2023年辽宁省大连市高新园区中考数学一模试卷（含解析）

2023年辽宁省大连市高新园区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  北京时间年月日点，万众瞩目的卡塔尔世界杯全面打响，据统计在小组赛的赛程中，场均观看直播人数达到了万人，则万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线、上，已知，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  在我市开展的“好书伴我成长”读书活动中，某中学为了解八年级名学生读书情况，随机调查了八年级名学生读书的册数，统计数据如下表所示：

那么这名同学读书册数的众数，中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，若，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  小明和小强两个人开车从甲地出发匀速行驶至乙地，小明先出发在整个行驶过程中，小明和小强两人的车离开甲地的距离千米与行驶的时间小时之间的函数关系如图所示，有下列结论：甲、乙两地相距千米；小强的车比小明的车晚出发小时，却早到个小时；小强的车出发后小时追上小明的车其中正确的结论有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  化简：______．

12.  在一个不透明的袋子里，装有个红球和个白球，这些球除颜色外没有任何区别，现从这个袋子中随机摸出一个球，“摸出红球”的概率是______ ．

13.  点先向右平移个单位，再向下平移个单位后的坐标为______ ．

14.  九章算术卷八方程【七】中记载：“今有牛五、羊二，值金十两．牛二、羊五，值金八两．牛、羊各值金几何？”题目大意是：头牛、只羊共值金两，头牛、只羊共值金两，每头牛、每只羊各值金多少两？若设一头牛值金两，一只羊值金两，则可列方程组为______．

15.  如图，在中，，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积是______ 结果保留根号和

16.  如图，矩形纸片，，将矩形纸片折叠，使落在上，为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，将边折起，使点落在上的点处，连接，若，则 ______ 用含的代数式表示．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
为了宣传垃圾分类，普及垃圾分类知识，让学生知道更多的垃圾分类知识，学校举行了垃圾分类相关知识竞赛为了解这次竞赛成绩情况，抽取部分学生成绩作为样本，并将结果分为、、、四类，其中分及以下为类，分为类，分为类，分为类，绘制了如下的条形统计图和扇形统计图，请结合此图回答下列问题．

此次抽样调查的样本容量为______ ，竞赛成绩为类的有______ 人，扇形统计图中竞赛成绩为类所对应的圆心角为______ ；
若这次竞赛成绩为类或类的学生可获奖，全校共名学生，请估计全校获奖学生人数．

19.  本小题分
如图，点、、、在同一条直线上，若，，求证：．
 

20.  本小题分
如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙墙的长度为，另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，若矩形绿地的面积为，求矩形垂直于墙的一边，即的长．

21.  本小题分
我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系现有某学生利用一个最大电阻为欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为欧姆时，电流为安培．
求电流安培关于电阻欧姆的函数解析式；
若，求电流的变化范围．

22.  本小题分
如图，一艘渔船在黄海海域由西向东航行到达处时，测得小岛位于渔船的北偏东方向，该渔船再向东匀速航行小时后到达处，此时测得小岛位于距离渔船海里的北偏东方向．
填空： ______ ；
求渔船的速度结果取整数参考数据：，，，

23.  本小题分
是的直径，点在上，于交于点，连接，点在延长线上，．

如图，求证：是的切线；
如图，过作于，，，求的长．

24.  本小题分
如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以的速度向终点运动，当点不与点、重合时，过作于，以、为邻边作平行四边形设点的运动时间为，平行四边形与重叠部分的面积为
当点在上时，求的值；
求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．

25.  本小题分
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题，如图，在中，，是延长线上一点，连接，，点在线段上，且，连接求证独立思考：

请解答王老师提出的问题实践探究；
在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答：“如图，连接，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，探究线段与，之间的数量关系，并证明”
问题解决：数学活动小组对上述问题进行特殊化研究之后，提出下面的问题，请你解答：“如图，在条件下，过作于，若，，求的长”

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点在抛物线上，点是抛物线上的动点．

求抛物线的解析式；
如图，连接，若平分，求点的坐标；
如图，连接，抛物线的对称轴交于点，连接，点在轴右侧的抛物线上，若，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据乘积为的两个数互为倒数求解即可．
本题考查倒数，理解倒数定义是解答的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面可看到从上往下行小正方形的个数为：，，并且上面一行的正方形靠左．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
先根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法和乘法法则进行计算，再得出选项即可．
本题考查了合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法和乘法法则等知识点，能熟记合并同类项法则、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法和乘法法则是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图：

，，
，
，
．
故选：．
根据，求出的度数，根据平行线的性质得出，代入即可得出答案．
本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，解此题的关键是求出的度数和得出，题目比较典型，难度适中．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
解得，
故选：．
根据解不等式的方法，可得不等式的解集，根据不等式的解集的公共部分是不等式组的解集，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集的公共部分是不等式组的解集．
 

