2022-2023学年广东省广州市华南师大附中八年级（下）期中数学试卷（B卷）（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州市华南师大附中八年级（下）期中数学试卷（B卷）（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市华南师大附中八年级（下）期中数学试卷（B卷）一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下面二次根式是最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，3.  下列计算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知平行四边形相邻两边的长度之比为：，周长为，则平行四边形中较长一边的长为(    )A.  B.  C.  D. 5.  下列命题是真命题的是(    )A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 四个角相等的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形6.  如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点．连接，，，且，，则的长是(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  当时，代数式的值是(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长度为(    )
 A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共2小题，共8.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  下列说法正确的有(    )A.  B.
C.  D. 10.  在平行四边形中，，，点为中点，连接、，下列结论正确的有(    )
 A.  B.
C.  D. 三、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  使得二次根式在实数范围内有意义的的取值范围是______．12.  在中，，，，则的长是        ．13.  已知，，化简 ______ ．14.  如图，在菱形中，、分别在、上，且，与交于点，连接，若，则的度数为______ ．

 15.  我们规定运算符号“”的意义是；当时，；当时，，其它运算符号的意义不变，计算： ______ ．16.  我国古代数学家刘徽将勾股形古人称直角三角形为勾股形分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，，，则正方形的面积是______ ．
 四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算：
；
．18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．19.  本小题分
如图，在▱中，过点作于点，点在边上，，连接，．
求证：四边形是矩形．
已知，是的平分线，若，则▱的面积为______ ．
20.  本小题分
如图，、两个村子在笔直河岸的同侧，、两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂向、两村输送自来水，要求水厂到、两村的距离之和最短．
在图中作出水厂的位置要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
求水厂到、两村的距离之和的最小值．
21.  本小题分
已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
在中，已知，，，求的面积；
计算中的边上的高．22.  本小题分
如图，在四边形中，，，是上一点，交于，连接．
证明：；
若，试证明四边形是菱形；
在的条件下，试确定点的位置，使得，并说明理由．
23.  本小题分
我们将与称为一对“对偶式”可以应用“对偶式”求解根式方程比如小明在解方程时，采用了如下方法：
由于，
又因为，所以，由可得，
将两边平方解得，代入原方程检验可得是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：
若的对偶式为，则 ______ ；直接写出结果
方程的解是______ ；直接写出结果
解方程：．24.  本小题分
已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．

如图，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
如图，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，求当运动时间为多少秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
如图，在的条件下，连接并延长与的延长线交于点，连接，若，则的面积是______直接写出结果
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、，故不是最简二次根式，故不合题意；
B、符合最简二次根式的定义，故符合题意；
C、，故不是最简二次根式，故不合题意；
D、，故不是最简二次根式，故不合题意．
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式即可求出答案．
本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：、，故是直角三角形，故此选项不合题意；
B、，故是直角三角形，故此选项不合题意；
C、，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、，故是直角三角形，故此选项不合题意．
故选C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 3.【答案】 【解析】解：、与不能合并，所以选项错误；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项正确；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的性质对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 4.【答案】 【解析】解：平行四边形相邻两边的长度之比为：，
设平行四边形的两邻边为分别为和，
周长为，
，
解得，，
，
故平行四边形较长边为，
故选：．
设平行四边形的两邻边为分别为和，根据平行四边形的周长公式列出方程解答便可．
本题主要考查平行四边形的性质，平行四边形的周长公式，方程思想，关键是根据平行四边形的周长公式列出方程．
 5.【答案】 【解析】解：、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是梯形，故为假命题；
B、四个角相等的四边形是矩形，故为假命题；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故为假命题；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故为真命题；
故选：．
利用平行四边形、矩形、菱形的判定方法分别判断，即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形的判定方法，难度不大．
 6.【答案】 【解析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理求得长度，再利用直角三角形斜边上的中线求得长度，即可得到结论．
解：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
，
故选：．
 7.【答案】 【解析】【分析】
将的值代入原式计算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则及完全平方公式．
【解答】
解：当时，
原式




，
故选：．  8.【答案】 【解析】解：设，由折叠的性质可得，
是的中点，
，
在中，，
解得：．
故线段的长为．
故选：．
设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解．
此题考查了翻折变换折叠问题，折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
 9.【答案】 【解析】解：、，故错误，不合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：．
利用负指数幂，二次根式的性质，立方根的性质以及分母有理化法则化简即可．
此题主要考查了负指数幂，二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
 10.【答案】 【解析】解：如图，延长交的延长线于，取的中点，连接．

