , EC = (-3, 2 3, 0) .

平面 FCD 的法向量为n1 = (1, 0, 0) .

设平面 EFC 的法向量为n2 = (x, y, z) ，则

ìïn2 × EF = 0,
ïîn2
í × EC = 0.
ìï-3x + tz = 0,
î
得 ïí-3x + 2 3y = 0. 取 x = 2t ，则 y = 3t ， z = 6 .

所以n2 = (2t, 3t, 6) .

由题意，二面角 E - FC - D 的大小为 45°


所以| cos < n1 , n2

> |=|
n1 × n2
| n1 || n2
| =| 2t
3t2 + 4t2 + 36
|
|= 2
2

解得t = ±6 （舍负）.
因为 F 是 PD 的中点，所以 PD 的长为 12.
经检验符合题意.


3
19. （本小题 15 分）


解：（Ⅰ）由直线 AB1 的方程为 x -
3y + = 0 ，可得 A(-
3, 0), B1(0,1) .


所以， a = 3,b = 1，由a2 = b2 + c2 得， c = 2 .



椭圆 E 的方程为
x2 + 2


= 1，离心率e = c = = .

2
3
6
y
3 a 3

y B1
Q
O B2
P
A
x
M
N
（Ⅱ）依题意，设 P(x0 , y0 ) （ x0 > 0, y0 > 0 ），则 M (x0 , - y0 ) .
x + 2
2
且由 P 是椭圆上一点，可得 0 y = 1 .
3 0
直线 AB 的方程为 y = 3 x + 1，

1

由 3 x + 1 = y
3

得， x =


3( y

-1) .

3 0 0


所以Q( 3( y0 -1), y0 ) .
直线 PB 的方程为 y = y0 + 1 x -1 ，令 x =


0
3( y


-1) ，得

2



3( y 2 -1)

x0
x 2
3
3(- 0 )

y = 0 -1 = 3 -1 = -
x0 x0 3
x0 -1 .

即 N ( 3( y -1), - 3 x -1) .
0 3 0
3
3
- y + 3 x + 1

所以k
= yM - yN = 0 3 0
= 3 x0 - 3y0 + = 3 .

x0 - 3( y0 -1)
MN x - x
3 x - 3y + 3

M N 0 0
即直线 MN 的倾斜角是 π ，所以ÐMNQ = π .
6 3


（20）（本小题 15 分）

2 x
解：（Ⅰ）对 f (x) 求导得 f ¢(x) = ln x + x .
x

可得 f ¢(1) =1.
又可知 f (1) = 0 ，

所以曲线 y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程为 x - y -1 = 0 .

x
（Ⅱ）因为 x > 0 ，所以 > 0 .


由此可知，要证
x ln x < x ，只需证ln x < ，即证ln x - < 0 .


x
x
x
令h(x) = ln x - ，

2 x
2 - x
求导得h¢(x) = 1 - 1 = .
x 2x

令 h'(x) = 0, 解得 x = 4 .
可知 x, h¢(x) 与 h(x) 的变化情况如下表：

x
(0, 4)
4
(4, +¥)
h¢(x)
+
0
-
h(x)


极大值


所以h(x) £ h(4) = ln 4 - 2 < 0 .

x
所以ln x - < 0 恒成立.即原不等式成立.
（III） g(x) = x ln x + a(x2 - x) ，

因为 x > 1，所以 x ln x > 0, x2 - x > 0 .

所以当a ³ 0 时， g(x) > 0 在(1, +¥) 上恒成立，符合题意.


2 x
当 a < 0 时， g '(x) = ln x +

令t(x) = g¢(x) ，
x - ln x
x + a(2x - 1) .
x

则t¢(x) = 1 × x
2
2 x - 1 × 1
x x
x 2
+ 2a = -
ln x
+ 2a < 0 在(1, +¥) 上恒成立.

4x x
所以t(x) = g¢(x) 在(1, +¥) 上单调递减.
g¢(1) =1+ a .
①当 g¢(1) =1+ a £ 0 即 a £ -1时， g¢(x) < 0 在(1, +¥) 上恒成立.所以 g(x) 在(1, +¥) 上单调递减.
所以 g(x) < g(1) = 0 在(1, +¥) 上恒成立，符合题意.
②当 g¢(1) =1+ a > 0 即-1 < a < 0 时，

x
因为 x > 1且由（Ⅱ）知ln x < ，


2 x
所以 g '(x) = ln x +
x + a(2x - 1) < +
x
2 x
x
1 + a(2x - 1) < 1 + 1 + a(2x - 1) .
x
2


所以 g '(1 - 1 ) < a - 1 < 0 ，
a 2
所以存在 x Î (1,1 - 1 ) 使得 g '(x ) = 0 ，

0 a 0
因此 x, g '(x) 与 g(x) 的变化情况如下表：

x
(1, x0 )
x0
(x0 , +¥)
g '(x)
+
0
-
g(x)


极大值


所以 g(x0 ) > g(1) = 0 .


