还剩28页未读，
继续阅读
2023年吉林省长春市榆树市拉林河片中考数学二模试卷（含解析）
展开
这是一份2023年吉林省长春市榆树市拉林河片中考数学二模试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市榆树市拉林河片中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −6的相反数是( )
A. −6 B. −16 C. 16 D. 6
2. 北京时间2022年4月16日9时56分，近地点高度约384 000米的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，圆满完成任务．384 000这个数用科学记数法表示为( )
A. 384×103 B. 0.384×105 C. 38.4×104 D. 3.84×105
3. 一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“欢”相对的字是( )
A. 英
B. 雄
C. 凯
D. 旋
4. 某厂家去年八月份的口罩产量是50万个，十月份的口罩产量是72万个.若设该厂家八月份到十月份的口罩产量的月平均增长率为x，则下面所列方程正确的是( )
A. 50(1+x)2=72 B. 50(1−x)2=72 C. 50(1+x2)=72 D. 50(1−x2)=72
5. 在平面直角坐标系中，已知A(2,1)，现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是( )
A. (−1,2) B. (2,−1) C. (1,−2) D. (−2,1)
6. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AF上，则∠CMD的大小为( )
A. 60°
B. 45°
C. 30°
D. 15°
7. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于12BC的长为半径画圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，交BC于点D；③以点D为圆心，DC的长为半径画圆弧，交AB于点E，连结CE，则BE的长为( )
A. 1.8 B. 2.4 C. 3.2 D. 4.8
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A(m−2,y1)，B(m,y2)都在二次函数y=(x−1)2+n的图象上.若y1>y2，则m的取值范围是( )
A. m<1
B. m>1
C. m<2
D. m>2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 最简二次根式 4−3x与二次根式 8是同类二次根式，则x= ．
10. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是______(写出一个即可)．
11. 正八边形一个外角的大小为______度．
12. 七巧板起源于我国先秦时期，19世纪传到国外，被称为“唐图”.图①是边长为4的正方形“唐图”，图②是小新同学将其分割制作的七巧板拼摆而成的“奔跑者”图，则图②中头部小正方形的面积为______．
13. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O.若⊙O的周长为12π，则该正六边形的边长是 ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y=a(x+2)2+c(a>0)的顶点为E，且经过点A、B.若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是______．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(x+1)(x+3)+(x−2)2，其中x= 5．
16. (本小题6.0分)
有两个不透明的布袋A、B，分别装有3个小球，布袋A中的小球分别标有数字−1，0，2，布袋B中的小球分别标有数字−2，1，1，它们除数字不同外其他均相同．从布袋A、B中各随机摸出一个小球，用画树状图(或列表)的方法，求摸出的两个小球的数字之和是正数的概率．
17. (本小题6.0分)
2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱.2021年十二月，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”的2倍，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”多40元，“雪容融”的销售总额是8000元，“冰墩墩”的销售总额是24000元，求“雪容融”的销售单价．
18. (本小题7.0分)
2022年是中国共产主义青年团建团100周年，某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，七、八年级各有300名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从这两个年级各随机抽取了20名学生的成绩(单位：分)进行调查分析.下面给出了部分信息：
a.七年级学生的成绩整理如下：
57 69 72 75 76 78 79 80 81 81
83 83 83 85 86 86 88 88 92 96
b.八年级学生成绩的频数分布直方图如图．
(数据分成四组：60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)，其中成绩在80≤x<90的数据如下：
80 82 83 85 85 85 87 88 88 89
c.两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
80.9
82
m
八年级
81.2
n
85
根据所给信息，解答下列问题：
(1)m= ；n= ．
(2)根据统计数据，你认为七、八两个年级哪个年级的成绩更好些，请说明理由.(至少从一个角度进行说明)
(3)成绩达到85分及以上为优秀，估计参加本次活动的七年级和八年级学生中，此次测试成绩达到优秀的总人数．
19. (本小题7.0分)
图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按照要求作图(保留作图痕迹)．
(1)在图①中作△ABC的中线BD．
(2)在图②中作△ABC的高BE．
(3)在图③中作△ABC的角平分线BF．
20. (本小题7.0分)
3月23日下午，“天宫课堂”第二课如约举行，某校组织师生全员观看．为了解同学们对“天宫课堂”讲授知识的掌握情况，学生会组织了线上知识测试．现从初中三个年级各随机抽取10人的成绩(单位：分)进行了整理、描述和分析．下面给出了相关信息．
a.30名同学“天宫课堂”知识测试成绩的统计图如下．
b.30名同学“天宫课堂”知识测试成绩的频数分布直方图如下．(数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)
c.测试成绩在70≤x<80这一组的是70，73，74，74，75，75，77，78．
