2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与几何综合附答案

这是一份2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与几何综合附答案，共47页。试卷主要包含了如图1，一次函数y＝kx－4等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与几何综合附答案
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A，B两点，与x轴交于点C，点A的坐标为，点B的坐标为，．
（1）求点B的坐标及反比例函数和一次函数的表达式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移6个单位长度后，分别与双曲线交于E，F两点，连结OE，OF，求的面积．




2．如图，已知A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．



3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于A（2，m）和B（6，2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）△AOB的面积是 　 　；
（3）点A到OB的距离AH的长度是 　 　．




4．在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数的图象交于点和．点关轴的对称点为点．

（1）求这两个函数的表达式．
（2）直接写出关于的不等式的解．
（3）过点作轴的垂线与直线交于点，经过点的直线与直线交于点，且，直接写出点的横坐标的取值范围．




5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点，与轴、轴分别交于、两点，且点的坐标为．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）求的面积．
（3）点为反比例函数图像上的一个动点，轴于，是否存在以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．





6．如图，一次函数y＝mx+1的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D(1，﹣2)，连结OA、OD、DC、AC，四边形OACD为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，x的取值范围；
（3）设点P是直线AB上一动点，且＝S菱形OACD，求点P的坐标．

7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，连接，．

（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P，使以O，A，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．






8．如图，反比例函数与一次函数的图象交于A（1，3）和B（－3，n）两点．

（1）求m、n的值；
（2）当x取什么值时，一次函数的值大于反比例函数的值．
（3）求出△OAB的面积．



9．如图1，一次函数y＝kx－4（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝－（x＜0）的图象交于点B（－6，b）．
（1）b＝__________．k＝__________．
（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图象于点D，连接OC，OD，若△OCD的面积＝8，求点C的坐标．
（3）将第（2）小题中的△OCD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求此时点D的对应点D′的坐标．






10．如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比列函数的图象在第一象限内交于点，过点作轴，垂足为，且点．

（1）点的坐标为________，点的坐标为________，点的坐标为________；
（2）已知点在反比例函数的图象上，其横坐标为6，在轴上确定一点，使得的周长最小，求出点的坐标；
（3）设点是反比例函数在第一象限内图象上的一动点，且点在直线的右侧，过点作轴，垂足为，当和相似时，求动点的横坐标．






11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C（1，4）、D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC、OD（O是坐标原点）．
（1）求△DOC的面积；
（2）将直线AB向下平移多少个单位长，直线与反比例函数图像只有1个交点？
（3）双曲线上是否存在一点P，使△POC与△POD的面积相等？若存在，给出证明并写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．








12．如图，已知一次函数y=x+b的图像与反比例函数（x＜0）的图像相交于点A（-1，2）和点B，点P在y轴上．

（1）求b和k的值；
（2）当PA+PB的值最小时，点P的坐标为______；
（3）当x+b＜时，请直接写出x的取值范围．





13．如图，一次函数(，为常数，)的图象与反比例函数()的图象交于点与点；
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当为何值时，；
（3）求出的面积．






14．一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点．过A点分别作x轴、y轴的垂线，E、F为垂足．
（1）请直接写出矩形AEOF的面积；
（2）设一次函数y＝ax+b与x轴、y轴的交点分别为C、D，当OC＝3OE时．
①试求△OCD与△FAD的面积比；
②当OE＝1时，以BD的中点为圆心，BD长为半径作弧，与x轴相交于P点，请求出P点的坐标．










15．如图在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数在第一象限交于点P（1，p），点M的横坐标为m(0＜m＜1)是反比例函数图像上的一点，MN∥x轴交一次函数于点N．
（1）求出k的值；
（2）是否存在点M，使△MNP是以MN为底的等腰三角形，若存在求出m，若不存在说明理由；
（3）以MN为边长，在MN的下方作正方形MNAB，判断边NA与反比例函数图像是否有交点，若有求出交点坐标，若没有并说明理由．






16．如图，一次函数y＝x+b的图象与y轴交于点B（0，2），与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点D．以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A、C落在x轴上（点A在点C的右边），BD与AC交于点E．

（1）求一次函数的解析式；
（2）求点D的坐标和反比例函数的解析式；
（3）求点A的坐标．







17．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，(－8，－2)．
（1）求k，a，b的值；
（2）若点C为x轴上一点，的面积为15，求点C的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图像上，且A，B，P，Q恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出符合条件的所有点P的坐标．











