2022-2023学年浙江省杭州十五中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州十五中教育集团八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  二次根式中字母的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  用反证法证明：“若，，则”，应先假设(    )

A. 与不平行 B. 与平行
C. 与平行，且与平行 D. 与不平行，且与不平行

3.  下列各式中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  六边形的内角和等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

6.  已知一元二次方程有两个实数根，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若数组，，、，的平均数为，则这组数中的(    )

A.  B. 中位数为 C. 众数为 D. 方差为

8.  下列关于平行四边形的说法正确的是(    )
平行四边形既是轴对称图形也是中心对称图形；
平行四边形的对边相等，对角互补；
平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形具有不稳定性．

A.  B.  C.  D.

9.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知，中，，，平分，，垂足为，为中点，连结，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  一元二次方程的解是______．

12.  已知，为实数，且，则 ______ ．

13.  如图，平行四边形的对角线交于点，且，的周长为，则平行四边形的两条对角线的和是______ ．

14.  某公司月份的营业额为万，月份的营业额为万，已知、月的增长率相同，则增长率为______ ．

15.  如图，已知四边形中，，，，点、分别是边、的中点，连接，则的长是______ ．

16.  已知代数式，，．
若，，为正整数，且，则、、的大小关系为______ ；
若，且为方程的一个实根，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程：
；
．

18.  本小题分
如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请按要求画图．

如图，画出一条线段，使，在格点上；
如图，画出一条线段，使，互相平分，，均在格点上；
如图，以，为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．

19.  本小题分
小彬在今年的篮球联赛中表现优异下表是他在这场联赛中，分别与甲队和乙队各四场比赛中的技术统计．

小彬在对阵甲队时的平均每场得分的值是______ 分；
小彬在这场比赛的篮板统计数据中，众数是______ ，中位数是______ ；
如果规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好利用这种方式，我们可以计算得出小彬在对阵乙队时的“综合得分”是分请你比较小彬在对阵哪一个队时表现更好，并说明理由．

20.  本小题分
如图，，是▱的对角线上两点，．
求证：四边形为平行四边形；
若，，，求平行四边形的面积．

21.  本小题分
某品牌服装店正在销售某一服装，平均每天可售出件，每件盈利元为了扩大销售、增加盈利，该店采取降价措施，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
若每件服装降价元，则平均每天的销售数量为多少件？用含的式子表示
当每件服装降价多少元时，该品牌服装店每天的销售利润为元？

22.  本小题分
已知，是一元二次方程的两个实数根，且，则称此一元二次方程为三等分根方程，如的两个根分别为，，其中，则是三等分根方程．
试判断是否为三等分根方程，并说明理由．
若均为整数是三等分根方程，且其中一个根为，求，的值．
若点在函数的图象上，且关于的一元二次方程是三等分根方程，求的值．

23.  本小题分
如图，在▱中，，，，点从点开始以的速度匀速向点运动，点从点开始以的速度匀速沿射线运动连接，记．
______ 用含的式子表示；
若，求的值．
若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出的值．
当点关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据二次根式有意义的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：反证法证明：“若，，则”，先假设与不平行，
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

3.【答案】 

【解析】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：六边形的内角和是．
故选：．
根据边形的内角和可以表示成，即可求得六边形的内角和．
本题考查了对于多边形内角和定理的识记．
 

5.【答案】 

【解析】解：把代入方程，得，
解得：或，
当时，此方程不是关于的一元二次方程，
故．
故选：．
把代入方程，解方程即可求解．
本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程的定义，讨论当时，此方程不是关于的一元二次方程是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据根与系数的关系得．
故选：．
直接根据根与系数的关系得即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据平均数的定义可知，，故选项A不符合题意；
这组数按照从小到大排列是：，，，，，
这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是，这组数据的中位数是，故选项B符合题意；
众数是和，故选项C不符合题意；
方差为，故选项D不符合题意．
故选：．
根据平均数的定义可以先求出的值，进而就可以确定这组数的中位数、众数和方差即可得到正确的选项．
此题考查了平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的定义和计算方法是关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故原说法错误；
平行四边形的对边相等，对角相等，故原说法错误；
平行四边形的对角线互相平分，说法正确；
平行四边形具有不稳定性，说法正确．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的定义以及平行四边形的性质，即可求出答案．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后和原图形重合．
 

9.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
且，
整数的最小值为，
故选：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，延长与相交于点，过点作于，

，
，
平分，
，
，
，
，
为中点，
是的中位线，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
由勾股定理得：，
，即，
．
故选：．
延长与相交于点，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，用三角形的中位线定理可得，确定的长，并计算的长，由面积法可得和的长，最后由面积法可得结论．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，作辅助线构造出以为中位线的三角形是解题的关键．
 

11.【答案】， 

【解析】解；，
两边直接开平方得：
，
，，
故答案为：，．
利用直接开平方法，将方程两边直接开平方即可．
此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；同号且；；同号且法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为，再开平方取正负，分开求得方程解”．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，得且，
所以．
所以．
所以．
故答案为：．
根据二次根式的定义，得到且，解不等式得到的值；把代入求得的值；然后将、的值代入计算得到答案．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是做题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长为，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质可得，，，再由的周长为可得，进而可得．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等．角：平行四边形的对角相等．对角线：平行四边形的对角线互相平分．
 

