2023年中考数学三轮复习之动态几何变换附答案

这是一份2023年中考数学三轮复习之动态几何变换附答案，共78页。

2022-2023学年中考三轮复习之几何动态变换附答案
1）动态几何问题是以几何图形为背景的，几何图形有直线型和曲线型两种，那么动态几何也有直线型的和曲线型的两类，即全等三角形、相似三角形中的动态几何问题，也有圆中的动态问题。有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。根据其运动的特点，又可分为(1)动点类(点在线段或弧线上运动)也包括一个动点或两个动点;(2)动直线类;(3)动图形问题。
2)解决动态几何题，通过观察，对几何图形运动变化规律的探索，发现其中的变量”和“定量”动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性:动静互化抓住“静”的睡间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系:这需要有极敏锐的观察力和多种情况的分析能力，加以想象、结合推理，得出结论。解决这类问题，要善干探索图形的运动特点和规律抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动。解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系。
3)动态几何形成的存在性问题，重点和难点在干应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类，包括等腰(边)三角形存在问题，直角三角形存在问题，平行四边形存在问题，矩形、菱形、正方形存在问题。全等三角形存在问题，相似三角形存在问题等。
【真题演练】
一．选择题
1．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在坐标原点，点是对角线上一动点（不包含端点），过点作，交于，点在线段上．若，，，，点的横坐标为，则的取值范围是　　

A． B． C． D．
2．（2022•绵阳）如图1，在菱形中，，是的中点，是对角线上一动点，设长为，线段与长度的和为，图2是关于的函数图象，图象右端点的坐标为，，则图象最低点的坐标为　　

A．， B．， C．， D．，
3．（2022•贵港）如图，在边长为1的菱形中，，动点在边上（与点，均不重合），点在对角线上，与相交于点，连接，，若，则下列结论错误的是　　

A． B．
C． D．的最小值为
4．（2022•恩施州）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：，下列结论正确的是　　

A．当时，四边形为矩形
B．当时，四边形为平行四边形
C．当时，
D．当时，或
5．（2022•大庆）平面直角坐标系中，点在轴的非负半轴上运动，点在轴上运动，满足．点为线段的中点，则点运动路径的长为　　
A． B． C． D．
6．（2022•泰州）如图，正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为　　

A． B．2 C． D．4
7．（2022•十堰）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2022•宜宾）如图，和都是等腰直角三角形，，点是边上的动点（不与点、重合），与交于点，连结．下列结论：①；②；③若，则；④在内存在唯一一点，使得的值最小，若点在的延长线上，且的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是　　

A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
9．（2022•泰安）如图，四边形为矩形，，，点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为　　

A． B． C． D．
10．（2022•甘肃）如图1，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为　　

A． B． C． D．
11．（2022•绍兴）如图，在平行四边形中，，，，是对角线上的动点，且，，分别是边，边上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形；
②存在无数个矩形；
③存在无数个菱形；
④存在无数个正方形．
其中正确的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2022•德州）如图，正方形的边长为6，点在上，．点是对角线上的一个动点，则的最小值是　　

A． B． C． D．
13．（2022•东营）如图，已知菱形的边长为2，对角线、相交于点，点，分别是边、上的动点，，连接、．以下四个结论正确的是　　
①是等边三角形；
②的最小值是；
③当最小时；
④当时，．

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
14．（2022•资阳）如图，正方形的对角线交于点，点是直线上一动点．若，则的最小值是　　

A． B． C． D．
15．（2022•菏泽）如图，在菱形中，，，是对角线上的一个动点，，则的最小值为　　

A．1 B． C． D．2
16．（2022•广安）如图，菱形的边长为2，点是对角线上的一个动点，点、分别为边、的中点，则的最小值是　　

A．2 B． C．1.5 D．
17．（2022•赤峰）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上．，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是　　

A．3 B．5 C． D．
二．填空题
18．（2022•德州）如图，是等腰直角三角形，，，点是斜边上一点，且，将绕点逆时针旋转，得到△，交于点．其中点的运动路径为弧，则弧的长度为 　　．

19．（2022•内蒙古）如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是 　　．

20．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一动点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是 　　．

21．（2022•通辽）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为 　　．

22．（2022•大庆）如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍．连接，分别与对角线交于点，，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则．其中正确结论的序号为 　　．

