2023高考考点分析 第一节 导数的概念和运算

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【考点分析】　第一节 导数的概念和运算【考点一】  导数的定义及其应用【典型例题1】  已知函数f(x)可导，则 等于(　　)A．f′(x)  B．f′(2)C．f(x)  D．f(2)【解析】  因为函数f(x)可导，所以f′(x)＝ ，所以 ＝f′(2)．【答案】  B【考点二】  导数的计算【典型例题2】  求下列函数的导数：(1)y＝(3x3＋5x)(2x－1)；(2) ；(3)；(4)y＝x2cosx；(5)y＝2xex－3x＋π；(6)y＝；【解析】(1)y′＝(3x3＋5x)′(2x－1)＋(3x3＋5x)(2x－1)′＝(9x2＋5)(2x－1)＋2(3x3＋5x)＝18x3－9x2＋10x－5＋6x3＋10x＝24x3－9x2＋20x－5.(2) y′=(3)(4)y′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx.(5)y′＝(2x)′ex＋2x(ex)′－(3x)′＝2xln2×ex＋2xex－3xln3＝(ln2＋1)(2e)x－3xln3.(6)y′＝＝＝.【考点三】  复合函数的导数【典型例题3】  求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝cos32x＋ex；(3)y＝ln(8x＋6)【解析】(1)引入中间变量u＝φ(x)＝3－4x.则函数y＝是由函数f(u)＝＝u－4与u＝φ(x)＝3－4x复合而成的．根据复合函数求导法则可得′＝f′(u)φ′(x)＝－·(－4)＝＝.(2)y′＝3cos22x·(cos2x)′＋ex＝－6sin2x·cos22x＋ex.(3)引入中间变量u＝φ(x)＝8x＋6，则函数y＝ln(8x＋6)是由函数根据复合函数求导法则可得[ln(8x＋6)]′＝f′(u)·φ′(x)＝＝.【答案】  (1)    (2)－6sin2x·cos22x＋ex    (3) 【归纳总结】1.掌握求复合函数的导数一般步骤：(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解关系；(2)分层求导，弄清每一步中是哪个变量对哪个变量求导数．2．复合函数的导数计算关键是联想基本初等函数，准确地通过中间量对复合函数进行分拆，同时最后结果是关于x的函数解析式．【考点四】  抽象函数求导【典型例题4】  (2021·四川省眉山车城中学高二期中)已知函数，则(    )A．1 B．－1 C．2 D．3【解析】  因为，所以，令，可得，解得.故选：B.【答案】  B【归纳总结】  对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．【考点五】  导数与函数图象【典型例题5】   (1)(2021·四川名校联考)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)(2)如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) (3)已知y＝f（x）是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g′（x）是g（x）的导函数，则g′（3）＝　　　　.【解析】  (1)设f′(3)，f(3)－f(2)＝，f′(2)分别表示直线n，m，l的斜率，数形结合知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故选C.(2)由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B. (3)由题图可知曲线y＝f（x）在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′（3）＝－.∵g（x）＝xf（x），∴g′（x）＝f（x）＋xf′（x），∴g′（3）＝f（3）＋3f′（3），又由题图可知f（3）＝1，∴g′（3）＝1＋3×＝0.【答案】  (1)  C　(2)D　(3)0【归纳总结】  导数的运算是所有导数问题的基础，高考中直接考查导数运算的题目较少，但凡是涉及导数的问题不用计算导数的也极其罕见．因此，必须牢牢掌握导数的运算法则．【考点六】  求切线方程【典型例题6】  (1)(2021·高考全国甲卷理数)曲线在点处的切线方程为__________．(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．【解析】　(1)由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以．故切线方程为．(2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，所以设切点为(x0，y0)．又因为f′(x)＝1＋ln x，所以解得x0＝1，y0＝0.所以切点为(1，0)，所以f′(1)＝1＋ln 1＝1.所以直线l的方程为y＝x－1.