14.【答案】 

【解析】解：设该公司、两个月营业额的月均增长率为，
根据题意得，，
解得，，舍去，
所以，增长率为．
故答案为：．
根据该公司、两个月营业额的月均增长率为，结合月、月营业额即可得出关于的一元二次方程，解此方程即可得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接、，

、分别是边、的中点，
且，
且，
，
，
．
故答案为：．
取的中点，连接、，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出、，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：，
，
，
，
，
，，为正整数，，
，
，
故答案为：；
当时，，，，
为方程的一个实根，
，
，
，
，
故答案为：．
利用不等式的性质，进行计算即可解答；
把分别代入、、中进行计算，再根据一元二次方程的解的意义可得，从而可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，不等式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
，
，，，
，
，
，． 

【解析】先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
 

18.【答案】解：如图：线段即为所作，
线段即为所作，
四边形即为所作．
 

【解析】为长方形对角线，作出相等线段即可；
只要保证四边形是平行四边形即可；
同．
本题考查作图--应用与设计，平行四边形的判定，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】     

【解析】解：，
小彬在对阵甲队时的平均每场得分的值是，
故答案为：；
在这场比赛的篮板统计数据中，出现的次数最多，
众数是，
从小到大排列为：，，，，，，，，
在中间的两个数为，，
中位数为，
故答案为：，；
小彬在对称甲队时的“综合得分”为：，

小彬在对阵乙队时表现更好．
根据平均数的计算方法求解即可；
根据众数，中位数的概念求解即可；
根据“综合得分”的计算方法求出小彬在对称甲队时的得分，然后比较求解即可．
此题考查了平均数，众数，中位数，加权平均数的计算，解题的关键是熟练掌握以上计算方法．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形．
解：作交的延长线于点，则，
，，，
，
，
平行四边形的面积是． 

【解析】由平行四边形的性质得，，则，由，得，即可证明≌，得，则四边形是平行四边形；
作交的延长线于点，因为，所以，则．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的面积公式等知识，证明≌是解题的关键．
 

21.【答案】解：若每件服装降价元，则平均每天的销售数量为件；
设每件服装降价元时，该品牌服装店每天的销售利润为元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
要求每件盈利不少于元，
应舍去，
，
答：当每件服装降价元时，该品牌服装店每天的销售利润为元． 

【解析】由题意即可得出结论；
设每件服装降价元时，该品牌服装店每天的销售利润为元，由每件的销售利润每天的销售数量销售利润，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：不是．
理由如下：
，
，
，
，
，，
，
一元二次方程不是三等分根方程；
若均为整数是三等分根方程，其中一个根，
或，
根据根与系数的关系得，，
当时，，，
解得，，
当时，，，
解得，，
即，或，；
点在函数的图象上，
，
关于的一元二次方程是三等分根方程，
设方程的两个根分别为，，
根据根与系数的关系得，，
，
，
整理得，
解得，，
，
方程一定有实数解，
的值为或． 

【解析】先解方程，然后根据“三等分根方程”的定义进行判断；
根据“三等分根方程”的定义得到方程的另一个根或，则根据根与系数的关系得，，当时，，；当时，，，然后分别解方程即可；
先根据一次函数图象上点的坐标特征得到，再设方程的两根分别为，，利用根与系数的关系得，，消去整理得，解方程可得到的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解和一次函数图象上点的坐标特征．
 

23.【答案】或 

【解析】解：设运动的时间为，则，，
，
四边形是平行四边形，
，
当点在边上，则；
当点在边的延长线上，则，
故答案为：或．
如图，取的中点，连接，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，解得，
的值是．
当平行四边形以为一边，如图，则点在边上，且，
，解得；
当平行四边形以为对角线，如图，则点在边的延长线上，且，
，解得，
综上所述，的值是或．
，，，
，
，
设点关于直线的对称点为点，
当点落在线段上，如图，连接，则垂直平分，
，
，
，
，
，
，解得；
当点落在线段的延长线上，如图，连接交的延长线于点，则垂直平分，
，
，
，，
，
，
，解得，
综上所述，的值是或．
设运动的时间为，则，，可知，由平行四边形的性质得，当点在边上，则；当点在边的延长线上，则，于是得到问题的答案；
取的中点，连接，则，可证明，则，所以，当时，则四边形是矩形，所以，则，解得；
当平行四边形以为一边，则点在线段上，且，所以，解得；当平行四边形以为对角线，则点在线段的延长线上，且，所以，解得；
先根据勾股定理求得，设点关于直线的对称点为点，当点落在线段上，连接，则垂直平分，所以，可推导出，则，所以；当点落在线段的延长线上，连接交的延长线于点，由垂直平分，得，可推导出，则，所以，解方程求出相应的的值即可．
此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、平行线的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．