浙江省杭州市十五中教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市十五中教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省杭州十五中教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）二次根式中字母b的取值范围是（　　）
A．b＞3 B．b≥3 C．b＜3 D．b≤3
2．（3分）用反证法证明：“若l1∥l2，l2∥l3，则l1∥l3”，应先假设（　　）
A．l1与l3不平行
B．l1与l3平行
C．l1与l2平行，且l2与l3平行
D．l1与l2不平行，且l2与l3不平行
3．（3分）下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）六边形的内角和等于（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
5．（3分）若关于x的一元二次方程mx2+x﹣m2+1＝0的一个根为﹣1，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．0或1
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣5x+4＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
7．（3分）若数组3，3，x、4，5的平均数为4，则这组数中的（　　）
A．x＝4 B．中位数为4 C．众数为3 D．方差为4
8．（3分）下列关于平行四边形的说法正确的是（　　）
①平行四边形既是轴对称图形也是中心对称图形；
②平行四边形的对边相等，对角互补；
③平行四边形的对角线互相平分；
④平行四边形具有不稳定性．
A．①②③④ B．①③④ C．③④ D．②③
9．（3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
10．（3分）已知，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，E为BC中点，连结DE，DE＝1，则AD的值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）一元二次方程x2＝4的解是　 　．
12．（4分）已知x，y为实数，且y＝+4，则x+y＝　 　．
13．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝7，△OCD的周长为18，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是 　 　．

14．（4分）某公司5月份的营业额为100万，7月份的营业额为121万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为 　 　．
15．（4分）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是 　 　．

16．（4分）已知代数式A＝，B＝，C＝．
（1）若x，y，z为正整数，且x＞y＞z，则A、B、C的大小关系为 　 　；
（2）若x＝y＝1，且z为方程m2﹣2023m+1＝0的一个实根，则＝　 　．
三、解答题（共66分）
17．（6分）解方程：
（1）x2+2x＝0；
（2）2x2﹣6x＝3．
18．（8分）如图，在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图．

（1）如图1，画出一条线段AC，使AC＝AB，C在格点上；
（2）如图2，画出一条线段EF，使EF，AB互相平分，E，F均在格点上；
（3）如图3，以A，B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．
19．（8分）小彬在今年的篮球联赛中表现优异．下表是他在这场联赛中，分别与甲队和乙队各四场比赛中的技术统计．
场次
对阵甲队
对阵乙队
得分
篮板
失误
得分
篮板
失误
第一场
21
10
2
25
17
2
第二场
29
10
2
31
15
0
第三场
24
14
3
16
12
4
第四场
26
10
5
22
8
2
平均值
a
11
2
23.5
13
2
（1）小彬在对阵甲队时的平均每场得分a的值是 　 　分；
（2）小彬在这8场比赛的篮板统计数据中，众数是 　 　，中位数是 　 　；
（3）如果规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.2+平均每场失误×（﹣1），且综合得分越高表现越好．利用这种方式，我们可以计算得出小彬在对阵乙队时的“综合得分”是37.1分．请你比较小彬在对阵哪一个队时表现更好，并说明理由．
20．（10分）如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，DF∥BE．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若AC＝8，AB＝6，∠CAB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．

21．（10分）某品牌服装店正在销售某一服装，平均每天可售出20件，每件盈利60元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取降价措施，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件服装降价x元，则平均每天的销售数量为多少件？（用含x的式子表示）
（2）当每件服装降价多少元时，该品牌服装店每天的销售利润为2400元？
22．（12分）已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，且，则称此一元二次方程为三等分根方程，如x2﹣4x+3＝0的两个根分别为x1＝1，x2＝3，其中，则x2﹣4x+3＝0是三等分根方程．
（1）试判断x2﹣8x+11＝0是否为三等分根方程，并说明理由．
（2）若x2+bx+c＝0（b，c均为整数）是三等分根方程，且其中一个根为﹣1，求b，c的值．
（3）若点A（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，且关于x的一元二次方程mx2+nx+2＝0是三等分根方程，求m的值．
23．（12分）如图，在▱ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，AD＝8cm，点P从点A开始以1cm/s的速度匀速向D点运动，点F从点C开始以3cm/s的速度匀速沿射线CB运动．连接PF，记AP＝x．
（1）①BF＝　 　（用含x的式子表示）；
②若PF⊥BC，求x的值．
（2）若以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出x的值．
（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，请求出x的值．