23．（2022•黑龙江）在矩形中，，，点在边上，且，点是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为 　　．
24．（2022•黑龙江）如图，菱形中，对角线，相交于点，，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是 　　．

25．（2022•宜昌）如图，点，，都在方格纸的格点上，绕点顺时针方向旋转后得到△，则点运动的路径的长为 　　．

26．（2022•宿迁）如图，在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在这一运动过程中，点所经过的路径长是 　　．

27．（2022•广元）如图，直尺垂直竖立在水平面上，将一个含角的直角三角板的斜边靠在直尺的一边上，使点与点重合，．当点沿方向滑动时，点同时从点出发沿射线方向滑动．当点滑动到点时，点运动的路径长为 　　．

28．（2022•衡阳）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 　　．（结果保留

29．（2022•宁波）如图，在中，，，点在上，以为半径的圆与相切于点．是边上的动点，当为直角三角形时，的长为 　　．

30．（2022•达州）如图，在边长为2的正方形中，点，分别为，边上的动点（不与端点重合），连接，，分别交对角线于点，．点，在运动过程中，始终保持，连接，，．下列结论：①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若过点作，垂足为，连接，则的最小值为，其中所有正确结论的序号是 　　．

31．（2022•南充）如图，正方形边长为1，点在边上（不与，重合），将沿直线折叠，点落在点处，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，．给出下列四个结论：①；②；③点是直线上动点，则的最小值为；④当时，△的面积为．其中正确的结论是 　　．（填写序号）

三．解答题
32．（2022•东营）和均为等边三角形，点、分别从点，同时出发，以相同的速度沿、运动，运动到点、停止．
（1）如图1，当点、分别与点、重合时，请判断：线段、的数量关系是 　　，位置关系是 　　；
（2）如图2，当点、不与点，重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点运动到什么位置时，四边形的面积是面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明．









33．（2022•安顺）如图1，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点．
（1）求线段的长；
（2）求证四边形为菱形；
（3）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．














34．（2022•南通）如图，矩形中，，，点在折线上运动，将绕点顺时针旋转得到，旋转角等于，连接．
（1）当点在上时，作，垂足为，求证：；
（2）当时，求的长；
（3）连接，点从点运动到点的过程中，试探究的最小值．









35．（2022•济宁）如图，是等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为，点的坐标为．是直线上在第一象限内的一动点，过点作轴的垂线，垂足为，交于点，连接，作交轴于点，交于点，连接，．
（1）填空：若是等腰三角形，则点的坐标为 　　；
（2）当点在线段上运动时（点不与点，重合），设点的横坐标为．
①求值最大时点的坐标；
②是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．




36．（2022•兰州）综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎wèi范、芯组成的铸型（如图，它的端面是圆形．如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端沿圆周移动，直到，在圆上标记，，三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在，点上，“矩”的另一条边与的交点标记为点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的，，，四点，连接，相交于点，即为圆心．


问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心．如图3，点，，在上，，且，请作出圆心．（保留作图痕迹，不写作法）
类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果和不相等，用三角板也可以确定圆心．如图4，点，，在上，，请作出圆心．（保留作图痕迹，不写作法）
拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点，，是上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：　　．







37．（2022•大连）如图，在中，，，点在上，，连接，，点是边上一动点（点不与点，，重合），过点作的垂线，与相交于点，连接，设，与重叠部分的面积为．
（1）求的长；
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．


















【考前预测】
一．选择题
1．如图，在中，，，，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交于，交于，连接．为上一动点，过作，垂足为，连接，则的最小值为　　

A．3 B． C．6 D．
2．点是以为直径的半圆上的动点，在上，且，点、、分别是、、的中点．若，则的面积最大值为　　

A．2 B．3 C．6 D．9
3．如图，矩形的对角线，交于点，，，点是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为点、，则的值为　　

A． B． C． D．
二．填空题
4．在矩形中，，，点在边上．且，是射线上的一个动点．若是等腰直角三角形，则的长为 　　．
三．解答题

5．如图1，直线与直线交于点，．小明将一个含，的直角三角板如图1所示放置，使顶点落在直线上，过点作直线交直线于点（点在左侧）．
（1）若，，求的度数．
（2）如图2，若的角平分线交直线于点．
①当，时，求证：．
②小明将三角板保持并向左平移，运动过程中，探究与之间的数量关系，并说明理由．