d.小夏同学的“天宫课堂”知识测试成绩为88分．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)小夏同学的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第______．
(2)抽取的30名同学的成绩的中位数为______．
(3)序号为1～10的学生是七年级的，序号为11～20的学生是八年级的，序号为21～30的学生是九年级的．若七年级学生成绩的方差记为s12，九年级学生成绩的方差记为s22，则s12______s22.(填“>”、“=”或“<”)
(4)成绩80分及以上记为优秀，该校初中三个年级720名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为______人．
21. (本小题8.0分)
缂丝，是中国传统丝绸艺术品中的精华．缂丝织造技艺主要是使用古老的木机(如图①)及若干竹制的梭子和拨子，经过“通经断纬”的织造方法，将五彩的蚕丝线缂织成一幅色彩丰富的织物．缂丝工匠现要完成一件织品，工作一段时间后，记录了工作时间和织品长度的数据变化，并从函数角度进行了如下实验探究．
【数据观察】记录的工作时间x(时)和织品长度y(厘米)的数据变化，如下表：
工作时间x(时)
0
2
4
6
8
织品长度y(厘米)
3
3.6
4.2
4.8
5.4
【探索发现】(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示记录的工作时间x，纵轴表示织品长度y，描出以表格中数据为坐标的各点．
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】(1)记录的工作时间达到5小时，求织品的长度．
(2)如果每天工作10小时，要完成长为240厘米的织品，共需要多少天？
22. (本小题9.0分)
如图，AD是△ABC的中线，点E是AD上一点，过点E作AC的平行线，过点B作AD的平行线，两平行线交于点F，连结AF．
【方法感知】如图①，当点E与点D重合时，易证：△AEC≌△FBE.(不需证明)
【探究证明】如图②，当点E与点D不重合时，求证：四边形ACEF是平行四边形．
小新同学受到【方法感知】中的启发，经过思考后延长CE交BF于点M．
请完成小新同学的证明过程．
【结论应用】如图③，当CA⊥AB，∠ABC=30°时，CE的延长线交AB于点N，且点N为AB中点．
(1)NGGA=______．
(2)当AC=2时，BF的长为______．
23. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2.点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB−BA运动，到点A停止.在点P运动的同时，点Q从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD−DC运动.当点P回到点A停止时，点Q也随之停止运动.设点P的运动时间为t秒(t>0)．
(1)用含t的代数式表示线段AP的长．
(2)以PQ为边作矩形PQMN，使点M与点A在PQ所在直线的两侧，且PQ=2MQ．
①当点Q在边AD上，且点M落在CD上时，求t的值．
②当点M在矩形ABCD内部时，直接写出t的取值范围．
(3)点E在边AB上，且AE=2，在线段PQ上只存在一点F，使∠AFE=90°，直接写出t的取值范围．
24. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点A(−3,0)和点B(1,0)．
(1)此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为______．
(2)求此二次函数的关系式．
(3)当−2≤x≤3时，求二次函数y=ax2+bx+2的最大值和最小值．
(4)点P为二次函数y=ax2+bx+2(−3
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据概念，与−6只有符号不同的数是6.即−6的相反数是6．
故选：D．
相反数就是只有符号不同的两个数．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】D
【解析】解：将384000这个数用科学记数法表示为3.84×105，
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：由图知该正方体中，和“欢”相对的字是“凯”，
故选：C．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意得：50(1+x)2=72．
故选：A．
利用十月份的口罩产量=八月份的口罩产量×(1+该厂家八月份到十月份的口罩产量的月平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，
即将Rt△OBA点绕原点O逆时针旋转90°得到Rt△OB1A1，如图，
所以OB1=OB=2，A1B1=AB=1，
所以点A1的坐标是(−1,2)．
故选：A．
将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，相当于将Rt△OBA点绕原点O逆时针旋转90°得到Rt△OB1A1，如图，然后根据旋转的性质得OB1=OB=2，A1B1=AB=1，从而得到点A1的坐标．
本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
6.【答案】C
【解析】解：连接OC，OD，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=60°，
∴∠CMD=12∠COD=30°，
故选：C．
由正六边形的性质得出∠COD=60°，由圆周角定理求出∠CMD=30°．
本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠AOB=60°是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由作法MN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴BC为⊙O的直径，
∴∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= 32+42=5，
∵12CE⋅AB=12CA⋅CB，
∴CE=3×45=125，
在Rt△BCE中，BE= 42−(125)2=165．
故选：C．
利用基本作图得到MN垂直平分BC，则BD=CD，再利用圆周角定理得到∠BEC=90°，接着利用面积法计算出CE=125，然后利用勾股定理计算出BE的长．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和圆周角定理．
8.【答案】C
【解析】解：∵点A(m−2,y1)，B(m,y2)都在二次函数y=(x−1)2+n的图象上，
∴y1=(m−2−1)2+n=(m−3)2+n，
y2=(m−1)2+n，
∵y1>y2，
∴(m−3)2+n>(m−1)2+n，
∴(m−3)2−(m−1)2>0，
即−4m+8>0，
∴m<2，
故选：C．
根据y1>y2列出关于m的不等式即可解得答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．本题属于基础题，难度不大．
9.【答案】23
【解析】解： 8=2 2，
