四川省成都市石室中学2023届高三理科数学下学期三诊模拟考试试题（Word版附解析）

这是一份四川省成都市石室中学2023届高三理科数学下学期三诊模拟考试试题（Word版附解析），共28页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届三诊模拟考试理科数学
（全卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效 .
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡上并交回.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题知图中阴影部分表示的集合为，，再根据集合运算求解即可.
【详解】解：由图可得，图中阴影部分表示的集合为，
因为，所以，
因为，所以或，
所以.
故选：B.
2. 已知是虚数单位，复数，则复数z的共轭复数为（ ）
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的乘、除法运算化简复数，再由共轭复数的定义即可得出答案.
【详解】因为，所以，
所以复数的共轭复数还是2.
故选：A.
3. 空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、、、、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级．如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（ ）．

A. 这14天中有5天空气质量为“中度污染”
B. 从2日到5日空气质量越来越好
C. 这14天中空气质量指数的中位数是214
D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日
【答案】B
【解析】
【分析】根据折线图直接分析各选项.
【详解】A选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A选项错误；
B选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B选项正确；
C选项：这14天中空气质量指数的中位数是，C选项错误；
D选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D选项错误；
故选：B.
4. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【详解】若α∥β，mα，mβ，则m，n可能平行也可能异面，故B错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，故C错误；若mα，nα，m∥β，n∥β，由于m，n不一定相交，故α∥β也不一定成立，故A错误；若m∥n，n⊥α，根据线面垂直的第二判定定理，我们易得m⊥α，故D正确.
5. 设是等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列前项和公式进行求解即可.
【详解】设该等差数列的公差为，
因为是等差数列的前项和，
所以由，，可得，
所以，
故选：B
6. 英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过物体的温度将满足，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，若放在的空气中冷却，经过物体的温度为，则若使物体的温度为，需要冷却（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据及物体经过物体的温度为得出的值，再求出时的值即可．
【详解】由题意得，，，代入，
，即，
所以，
所以，
由题意得，，代入，
即，得，
即， 解得，
即若使物体的温度为，需要冷却，
故选：C．
7. 已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双 曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.
【详解】由双曲线，
则渐近线方程：，
，

连接，则，解得，
所以，解得.
故双曲线方程为.
故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.
8. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】求出的解析式，根据在上单调递增得可得答案.
【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到
的图象，
因为，所以，
因为在上单调递增，所以，即，
所以的最大值为.
故选：A.
9. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】考虑2个0有相邻和不相邻两种情况，故计算出这两种情况的排法数，即可求得答案.
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法：4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法；
若2个0不相邻，则有种排法，
所以2个0相邻的概率为，
故选：A
10. 如图，在直三棱柱中，，，，点P在棱上，且P靠近B点，当时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据几何关系利用勾股定理可以求出，进而可以求出结果.
【详解】在中，由余弦定理可得，
解得，
，
由得：，
解得：或，又因为，且P靠近B点，所以．
由正弦定理可得，外接圆半径，
三棱锥P-ABC的外接球半径R满足：，
∴外接球表面积，
故选：D．
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A. 2021 B. 2023 C. 4043 D. 4045
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和函数的对称性可得，进而，则函数是以8为周期的周期函数，分别求出的值，结合函数的周期即可求解.
【详解】由，令，得，所以.
由为奇函数，得，
所以，故①，
又②，由①和②得，
即，所以③，
令，得，得；
令，得，得.又④，
由③-④得，即，
所以函数是以8为周期的周期函数，故，
所以，
所以
.
故选：A.
12. 已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点C和点A在点B的两侧），则下列命题中正确的有
①若BF为的中线，则；②若BF为的平分线，则；
③存在直线l，使得；④对于任意直线l，都有.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】设直线，，都在第一象限，如图，联立抛物线方程，利用韦达定理表示、、、.根据中线的性质可得，求出A、B的坐标即可判断①；根据角平分线的性质和相似三角形的性质，结合抛物线的定义计算求出，即可判断②；根据题意可得，列出方程求出即可判断③；根据抛物线的定义和，即可判断④.
【详解】由题意，设直线，令，都在第一象限，
由，得，如图所示.
，得，且，即，
所以，，则，.
①若BF为的中线，则，所以，所以，故，
所以，则，故①正确；
②若BF为的平分线，则，
分别作AD，BE垂直准线于点D，E，则且，
所以，即，则，
将代入整理，得，即，
则，所以，故②正确；
③若，即，即为等腰直角三角形，
此时，则，所以，所以，
所以，所以，此时A，B为同一点，不合题设，故③错误；
④，
而，结合，得，
即恒成立，故④正确.
故选：C.

