2022-2023学年江苏省无锡市锡山区天一实验中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省无锡市锡山区天一实验中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  已知三角形的两边长分别为和，则该三角形第三边的长不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  给出下列个命题：垂线段最短；互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；同旁内角相等，两直线平行；同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中真命题的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  关于的多项式展开后，如果常数项为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若，那么代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  医护人员身穿防护服，化身暖心“大白”到某校进行核酸检测．若每名“大白”检测人，则有一名“大白”少检测人；若每名“大白”检测人，则余下人．设该校共有师生人，有名“大白”来学校检测，根据题意，可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  各图的中，正确画出边上的高的图形是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  次数学活动中，检验两条纸带、的边线是否平行，小明和小丽采用两种不同的方法：小明对纸带沿折叠，量得小丽对纸带沿折叠，发现与重合，与重合则下列判断正确的是(    )

A. 纸带的边线平行，纸带的边线不平行
B. 纸带、的边线都平行
C. 纸带的边线不平行，纸带的边线平行
D. 纸带、的边线都不平行

10.  如图，在三角形纸片中，将三角形纸片沿折叠，使点落在所在平面内的点处．若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11.  “墙角数枝梅，凌寒独自开．遥知不是雪，为有暗香来．”出自宋代诗人王安石的梅花梅花的花粉直径约为，用科学记数法表示该数据为______．

12.  若，，则　　．

13.  一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______．

14.  若是方程的解，则的值是______ ．

15.  若，，则______．

16.  如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则______

17.  如图，在中有两个内角相等，且是的角平分线，，若，则 ______

18.  如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共74.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
；
；
．

20.  本小题分
因式分解：
；
．

21.  本小题分
解方程组：
；
．

22.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

23.  本小题分
如图，在中，点、分别在，上，且，．
求证：；
若平分，，求的度数．

24.  本小题分
如图，在每个小正方形边长为的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点根据下列条件，利用格点和三角尺画图：
补全；
请在边上找一点，使得线段平分的面积，在图上作出线段；
利用格点在图中画出边上的高线；
找要求各顶点在格点上，不与点重合，使其面积等于的面积满足这样条件的点共______ 个

25.  本小题分
观察下列式子：





请你按此规律再写出一组算式并计算出结果；
探索以上式子的规律，试写出第个等式；
请验证中的等式的正确性．

26.  本小题分
某校组织师生外出进行社会实践活动，打算租用某汽车租赁公司的客车，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，则可载人；如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，则可载人．
请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？
若该校有名师生，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位，出发前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租座、座和座的大小三种客车三种车都有租，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？

27.  本小题分
【概念认识】在四边形中，，如果在四边形内部或边上存在一点，满足，那么称点是四边形的“映角点”．
【初步思考】
如图，在四边形中，，点在边上且是四边形的“映角点”，若，，则的度数为______ ；
如图，在四边形中，，点在四边形内部且是四边形的“映角点”，延长交边于点，求证：．
【综合运用】在四边形中，，点是四边形的“映角点”，、分别平分、，当和所在直线相交于点时，请直接写出与满足的关系式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据同底数幂的除法判断选项；根据合并同类项判断选项；根据幂的乘方与积的乘方判断选项；根据积的乘方和同底数幂的乘法判断选项．
本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，掌握，是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：三角形的两边长分别为和，
第三边的长，
故该三角形第三边的长不可能是．
故选：．
直接利用三角形三边关系得出第三边长的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了三角形三边关系，关键是熟记三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边．
 

3.【答案】 

【解析】解：垂线段最短，正确，是真命题；
互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角，错误，是假命题；
同旁内角互补，两直线平行，故错误，是假命题；
同旁内角的两个角的平分线互相垂直，错误，是假命题，
真命题有个，
故选：．
利用垂线的定义、互补的定义、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂线的定义、互补的定义、平行线的性质等知识，难度不大．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故A不合题意；
B、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、，是整式的乘法，故C不合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；
故选：．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．
 

5.【答案】 

【解析】解：

，
常数项为，
，
解得：．
故选：．
利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，再结合条件可求的值．
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是运算时注意符号的变化．
 

6.【答案】 

【解析】解：

，
，
，
原式．
故选：．
由已知条件求得的值，再化简原式，把代数式转化成的形式，最后整体代入求值即可．
本题主要考查了求代数式的值，平方差公式，整体思想，解题的关键是把代数式化成的形式．
 

7.【答案】 

【解析】解：每名“大白”检测人，则有一名“大白”少检测人，
；
每名“大白”检测人，则余下人，
．
可列方程组．
故选：．
根据“每名“大白”检测人，则有一名“大白”少检测人；每名“大白”检测人，则余下人”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、图中不是边上的高，本选项不符合题意；
B、图中是边上的高，本选项符合题意；
C、图中不是边上的高，本选项不符合题意；
D、图中不是边上的高，本选项不符合题意；
故选：．
根据三角形的高的概念判断即可．
本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平行线的判定以及翻折变换的性质，正确掌握翻折变换的性质是解题关键．
直接利用翻折变换的性质结合平行线的判定方法得出答案．
【解答】
解：如图所示：