∵简二次根式 4−3x与二次根式 8是同类二次根式，
∴4−3x=2，
解得x=23．
故答案为：23．
把 8化为最简形式，再根据同类二次根式的定义解答即可．
本题考查的是同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
10.【答案】0
【解析】解：根据题意得△=22−4k>0，
解得k<1．
所以k可以取0．
故答案为0．
先利用判别式的意义得到22−4k>0，再解不等式确定k的范围，然后在此范围内取一个值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
11.【答案】45
【解析】解：∵多边形的外角和等于360°．
∴360°÷8=45°，
故答案为：45．
利用正八边形的外角和等于360度即可求出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．
12.【答案】2
【解析】解：由题意，大正方形的对角线长为4 2，
∴小正方形的边长为14×4 2= 2，
∴头部小正方形的面积为： 2× 2=2．
故答案为：2．
根据七巧板的特点，求出小正方形的边长即可求出其面积．
本题考查七巧板，正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13.【答案】6
【解析】
【分析】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质，熟知正六边形的边长等于半径是解答此题的关键．
由正六边形ABCDEF内接于⊙O，由⊙O的直径得出⊙O的半径，再根据正六边形的半径等于边长即可得出结果．
【解答】
解：连接OA，OB，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的周长为12π，
∴⊙O的半径为6，
∵∠AOB=360°6=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=6，
∴正六边形ABCDEF的边长为6．
14.【答案】12
【解析】解：∵抛物线y=a(x+2)2+c(a>0)的顶点为E，且经过点A、B，
∴抛物线的对称轴是直线x=−2，且A、B关于直线x=−2对称，
过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AD=BD=2，
∴AB=4，DE=12AB=2，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=AB=BC=OC=4，EF=4+2=6，
∴A(0,−4)，E(−2,−6)，
把A、E的坐标代入y=a(x+2)2+c得：
4a+c=−4c=−6，
解得：a=12，
故答案为：12．
过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，求出E、A的坐标，代入函数解析式，即可求出答案．
本题考查了二次函数的性质和图象，等腰直角三角形的性质，正方形的性质等知识点，能求出A、E的坐标是解此题的关键，注意：顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是x=h．
15.【答案】解：原式=x2+3x+x+3+x2−4x+4
=2x2+7，
当x= 5时，
原式=2×( 5)2+7
=2×5+7
=10+7
=17．
【解析】先展开，再合并同类项，化简后将x的值代入计算即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握多项式乘多项式法则，完全平方公式，把所求式子化简．
16.【答案】解：列表如下：
−1
0
2
−2
−3
−2
0
1
0
1
3
1
0
1
3
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个小球的数字之和是正数的有4种结果，
所以摸出的两个小球的数字之和是正数的概率为49．
【解析】列表得出所有等可能结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：设“雪容融”的销售单价为x元，
根据题意，得24000x+40=2×8000x，
解得x=80，
经检验，x=80是原方程的根，且符合题意，
答：“雪容融”的销售单价是80元．
【解析】设“雪容融”的销售单价为x元，根据当月销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”的2倍，列分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
18.【答案】83 81
【解析】解：(1)根据七年级的成绩可知，83分出现次数最多，故m=83；
由题意知，八年级学生的成绩中第10、第11位分别是80分，82分，
∴n=80+822=81，
故答案为：83；81；
(2)八年级的成绩更好些，理由：
八年级的成绩的平均数和众数高于七年级；
(3)由题意知，七年级成绩优秀的人数占比为720，八年级成绩优秀的人数占比为820=25，
∴估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为300×720+300×25=235(人)．
答：估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数约为235人．
(1)根据众数和中位数的定义可得出答案．
(2)根据平均数，中位数以及众数的定义解答即可．
(3)用总人数乘抽取的20名学生的成绩到达优秀所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、众数、中位数、样本估计总体，能够从统计图中获取必要信息是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图①中，线段BD即为所求；
(2)如图②中，线段BE即为所求；
(3)如图③中，线段BF即为所求．
【解析】(1)利用网格特征作出AC的中点D，连接BD即可；
(2)取格点T，连接BT交AC于点E，线段BE即为所求；
(3)取格点W，连接BW交AC于点F，线段BF即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，三角形的中线，角平分线，高等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】11 74 < 240
【解析】解：(1)由频数分布直方图可知，成绩在80≤x<90的有7人，成绩在90≤x<100的有3人，结合70≤x<80这组的数据可得，
成绩为78分处在第11名，
故答案为：11；
(2)将这30名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是74分，因此中位数是74分，
故答案为：74；
(3)从图1中，1～10号，11～20号学生成绩分布的离散程度可以直观看出，1～10号学生的成绩分布的离散程度较小，比较整齐，即它的方差较小，
因此九年级的方差s12较小，
故答案为：<；
(4)720×7+330=240(名)，
故答案为：240．
(1)根据成绩的频数分布直方图以及成绩在70≤x<80这组的数据进行判断即可；
(2)根据中位数的定义进行判断即可；
(3)从图1的数据分布的离散程度进行判断即可；
(4)从样本中得出“优秀”所占的百分比进行估算即可..
