2023高考考点分析 第二节 两直线间的位置关系

这是一份2023高考考点分析 第二节 两直线间的位置关系，共6页。
【考点分析】　第二节 两直线间的位置关系【考点一】  两条直线的位置关系【典型例题1】  (1)经过两条直线2x＋3y＋1＝0和3x－y＋4＝0的交点，并且平行于直线3x＋4y－7＝0的直线方程是________________．(2)已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x－ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，则的取值范围为________．【解析】  (1)联立直线的方程得到两直线的交点坐标.设平行于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为3x＋4y＋c＝0，则3×＋4×＋c＝0，解得c＝，所以直线的方程为3x＋4y＋＝0.(2)因为l1⊥l2，所以m(m＋2)＋1×(－n)＝0，得n＝m2＋2m，因为m＞0，所以＝＝，则0＜＜，故的取值范围为.【答案】  (1)3x＋4y＋＝0  (2)【归纳总结】  由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件＝≠(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件≠(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件＝＝(A2B2C2≠0)【考点二】  两条直线的交点问题【典型例题2】  直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________________．【解析】  (方法一)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－.所以直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．(方法二)当AB∥l时，有k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)．所以直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.【答案】  x＋3y－5＝0或x＝－1　【归纳总结】(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，常用的直线系方程如下：①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R，且m≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；③过直线l1：A1x＋B1y＋C1 ＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.【考点三】  两点间距离【典型例题3】  已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P(0，)，则线段AB的长为________．【解析】　依题意，a＝2，P(0，5)，设A(x，2x)、B(－2y，y)，故，则A(4，8)、B(－4，2)，所以|AB|＝＝10.【答案】　10【考点四】  已知距离求参数值【典型例题4】  (1)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)A．1　　　　　　　　　 B.C.  D．2(2)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．【解析】　(1)法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k>0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B.法二：设点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l过定点B(－1,0)，知当AB⊥l时，距离最大，最大值为.(2)依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，又两平行线之间的距离为，所以＝，因此c＝2或－6.【答案】　(1)B　(2)2或－6【考点五】  距离公式的综合应用【典型例题5】  (1)P点在直线3x＋y－5＝0上，且P点到直线x－y－1＝0的距离为，则P点的坐标为(　　)A．(1，2)      B．(2，1)   C．(1，2)或(2，－1)    D．(2，1)或(－1，2)(2)在△ABC中，A(1，1)，B(m，)(1<m<4)，C(4，2)，则当△ABC的面积最大时，m＝________．【解析】　(1)设P点坐标为(x，5－3x)，则P点到直线x－y－1＝0的距离d＝＝＝，所以|2x－3|＝1，所以x＝1或x＝2.所以P点坐标为(1，2)或(2，－1)．(2)由两点间距离公式可得|AC|＝，直线AC的方程为x－3y＋2＝0，所以点B到直线AC的距离d＝，所以△ABC的面积S＝|AC|·d＝|m－3＋2|＝|－|，又1<m<4，所以1<<2，所以当＝，即m＝时，S取得最大值．【答案】　(1)C　(2)【考点六】  中心对称问题【典型例题6】  过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．【解析】设l1与l的交点为A(a,8－2a)．由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.【答案】x＋4y－4＝0【归纳总结】  中心对称问题的解法(1)点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．【考点七】  轴对称问题【典型例题7】  (1)已知直线y＝2x是△ABC中角C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　)A．(－2，4)   B．(－2，－4)C．(2，4)   D．(2，－4)(2)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．【解析】  (1)设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则C(2，4)．(2)设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得a＝1，b＝0.即M ′(1，0)．又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.【答案】  (1)C　(2)6x－y－6＝0【归纳总结】　轴对称问题的解法(1)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有(2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．【考点八】  对称问题的综合应用【典型例题8】  已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程．【解析】　(1)设A′(x，y)，则解得即A′.(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则解得即M′.设m与l的交点为N，则由得N(4，3)．又m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上．易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.【答案】  (1)　(2)9x－46y＋102＝0  (3)2x－3y－9＝0【考点九】  利用直线系求直线方程【典型例题9】  求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．【解析】　法一：将直线l1，l2的方程联立，得解得即直线l1，l2的交点为(－1，2)．由题意得直线l3的斜率为，又直线l⊥l3，所以直线l的斜率为－，则直线l的方程是y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.法二：由于l⊥l3，所以可设直线l的方程是5x＋3y＋c＝0，将直线l1，l2的方程联立，得解得即直线l1，l2的交点为(－1，2)，则点(－1，2)在直线l上，所以5×(－1)＋3×2＋c＝0，解得c＝－1，所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.法三：设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，整理得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.由于l⊥l3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得λ＝，所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.【答案】  5x＋3y－1＝0