2022-2023学年浙江省杭州十五中教育集团八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）二次根式中字母b的取值范围是（　　）
A．b＞3 B．b≥3 C．b＜3 D．b≤3
【分析】根据二次根式有意义的条件得出关于b的不等式，求出b的取值范围即可．
【解答】解：由题意得，b﹣3≥0，
解得b≥3．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2．（3分）用反证法证明：“若l1∥l2，l2∥l3，则l1∥l3”，应先假设（　　）
A．l1与l3不平行
B．l1与l3平行
C．l1与l2平行，且l2与l3平行
D．l1与l2不平行，且l2与l3不平行
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：反证法证明：“若l1∥l2，l2∥l3，则l1∥l3”，先假设l1与l3不平行，
故选：A．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
3．（3分）下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
＝，故选项C错误，不符合题意；
＝，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）六边形的内角和等于（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】根据n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，即可求得六边形的内角和．
【解答】解：六边形的内角和是（6﹣2）×180°＝720°．
故选：D．
【点评】本题考查了对于多边形内角和定理的识记．
5．（3分）若关于x的一元二次方程mx2+x﹣m2+1＝0的一个根为﹣1，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．0或1
【分析】把x＝﹣1代入方程，解方程即可求解．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程，得m﹣1﹣m2+1＝0，
解得：m＝0或m＝1，
当m＝0时，此方程不是关于x的一元二次方程，
故m＝1．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程的定义，讨论当m＝0时，此方程不是关于x的一元二次方程是解决本题的关键．
6．（3分）已知一元二次方程x2﹣5x+4＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【分析】直接根据根与系数的关系得x1+x2＝5即可．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
7．（3分）若数组3，3，x、4，5的平均数为4，则这组数中的（　　）
A．x＝4 B．中位数为4 C．众数为3 D．方差为4
【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，进而就可以确定这组数的中位数、众数和方差即可得到正确的选项．
【解答】解：根据平均数的定义可知，x＝4×5﹣3﹣3﹣4﹣5＝5，故选项A不符合题意；
这组数按照从小到大排列是：3，3，4，5，5，
这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是4，这组数据的中位数是4，故选项B符合题意；
众数是3和5，故选项C不符合题意；
方差为×[2×（3﹣4）2+（4﹣4）2+2×（5﹣4）2]＝0.8，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的定义和计算方法是关键．
8．（3分）下列关于平行四边形的说法正确的是（　　）
①平行四边形既是轴对称图形也是中心对称图形；
②平行四边形的对边相等，对角互补；
③平行四边形的对角线互相平分；
④平行四边形具有不稳定性．
A．①②③④ B．①③④ C．③④ D．②③
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义以及平行四边形的性质，即可求出答案．
【解答】解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故原说法错误；
②平行四边形的对边相等，对角相等，故原说法错误；
③平行四边形的对角线互相平分，说法正确；
④平行四边形具有不稳定性，说法正确．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．
9．（3分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴k＞﹣1且k≠0，
∴整数k的最小值为1，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根．
10．（3分）已知，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，E为BC中点，连结DE，DE＝1，则AD的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】延长BD与AC相交于点F，过点B作BM⊥AC于M，根据等腰三角形的性质可得BD＝DF，用三角形的中位线定理可得CF＝2，确定AC的长，并计算BC的长，由面积法可得BM和BF的长，最后由面积法可得结论．
【解答】解：如图，延长BD与AC相交于点F，过点B作BM⊥AC于M，

∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAF，
∴∠ABD＝∠AFD，
∴AB＝AF＝3，
∴BD＝DF，
∵E为BC中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴CF＝2DE＝2，
∴AC＝3+2＝5，
由勾股定理得：BC＝＝4，
S△ABC＝×AB×BC＝×AC×BM，
∴×3×4＝×5×BM，
∴BM＝，
由勾股定理得：AM＝＝＝，
∴FM＝3﹣＝，
由勾股定理得：BF＝＝＝，
∵S△ABF＝×BF×AD＝×AF×BM，即××AD＝×3×，
∴AD＝．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，作辅助线构造出以DE为中位线的三角形是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）一元二次方程x2＝4的解是　x1＝2，x2＝﹣2　．
【分析】利用直接开平方法，将方程两边直接开平方即可．
【解答】解；x2＝4，
两边直接开平方得：
x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2，
故答案为：x1＝2，x2＝﹣2．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
12．（4分）已知x，y为实数，且y＝+4，则x+y＝　9　．
【分析】根据二次根式的定义，得到x﹣5≥0且5﹣x≥0，解不等式得到x的值；把x＝5代入y＝+4求得y的值；然后将x、y的值代入x+y计算得到答案．
【解答】解：根据题意，得x﹣5≥0且5﹣x≥0，
所以x＝5．
所以y＝4．
所以x+y＝5+4＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是做题的关键．
13．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝7，△OCD的周长为18，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是 　22　．