【真题演练】
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：可得，，，，，
直线的解析式为：，
，
直线的解析式为：，
，
点的横坐标为：，点的横坐标为：，
，
，
，
点的横坐标为：，
，
，
故答案为：．
2．【答案】
【解答】解：如图，连接，，

四边形是菱形，，
，垂直平分，，，
，是等边三角形，
，
当点在线段上时，有最小值为的长，
点的坐标为，，
，，
点是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为：，，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，，故正确，不符合题意；
，，，
，
，
，
，故正确，不符合题意；
，，
，
，
，
，
，故正确，不符合题意；
以为底边，在的下方作等腰，使，

，，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接，交于，此时最小，是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为，故错误，符合题意．
故选：．
4．【答案】
【解答】解：根据题意，可得，，
，，
，，
当四边形为矩形时，，
即，
解得，
故选项不符合题意；
当四边形为平行四边形，，
即，
解得，
故选项不符合题意；
当时，分两种情况：
①四边形是平行四边形，
此时，
即，
解得，
②四边形是等腰梯形，
过点作于点，过点作于点，如图所示：

则，
，，
，
，
，
又，
，
解得，
综上，当时，或，
故选项不符合题意，选项符合题意，
故选：．
5．【答案】
【解答】解：如图，当点在轴的正半轴上或原点时，过点作于点，于点．设．

，，，
，，
，
，
，
点在直线上运动，
直线与坐标轴交于，，
点运动路径的长，
当点在轴的负半轴上时，同法可得点运动路径的长，
综上所述，点的运动路径的长为，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
点，，，在同一条线上时，最小，即最小，
连接，
最小值为，
在中，，
最小，
故选：．

7．【答案】
【解答】解：是等边三角形，
，
，，
，，
，故①正确；
点是弧上一动点，
与不一定相等，
与不一定相等，故②错误；
当最长时，为直径，
，
，
，
，故③正确；
在上取一点，使，如图：

，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，故④正确；
正确的有①③④，共3个，
故选：．
8．【答案】
【解答】解：如图1中，

，
，
，，
，
，，故①正确，
，
，
，
，
取的中点，连接，，，则，
，，，四点共圆，
，故②正确，
设，则．，，
过点作于点，
，
，
，，
，
，故③正确．
如图2中，将绕点顺时针旋转得到，连接，

，，，
是等边三角形，
，
，
当点，点，点，点共线时，值最小，此时，，，
，
设，则，
，
，
，故④错误．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：如图，取的中点，连接，．

四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
点在以为圆心，2为半径的上，
，
，
的最小值为．
故选：．
10．【答案】
【解答】解：在菱形中，，
为等边三角形，
设，由图2可知，的面积为，
的面积，
解得：，（舍去），
故选：．
11．【答案】
【解答】解：连接，，且令，，相交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
只要，那么四边形就是平行四边形，
点，是上的动点，
存在无数个平行四边形，故①正确；
只要，，则四边形是矩形，
点，是上的动点，
存在无数个矩形，故②正确；
只要，，则四边形是菱形，
点，是上的动点，
存在无数个菱形，故③正确；
只要，，，则四边形是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：．

12．【答案】
【解答】解：如图，连接交于点，
、关于对称，
就是的最小值，
正方形中，点是上的一定点，且，
，
，
的最小值是．
故选：．

13．【答案】
【解答】解：四边形是菱形，
，，，，
，
和都是等边三角形，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
故①正确；
当 时，的值最小，此时的值也最小，
，，，
，
的最小值是，
故②正确；
时，的值最小，此时，
，
，
，
，
，
，
，
，
故③正确；
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确，
故选：．
14．【答案】
【解答】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，其与的交点即为点，再作交于点，

与关于对称，
，，当且仅当，，在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时，
正方形，点为对角线的交点，
，
与关于对称，
，
，
在中，，
故选：．
15．【答案】
【解答】解：当、、三点共线时，即当点位于时，的值最小，

由菱形的性质可知，
，
又，
为等边三角形，
点为的中点，，
，，
在中，．
故选：．
16．【答案】
【解答】解：如图，取的中点，连接，．

四边形是菱形，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，，，
，关于对称，
，
，
，
，
的最小值为2．
故选：．
17．【答案】
【解答】解：根据题意得，点关于轴的对称点是的中点，连接交与点，此时有最小值为，