本题考查频数分布直方图，中位数、方差以及样本估计总体，理解中位数、方差的定义，掌握样本估计总体的方法是解决问题的前提．
21.【答案】解：【探索发现】
(1)描出以表格中数据为坐标的各点，如图：
(2)上述各点在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b，
将(0,3)，(2,3.6)代入得：
b=32k+b=3.6，
解得k=0.3b=3，
∴这条直线所对应的函数表达式为y=0.3x+3；
【结论应用】
(1)当x=5时，y=0.3×5+3=4.5，
答：织品的长度是4.5厘米；
(2)当y=240时，0.3x+3=240，
解得x=790，
∴要完成长为240厘米的织品，需要790÷10=79(天)，
答：要完成长为240厘米的织品，需要79天．
【解析】【探索发现】
(1)以表格数据描点即可；
(2)用待定系数法可求函数表达式；
【结论应用】
(1)结合函数表达式，求出x=5时y的值即可；
(2)求出y=240时，x的值，即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能求出函数关系式．
22.【答案】12 83
【解析】【探究证明】证明：如图②，延长CE交BF于点M．
∵D是BC的中点，AD//BF，
∴CE=EM，∠AEC=∠FME，
∵AC//EF，
∴∠ACE=∠FEM，
在△AEC和△FME中，
∠ACE=∠FEMCE=EM∠AEC=∠FME，
∴△AEC≌△FME(ASA)，
∴AC=EF，
∵AC//EF，
∴四边形ACEF是平行四边形；
【结论应用】解：(1)如图③中，连接DN．
∵BD=DC，BN=AN，
∴DN//AC，DN=12AC，
∴NE：EC=DN：AC=1：2，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AF=EC，
∴NG：GA=NE：AF=NE：EC=1：2，
故答案为：12；
(2)如图③−1中，连接DN，延长CN交EB于点M．
在Rt△ABC中，AC=2，∠ABC=30°，
∴BC=2AC=4，
∵BD=CD，
∴AD=12BC=2，
∵DN//AC，
∴DE：EA=DN：AC=1：2，
∴DE=23，AE=43，
∵DE//BM，BD=DC，
∴CE=EM，
∴BM=2DE=43，
∵△ACE≌△FEM，
∴FM=AE=43，
∴F=BM+FM=83．
故答案为：83．
【探究证明】如图②，延长CE交BF于点M.证明△AEC≌△FME(ASA)，推出AC=EF，可得结论；
【结论应用】(1)利用三角形的中位线定理，以及平行线分线段成比例定理求解即可；
(2)如图③−1中，连接DN，延长CN交EB于点M.利用直角三角形30度角的性质求出BC=4，再利用三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理求出DE，AE，再利用三角形中位线定理，全等三角形的性质求出BM，FM，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
23.【答案】解：(1)∵点P从点A出发以每秒2个单位的速度运动，
∴当点P与点B重合时，则2t=6，解得t=3；
当点P返回到点A时，则2t=6×2，解得t=6，
当0
∵四边形ABCD和四边形PQMN都是矩形，DQ=2−t，PQ=2M，
∴∠D=∠A=∠PQM=90°，
∴∠DQM=∠APQ=90°−∠AQP，
∴△DQM∽△APQ，
∴DQAP=MQPQ=MQ2MQ=12，，
∴DQ=12AP，
∴2−t=12×2t，
解得t=1．
②当0
作MG⊥CD于点G，则∠QGM=∠D=∠AQM=90°，
∴∠MQG=∠QAD=90°−∠AQD，
∴△MQG∽△QAD，
∴MGQD=QMAQ=12，
∴MG=12QD=12×4=2，
∴点M恰好落在AB边上，
∴当点M在矩形ABCD内部时，143
当0
连接OF，则PQ⊥OF，OF=OA=OE=1，
∵∠BAD=90°，AQ=t，AP=2t，
∴PQ= AQ2+AP2= t2+(2t)2= 5t，
∵∠OFP=90°，
∴OFOP=AQPQ=tan∠APQ=t 5t=1 5，
∴OP= 5OF，
∴2t−1= 5，
解得t= 5+12，
当2
②分三种情况讨论，一是0
24.【答案】2
【解析】解：(1)在y=ax2+bx+2中，令x=0得y=2，
∴二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为2，
故答案为：2；
(2)将A(−3,0)和B(1,0)代入y=ax2+bx+2得：
0=9 a−3b+20=a+b+2，解得 a=−23b=−43，
∴二次函数的关系式为y=−23x2−43x+2；
(3)∵y=−23x2−43x+2=−23(x+1)2+83，
∴抛物线顶点为：(−1,83)，对称轴为直线x=−1，
∵−2<−1<3，且−1<0，
∴当−2≤x≤3时，二次函数y=−23x2−43x+2在x=−1时取得最大值，最大值是83，
而|−2−(−1)|<|3−(−1)|，
∴x=3时，二次函数y=−23x2−43x+2在x=3时取得最小值，最小值是−8，
∴当−2≤x≤3时，二次函数y=−23x2−43x+2最大值是83，最小值是−8，
(4)PQ=|−2m−4−m|=|−3m−4|，
当−3m−4>0时，PQ=−3m−4，PQ的长度随m的增大而减小，
当−3m−4<0时，PQ=3m+4，PQ的长度随m增大而增大，
∴−3m−4>0满足题意，解得m<−43，
①P到对称轴直线x=−1的距离为−1−m，当PQ<2(−1−m)时，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(−3
∴−3m−4<2(−1−m)，
解得m>−2，
∴−2
x=12时，y=−23x2−43x+2=76，
在y=−23x2−43x+2中，令y=76得−23x2−43x+2=76，
解得x=12或x=−52，
∴当−3
(2)用待定系数法即可得答案；
(3)求出抛物线顶点为：(−1,83)，对称轴为直线x=−1，由|−2−(−1)|<|3−(−1)|，计算顶点坐标及x=3时的函数值，即可得答案；
(4)PQ=|−2m−4−m|=|−3m−4|，由PQ的长度随m的增大而减小，得m<−43，①P到对称轴直线x=−1的距离为−1−m，当PQ<2(−1−m)时，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(−3
2023年吉林省长春市榆树市拉林河片中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −6的相反数是( )
A. −6 B. −16 C. 16 D. 6
2. 北京时间2022年4月16日9时56分，近地点高度约384 000米的神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，圆满完成任务．384 000这个数用科学记数法表示为( )
A. 384×103 B. 0.384×105 C. 38.4×104 D. 3.84×105