【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝7，DO＝BO，CO＝AO，再由△OCD的周长为18可得DO+CO＝11，进而可得AC+BD＝2（DO+CO）＝22．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，DO＝BO，CO＝AO，
∵AB＝7，
∴CD＝7，
∵△OCD的周长为18，
∴DO+CO＝11，
∴AC+BD＝22，
故答案为：22．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
14．（4分）某公司5月份的营业额为100万，7月份的营业额为121万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为 　10%　．
【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解．
【解答】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，
根据题意得，100（1+x）2＝121，
解得，x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍去），
所以，增长率为10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
15．（4分）如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是 　5　．

【分析】取AB的中点G，连接EG、FG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EG、FG，并求出EG⊥FG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，

∵E、F分别是边AD、CB的中点，
∴EG∥BD且EG＝BD＝×8＝4，
FG∥AC且FG＝AC＝×6＝3，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥FG，
∴EF＝＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
16．（4分）已知代数式A＝，B＝，C＝．
（1）若x，y，z为正整数，且x＞y＞z，则A、B、C的大小关系为 　A＞B＞C　；
（2）若x＝y＝1，且z为方程m2﹣2023m+1＝0的一个实根，则＝　4048　．
【分析】（1）利用不等式的性质，进行计算即可解答；
（2）把x＝y＝1分别代入A、B、C中进行计算，再根据一元二次方程的解的意义可得z2﹣2023z+1＝0，从而可得z+＝2023，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵x＞y，
∴x+z＞y+z，
∵y＞z，
∴x+y＞x+z，
∴x+y＞x+z＞y+z，
∵x，y，z为正整数，x＞y＞z，
∴＞＞，
∴A＞B＞C，
故答案为：A＞B＞C；
（2）当x＝y＝1时，A＝＝，B＝＝，C＝＝＝，
∵z为方程m2﹣2023m+l＝0的一个实根，
∴z2﹣2023z+1＝0，
∴z﹣2023+＝0，
∴z+＝2023，
∴＝1+z+1+z+＝2z+2+＝2（z+）+2＝2×2023+2＝4046+2＝4048，
故答案为：4048．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，不等式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
三、解答题（共66分）
17．（6分）解方程：
（1）x2+2x＝0；
（2）2x2﹣6x＝3．
【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x＝0或x+2＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
【解答】解：（1）x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣2；
（2）2x2﹣6x＝3，
2x2﹣6x﹣3＝0，
∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣3）＝4×15＞0，
∴x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
18．（8分）如图，在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图．

（1）如图1，画出一条线段AC，使AC＝AB，C在格点上；
（2）如图2，画出一条线段EF，使EF，AB互相平分，E，F均在格点上；
（3）如图3，以A，B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．
【分析】（1）AB为长方形对角线，作出相等线段即可；
（2）只要保证四边形AFBE是平行四边形即可；
（3）同（2）．
【解答】解：如图：（1）线段AC即为所作，
（2）线段EF即为所作，
（3）四边形ABHG即为所作．

【点评】本题考查作图﹣﹣应用与设计，平行四边形的判定，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
19．（8分）小彬在今年的篮球联赛中表现优异．下表是他在这场联赛中，分别与甲队和乙队各四场比赛中的技术统计．
场次
对阵甲队
对阵乙队
得分
篮板
失误
得分
篮板
失误
第一场
21
10
2
25
17
2
第二场
29
10
2
31
15
0
第三场
24
14
3
16
12
4
第四场
26
10
5
22
8
2
平均值
a
11
2
23.5
13
2
（1）小彬在对阵甲队时的平均每场得分a的值是 　25　分；
（2）小彬在这8场比赛的篮板统计数据中，众数是 　10　，中位数是 　11　；
（3）如果规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.2+平均每场失误×（﹣1），且综合得分越高表现越好．利用这种方式，我们可以计算得出小彬在对阵乙队时的“综合得分”是37.1分．请你比较小彬在对阵哪一个队时表现更好，并说明理由．
【分析】（1）根据平均数的计算方法求解即可；
（2）根据众数，中位数的概念求解即可；
（3）根据“综合得分”的计算方法求出小彬在对称甲队时的得分，然后比较求解即可．
【解答】解：（1）a＝（21+29+24+26）÷4＝25，
∴小彬在对阵甲队时的平均每场得分a的值是25，
故答案为：25；
（2）在这8场比赛的篮板统计数据中，10出现的次数最多，
∴众数是10，
从小到大排列为：8，10，10，10，12，14，15，17，
∴在中间的两个数为10，12，
∴中位数为，
故答案为：10，11；
（3）小彬在对称甲队时的“综合得分”为：25×1+11×1.2+2×（﹣1）＝36.2，
∵36.2＜37.1
∴小彬在对阵乙队时表现更好．
【点评】此题考查了平均数，众数，中位数，加权平均数的计算，解题的关键是熟练掌握以上计算方法．
20．（10分）如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，DF∥BE．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若AC＝8，AB＝6，∠CAB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．