7.【答案】 

【解析】解：这组样本数据中，出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数是．
将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是，
这组数据的中位数为；
故选：．
在这组样本数据中，出现的次数最多，所以求出了众数，将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是，从而求出中位数是；
本题考查的知识点有：用样本估计总体、众数以及中位数的知识，解题的关键是牢记概念及公式．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，，
，
为直角三角形，
，
，
，
在中，，
故选：．
利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，，再证明，则，接着利用勾股定理的逆定理判断为为直角三角形，，然后在中利用勾股定理计算的长．
本题考查了作图基本作图，熟练掌握基本作图作一条线段等于己知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了平行四边形的性质和勾股定理及其逆定理．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知，甲、乙两地相距千米，小明从甲到乙共用小时，小强从甲到乙共用小时，小强比小明晚出发小时，早到小时，
正确，故符合要求；
小明的速度为千米小时，小强的速度为千米小时，
设小强的车出发后小时追上小明的车，
则，解得，
小强的车出发后小时追上小明的车，
正确，故符合要求；
正确的结论有，
故选：．
根据图象中的信息作答即可．
本题考查了函数图象，一元一次方程的应用．解题的关键在于从函数图象中获取正确的信息．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
先利用平方差公式展开得到原式，再利用二次根式的性质化简，然后进行减法运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意知，摸出一个球共有种等可能的结果，随机摸出一个球是红球共有种可能的结果，
摸到红球的概率为：．
故答案为：．
根据概率公式求解即可．
本题考查简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：点先向右平移个单位，再向下平移个单位后的坐标为，即，
故答案为：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得所求点的坐标是，进而得到答案．
本题主要考查了坐标的平移变化，解题的关键在于熟练掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
故答案为：．
根据“头牛、只羊共值金两．头牛、只羊共值金两”，得到个等量关系，即可列出方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
．
故答案为：．
根据三角形面积公式和扇形面积公式即可求解．
本题考查了三角形面积公式和扇形面积公式，熟记公式是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由翻折的性质可知，，，
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
由翻折的性质可得：，，，
，
，
，
故答案为：．
由翻折的性质得到，，通过证明≌，得到，通过矩形的性质和判定得到四边形是矩形，从而得到，由得到，由翻折和矩形的性质得到为等腰直角三角形，最后通过勾股定理计算即可得到答案．
本题主要考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算的法则是解本题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：样本容量，
竞赛成绩为类的人数为，
成绩为类所对应的圆心角为，
故答案为；；．
人．
估计全校获奖学生大约为人．
根据条形统计图及扇形统计图可求出样本容量，、、、四类人数可知，即可解答；
根据样本估计总体即可．
本题考查了条形统计图与扇形统计图，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，即，
在和中，

≌，
． 

【解析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由知，结合，，依据“”可判定≌，依据两三角形全等，对应边相等可得．
 

20.【答案】解：设矩形垂直于墙的一边的长为．
由题意得，，
整理得，，
解得，，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：矩形垂直于墙的一边的长为． 

【解析】设矩形垂直于墙的一边的长为，则平行于墙的一边的长为，根据题意，列出方程，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
 

21.【答案】解：设函数解析式为，
当时，，
，
解得：，
电流安培与电阻欧姆之间的表达式为．
中，，，
图象在第一象限，随的增大而减小，
，
把电阻最小值代入，得到电流的最大值，，
把电阻最大值代入，得到电流的最小值，，
电流的变化范围是． 

【解析】设函数解析式为，把时，代入求出值即可得答案；
根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案．
本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：根据题意，，，
，
故答案为：；
过点作交的延长线于．

由题意可知，，，海里，
在中，，，，，
海里，海里，
在中，，，，，
海里，
渔船的速度为海里时．
答：渔船的速度约为海里时．
根据已知和三角形的内角和定理求解即可；
过点作交的延长线于利用锐角三角形的定义分别求解、、即可求解．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题及三角形内角和定理、平行线的性质，正确理解方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
解：方法一：，
，
，
设，
则，
，
．
在中，根据勾股定理，，
，
．
，
．
，，
．
，
．
设，则．
，
．
，
在中，，
，
．
，，
；
方法二：如图，

，
，
，
设，
则，
，
，
在中，根据勾股定理，，
，
．
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】如图，连接，先由垂径定理得到，进而得到，再根据等边对等角得到，利用三角形内角和定理证明，即可证明是的切线；
方法一：设，则，在中，根据勾股定理，求出，则；同理证明；然后导角证明，由角平分线的性质即可得到；方法二：同理求出，证明∽，求出，再证明∽，即可求出．
本题主要考查了垂径定理，切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边对等角，角平分线的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

24.【答案】解：在中，，，，
根据勾股定理，，
当点在上时，如图，

，
，
，
又，
∽，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
；
当时，如图，

∽，
，
，
．
，
；
当时，如图．

四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，四边形为平行四边形，
，
，
，
，
又，
∽，
，
即，
，
，
综上所述，． 

【解析】先画出点在上时的图形，证明∽，得出，由平行四边形的性质得出，然后根据，即可求出的值；
分两种情况，当时，，求出即可；当时，，求出即可得出结论．
本题主要综合考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，灵活运用相似三角形的性质和判定，根据动点的不同位置分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】证明：如图中，，
，
，，
是等边三角形，
，
，，
；

解：结论：．
理由：如图中，延长到，使得，在上取一点，使得．

，，，
，都是等边三角形，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
同法可证，
，
，，
，
；

解：如图中，延长到，使得，在上取一点，使得过点作于点．

由可知，
设，则，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理证明即可；
结论如图中，延长到，使得，在上取一点，使得利用全等三角形的性质证明，，可得结论；
如图中，延长到，使得，在上取一点，使得过点作于点想办法求出，，再利用面积法求解．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
 

26.【答案】解：抛物线过点，点，
，
解得：，
；

如图，过作轴交于，交轴于，过作轴于，如图所示：

设的解析式为，代入，
，
解得：，
直线的解析式为，
，，，
在中，根据勾股定理，
，
平分，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
整理得：，舍，，
当时，，
；

过作于，过作于，延长交于，如图所示：

，
对称轴为直线，
设直线的解析式为，代入，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
于，
，，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，
．
，
设的直线为，把代入得：
直线的解析式为，
令，
解得，舍去，
． 

【解析】用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
过作轴交于，交轴于，过作轴于，求出直线的解析式为，求出，证明，设，则，证明∽，得出，求出，根据，得出，求出的值，即可得出点的坐标；
过作于，过作于，延长交于，求出直线的解析式为，证明∽，得出，求出，得出，求出直线的解析式为，令，求出的值，即可得出点的坐标．
本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法．