3. 一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“欢”相对的字是( )
A. 英
B. 雄
C. 凯
D. 旋
4. 某厂家去年八月份的口罩产量是50万个，十月份的口罩产量是72万个.若设该厂家八月份到十月份的口罩产量的月平均增长率为x，则下面所列方程正确的是( )
A. 50(1+x)2=72 B. 50(1−x)2=72 C. 50(1+x2)=72 D. 50(1−x2)=72
5. 在平面直角坐标系中，已知A(2,1)，现将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是( )
A. (−1,2) B. (2,−1) C. (1,−2) D. (−2,1)
6. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AF上，则∠CMD的大小为( )
A. 60°
B. 45°
C. 30°
D. 15°
7. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于12BC的长为半径画圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，交BC于点D；③以点D为圆心，DC的长为半径画圆弧，交AB于点E，连结CE，则BE的长为( )
A. 1.8 B. 2.4 C. 3.2 D. 4.8
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A(m−2,y1)，B(m,y2)都在二次函数y=(x−1)2+n的图象上.若y1>y2，则m的取值范围是( )
A. m<1
B. m>1
C. m<2
D. m>2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9. 最简二次根式 4−3x与二次根式 8是同类二次根式，则x= ．
10. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是______(写出一个即可)．
11. 正八边形一个外角的大小为______度．
12. 七巧板起源于我国先秦时期，19世纪传到国外，被称为“唐图”.图①是边长为4的正方形“唐图”，图②是小新同学将其分割制作的七巧板拼摆而成的“奔跑者”图，则图②中头部小正方形的面积为______．
13. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O.若⊙O的周长为12π，则该正六边形的边长是 ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y=a(x+2)2+c(a>0)的顶点为E，且经过点A、B.若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是______．
三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(x+1)(x+3)+(x−2)2，其中x= 5．
16. (本小题6.0分)
有两个不透明的布袋A、B，分别装有3个小球，布袋A中的小球分别标有数字−1，0，2，布袋B中的小球分别标有数字−2，1，1，它们除数字不同外其他均相同．从布袋A、B中各随机摸出一个小球，用画树状图(或列表)的方法，求摸出的两个小球的数字之和是正数的概率．
17. (本小题6.0分)
2022北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱.2021年十二月，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”的2倍，其中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”多40元，“雪容融”的销售总额是8000元，“冰墩墩”的销售总额是24000元，求“雪容融”的销售单价．
18. (本小题7.0分)
2022年是中国共产主义青年团建团100周年，某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，七、八年级各有300名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从这两个年级各随机抽取了20名学生的成绩(单位：分)进行调查分析.下面给出了部分信息：
a.七年级学生的成绩整理如下：
57 69 72 75 76 78 79 80 81 81
83 83 83 85 86 86 88 88 92 96
b.八年级学生成绩的频数分布直方图如图．
(数据分成四组：60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)，其中成绩在80≤x<90的数据如下：
80 82 83 85 85 85 87 88 88 89
c.两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
80.9
82
m
八年级
81.2
n
85
根据所给信息，解答下列问题：
(1)m= ；n= ．
(2)根据统计数据，你认为七、八两个年级哪个年级的成绩更好些，请说明理由.(至少从一个角度进行说明)
(3)成绩达到85分及以上为优秀，估计参加本次活动的七年级和八年级学生中，此次测试成绩达到优秀的总人数．
19. (本小题7.0分)
图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按照要求作图(保留作图痕迹)．
(1)在图①中作△ABC的中线BD．
(2)在图②中作△ABC的高BE．
(3)在图③中作△ABC的角平分线BF．
20. (本小题7.0分)
3月23日下午，“天宫课堂”第二课如约举行，某校组织师生全员观看．为了解同学们对“天宫课堂”讲授知识的掌握情况，学生会组织了线上知识测试．现从初中三个年级各随机抽取10人的成绩(单位：分)进行了整理、描述和分析．下面给出了相关信息．
a.30名同学“天宫课堂”知识测试成绩的统计图如下．
b.30名同学“天宫课堂”知识测试成绩的频数分布直方图如下．(数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)
c.测试成绩在70≤x<80这一组的是70，73，74，74，75，75，77，78．
d.小夏同学的“天宫课堂”知识测试成绩为88分．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)小夏同学的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第______．
(2)抽取的30名同学的成绩的中位数为______．
(3)序号为1～10的学生是七年级的，序号为11～20的学生是八年级的，序号为21～30的学生是九年级的．若七年级学生成绩的方差记为s12，九年级学生成绩的方差记为s22，则s12______s22.(填“>”、“=”或“<”)