四边形是菱形，，点，
，，
是等边三角形，
，
即的最小值是3，
故选：．
二．填空题
18．【答案】．
【解答】解：连接，，作于，

，，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
弧的长度为，
故答案为：．
19．【答案】．
【解答】解：如图，设的中点为，连接，，，

，，
，
，
点的运动轨迹是以为直径的，
设交于点，交于点，连接则是直径，
点的运动轨迹在以为直径的上（即上），
，，
，
，
，
点的运动轨迹的长，
故答案为：．
20．【答案】2．
【解答】解：方法一：将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，
如图，当点在轴上时，△为等边三角形，
则，，
，
，，
，且，
由勾股定理得：，
，
点的坐标为，，
如图，当点在轴上时，
△为等边三角形，，
，
点的坐标为，
，
，
点运动所形成的图象是一条直线，
当时，线段最短，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
，，
，
在△中，
设点到的距离为，则
，
，
解得，
即线段的最小值为2；
方法二：如图，在第二象限作等边三角形，连接、，
过点作轴于点，

将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
是轴上一动点，
当轴时，最小，即点与点重合时最小，
，，
，
的最小值为2，
故答案为2．

21．【答案】．
【解答】解：如图，取的中点，

是直径，
，
，
，
，
，
点在以为直径的上运动，
当，，共线时，的值最小，
在中，，，
，
，
当，两点距离最小时，动点的运动路径长．
故答案为：．
22．【答案】②．
【解答】解：正方形的周长是周长的2倍，
，
，
若，，则，故①错误；
如图，在的延长线上取点，使得，

在正方形中，，，
在和中，
，
，
，，，
又，
，
在和中，
，
，
，，，

，
，，
，
则，故②正确；
如图，作于点，连接，，

在和中，
，
，
同理，，
，，，
点，关于对称轴，，关于对称，
，，，，
，即是直角三角形，
若，，
，，
在中，，故③错误；
，且，，
在中，，
，
，，
且，
，
，
即，
，
，
，
，故④错误，
综上，正确结论的序号为②，
故答案为：②．
23．
【解答】解：若是直角三角形，有以下三种情况：
①如图1，，

，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，即，
，
，
；
②如图2，，

，
，
，
，
，即，
；
③如图3，，设，则，

同理得：，
，即，
，
，
综上，的长是或或6．
故答案为：或或6．
24．
【解答】解：连接，过点作，垂足为，并延长到点，使，连接交直线于点，连接，

是的垂直平分线，
，
，
此时，的值最小，
四边形是菱形，
，，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
的最小值为，
故答案为：．

25．【答案】．
【解答】解：由已知可得，
，，
的长为：，
故答案为：．
26．【答案】．
【解答】解：如图1中，连接交于点，连接．

四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
点在为直径的上运动，
当点与重合时，如图2中，连接，．点的运动轨迹是．

此时，，
，
，，
平分，
，
，
点的运动轨迹的长．
故答案为：．
27．【答案】．
【解答】解：当点沿方向下滑时，得△，过点作于点，作于点．

，，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
△△，
，
，，
平分，
点在射线上运动，
当时，的值最大，最大值为，
当点滑动到点时，点运动的路径长为．
解法二：取的中点，连接，．

，，
，
，，，四点共圆，
，
点在的角平分线上运动，
当时，的值最大，最大值为，
当点滑动到点时，点运动的路径长为．
故答案为：．
28．【答案】．
【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长，
即，
故答案为：．
29．【答案】或．
【解答】解：连接，过点作于点，
圆与相切于点．
，
由题意可知：点位置分为两种情况，
①当为时，此时点与点重合，设圆的半径，
，，
，
在中，根据勾股定理可得：，
解得：，
即；
②当时，，
，，，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．

30．【答案】①②④⑤．
【解答】解：如图，四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，故①正确，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，故④正确，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，故②正确，
将绕点顺时针旋转得到，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
，故③错误，
连接，，
，，
，
的最小值为，故⑤正确，
故答案为：①②④⑤．

31．【答案】①②③．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，故①正确，
过点作于点，
，
，
，，
，
，，
，
，故②正确．
连接，．
，关于对称，
，
，
的最小值为，故③正确，
过点作于点，
，
，
，
，
，
，故④错误．
故答案为：①②③．

