2022-2023学年福建省福州市鼓楼区三牧中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市鼓楼区三牧中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  要使二次根式有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，若，则(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

3.  下列二次根式中是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图象中，不是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知正比例函数图象上有两点、，且，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

6.  如图，在▱中，平分，交于点，若，，则▱的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将直线向下平移个单位长度后得到的函数解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列命题中正确的是(    )

A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

9.  定义运算：，例如：，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在平面直角坐标系中，直线过定点，过点作直线轴交直线于点，连接，若平分，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  求值：           ．

12.  点在一次函数的图象上，则的值为______ ．

13.  已知关于，的一次函数的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么的取值范围是______．

14.  如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则______．

15.  如图，已知点为矩形纸片的边上一点，将纸片沿折叠，点的对应点恰好在线段上，若，，则 ______ ．

16.  如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数的图象上，从左向右第个正方形中的一个顶点的坐标为，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为，，，，，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
．
．

18.  本小题分
已知，求代数式的值．

19.  本小题分
如图，在矩形中，点，分别在边，上．且求证：四边形是平行四边形．
 

20.  本小题分
已知与成正比例，当时，．
求与之间的函数解析式．
在所给直角坐标系中画出函数图象．
此函数图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，若，请直接写出点的坐标．

21.  本小题分
如图，已知，，．
求的长；
求的面积．
 

22.  本小题分
在购买某场足球赛门票时，设购买门票为张，总费用为元现有两种购买方案：
方案一：若单位赞助广告费元，则该单位所购门票的价格为每张元；总费用广告赞助费门票费
方案二：总费用元与购买门票张的函数关系如图所示．
解答下列问题：
方案一中，与的函数关系式为______ ．
方案二中，当时，与的函数关系式为______ 当时，与的函数关系式为______ ．
如果购买本场足球赛门票超过张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由．

23.  本小题分
如图，已知．
尺规作图：作平行四边形；保留作图痕迹，不写作法
在所作的平行四边形中，连接，交于点．
若，，，求的长；
过点作直线与边，分别交于点，，设四边形的面积为，平行四边形的面积为，求：的值．
 

24.  本小题分
如图，四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标是，点坐标是，矩形沿直线折叠，点落在边上的处，、分别在、上，直线解析式为，点的坐标是．
求出的值；
若直线平行于直线，交轴于点，求直线的解析式；
点在轴上，直线上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
已知，，点为射线上一动点不与点重合，关于的轴对称图形为．

如图，当点在射线上时，求证：四边形是菱形；
如图，当点在射线，之间时，若点为射线上一点，点为中点，连接，，，
求证：为直角三角形；
求的长；
如图，在的条件下，若，点，分别是线段，上的两点，且，，点为射线上一动点，是否存在最小值若存在，请直接写出的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
由勾股逆定理即可得到答案．
本题主要考查了勾股逆定理，解决本题的关键是熟悉三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：．，不是最简二次根式，不合题意；
B.，不是最简二次根式，不合题意；
C.，不是最简二次根式，不合题意；
D.是最简二次根式，符合题意．
故选：．
直接利用最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，分别判断即可．
此题主要考查了最简二次根式，正确掌握最简二次根式的定义是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：函数必须对于的每一个取值，都有唯一确定的值，
选项B不符合函数的定义．
故选：．
根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定选项A、、都是符合定义的，唯独选项B不符合定义．
此题用图象形式考查了函数的定义，关键是能准确把握函数的定义并能数形结合．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
随的增大而减小，
，
．
故选：．
根据可知随的增大而减小，由此可得与的大小关系．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：平分，
，
又四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
平行四边形的周长，
故选：．
首先根据角平分线的性质可得，再根据是平行四边形，进而证明出，利用平行线的性质可得到，进而得到，根据等角对等边可得结论．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是熟练掌握平行四边形的对边平行且相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：将直线向下平移个单位，得，即，
故选：．
根据函数的平移规律“上加下减”，可得答案．
本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律：上加下减，左加右减是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原命题是假命题；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
故选：．
根据矩形和平行四边形的判定判断即可．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接利用已知运算规律，进而代入计算即可．
此题主要考查了实数运算，正确运用运算公式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理的应用等，表示出、的坐标是解题的关键．
根据题意证明，则，即可根据勾股定理得到关于的方程，解方程即可．
【解答】
解：过点作直线轴交直线于点，
点，
设直线与轴交于点，令，则，即点，如图，
平分，
，
，
，
，
则，
即，
解得：．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
根据算术平方根的定义，即可解答．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：把点代入中，
得：，
．
故答案为：
将点的坐标代入函数关系式，解出方程的解即可．
本题考查了一次函数上的点的坐标的求法，正确的解出方程是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，
，
．
故填空答案：．
根据题意得，然后解不等即可得到的取值范围．
此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，要求学生能够根据，的符号正确判断直线所经过的象限．
 

14.【答案】 

【解析】解：、分别为、的中点，
，
，点为的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
由、分别为、的中点，得，再根据，点为的中点，得，从而得出答案．
本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：将纸片沿折叠，点的对应点恰好在线段上，
≌，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在中，，
，