(4)成绩80分及以上记为优秀，该校初中三个年级720名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为______人．
21. (本小题8.0分)
缂丝，是中国传统丝绸艺术品中的精华．缂丝织造技艺主要是使用古老的木机(如图①)及若干竹制的梭子和拨子，经过“通经断纬”的织造方法，将五彩的蚕丝线缂织成一幅色彩丰富的织物．缂丝工匠现要完成一件织品，工作一段时间后，记录了工作时间和织品长度的数据变化，并从函数角度进行了如下实验探究．
【数据观察】记录的工作时间x(时)和织品长度y(厘米)的数据变化，如下表：
工作时间x(时)
0
2
4
6
8
织品长度y(厘米)
3
3.6
4.2
4.8
5.4
【探索发现】(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示记录的工作时间x，纵轴表示织品长度y，描出以表格中数据为坐标的各点．
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】(1)记录的工作时间达到5小时，求织品的长度．
(2)如果每天工作10小时，要完成长为240厘米的织品，共需要多少天？
22. (本小题9.0分)
如图，AD是△ABC的中线，点E是AD上一点，过点E作AC的平行线，过点B作AD的平行线，两平行线交于点F，连结AF．
【方法感知】如图①，当点E与点D重合时，易证：△AEC≌△FBE.(不需证明)
【探究证明】如图②，当点E与点D不重合时，求证：四边形ACEF是平行四边形．
小新同学受到【方法感知】中的启发，经过思考后延长CE交BF于点M．
请完成小新同学的证明过程．
【结论应用】如图③，当CA⊥AB，∠ABC=30°时，CE的延长线交AB于点N，且点N为AB中点．
(1)NGGA=______．
(2)当AC=2时，BF的长为______．
23. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2.点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB−BA运动，到点A停止.在点P运动的同时，点Q从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD−DC运动.当点P回到点A停止时，点Q也随之停止运动.设点P的运动时间为t秒(t>0)．
(1)用含t的代数式表示线段AP的长．
(2)以PQ为边作矩形PQMN，使点M与点A在PQ所在直线的两侧，且PQ=2MQ．
①当点Q在边AD上，且点M落在CD上时，求t的值．
②当点M在矩形ABCD内部时，直接写出t的取值范围．
(3)点E在边AB上，且AE=2，在线段PQ上只存在一点F，使∠AFE=90°，直接写出t的取值范围．
24. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点A(−3,0)和点B(1,0)．
(1)此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为______．
(2)求此二次函数的关系式．
(3)当−2≤x≤3时，求二次函数y=ax2+bx+2的最大值和最小值．
(4)点P为二次函数y=ax2+bx+2(−3
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据概念，与−6只有符号不同的数是6.即−6的相反数是6．
故选：D．
相反数就是只有符号不同的两个数．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】D
【解析】解：将384000这个数用科学记数法表示为3.84×105，
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：由图知该正方体中，和“欢”相对的字是“凯”，
故选：C．
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意得：50(1+x)2=72．
故选：A．
利用十月份的口罩产量=八月份的口罩产量×(1+该厂家八月份到十月份的口罩产量的月平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，
即将Rt△OBA点绕原点O逆时针旋转90°得到Rt△OB1A1，如图，
所以OB1=OB=2，A1B1=AB=1，
所以点A1的坐标是(−1,2)．
故选：A．
将A点绕原点O逆时针旋转90°得到A1，相当于将Rt△OBA点绕原点O逆时针旋转90°得到Rt△OB1A1，如图，然后根据旋转的性质得OB1=OB=2，A1B1=AB=1，从而得到点A1的坐标．
本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
6.【答案】C
【解析】解：连接OC，OD，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=60°，
∴∠CMD=12∠COD=30°，
故选：C．
由正六边形的性质得出∠COD=60°，由圆周角定理求出∠CMD=30°．
本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠AOB=60°是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：由作法MN垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴BC为⊙O的直径，
∴∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= 32+42=5，
∵12CE⋅AB=12CA⋅CB，
∴CE=3×45=125，
在Rt△BCE中，BE= 42−(125)2=165．
故选：C．
利用基本作图得到MN垂直平分BC，则BD=CD，再利用圆周角定理得到∠BEC=90°，接着利用面积法计算出CE=125，然后利用勾股定理计算出BE的长．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和圆周角定理．
8.【答案】C
【解析】解：∵点A(m−2,y1)，B(m,y2)都在二次函数y=(x−1)2+n的图象上，
∴y1=(m−2−1)2+n=(m−3)2+n，
y2=(m−1)2+n，
∵y1>y2，
∴(m−3)2+n>(m−1)2+n，
∴(m−3)2−(m−1)2>0，
即−4m+8>0，
∴m<2，
故选：C．
根据y1>y2列出关于m的不等式即可解得答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．本题属于基础题，难度不大．
9.【答案】23
【解析】解： 8=2 2，
∵简二次根式 4−3x与二次根式 8是同类二次根式，
∴4−3x=2，
解得x=23．
故答案为：23．
把 8化为最简形式，再根据同类二次根式的定义解答即可．
本题考查的是同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
10.【答案】0