【答案】　(1)　(2)y＝x－1【归纳总结】 (1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)求曲线的切线方程需注意两点①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．　 【考点七】  已知切线方程(或斜率)求切点坐标【典型例题7】  抛物线y＝x2的一条切线方程为6x－y－b＝0，则切点坐标为________．【解析】  设切点坐标为(x0，y0)，所以k＝y′|x＝x0＝2x0＝6，所以x0＝3，y0＝9，即切点坐标为(3，9)．【答案】  (3，9)【考点八】  已知切线方程(或斜率)求参数值【典型例题8】  (1)已知函数f(x)＝aex＋x2，g(x)＝cos (πx)＋bx，直线l与曲线y＝f(x)切于点(0，f(0))，且与曲线y＝g(x)切于点(1，g(1))，则a＋b＝________，直线l的方程为________．(2)(2021·湖北黄冈模拟)已知直线y＝是曲线y＝xex的一条切线，则实数m的值为(　　)A．－　 B．－e 　C．  D．e【解析】　(1) f′(x)＝aex＋2x，g′(x)＝－πsin (πx)＋b，f(0)＝a，g(1)＝cos π＋b＝b－1，f′(0)＝a，g′(1)＝b，由题意可得f′(0)＝g′(1)，则a＝b，又f′(0)＝＝a，即a＝b＝－1，则a＋b＝－2；所以直线l的方程为x＋y＋1＝0.(2)设切点坐标为(n，)，对y＝xex求导得y′＝(xex)′＝ex＋xex，若直线y＝是曲线y＝xex的一条切线，则有y′|x＝n＝en＋nen＝0，解得n＝－1，此时有＝nen＝－，∴m＝－e.故选B.【答案】　(1)－2　x＋y＋1＝0　(2)B【考点九】  两条曲线的公切线【典型例题9】  (2020·金华十校联考)已知函数y＝x2的图象在点(x0，x)处的切线为l，若l也与函数y＝ln x，x∈(0，1)的图象相切，则x0必满足(　　)A．0＜x0＜   B.＜x0＜1C.＜x0＜   D.＜x0＜【解析】  令f(x)＝x2，f′(x)＝2x，f(x0)＝x，所以直线l的方程为y＝2x0(x－x0)＋x＝2x0x－x，因为l也与函数y＝ln x(x∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x1，ln x1)，y′＝，所以l的方程为y＝x＋ln x1－1，这样有所以1＋ln(2x0)＝x，x0∈(1，＋∞)，令g(x)＝x2－ln(2x)－1，x∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x0，又因为g′(x)＝2x－＝，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln 2＜0，g()＝1－ln 2＜0，g()＝2－ln 2＞0，从而＜x0＜，选D. 【答案】  D【归纳总结】  求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解．(2)利用公切线得出关系式．设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，y1)，在y＝g(x)上的切点P2(x2，y2)，则f′(x1)＝g′(x2)＝.　 【考点十】  根据函数的切线求参数【典型例题10】  若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　)A.   B．[－，＋∞)C．(0，＋∞)   D．[0，＋∞)【解析】  f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D. 【答案】  D【考点十一】  根据函数的解析式求切线方程【典型例题11】  已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为(    )A． B．C． D．【解析】  因为，所以，联立可解得，所以，所以，.所以曲线在点处的切线方程为，所以所求的切线方程为.故选：C【答案】  C【考点十二】  导数公式的灵活应用【典型例题12】  若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)＝________．A．n！         B．1         C．(n-1)！         D．0【解析】  令g(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f(x)＝xg(x)，求导得f′(x)＝x′g(x)＋xg′(x)＝g(x)＋xg′(x)，所以f′(0)＝g(0)＋0×g′(0)＝g(0)＝1×2×3×…×n.【答案】  A【考点十三】  利用切线求最值问题【典型例题13】  (2022•全国高三专题练)若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为(       )A． B． C． D．【解析】  设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为，由，则，令，解得或(舍去)，故点P的坐标为，故点P到直线的最小值为：.故选：A.【答案】  A