在平行四边形中，，，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，故A正确，符合题意，
，
，故C正确，符合题意；
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，，，
，
，
，故D正确，符合题意，
同理，四边形是菱形，
不是的平分线，即，
若，
，
，
，又，
，即，
四边形是菱形，
，
，矛盾，故B错误，不合题意．
故选：．
延长交的延长线于，取的中点连接想办法证明，，四边形是菱形即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 11.【答案】 【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，解得．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：，，，
，
故答案为：．
根据勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理的应用，掌握在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：，，
，
故答案为：．
利用二次根式的乘法法则和性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键，难度适中．
 14.【答案】 【解析】解：四边形为菱形，
，，
，，
在和中，

≌，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据菱形的性质以及，利用可得≌，可得，然后可得，继而可求得的度数．
本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
 15.【答案】 【解析】解：，，



故答案为：．
根据已知法则将原式化简进而求出即可．
此题主要考查了新定义运算，二次根式的加减运算，正确利用已知运算符号化简是解题关键．
 16.【答案】 【解析】解：设正方形的边长为，
，，
，，
在中，，
即，
整理得，，
解得：，或舍去，
，
即正方形的边长是，面积是．
故答案为：．
设正方形的边长为，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于的方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理，正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
 17.【答案】解：


；



． 【解析】将括号展开，计算除法，最后合并；
利用平方差公式展开，再算乘方和乘法，最后合并．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 18.【答案】解：




，
当时，原式． 【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 19.【答案】 【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
且，
四边形是平行四边形，
又，
，
平行四边形是矩形；
解：，，，
，
，，
由得：四边形是矩形，
，，
平分，
，
，
▱的面积．
故答案为：．
先证四边形是平行四边形，再由，可得结论；
由含角的直角三角形的性质得，，再由矩形的性质得，，然后求出，即可求解．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键．
 20.【答案】解：如图所示：点即为水厂的位置；

如图，作出以为斜边的直角，
由可知：，
由题意可得：，，，
，，，
水厂到、两村的距离之和的最小值为，
 【解析】延长，取，再连接，与交于点即可；
作出以为斜边的直角，求出直角边，利用勾股定理求出结果．
本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点关于的对称点是确定建水厂位置的关键．
 21.【答案】解：，，，
，，，，
的面积．
设边上的高为，
底边长高，
解得．
边上的高是． 【解析】由三角形的边角命名找出、、的值，代入海伦公式即可得出结论；
由三角形的面积底高，代入数据，即可得出结论．
本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明白海伦公式的运用，代入数据即可．
 22.【答案】证明：在和中，
，
≌，
．
证明：，
，
，
，
，
，
四边形是菱形．
解：当时，，
理由：≌，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
． 【解析】先由，，，根据“三边分别相等的两个三角形全等”证明≌，则；
由得，而，所以，则，所以，即可根据“四条边都相等的四边形是菱形”证明四边形是菱形；
先由，证明，再证明≌，得，当时，则，即可根据“等角的余角相等”证明，所以．
此题重点考查菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等角的余角相等、等腰三角形的判定等知识，证明≌及≌是解题的关键．
 23.【答案】   【解析】解：的对偶式为，
；
故答案为：；
，
，
，得：，
；
故答案为：．
，
，
，
得：，
，
．
由定义直接可得答案；
求出，根据已知得到，两式相加可得，再求解即可；
同的方法求解即可．
本题考查二次根式，平方差公式，涉及新定义，无理方程等知识，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．
 24.【答案】 【解析】解：如图，四边形是平行四边形，
，
，
，
；
，
，
，
是等边三角形，
，
．
如图，设点运动的时间为，由题意得，，，
由，得，可知点到达点的时间为秒；
由，可知点从点开始在上运动两个往返；
，
以，，，四点组成的四边形是平行四边形的条件是；
当时，，，可知，即不存在的情况；
当时，由题意得，，解得；
当时，由题意得，，解得；
当时，由题意得，，解得．
综上所述，当运动的时间为秒或秒或秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
如图，作于点，
，
，，
，
，
同理，，
，
，
由得，是等边三角形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质、角平分线的定义和，可证明是等边三角形，从而求出的度数；
由题意可知，点到达点需要秒，此时点在边上运动两个往返，以，，，四点组成的四边形是平行四边形的条件是，根据这一相等关系列方程即可求出运动的时间；
根据等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半可推得与面积相等，通过求面积可求得的面积．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、用转化法求三角形的面积、动点问题的求解等知识与方法，其中第题要分类讨论，求出所有符合题意的值，此题难度不大，但涉及的知识点较多，是很好的习题．