18．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点A(4，a)、B(－8，－2)．
（1）求k、b的值；
（2）求关于x的不等式的解集；
（3）若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图像上，且A、B、P、Q恰好是一个平行四边形的四个顶点，直接写出点P的坐标．


参考答案：
1．（1），，；（2）
【分析】（1）解直角三角形求出的坐标，代入求出反比例函数解析式，求出的坐标，把、的坐标代入一次函数的解析式求出即可；
（2）将直线沿轴向下平移6个单位长度后的解析式为，解方程组得到，，由割补法即可求出面积．
【解析】（1）

如图，过作轴于，
，，
，，，
,
点在第三象限，
，
把的坐标代入得：，
即反比例函数的解析式是，
把代入得：，
，
把、的坐标代入得：
，
解得：，
即一次函数的解析式是；
（2）

如图，将直线沿轴向下平移6个单位长度后的解析式为，与轴交于
，
解，
∴或，
，，
．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数综合问题以及解直角三角形，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
2．（1）y=，y=-x-2；（2）8；（3）x＞3或-5＜x＜0．
【分析】（1）用点B的坐标先确定反比例函数的解析式，再确定点A的坐标，用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）设AB与y轴交点为D，确定DO的长，利用计算即可；
（3）确定直线AB与双曲线的交点坐标，结合图像写出解集即可．
【解析】（1）∵A（﹣5，n），B（3，﹣5）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，
∴即m=-15,
∴反比例函数的解析式为y=，
∴n==3即点A的坐标为（-5，3），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y=-x-2；
（2）设AB与y轴交点为D，
∵直线AB的解析式为y=-x-2，
∴点D的坐标为（0，-2），
∴DO=2，

∴
=
=，
∵A（﹣5，3），B（3，﹣5），
∴==8；
（3）∵A（﹣5，3），B（3，﹣5），
∴不等式kx+b﹣＜0的解集为x＞3或-5＜x＜0．
【点评】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式的确定，图形面积的计算，数形结合确定解析式构成不等式的解集，熟练掌握待定系数法，灵活运用图形分割法，数形结合思想解题是解题的关键．
3．(1) y=-x+8；(2)16；(3)
【分析】(1)根据k=xy得到k=2m=6×2即可算出点A的坐标，把A、B两点的坐标代入一次函数表达式y=ax+b中，解方程组即可得出答案；
(2)设直线AB与x轴的交点为C，求得C的坐标，根据三角形面积公式，利用S△AOB=S△AOC-S△BOC求得△AOB的面积；
(3)根据S△AOB=OB•AH即可求得AH．
【解析】解：(1)设反比例函数为，
∵点A(2，m)和点B(6，2)在的图象上
∴k=2m=6×2，解得m=6，
∴点A的坐标为(2，6)，
设直线AB的表达式为y=ax+b，
把A(2，6)和B(6，2)代入得：，
解得：，
∴直线AB的表达式为y=-x+8；
(2)设直线AB与x轴的交点为C，如下图所示：

令y=-x+8中y=0，则x=8，
∴C(8，0)，
设分别是A、B两点纵坐标的绝对值，
∴S△AOB=S△AOC-S△BOC=，
；
(3)∵B(6，2)，
∴OB=，
∵S△AOB=，
∴．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式等知识点，本题中求出点C坐标后再根据S△AOB=S△AOC-S△BOC是解题的关键．
4．（1），；（2）或；（3）或
【分析】（1）由点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数的表达式，由点B的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）观察两函数图象的上下位置关系，即可找出不等式的解；
（3）由点A，B的坐标可球场点C，D的坐标，进而可得出CD的长，在Rt△CDE中，通过解直角三角形可求出DE的取值范围，再结合点D的横坐标即可得出点E的横坐标t的取值范围．
【解析】解：（1）∵点在反比例函数的图象上，