【分析】（1）由平行四边形的性质得CD∥AB，CD＝AB，则∠DCF＝∠BAE，由DF∥BE，得∠CFD＝∠AEB，即可证明△CFD≌△AEB，得DF＝BE，则四边形DEBF是平行四边形；
（2）作CG⊥AB交AB的延长线于点G，因为∠CAB＝30°，所以CG＝AC＝4，则S平行四边形ABCD＝6×4＝24．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴∠DCF＝∠BAE，
∵DF∥BE，
∴∠CFD＝∠AEB，
在△CFD和△AEB中，
，
∴△CFD≌△AEB（AAS），
∴DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
（2）解：作CG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠G＝90°，
∵∠CAB＝30°，AC＝8，AB＝6，
∴CG＝AC＝×8＝4，
∴S平行四边形ABCD＝AB•CG＝6×4＝24，
∴平行四边形ABCD的面积是24．

【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的面积公式等知识，证明△CFD≌△AEB是解题的关键．
21．（10分）某品牌服装店正在销售某一服装，平均每天可售出20件，每件盈利60元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取降价措施，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件服装降价x元，则平均每天的销售数量为多少件？（用含x的式子表示）
（2）当每件服装降价多少元时，该品牌服装店每天的销售利润为2400元？
【分析】（1）由题意即可得出结论；
（2）设每件服装降价x元时，该品牌服装店每天的销售利润为2400元，由每件的销售利润×每天的销售数量＝销售利润，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）若每件服装降价x元，则平均每天的销售数量为（20+2x）件；
（2）设每件服装降价x元时，该品牌服装店每天的销售利润为2400元，
根据题意得：（60﹣x）（20+2x）＝2400，
整理得：x2﹣50x+600＝0，
解得：x1＝20，x2＝30，
∵要求每件盈利不少于35元，
∴x2＝30应舍去，
∴x＝20，
答：当每件服装降价20元时，该品牌服装店每天的销售利润为2400元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（12分）已知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根，且，则称此一元二次方程为三等分根方程，如x2﹣4x+3＝0的两个根分别为x1＝1，x2＝3，其中，则x2﹣4x+3＝0是三等分根方程．
（1）试判断x2﹣8x+11＝0是否为三等分根方程，并说明理由．
（2）若x2+bx+c＝0（b，c均为整数）是三等分根方程，且其中一个根为﹣1，求b，c的值．
（3）若点A（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，且关于x的一元二次方程mx2+nx+2＝0是三等分根方程，求m的值．
【分析】（1）先解方程，然后根据“三等分根方程”的定义进行判断；
（2）根据“三等分根方程”的定义得到方程的另一个根x2＝﹣3或﹣，则根据根与系数的关系得﹣1+x2＝﹣b，﹣x2＝c，当x2＝﹣3时，﹣1﹣3＝﹣b，﹣1×（﹣3）＝c；当x2＝﹣时，﹣1﹣＝﹣b，﹣1×（﹣）＝c，然后分别解方程即可；
（3）先根据一次函数图象上点的坐标特征得到2m+1＝n，再设方程的两根分别为t，3t，利用根与系数的关系得t+3t＝﹣，t•3t＝﹣，消去t整理得12m2﹣20m+3＝0，解方程可得到m的值．
【解答】解：（1）不是．
理由如下：
x2﹣8x+11＝0，
x2﹣8x＝﹣11，
x2﹣8x+16＝﹣11+16，
∴（x﹣4）2＝5，
∴x1＝4+，x2＝4﹣，
∵4+≠3（4﹣），
∴一元二次方程x2﹣8x+11＝0不是三等分根方程；
（2）若x2+bx+c＝0（b，c均为整数）是三等分根方程，其中一个根x1＝﹣1，
∴x2＝﹣3或x2＝﹣，
根据根与系数的关系得﹣1+x2＝﹣b，﹣x2＝c，
当x2＝﹣3时，﹣1﹣3＝﹣b，﹣1×（﹣3）＝c，
解得b＝4，c＝﹣3，
当x2＝﹣时，﹣1﹣＝﹣b，﹣1×（﹣）＝c，
解得b＝，c＝，
即b＝4，c＝﹣3或b＝，c＝；
（3）∵点A（m，n）在函数y＝2x+1的图象上，
∴2m+1＝n，
∵关于x的一元二次方程mx2+nx+2＝0是三等分根方程，
∴设方程的两个根分别为t，3t，
根据根与系数的关系得t+3t＝﹣，t•3t＝﹣，
∴t＝﹣，
∴3（﹣）2＝﹣，
整理得12m2﹣20m+3＝0，
解得m1＝，m2＝，
∵Δ＝n2﹣8m＝（2m+1）2﹣8m＝（2m﹣1）2≥0，
∴方程一定有实数解，
∴m的值为或．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程的解和一次函数图象上点的坐标特征．
23．（12分）如图，在▱ABCD中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，AD＝8cm，点P从点A开始以1cm/s的速度匀速向D点运动，点F从点C开始以3cm/s的速度匀速沿射线CB运动．连接PF，记AP＝x．
（1）①BF＝　8﹣3x或3x﹣8　（用含x的式子表示）；
②若PF⊥BC，求x的值．
（2）若以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形，请求出x的值．
（3）当点P关于直线AF对称的点恰好落在直线AB上，请求出x的值．

