2022-2023学年山东省青岛市市北区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省青岛市市北区八年级（下）期中数学试卷

1.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若实数与在数轴上的位置如图所示，则下列各式中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  以下个命题中，正确的是(    )

A. 真命题的逆命题不可能是假命题
B. 存在两边分别相等的两个直角三角形全等
C. 用反证法证明命题“三角形中不能有两个角是直角”，首先要假设“这个三角形中有两个角是直角”
D. 三角形三内角的角平分线必相交于三角形内一点，这一点到三角形三顶点的距离相等

4.  下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，在中，，点是边上一点，，若点到的距离为，则下列关于点的位置描述正确的是(    )

A. 点是的中点 B. 点是平分线与的交点
C. 点是垂直平分线与的交点 D. 点与点的距离为

6.  将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后，得到，则图中阴影部分的面积是．(    )

A.
B.
C.
D. 不能确定

7.  如图，，将沿着射线方向平移，得到，已知，，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，已知直线过点，过点的直线交轴于点，则关于的不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.
B.
C.
D.
 

9.  用不等式表示“的一半减去所得的差不大于”______ ．

10.  因式分解______．

11.  如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点、，若，，则线段的长度等于______ ．

12.  有足够多如图的长方形和正方形的卡片，如果分别选取号、号、号卡片各张、张、张，可不重叠、无缝隙拼成右图的长方形，则运用拼图前后面积之间的关系可以写出一个因式分解的式子：______ ．
 

13.  若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是______．

14.  某初中举行知识抢答赛，总共道抢答题抢答规定：抢答对题得分，抢答错或不抢答题扣分，小刚参加了抢答比赛，要使最后得分不少于分，那么小刚至少要答对______ 道题．

15.  如图，点为线段上一动点不与点、重合，在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下结论：；；；；线段绕着点顺时针旋转度可与线段重合；为等边三角形；正确的有______ 填序号

16.  如图，各顶点的坐标分别为，，．
平移，使其顶点平移到点，画出平移后的；
若看作是由经过一次平移得到的，则平移的距离为______ ；
将绕点顺时针旋转，点的对应点是，得到，请画出．

17.  用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
如图，已知等腰三角形的底边长为，顶角的角平分线长为求作：等腰三角形．

18.  分解因式．
；
．

19.  解不等式组
仔细观察以下小明同学解不等式的过程：

解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ；
直接写出该不等式的正确解集：______ ；
要使不等式组的解集只包含一个非负整数解，则在括号里添加的一元一次不等式可以为：______ ，此不等式组的解集是：______ ．

20.  如图，已知为的平分线，点在上，于，于，且求证：．

21.  甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出元之后，超出部分按原价折优惠；在乙超市累计购买商品超出元之后，超出部分按原价折优惠．设顾客预计累计购物元．
请用含代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．

22.  如图，中，为边上一点，于，的延长线交的延长线于，且．
求证：是等腰三角形；
当 ______ 度时，是等边三角形？请证明你的结论．

23.  每年的月日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息如表根据信息，解答下列问题．

若碳水化合物占快餐总质量的，求这份快餐所含蛋白质的质量；
若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于，求其中所含碳水化合物质量的最大值．

24.  如图，将两个相同的三角形纸片和重合放置，其中．
操作发现
如图，若，固定，使绕点顺时针旋转，当点恰好落在上时：
请判断线段与的位置关系，并给出证明；
设的面积为，的面积为，与的数量关系是______ ；
猜想论证
当绕点旋转到图所示的位置时，小明猜想中与的数量关系仍然成立，请你证明小明的猜想；
拓展探究
如图，若，，当绕点旋转的过程中，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故A不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形；故B符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；故C不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形；故不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不等式的两边都减，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都除以，不等号的方向不变，故B正确；
C、不等式的两边都乘以，不等号的方向改变，故C错误；
D、当时，；当时，，故D错误；
故选：．
根据不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
主要考查了不等式的基本性质．“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：、真命题的逆命题可能是假命题，不符合题意；
B、若两直角三角形的两直角边对应相等或两直角三角形的一直角边和斜边对应相等时，该两直角三角形全等，符合题意；
C、用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设“这个三角形中有两个角是直角”，符合题意；
D、三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等，不符合题意．
故选：．
根据命题的定义，反证法，直角三角形的判定定理以及线段垂直平分线的性质进行分析判断．
本题考查的是反证法的应用，掌握逆命题的概念、直角三角形全等的判定、线段垂直平分线的性质、反证法的应用是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：是整式乘法，不是因式分解，A错误，故A不符合题意；
B.右边不是整式乘积的形式，B错误，故B不符合题意；
C.，C错误，故C不符合题意；
D.，D正确，故D符合题意．
故选：．
利用提公因式法，运用公式法进行分解即可判断．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的特征是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示：于，

，点到的距离为，
，
，
，
，
点在的角平分线上，
即点是的角平分线与的交点，
故选：．
求出，根据到角两边距离相等的点在这个角的平分线上得出选项即可．
本题考查了角平分线性质，点到直线的距离和线段垂直平分线的性质等知识点，能熟记到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设与交于点，
根据旋转性质得，而，
，
又，，
，
阴影部分面积为：
故选：．
设与交于点，根据旋转角，等腰直角的一锐角，可求，旋转前后对应边相等，对应角相等，，，解直角，可求阴影部分面积．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
，
阴影部分的面积
故选：．
利用勾股定理求出，再利用平移变换的性质，可得结论．
本题考查平移的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图象可知，当时，直线在直线下方，且都在轴下方，
当时，，
故选：．
由图象可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，理解图象是本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故答案为：．
根据“的一半减去所得的差不大于”，可得出关于的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：
．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，