∴，
∴反比例函数的表达式为；   
当时，，
∴点的坐标为．
将，代入，得：
，解得 ：，
∴一次函数的表达式为．    
（2）观察函数图象，可知：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式的解为：或．    
（3）∵点A的坐标为（1，2），点A，C关于x轴对称，
∴点C的坐标为（1，2）．
∵点B的坐标为（2，1），BD⊥AC，
∴点D的坐标为（1，1），
∴CD=1（2）=1．
在Rt△CDE中，CD=1，∠CDE=90°，30°≤∠CED≤45°，
∴，
∴，
∴或．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及解直角三角形，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征及待定系数法，求出两函数的表达式；（2）由两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解；（3）通过解直角三角形，求出DE的取值范围．
5．（1），；（2）；（3）存在，点的坐标为或或或．
【分析】（1）把分别代入直线和反比例函数进行求解即可；
（2）连接OA、OB，由解得：，，进而可得，然后由一次函数可得，最后根据割补法可求解△AOB的面积；
（3）当以、、为顶点的三角形与相似时，始终有，由（2）可得OC=2，OD=4，设点，则，，则可分①当时，②当时，然后根据相似三角形的性质进行求解即可．
【解析】解：（1）把代入得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为，
把代入得：，
解得：，
∴反比例函数的表达式为；
（2）连接OA、OB，如图所示：

由解得：，，
∴，，
在上，当时，
，解得：
∴
∴
∴，
，
∴；
（3）由题意可得如图所示：

当以、、为顶点的三角形与相似时，始终有，由（2）可得OC=2，OD=4，设点，则，，
①当时，
∴，即，
解得：，
∴点或；
②当时，
∴，即，
解得：，
∴点或；
综上所述：当以、、为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或或或．
【点评】本题主要考查反比例函数与几何综合及相似三角形的性质，熟练掌握反比例函数与几何综合及相似三角形的性质是解题的关键．
6．（1）一次函数的解析式为：y=x+1，反比例函数的解析式为：y＝；（2）x＜0或x＞1；（3）P点坐标为（-3，-2）或（5，6）
【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得k和m值；
（2）由（1）可知A点坐标为（1，2），结合图象可知在A点的下方时，反比例函数的值小于2，可求得x的取值范围；
（3）根据菱形的性质求得菱形面积，分点P在x轴下方和点P在x轴上方两种情况加以分析即可．
【解析】解：（1）如图，连接AD，交x轴于点E，
∵D（1，2），
∴OE=1，ED=2，
∵四边形AODC是菱形，
∴AE=DE=2，EC=OE=1，
∴A（1，2），
将A（1，2）代入直线y=mx+1可得m+1=2，解得m=1，
∴一次函数的解析式为：y=x+1，
将A（1，2）代入反比例函数y＝，可求得k=2；
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）∵当x=1时，反比例函数的值为2，
∴当反比例函数图象在A点下方时，对应的函数值小于2，
此时x的取值范围为：x＜0或x＞1；
（3）∵OC=2OE=2，AD=2DE=4，
∴S菱形OACD，
S△OAP=S菱形OACD，
∴S△OAP=2，
直线y=x+1与x轴交点M（-1，0）
设P点坐标为（x，x+1），
当点P在x轴下方时，
∴S△OAP =S△OAM +S△OMP=2，
∴，
解得x=-3，
∴P点坐标为（-3，-2）．
当点P在x轴上方时，
∴S△OAP = S△OMP -S△OAM =2，
∴，
解得x=5，
∴P点坐标为（5，6）．
．
【点评】本题考查了反比例函数和几何的综合应用，涉及知识点有待定系数法、菱形的性质、三角形的面积及数形结合思想等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
7．（1）；（2）8；（3）存在，点P的坐标为，，
【分析】（1）由点A，B在反比例函数图象上，求出m，n，进而求出A，B坐标，再代入一次函数解析式中，即可得出结论；
（2）利用三角形的面积的差即可得出结论；
（3）分三种情况：利用平移的特点，即可得出结论．
【解析】解：（1）将，两点代入反比例函数
得，，得，，所以，
将，代入一次函数
得，，解得，
即
（2）设一次函数与轴、轴分别交于，两点，再过，两点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为，两点，如图1，

当时，；当时，，
∴，
∵，
∴，
∴



∴的面积为
（3）存在，如图2，

当AB和OB为邻边时，点B（6，1）先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点O（0，0），则点A也先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点P（2-6，3-1），即P（-4，2）；
当OA和OB为邻边时，点O（0，0）先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点A（2，3），
则点B也先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点P'（6+2，1+3），即P'（8，4）；
当AB和OA为邻边时，点A（2，3）先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点B（6，1），
则点O也先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点P''（0+4，0-2），即P''（4，-2）；
∴点P的坐标为（-4，2）或（4，-2）或（8，4）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，平行四边形的性质，平移的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
8．（1）m=3，n=-1；（2）x>1或－3