【分析】（1）①设运动的时间为ts，则AP＝x＝tcm，CF＝3tcm，可知CF＝3AP＝3x，由平行四边形的性质得BC＝AD＝8cm，当点F在边CB上，则BF＝8﹣3x；当点F在边CB的延长线上，则BF＝3x﹣8，于是得到问题的答案；
②取BC的中点Q，连接AQ，则BQ＝CQ＝4cm，可证明∠ACB＝∠ABC＝45°，则AB＝AC，所以AQ⊥BC，当PF⊥BC时，则四边形APFQ是矩形，所以AP＝FQ，则x＝4﹣3x，解得x＝1；
（2）当平行四边形ABFP以AB为一边，则点F在线段BC上，且AP＝BF，所以x＝8﹣3x，解得x＝2；当平行四边形AFBP以AB为对角线，则点F在线段CB的延长线上，且AP＝BF，所以x＝3x﹣8，解得x＝4；
（3）先根据勾股定理求得AB＝4cm，设点P关于直线AF的对称点为点G，当点G落在线段AB上，连接PG，则AF垂直平分PG，所以AG＝AP，可推导出∠BAF＝∠BFA，则FB＝AB，所以8﹣3x＝4；当点G落在线段BA的延长线上，连接PG交FA的延长线于点H，由AF垂直平分PG，得AG＝AP，可推导出∠BAF＝∠BFA，则FB＝AB，所以3x﹣8＝4，解方程求出相应的x的值即可．
【解答】解：（1）①设运动的时间为ts，则AP＝x＝tcm，CF＝3tcm，
∴CF＝3AP＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8cm，
当点F在边CB上，则BF＝8﹣3x；
当点F在边CB的延长线上，则BF＝3x﹣8，
故答案为：8﹣3x或3x﹣8．
②如图1，取BC的中点Q，连接AQ，则BQ＝CQ＝BC＝4cm，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AB＝AC，
∴AQ⊥BC，
∵AD∥BC，
∴∠PAQ＝∠AQB＝90°，
∵PF⊥BC，
∴∠PAQ＝∠AQC＝∠PFQ＝90°，
∴四边形APFQ是矩形，
∴AP＝FQ，
∴x＝4﹣3x，解得x＝1，
∴x的值是1．
（2）当平行四边形ABFP以AB为一边，如图2，则点F在边CB上，且AP＝BF，
∴x＝8﹣3x，解得x＝2；
当平行四边形AFBP以AB为对角线，如图3，则点F在边CB的延长线上，且AP＝BF，
∴x＝3x﹣8，解得x＝4，
综上所述，x的值是2或4．
（3）∵AB＝AC，BC＝8cm，∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝2AB2＝BC2＝82，
∴AB＝4cm，
设点P关于直线AF的对称点为点G，
当点G落在线段AB上，如图4，连接PG，则AF垂直平分PG，
∴AG＝AP，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵∠DAF＝∠BFA，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴FB＝AB，
∴8﹣3x＝4，解得x＝；
当点G落在线段BA的延长线上，如图5，连接PG交FA的延长线于点H，则AF垂直平分PG，
∴AG＝AP，
∴∠GAH＝∠PAH，
∵∠GAH＝∠BAF，∠PAH＝∠BFA，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴FB＝AB，
∴3x﹣8＝4，解得x＝，
综上所述，x的值是或．





【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、平行线的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．