初中数学华师大版九年级上册1. 成比例线段当堂达标检测题

第23章  图形的相似  23.1成比例线段1.成比例线段

知识点1 成比例线段的概念

1．比例的项：

在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．

2．成比例线段：

四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．

题型1  成比例线段的概念

1.（岳阳县期中）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（　　）

A．1、2、20、30 B．1、2、3、4 C．4、2、1、3 D．5、10、10、20

2.若a：b＝c：d，则下列各式成立的是（　　）

A．a：d＝c：b B．b：d＝c：a 

C． D．（ b+d≠0）

3.已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．

（1）求a、b、c的值；

（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．

题型2   成比例线段概念的应用

1.（江阴市期中）在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝5cm，则A、B两地的实际距离为　　km．

2.（高邮市期末）若三条线段a、b、c的长满足，则将这三条线段首尾顺次相连（　　）

A．能围成锐角三角形 B．能围成直角三角形 

C．能围成钝角三角形 D．不能围成三角形

知识点2 比例的性质

题型3  比例的性质（比值问题）

1.（炎陵县期末）已知，则　　．

2.（平果市期末）如果，那么　　．

3.（雅安期末）若0，则　　．

4.（梁溪区期末）若（b+d+f≠0），则　　．

题型4   比例的性质（三角形问题）

1.（兰州期末）已知△ABC和△DEF中，有，且△DEF和△ABC的周长之差为15厘米，求△ABC和△DEF的周长．

2. （永登县期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状．

题型5  比例的性质（阅读理解类）

1.（鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：

题目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．

解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，

依照上述方法解答下列问题：已知：（x+y+z≠0），求的值．

2.解答下列各题：

（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足，求的值

3.我们知道：若，且b+d≠0，那么．

（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？

（2）若，求t2﹣t﹣2的值．

知识点3 黄金分割

如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）

题型6 黄金分割

1.（闵行区期末）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

2.（龙口市模拟）如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成个新的五边形MNPQR．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若EM＝4，则AB＝　　．

3. （平顶山期中）如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，△BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，△CDE看作第三个黄金三角形；……以此类推，第2020个黄金三角形的腰长是（　　）

A．（）2018 B．（）2019 C．（）2018 D．（）2019

图形的相似  23.1成比例线段1.成比例线段答案

知识点1 成比例线段的概念

1．比例的项：

在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．

2．成比例线段：

四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．

题型1  成比例线段的概念

1.（岳阳县期中）在同一单位长度下，下列各组中的四条线段成比例的是（　D　）

A．1、2、20、30 B．1、2、3、4 C．4、2、1、3 D．5、10、10、20

【解题思路】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．

2.若a：b＝c：d，则下列各式成立的是（　D　）

A．a：d＝c：b B．b：d＝c：a 

C． D．（ b+d≠0）

D、令k，则k，故本选项正确；

3.已知线段a、b、c满足a：b：c＝3：2：6，且a+2b+c＝26．

（1）求a、b、c的值；∴a＝6，b＝4，c＝12；

（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．2

解：（1）∴设a＝3k，b＝2k，c＝6k，解得k＝2，（2）∴x＝2或x＝﹣2（舍去），

题型2   成比例线段概念的应用

1.（江阴市期中）在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝5cm，则A、B两地的实际距离为　1.5　km．

根据题意得，解得x＝150000，

2.（高邮市期末）若三条线段a、b、c的长满足，则将这三条线段首尾顺次相连（　D　）

A．能围成锐角三角形 B．能围成直角三角形 

C．能围成钝角三角形 D．不能围成三角形

【解答过程】解：∵三条线段a、b、c的长满足，设a＝（1）k，b＝2k，则c＝（1）k，∵，∴不能围成三角形，

知识点2 比例的性质

题型3  比例的性质（比值问题）

1.（炎陵县期末）已知，则　　．

【解答过程】解：∵，∴，∴，∴．

2.（平果市期末）如果，那么　　．

【解答过程】解：∵，∴，设a＝2t，b＝3t，∴．

3.（雅安期末）若0，则　　．

【解答过程】解：设k≠0，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，

所以．

4.（梁溪区期末）若（b+d+f≠0），则　　．

【解答过程】解：∵，∴ab，cd，ef．

∴ ．

题型4   比例的性质（三角形问题）

1.（兰州期末）已知△ABC和△DEF中，有，且△DEF和△ABC的周长之差为15厘米，求△ABC和△DEF的周长．

解：设△ABC和△DEF的周长分别是x厘米和y厘米．∵，

∴①由题意可得：y﹣x＝15    ②由①式得xy③

将③式代入②式得：yy＝15，∴y＝45，将y＝45代入③式得：x＝30，

2.（永登县期末）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c＝12，请你探索△ABC的形状．【解答过程】解：设k，可得a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，代入a+b+c＝12得：9k﹣15＝12，解得：k＝3，∴a＝5，b＝3，c＝4，则△ABC为直角三角形．

题型5  比例的性质（阅读理解类）

1.（鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：

题目：已知（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．

解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，

依照上述方法解答下列问题：已知：（x+y+z≠0），求的值．

【解答过程】解：设k，则y+z＝xk，z+x＝yk，x+y＝zk，

∴2（x+y+z）＝k（x+y+z），解得，k＝2，∴y+z＝2x，z+x＝2y，x+y＝2z，

解得，x＝y＝z，则．

2.解答下列各题：

（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足，求的值

【解答过程】解：（2）若a+b+c≠0，由等比定理有1，所以a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，于是有 8．若a+b+c＝0，则a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，

于是有1．

3.我们知道：若，且b+d≠0，那么．

（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？

（2）若，求t2﹣t﹣2的值．

【解答过程】解：（1）∵，b+d＝0，∴a+c＝0；

（2）①当a+b+c≠0时，2，∴t2﹣t﹣2＝22﹣2﹣2＝0，②当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，∴1，

∴t2﹣t﹣2＝0．

知识点3 黄金分割

如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）

题型6 黄金分割

1.（闵行区期末）古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（　C　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

根据题意得0.618，解得x≈8.3（cm）．经检验x＝8.3为原方程的解，

2.（龙口市模拟）如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成个新的五边形MNPQR．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若EM＝4，则AB＝　22　．

【解答过程】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝DE，正五边形内角和（5﹣2）×180°＝540°，∴∠EDC＝∠AED＝∠BCD＝108°，∴∠DEN＝∠EDM＝∠MDN＝∠CDN＝∠DCN＝36°，∴EM＝DM，∠EDN＝∠END＝∠CMD＝72°，∴DN＝DM＝EM＝4，△EDN为黄金三角形，∵黄金三角形的底与腰之比为，∴，

∴DE22，∴AB＝22，故答案为：22．

3. （平顶山期中）如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，△BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，△CDE看作第三个黄金三角形；……以此类推，第2020个黄金三角形的腰长是（　B　）

A．（）2018 B．（）2019 C．（）2018 D．（）2019

【解答过程】解：∵AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC是第一个黄金三角形，∴底边与腰之比等于，即，∴BCAB，同理：△BCD是第二个黄金三角形，△CDE是第三个黄金三角形，则CDBC＝（）2，即第一个黄金三角形的腰长为1＝（）0，第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为（）1，第三个黄金三角形的腰长为（）2，…，∴第2020个黄金三角形的腰长是（）2020﹣1，即（）2019，