故答案为：
由折叠的性质可得，，，根据矩形的性质和勾股定理可求的长．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：的坐标为，
，点的横坐标为，
点的纵坐标为，
第个正方形的边长是，
同理可得第个正方形的边长为，
第个正方形的边长为，
阴影部分面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积，
，
故答案为：．
根据直线解析式判断出直线与正方形的边围成的三角形是底是高的倍，再根据的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表示出第个正方形的边长，然后根据阴影部分面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．
本题考查一次函数得到规律问题，正方形的性质，观察并寻找规律是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】根据二次根式的混合计算法则求解即可；
根据平方差公式和零指数幂的计算法则去括号，然后计算加减法即可．
本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂，平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，






． 

【解析】先对进行分母有理化求出，再把所求式子变形为，再把整体代入求解即可．
本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确求出并把所求式子变形为是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是矩形，
即，，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】本题考查了矩形的性质和平行四边形的判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
根据矩形的性质得出，，推出，，推出，根据平行线的判定得出，再根据平行四边形的判定推出即可．
 

20.【答案】解：与成正比例，
设，
当时，，
，
解得，
，
函数关系式为：；

当时，，
当时，，解得，
所以，函数图象经过点，，
函数图象如图：


点在轴上，若，
，
由图象得：或． 

【解析】根据正比例的定义设，然后把已知数据代入进行计算求出值，即可得解；
利用描点法法作出函数图象即可；
根据三角形面积可知，由图象可得结论．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象的作法，根据正比例的定义设出函数表达式是解题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
，
，
的长为；
，，
，
是直角三角形，
，
的面积，
的面积为． 

【解析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，从而可得，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
 

22.【答案】     

【解析】解：方案一中，与的函数关系式为：，
方案二中，当时，设，
将代入得，，
与的函数关系式为：，
当时，设，
将，代入得，
，，
与的函数关系式为：．
由得，，
当时，方案一、二均可．
由得，，
当时，选择方案二，使总费用最省．
由得，．
当时，选择方案一，使总费用最省．
由题意可直接写出方案一的函数关系式，根据待定系数法求出方案二的函数关系式．
根据题意列出一元一次方程和一元一次不等式，分情况讨论即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的实际应用，熟练掌握待定系数法，学会分类讨论是解题关键．
 

23.【答案】解：如图所示，▱即为所求；

如图，

四边形是平行四边形，，
，，
，，
，
；
如图，

四边形是平行四边形，
，，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
≌，
，
，
，
：． 

【解析】本题考查了作图复杂作图，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质，基本作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．
分别以、为圆心，、为半径画弧，两弧交于点，连接、，即可得到平行四边形；
由平行四边形的性质得出，，由勾股定理得出，即可求出；
先证明≌，得出，即可得出，再证明≌，得出，得出，进而得出，即可得出：．
 

24.【答案】解：直线解析式为，点的坐标是，
，
，
直线解析式为，
的值为．

点坐标是，点的坐标是，
，，，
矩形沿直线折叠，点落在边上的处，
，，，
，
，
，
直线平行于直线，
设直线解析式为，
，
，
直线解析式为．

若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：
如图所示，为平行四边形的一边，且点在轴正半轴上，
过点作轴于点，延长交轴于点，设，
，
，，
，
四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
点的纵坐标：，
直线解析式为，
点的横坐标：，
；

如图所示，为平行四边形的一边，且点在轴负半轴上，
过点作轴于点，延长交轴于点，设，
，
，，
，
四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
点的纵坐标：，
直线解析式为，
点的横坐标：，
；

如图所示，为平行四边形的对角线，
过点作延长线的垂线，垂足为，设，
，
，，
，
四边形为矩形，点在轴上，点在轴上，
，，
，，
，
在和中，，
≌，
，
点的纵坐标为：，
直线解析式为，
点的横坐标为：，
；
综上所述，存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
 

【解析】将点的坐标代入直线解析，即可得出结论；
根据直线平行于直线，可设直线解析式，利用折叠的性质和勾股定理确定，再代入即可；
本问关键是确定平行四边形的位置与形状．因为、均为动点，只有已经确定，所以可从此入手，按照为平行四边形的一边、为平行四边形的对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状．确定平行四边形的位置与形状之后，利用全等三角形求得点的纵坐标，再利用直线解析式求出点的横坐标，从而求得点的坐标．
本题考查直角坐标系中一次函数与平面图形的性质，待定系数法求一次函数直线解析式，矩形，平行四边形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等知识点．难点在于第问，这是一个存在性问题，注意平行四边形有三种可能的情形，需要一一分析并求解，避免遗漏．根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

25.【答案】证明：由翻折得：，，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
证明：如图，设与交于，

由得：，，
是的中点，
，
，
，
是直角三角形．
解：由得：，，，
设，则有，
在中：，
在中：，
，
解得：，
，
．
解：存在．
作点关于的对称点，交与，连接交于，连接，此时，最短，即的值最小，

四边形是菱形，，
，，是等边三角形，
在中：，
是的中点，
，
、、三点共线，
，，
，
，
在中：，
的值最小是． 

【解析】根据翻折的性质可得，，，再证出，即可得证；
设与交于，由得：，可证，从而可以得证；
设，在和中，用勾股定理列出方程即可求解；
作点关于的对称点，交于，连接交与，连接，此时，最短，即的值最小，根据等腰三角形“三线合一”可证、、三点共线，即可求解．
本题主要考查了翻折的性质，菱形的判定及性质，勾股定理，三角形的中位线定理，等腰三角形“三线合一”性质，动点所产生的线段和最短等知识，掌握相关的性质及判定方法，动点最值模型找出最小值的位置是解题的关键．