【解析】解：根据题意得△=22−4k>0，
解得k<1．
所以k可以取0．
故答案为0．
先利用判别式的意义得到22−4k>0，再解不等式确定k的范围，然后在此范围内取一个值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
11.【答案】45
【解析】解：∵多边形的外角和等于360°．
∴360°÷8=45°，
故答案为：45．
利用正八边形的外角和等于360度即可求出答案．
本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．
12.【答案】2
【解析】解：由题意，大正方形的对角线长为4 2，
∴小正方形的边长为14×4 2= 2，
∴头部小正方形的面积为： 2× 2=2．
故答案为：2．
根据七巧板的特点，求出小正方形的边长即可求出其面积．
本题考查七巧板，正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13.【答案】6
【解析】
【分析】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质，熟知正六边形的边长等于半径是解答此题的关键．
由正六边形ABCDEF内接于⊙O，由⊙O的直径得出⊙O的半径，再根据正六边形的半径等于边长即可得出结果．
【解答】
解：连接OA，OB，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的周长为12π，
∴⊙O的半径为6，
∵∠AOB=360°6=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=6，
∴正六边形ABCDEF的边长为6．
14.【答案】12
【解析】解：∵抛物线y=a(x+2)2+c(a>0)的顶点为E，且经过点A、B，
∴抛物线的对称轴是直线x=−2，且A、B关于直线x=−2对称，
过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AD=BD=2，
∴AB=4，DE=12AB=2，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=AB=BC=OC=4，EF=4+2=6，
∴A(0,−4)，E(−2,−6)，
把A、E的坐标代入y=a(x+2)2+c得：
4a+c=−4c=−6，
解得：a=12，
故答案为：12．
过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，求出E、A的坐标，代入函数解析式，即可求出答案．
本题考查了二次函数的性质和图象，等腰直角三角形的性质，正方形的性质等知识点，能求出A、E的坐标是解此题的关键，注意：顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是x=h．
15.【答案】解：原式=x2+3x+x+3+x2−4x+4
=2x2+7，
当x= 5时，
原式=2×( 5)2+7
=2×5+7
=10+7
=17．
【解析】先展开，再合并同类项，化简后将x的值代入计算即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握多项式乘多项式法则，完全平方公式，把所求式子化简．
16.【答案】解：列表如下：
−1
0
2
−2
−3
−2
0
1
0
1
3
1
0
1
3
由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个小球的数字之和是正数的有4种结果，
所以摸出的两个小球的数字之和是正数的概率为49．
【解析】列表得出所有等可能结果数，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：设“雪容融”的销售单价为x元，
根据题意，得24000x+40=2×8000x，
解得x=80，
经检验，x=80是原方程的根，且符合题意，
答：“雪容融”的销售单价是80元．
【解析】设“雪容融”的销售单价为x元，根据当月销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”的2倍，列分式方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
18.【答案】83 81
【解析】解：(1)根据七年级的成绩可知，83分出现次数最多，故m=83；
由题意知，八年级学生的成绩中第10、第11位分别是80分，82分，
∴n=80+822=81，
故答案为：83；81；
(2)八年级的成绩更好些，理由：
八年级的成绩的平均数和众数高于七年级；
(3)由题意知，七年级成绩优秀的人数占比为720，八年级成绩优秀的人数占比为820=25，
∴估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为300×720+300×25=235(人)．
答：估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数约为235人．
(1)根据众数和中位数的定义可得出答案．
(2)根据平均数，中位数以及众数的定义解答即可．
(3)用总人数乘抽取的20名学生的成绩到达优秀所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、众数、中位数、样本估计总体，能够从统计图中获取必要信息是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图①中，线段BD即为所求；
(2)如图②中，线段BE即为所求；
(3)如图③中，线段BF即为所求．
【解析】(1)利用网格特征作出AC的中点D，连接BD即可；
(2)取格点T，连接BT交AC于点E，线段BE即为所求；
(3)取格点W，连接BW交AC于点F，线段BF即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，三角形的中线，角平分线，高等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】11 74 < 240
【解析】解：(1)由频数分布直方图可知，成绩在80≤x<90的有7人，成绩在90≤x<100的有3人，结合70≤x<80这组的数据可得，
成绩为78分处在第11名，
故答案为：11；
(2)将这30名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是74分，因此中位数是74分，
故答案为：74；
(3)从图1中，1～10号，11～20号学生成绩分布的离散程度可以直观看出，1～10号学生的成绩分布的离散程度较小，比较整齐，即它的方差较小，
因此九年级的方差s12较小，
故答案为：<；
(4)720×7+330=240(名)，
故答案为：240．
(1)根据成绩的频数分布直方图以及成绩在70≤x<80这组的数据进行判断即可；
(2)根据中位数的定义进行判断即可；
(3)从图1的数据分布的离散程度进行判断即可；
(4)从样本中得出“优秀”所占的百分比进行估算即可..