【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；涉及有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题， 每小题5分，共20分
13. 已知，若，则______ .
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得，结合向量的数量积的运算公式求得的值，得到的坐标，利用向量模的公式，即可求解．
【详解】因为，可得，
又因为，可得，解得，
所以，所以.
故答案为：.
14. 在二项式的展开式中，项的二项式系数为__________．
【答案】20
【解析】
【分析】写出展开式通项公式，由指数为3求出项数，再得系数.
【详解】因为，，1，2，…，6.
令，得，所以项的二项式系数为.
故答案为：20
15. 如图，已知在扇形OAB中，半径，，圆内切于扇形OAB（圆和，，弧AB均相切），作圆与圆，，相切，再作圆与圆，，相切，以此类推.设圆，圆…的面积依次为，…，那么__________．

【答案】
【解析】
【分析】如图，设圆，圆，圆，…，圆的半径分别为，，，…，.根据圆切线的性质，结合等比数列的定义可得是以为首项，以为公比的等比数列，由圆的面积公式可知是以为首项，以为公比的等比数列，利用等比数列前n项求和公式计算即可求解.
【详解】如图，设圆与弧AB相切于点D，
圆，圆与OA分别切于点C，E，则，.
设圆，圆，圆，…，圆的半径分别为，，，…，.
因为，所以.在中，，
则，即，解得.
在中，，
则，即，解得.
同理可得，，
所以是以为首项，以为公比的等比数列.
又圆的面积为，
所以面积，，，…，构成一个以为首项，以为公比的等比数列，
则.
故答案为：.

16. 已知函数，.当时，，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据求导公式和求导法则可得，利用导数和放缩法，结合二次函数的性质研究当、、、时函数的性质，进而得出函数的性质，即可求出a的取值范围.
【详解】由已知，得.
令.
①若，则，当时，，
所以在上单调递增，所以当时，成立.
②若，则图象的对称轴为直线，
所以在上单调递增，.
i）当时，，，，
所以，所以在上单调递增，
所以当时，成立；
ii）当时，，，使，
当时，，
所以，所以在上单调递减，
所以当时，，不合题意.
③若，则.
令，，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以当时，，
所以当时，，
所以.
令，由解得，，
即，使，不合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】导函数中常用两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. “城市公交”泛指城市范围内定线运营的公共汽车及轨道交通等交通方式，也是人们日常出行的主要方式.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：
间隔时间（x分钟）
6
8
10
12
14
等候人数（y人）
15
18
20
24
23

（1）根据以上数据作出折线图，易知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于x的回归直线方程，并预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数.
附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数； .
【答案】（1）答案见解析
（2），31人.
【解析】
【分析】（1）根据相关系数的公式，分别计算数据求解即可；
（2）根据回归直线方程的参数计算公式可得关于的回归直线方程为，再代入求解即可.
【小问1详解】
由题意，知，，

，，
所以.又，则.
因为与的相关系数近似为0.95，说明与的线性相关非常高，
所以可以用线性回归模型拟合与的关系.
【小问2详解】
由（1）可得，，
则，
所以关于的回归直线方程为，
当时，，
所以预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数为31人.
18. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
（1）求角的大小；
（2）若，，求c的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，，代入得，再由正弦定理得出，即可求出，结合是锐角三角形即可得出角的大小；
（2）由得，设，，则，，由余弦定理得出，和，整理得出关于的方程，求解即可得出c的值．
【小问1详解】
在中，因，，
所以，
由正弦定理，知，且，则，
所以，解得，
又因为为锐角三角形，故．
【小问2详解】
因为，所以点D在线段AC上，且，
设，，则，，
在中，由余弦定理，知①，
在中，由余弦定理，知②，
由①+②，整理得，即③，
在中，，即④，
将③代入④，整理得，解得或（舍去），
故．
19. 如图，在四棱雉中，四边形ABCD为菱形，AC与BD相交于点O，，，，，M为线段PD的中点.