三．解答题
32．【答案】（1），；
（2）结论不变，证明见解析部分；
（3）当点是的中点时，四边形的面积是的面积的一半．四边形是菱形，证明见解析部分．
【解答】解：（1），都是等边三角形，
，，
，
故答案为：，；

（2）结论成立．
理由：如图2中，连接．

，都是等边三角形，
，，，
，
，
，，
，，
，
是等边三角形，
，
；
证法二：先证，得到，
再证明，
即可得四边形是平行四边形，
即可得出结论平行且相等．

（3）当点是的中点时，四边形的面积是的面积的一半．此时四边形是菱形．
理由：如图3中，连接．

由（2）可知，是等边三角形，，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
．
连接．，，
是等边三角形，
是等边三角形，
四边形是菱形．
33．【答案】（1）；
（2）证明过程详见解答；
（3）或2．
【解答】（1）解：四边形是矩形，
，，，
在中，，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
；
（2）证明：四边形是矩形，
，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形；
（3）解：四边形是菱形，
，，
在中，，，
，，
，
如图1，

当时，
在中，
，
在中，
，
，，
，
如图2，

当时，，
，
，
，
，
在中，
，
综上所述：或2．
34．【答案】（1）证明见解析部分；
（2）或；
（3）．
【解答】（1）证明：如图1中，作，垂足为，

四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；

（2）解：当点在上，在中，，，
，
，
，，
在中，，，
，
，
，
．
当点在上时，可得．
综上所述，的值为或；

（3）解：当点在上时，如图2中，过点作于点．

，
，
，
点在射线上运动，当点与重合时，的值最小，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为．
当点在线段上时，如图3中，将线段绕点顺时针旋转，旋转角为，得到线段，连接，过点作于点，于点．

，，
，
，，
，
，
点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
的最小值为，
，
的最小值为．
解法二：当点在上时，如图，将线段绕点逆时针旋转，旋转角的度数，得到，连接，，．

证明，推出，
当时，的值最小，可得的最小值为．
当点在上时，同法可得的最小值为．
35．【答案】（1）或；
（2）①；
②．
【解答】解：（1）是等边三角形，
，
当点在线段上时，，
，
轴，
，
，
在中，
，，
在中，
，
，
，
当点在的延长线上时，，
，
故答案为：或；
（2）①设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，
当时，；
②如图，

假设存在，使，
作于，作于，作于，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
即：，
由①知：，
，
四边形是矩形，
，
在中，
，
，
在中，
，，
，
，
，
，
，
，
．
36．【答案】问题解决：
（1）画图见解答过程；
类比迁移：
（2）画图见解答过程；
拓展探究：
（3）画图见解答过程，垂直平分弦的直线经过圆心．
【解答】解：问题解决：
（1）如图：

即为圆心；
类比迁移：
（2）如图：

即为所求作的圆心；
拓展探究：
（3）如图：

即为所求作的圆心，理由是垂直平分弦的直线经过圆心，
故答案为：垂直平分弦的直线经过圆心．
37．【答案】（1）；
（2）当时，；当时，．
【解答】解：（1）在中，，，
，
又，
；
（2）当点在点的左侧时，即，如图1，此时重叠部分的面积就是的面积，
，，
，
，
，
设，则，，

；
当点在点的右侧时，即，如图2，
由（1）得，，，则，
，
，
，
，
，


；
答：关于的函数解析式为：当时，；当时，．

【考前预测】
一．选择题
1．【答案】
【解答】解：过作于，

根据两点之间线段最短和垂线段最短得：，
即是的最小值，
，，
，
，
由作图得：垂直平分，
，
，
平分，
、关于对称，
在中，
，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：设，，
、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，
，
是直径，
，
，，
，
，
，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：如图：连接，
四边形是矩形，
，，，，
，，
，
，
，
，
解得，
故选：．

二．填空题
4．【答案】或．
【解答】解：如图1，当时，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
过作于，
，
在与中，
，
，
，，
，
；
如图2，当时，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
过作于，
，
在与中，
，
，
，，
，
；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．


三．解答题
5．【答案】（1）45；
（2）①见解析；
②．
【解答】（1）解：由题意得：，，
，
，
，
，
，
，
，
．

（2）①证明：，，
，
，
，，
的角平分线交直线于点，
，
，
，
，
；

②，，
，
，
，
，，
的角平分线交直线于点，
，
．