本题考查频数分布直方图，中位数、方差以及样本估计总体，理解中位数、方差的定义，掌握样本估计总体的方法是解决问题的前提．
21.【答案】解：【探索发现】
(1)描出以表格中数据为坐标的各点，如图：
(2)上述各点在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y=kx+b，
将(0,3)，(2,3.6)代入得：
b=32k+b=3.6，
解得k=0.3b=3，
∴这条直线所对应的函数表达式为y=0.3x+3；
【结论应用】
(1)当x=5时，y=0.3×5+3=4.5，
答：织品的长度是4.5厘米；
(2)当y=240时，0.3x+3=240，
解得x=790，
∴要完成长为240厘米的织品，需要790÷10=79(天)，
答：要完成长为240厘米的织品，需要79天．
【解析】【探索发现】
(1)以表格数据描点即可；
(2)用待定系数法可求函数表达式；
【结论应用】
(1)结合函数表达式，求出x=5时y的值即可；
(2)求出y=240时，x的值，即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能求出函数关系式．
22.【答案】12 83
【解析】【探究证明】证明：如图②，延长CE交BF于点M．
∵D是BC的中点，AD//BF，
∴CE=EM，∠AEC=∠FME，
∵AC//EF，
∴∠ACE=∠FEM，
在△AEC和△FME中，
∠ACE=∠FEMCE=EM∠AEC=∠FME，
∴△AEC≌△FME(ASA)，
∴AC=EF，
∵AC//EF，
∴四边形ACEF是平行四边形；
【结论应用】解：(1)如图③中，连接DN．
∵BD=DC，BN=AN，
∴DN//AC，DN=12AC，
∴NE：EC=DN：AC=1：2，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴AF=EC，
∴NG：GA=NE：AF=NE：EC=1：2，
故答案为：12；
(2)如图③−1中，连接DN，延长CN交EB于点M．
在Rt△ABC中，AC=2，∠ABC=30°，
∴BC=2AC=4，
∵BD=CD，
∴AD=12BC=2，
∵DN//AC，
∴DE：EA=DN：AC=1：2，
∴DE=23，AE=43，
∵DE//BM，BD=DC，
∴CE=EM，
∴BM=2DE=43，
∵△ACE≌△FEM，
∴FM=AE=43，
∴F=BM+FM=83．
故答案为：83．
【探究证明】如图②，延长CE交BF于点M.证明△AEC≌△FME(ASA)，推出AC=EF，可得结论；
【结论应用】(1)利用三角形的中位线定理，以及平行线分线段成比例定理求解即可；
(2)如图③−1中，连接DN，延长CN交EB于点M.利用直角三角形30度角的性质求出BC=4，再利用三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理求出DE，AE，再利用三角形中位线定理，全等三角形的性质求出BM，FM，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
23.【答案】解：(1)∵点P从点A出发以每秒2个单位的速度运动，
∴当点P与点B重合时，则2t=6，解得t=3；
当点P返回到点A时，则2t=6×2，解得t=6，
当0
∵四边形ABCD和四边形PQMN都是矩形，DQ=2−t，PQ=2M，
∴∠D=∠A=∠PQM=90°，
∴∠DQM=∠APQ=90°−∠AQP，
∴△DQM∽△APQ，
∴DQAP=MQPQ=MQ2MQ=12，，
∴DQ=12AP，
∴2−t=12×2t，
解得t=1．
②当0
作MG⊥CD于点G，则∠QGM=∠D=∠AQM=90°，
∴∠MQG=∠QAD=90°−∠AQD，
∴△MQG∽△QAD，
∴MGQD=QMAQ=12，
∴MG=12QD=12×4=2，
∴点M恰好落在AB边上，
∴当点M在矩形ABCD内部时，143
当0
连接OF，则PQ⊥OF，OF=OA=OE=1，
∵∠BAD=90°，AQ=t，AP=2t，
∴PQ= AQ2+AP2= t2+(2t)2= 5t，
∵∠OFP=90°，
∴OFOP=AQPQ=tan∠APQ=t 5t=1 5，
∴OP= 5OF，
∴2t−1= 5，
解得t= 5+12，
当2
②分三种情况讨论，一是0
24.【答案】2
【解析】解：(1)在y=ax2+bx+2中，令x=0得y=2，
∴二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为2，
故答案为：2；
(2)将A(−3,0)和B(1,0)代入y=ax2+bx+2得：
0=9 a−3b+20=a+b+2，解得 a=−23b=−43，
∴二次函数的关系式为y=−23x2−43x+2；
(3)∵y=−23x2−43x+2=−23(x+1)2+83，
∴抛物线顶点为：(−1,83)，对称轴为直线x=−1，
∵−2<−1<3，且−1<0，
∴当−2≤x≤3时，二次函数y=−23x2−43x+2在x=−1时取得最大值，最大值是83，
而|−2−(−1)|<|3−(−1)|，
∴x=3时，二次函数y=−23x2−43x+2在x=3时取得最小值，最小值是−8，
∴当−2≤x≤3时，二次函数y=−23x2−43x+2最大值是83，最小值是−8，
(4)PQ=|−2m−4−m|=|−3m−4|，
当−3m−4>0时，PQ=−3m−4，PQ的长度随m的增大而减小，
当−3m−4<0时，PQ=3m+4，PQ的长度随m增大而增大，
∴−3m−4>0满足题意，解得m<−43，
①P到对称轴直线x=−1的距离为−1−m，当PQ<2(−1−m)时，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(−3
∴−3m−4<2(−1−m)，
解得m>−2，
∴−2
x=12时，y=−23x2−43x+2=76，
在y=−23x2−43x+2中，令y=76得−23x2−43x+2=76，
解得x=12或x=−52，
∴当−3
(2)用待定系数法即可得答案；
(3)求出抛物线顶点为：(−1,83)，对称轴为直线x=−1，由|−2−(−1)|<|3−(−1)|，计算顶点坐标及x=3时的函数值，即可得答案；
(4)PQ=|−2m−4−m|=|−3m−4|，由PQ的长度随m的增大而减小，得m<−43，①P到对称轴直线x=−1的距离为−1−m，当PQ<2(−1−m)时，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(−3
相关试卷
2023年吉林省长春市榆树市四校联考中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年吉林省长春市榆树市四校联考中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市榆树市市北片五校中考数学二模试卷（含答案）： 这是一份2023年吉林省长春市榆树市市北片五校中考数学二模试卷（含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省长春市榆树市市北片五校中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年吉林省长春市榆树市市北片五校中考数学二模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