，
，
，
，
纸带的边线不平行；
如图所示：与重合，与重合，
，，
，
纸带的边线平行．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：根据折叠，可得，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据折叠的性质可得，，进一步可得的度数，根据三角形的内角和定理可得的度数，即可求出的度数．
本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：当，时，





．
故答案为：．
利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据边形的内角和为解答．
根据内角和定理即可求得．
【解答】
解：多边形的内角和公式为，
，
解得，
这个多边形的边数是．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：将代入原方程得：，
解得：，
的值是．
故答案为：．
将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
原式，
故答案为：．
利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：是中的平分线，是的外角的平分线，，，
，，
．
故答案为：．
根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出的度数．
本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
 

17.【答案】或 

【解析】解：，，
设，，则：，，
，
，，
是的角平分线，
，
当时，由题意得：．
，
，
当时，由题意得：
．
．
故答案为：或．
通过角的关系设未知数建立方程求解．
本题考查三角形的内角和，用字母表示三角形的内角，建立方程求解是求解本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，
，
，
，
，
同理，，
，
．
故答案为：．
连接，由于，得到，由，于是得到，同理，，然后根据面积的和差即可得到结论．
本题考查了三角形的面积，熟知同高三角形的面积的比等于底的比是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；



；


；



． 

【解析】先算负整数指数幂，零指数幂，绝对值，再算加减即可；
先算幂的乘方与积的乘方，再算整式的除法，最后合并同类项即可；
利用多项式乘多项式的法则进行运算即可；
先算完全平方，平方差，再去括号，最后合并同类项即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：

；



． 

【解析】直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
 

21.【答案】解：，
将代入中，得，
解得，
将代入；
原方程组的解为；
，
得，，
解得，
将代入中，得，，
解得，
原方程组的解为． 

【解析】将代入中，消去未知数，求出未知数，再把的值代入求出即可；
，可消去未知数，求出未知数，再把的值代入求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：


，
当，时，原式


． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
平分，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可；
根据平行线的性质得出，求出，根据角平分线的定义求出即可．
本题考查了三角形内角和定理及平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图所示，即为所求．
如图所示，线段即为所求；
如图所示，即为所求；
如图所示，满足这样条件的点共个．
故答案为：．
根据平移的概念分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可；
作边上的中线即可；
根据三角形的高的概念求解即可；
结合网格特点求解即可．
本题主要考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质．
 

25.【答案】解：，，，，
．
由得第个式子为：．
当时，即，
当时，即，
验证可得规律正确；
下面证明：
等式的左边，
等式的右边
左边右边，
所以总结的规律正确． 

【解析】由题干提示的信息可得第一个数为从开始的奇数，第二个数为从开始的奇数，第三个数是与一列奇数从开始之积，等式的右边为从开始的奇数的平方，从而可得答案；
根据的发现，再总结即可；
把等式的左边与等式的右边按照整式的乘法进行计算，再比较计算的结果可得结论．
本题考查的是数的运算规律的探究，平方差公式，完全平方公式的应用，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结规律并运用规律”是解本题的关键．
 

26.【答案】解：设甲种客车每辆能载客人，乙种客车每辆能载客人，
由题意得：，
解得：，
答：甲种客车每辆能载客人，乙种客车每辆能载客人；
设同时租座、座和座的大小三种客车分别为辆、辆、辆，
根据题意得：，
整理得：，
、为正整数，
，
则，
答：租车方案为：租座的客车辆，座的客车辆，座的辆． 

【解析】设甲种客车每辆能载客人，乙种客车每辆能载客人，由题意：租用甲种客车辆，乙种客车辆，则可载人；如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，则可载人．列出二元一次方程组，解方程组即可；
设同时租座、座和座的大小三种客车分别为辆、辆、辆，由题意：该校有名师生，旅行社只能安排名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，所租的三种客车的座位恰好坐满，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

27.【答案】 

【解析】解：根据题意可知，
，
，
，
，
，
是的外角，
，
，
，
故答案为：．
证明：，，
，
，
而，
．
综合运用：解：如图，当时，延长交于点，

，
由知，
设，，
，
，
，
，
，
，
即；
当时，

，
由可知，，
设，，
，
则，，
，
，
，
．
根据题意可知，若，，可以得到，由是的外角，可得，则的度数可求；
四边形中，，而，所以；
综合运用：利用图或图根据题意作出图形都可以求出与的关系．
本题属于四边形综合题，考查了多边形的内角与外角，解题的关键是熟练运用三角形外角的性质．