由（Ⅱ）中
x ln x < x ，


可以得 g(x) = x ln x + a(x2 - x) < x + a(x2 - x) = x(ax + 1 - a) .

令 x = 1 - 1 ，得 g (1 - 1 ) < 0 .
a a
所以 g(x) 在区间(1, +¥) 上存在零点，不合题意，舍去.综上， a 的取值范围是(-¥, -1] [0, +¥) .


（21）（本小题 15 分）



解: （Ⅰ）依题意， a = 5 ， a
ìan + 1，
= ï
an为奇数
，

ï
1 n+1
í an ，
î 2
an为偶数

所以a2 = 6，a3 = 3，a4 = 4，a5 = 2，a6 = 1.
从而m = 6 ．



（II） 依题意， a
ìan - 1，
= ï
an为奇数，
1
， a ¹ 1 ．

ï
n+1
í an ，
î 2
an为偶数


下面证明对于任意的正整数 k ¹ 1，当a1 = k 时，均存在数列{an } 为 P-1 数列．

a1 = 2 时， a2 = 1， m = 2 符合题意．

反证，假设存在正整数k ¹ 1，当 a1 = k 时，不存在数列{an } 为 P-1 数列，设此时 k 的最小值为 M （ M ³ 3 ），
即 a1 = 2,3, 4, , M -1时存在 P-1 数列， a1 = M 时不存在 P-1 数列．

（1） 当 M 为奇数时，

因为存在以 M -1 为首项的 P-1 数列a1 , a2 , , am ，

所以 M , a1 , a2 , , am 就是首项为 M 的 P-1 数列，与假设矛盾．

（2） 当 M 为偶数时，
, am
因为存在以 M 为首项的 P 数列a , a , ，
2 -1 1 2

所以 M , a1 , a2 , , am 就是首项为 M 的 P-1 数列，与假设矛盾．综上， a1 的所有可能取值为全体大于 1 的正整数．


（III） 依题意， a
ìan + 1，
= ï
an为奇数
m
a = 1 ， a

= 2 ， a

= 4 ，… .

ï
n+1
í an ，
î 2
an为偶数,
m-1
m-2


（1） 先证明d = 2 符合题意，即2log2 a1 + 2 ³ m ．


当 m = 2 时，显然成立．

当 m ³ 3 时，对任意a ³ 3 ， a

Îì ai + 1, ai + 1, ai ü ．故a

£ ai + 1 ，即a - 2 ³ 2(a


- 2) ．

i i +2
í 2 2 4 ý
i +2 2
i i+2

î þ
（i）当m = 2t +1(t =1, 2, ) 时，

有 a - 2 ³ 2t-1(a - 2) = 2t ， a
m-1
³ 2t + 2 = 2 2
+ 2 ．

1 m-2 1

m-1
所以2 log2 a1 + 2 > 2 log2 (2 2
) + 2 = m + 1 > m ．

（ii）当m = 2t + 2(t =1, 2, ) 时，

有 a - 2 ³ 2t-1(a
- 2) = 2t ， a
m -1
³ 2t + 2 = 2 2
+ 2 ， a ³ a
m -1
- 1 = 2 2
+ 1．

2 m-2
2 1 2
m -1

所以2 log2 a1 + 2 > 2 log2 (2 2
（2） 再证明d ³ 2 ．
) + 2 = m ．

ì
m-n-1
ï2 2
, m -1
ï m-n
+ 1，n = 1,3,

对任意的偶数m = 2t(t = 2,3, ) ，令an = í2 2
, m - 2
ï
+ 2，n = 2, 4,

ï 1，
ïî
n = m.


（i） 先验证{an } 为 P1 数列：


当 n = 1,3, , m - 3 时， an = 2
m-n-1 2
+ 1 为奇数， an+1 = 2
m-(n+1) 2
+ 2 = an + 1，符合②．


m-n
m-(n+1)-1 1

当 n = 2, 4, , m - 2 时， an = 2 2
+ 2 为偶数， an+1 = 2 2
+ 1 =
2 an ，符合②．

当 n = m -1 时， am-1 = 2，am = 1 ，符合②．

又{an } 符合①，所以{an } 为 P1 数列．

（ii） 下面证明d < 2 不符合题意．假设d < 2 ．
m -1 1- m
因为"m = 2t(t = 2,3, ) ， d ³ m - 2 log2 a1 = m - 2 log2 (2 2 + 1) = 2 - 2 log2 (1 + 2 2 ) ．
1- d
即"m = 2t(t = 2,3, ) ， m £ 2 - 2 log2 (2 2 - 1) ，矛盾．综上， d 的最小值为 2．