垂直平分，，，
，
设，则，
在中，
，
即，
解得，
．
故答案为：．
连接，根据垂直平分线的性质得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可得答案．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
用两种不同法方法求长方形的面积．
本题考查了平方差公式的几何背景，掌握长方形的面积公式是解题的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：在等腰中，，为腰上的高，，
当在内部时，如图，
为高，
，
，
，
；
当在外部时，如图，
为高，
，
，
，
，
而，
，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或．
故答案为：或．
在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出．
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等．
 

14.【答案】 

【解析】解：设小军答对道题，
依题意得：，
解得：，
为正整数，
的最小正整数为，
即小军至少要答对道题，
故答案为：．
设小军答对道题，由题意：总共道抢答题，抢答对题得分，抢答错或不抢答题扣分，使最后得分不少于分，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查一元一次不等式的应用，找出数量关系，列出一元一次不等式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：和是正三角形，
，，，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，故正确；
，
线段绕着点顺时针旋转度可与线段重合，故错误，
≌，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
是等边三角形，
，
，
，故正确；
若，
，
，
，
又，
与是等边三角形相矛盾，假设不成立，
故错误；
故答案为：．
由“”可证≌，可得，故正确；由旋转的性质可得线段绕着点顺时针旋转度可与线段重合，故错误，由“”可证≌得，故正确；等边三角形的判定得是等边三角形，故正确；可证，故正确；反证法证明命题，故错误；即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求．
连接，
由勾股定理得，，
平移的距离为．
故答案为：．
如图，即为所求．
根据平移的性质作图即可．
连接，利用勾股定理求出的长，即可得出答案．
利用旋转的性质作图即可．
本题考查作图平移变换、旋转变换、勾股定理，熟练掌握平移和旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：由题意，所以只能使得等腰三角形的底边为．
如图所示：
 

【解析】由题意，所以只能使得等腰三角形的底边为．
本题考查复杂作图、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：

；


． 

【解析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可；
运用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

19.【答案】五  不等式两边都除以，不等号的方向没有改变    答案不唯一  答案不唯一 

【解析】解：第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；
故答案为：五；不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；
该不等式的正确解集：．
故答案为：；
的解集是，不等式组的解集只包含一个非负整数解，
在括号里添加的一元一次不等式可以为；
此不等式组的解集是．
故答案为：；答案不唯一．
根据不等式的性质可知第五步出现错误；
根据不等式两边都除以，不等号的方向改变可得答案；
根据不等式的解集，再根据不等式组的解集只包含一个非负整数解解答即可．
本题考查解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，掌握不等式的性质以及解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．
 

20.【答案】证明：，，，
，
，，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据于，于，，易证，从而证明≌，即可得出．
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，解此题的关键是推出≌，注意：全等三角形的对应边相等．
 

21.【答案】解：在甲超市购物所付的费用是：元，
在乙超市购物所付的费用是：元；

当时，解得．
当顾客购物元时，到两家超市购物所付费用相同；
当时，
解得，而，
．
即顾客购物超过元且不满元时，到乙超市更优惠；
当时，解得，
即当顾客购物超过元时，到甲超市更优惠． 

【解析】根据超市的销售方式可列式表示在甲超市购物所付的费用和在乙超市购物所付的费用；
购物所需费用需分情况讨论，一般分为两家超市购物所付费用相同，到乙超市更优惠，到甲超市更优惠，三种情况，分别计算即可．
此题的关键是用代数式列出在甲、乙两超市购物所需的费用，用了分类讨论的方法，是解决此类问题常用的方法．
 

22.【答案】 

【解析】证明：，
，
，
，
，
，，
，
是等腰三角形；
解：当度时，是等边三角形，理由如下：
，
，
，
由知是等腰三角形，
是等边三角形．
故答案为：．
由，得到，由垂直的定义得到，，由余角的性质得到，即可证明问题；
由垂直的定义得到，由知是等腰三角形，于是证明是等边三角形．
本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，余角的性质，关键是由余角的性质证明，
 

23.【答案】解：设这份快餐所含蛋白质的质量为克，则含矿物质的质量为克，
克，
依题意得：，
解得：．
答：这份快餐所含蛋白质的质量为克．
设这份快餐所含蛋白质的质量为克，则含矿物质的质量为克，含碳水化合物的质量为克，
依题意得：，
解得：，
克．
答：其中所含碳水化合物的质量为克． 

【解析】设这份快餐所含蛋白质的质量为克，则含矿物质的质量为克，根据快餐的总质量为克，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设这份快餐所含蛋白质的质量为克，则含矿物质的质量为克，含碳水化合物的质量为克，根据快餐的总质量为克，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：，
理由如下：
绕点旋转点恰好落在边上，
，
，
是等边三角形，
，
又，
，
；

，，
，
，
根据等边三角形的性质，的边、上的高相等，
的面积和的面积相等等底等高的三角形的面积相等，
即；
故答案为：；；
如图，作点作于，过点作于，

是由绕点旋转得到，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
的面积和的面积相等等底等高的三角形的面积相等，
即．
四边形的面积，
的面积最大时，四边形的面积最大，
当时，的面积最大值为，
四边形的面积最大值．
根据旋转的性质可得，然后求出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
根据等边三角形的性质可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，再根据等边三角形的性质求出点到的距离等于点到的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；
根据旋转的性质可得，，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；
由四边形的面积，则的面积最大时，四边形的面积最大，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键．