（1）求证：平面平面PAC；
（2）若直线OM与平面ABCD所成角为，求平面PAD与平面PBC所成的二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）由菱形性质及等腰三角形性质得到线线垂直，进而得到线面垂直，从而证明面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的余弦值，进而求出正弦值.
【小问1详解】
因为四边形ABCD为菱形，，
所以O为BD的中点，，又因为，所以.
又，平面PAC，平面PAC，
所以平面PAC，又平面PBD，
所以平面平面PAC.
【小问2详解】
因为，O为AC的中点，所以.
又，，平面ABCD，平面ABCD，
所以平面ABCD.
因为M为线段PD的中点，O为BD的中点，所以.
又因为直线OM与平面ABCD所成角为，
所以直线PB与平面ABCD所成角为，即.
因为，，所以是等边三角形，
所以，，则.
如图，以点O坐标原点，以OA，OB，OP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，，.
设平面PAD和平面PBC的一个法向量分别为，.
由得令，得.
由得令，得 .
因此，，
所以平面PAD与平面PBC所成的二面角的正弦值为.
20. 已知椭圆的右焦点为，点M是椭圆C上异于左、右顶点，的任意一点，且直线与直线的斜率之积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与直线相交于点，且，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据焦点坐标及斜率关系列式求解，写出椭圆标准方程即可；
（2）根据向量关系得出是线段的中点，再应用点到直线距离证明角平分即证.
【小问1详解】
因为点是椭圆上异于左、右顶点，的任意一点，
且直线与直线的斜率之积为，设，椭圆的左、右顶点坐标分别为，，
故，
又因为，，所以，，故椭圆的标准方程为.
小问2详解】
设直线的方程为，.
由得.
因为，所以点是线段的中点，即.
设.由得，则
①当轴时，，此时 ，所以，，.
此时，点在的平分线所在的直线或上，
即.
②当时，直线MF的斜率为，
所以直线MF的方程为，
则点E到直线MF的距离为
，
所以点E在的平分线上，即.
综上所述，.
21. 已知函数.
（1）若函数在处的切线斜率为，求实数的值；
（2）若函数有且仅有三个不同的零点，分别设为，，.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出，由可得答案；
（2）i）令，求出，设，①当时，根据在上单调递减，可得函数不可能有三个不同的零点；②当时，根据的单调性，由函数零点存在性定理可知，可得有且仅有三个不同的零点；ii）函数的三个不同的零点分别为，，，所以由i）可知，.
【小问1详解】
因为，
函数在处的切线斜率为，所以，则；
【小问2详解】
i）因为，所以，
令，因为函数有且仅有三个不同的零点，
所以函数有且仅有三个不同的零点，，
设，则，
①当即时，，，所以在上单调递减，
所以不可能有三个不同的零点，即函数不可能有三个不同的零点，舍去；
②当即时，有两个不同的零点，
由，得，，
所以，，又因为开口向下，
所以当时，，，在上单调递减；
当时，，，在上单调递增；
当时，，，在上单调递减，
因为，且，
所以，所以，
因为，
令，，
则，所以在上单调递增，
所以，即，
由函数零点存在性定理可知，在区间上有唯一的一个零点，
因为，
又，所以，则，
所以在区间上有唯一的一个零点，
故当时，有且仅有三个不同的零点，2，，
综上所述，，若函数有且仅有三个不同的零点，则实数的取值范围是；
ii）证明：因为函数的三个不同的零点分别为，，，
所以由i）可知，.
【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）若曲线与有且仅有一个公共点，求的值；
（2）若曲线与相交于A，B两点，且，求直线AB的极坐标方程.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据圆的参数方程和可得曲线是以为圆心，为半径的圆.利用公式法将极坐标方程化为直角坐标方程，得曲线是以为圆心，为半径的圆.结合圆与圆的位置关系计算即可求解；
（2）由（1），将两圆的方程相减可得直线AB的方程，利用点到直线的距离公式，结合圆的垂径定理计算即可求解.
【小问1详解】
由为参数)，得为参数)，
又，所以曲线的普通方程为，
即曲线是以为圆心，为半径的圆.
，
由得，
即曲线是以为圆心，为半径的圆.
若曲线与有且仅有一个公共点，则两圆相切，
所以或.
由，解得或.
【小问2详解】
将两圆的方程相减，得，
即直线AB的方程为.
因为，所以圆的圆心到直线AB的距离为
，
解得或，则直线AB的方程为或，
故直线AB的极坐标方程为或.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）是否存在正实数，使得对任意的实数，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）写出的分段型式，解不等式；
（2）结合函数的图象可知，再进一步证明.
【小问1详解】
，
①当时，，，；
②当时，，则，，则；
③当时，，，，则.
综上所述，不等式的解集为.
【小问2详解】

假设存在正实数，使得对任意的实数，都有成立.
，
当时，因为成立，
结合函数的图象可知，，所以.
下面进一步验证：若，则 ，成立.
①当时，，
因为，
所以，所以成立.
②当时，
.
因为，
所以，所以成立.
综上所述，存在正实数，使得对任意的实数，都有成立，
此时的取值范围是.