2023高考考点分析 第一节 排列、组合

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【考点分析】　第一节 排列 组合【考点一】  分类加法计数原理【典型例题1】  (1)椭圆＋＝1(m>0，n>0)的焦点在x轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为(　　)A．10　　　　　　　　　　 B．12C．20   D．35(2)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为(　　)A．8  B．7C．6  D．5【解析】　(1)因为焦点在x轴上，所以m＞n，以m的值为标准分类，由分类加法计数原理，可分为四类：第一类：m＝5时，使m＞n，n有4种选择；第二类：m＝4时，使m＞n，n有3种选择；第三类：m＝3时，使m＞n，n有2种选择；第四类：m＝2时，使m＞n，n有1种选择．故符合条件的椭圆共有10个．故选A.(2)根据题意，分两种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙、丁二人安排到B，C社区即可，有2种情况．②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙、丁都去B社区，有1种情况；若丙、丁中有1人去B社区，则先在丙、丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况．故不同的安排方法有2＋1＋4＝7种．【答案】　(1)A   (2)B【归纳总结】  分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．【考点二】  分步乘法计数原理【典型例题2】  (1)已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为(　　)A．32　　　　B．23                C．43  D．24(2)有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有(　　)A．21种         B．315种        C．153种         D．143种【解析】  (1)根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法，则从一层到四层共有2×2×2＝23种走法．(2)由题意，选一本语文书一本数学书有9×7＝63种，选一本数学书一本英语书有7×5＝35种，选一本语文书一本英语书有9×5＝45种，∴共有63＋35＋45＝143种选法．故选D.【答案】  (1)B　(2)D【归纳总结】  利用分步乘法计数原理解题的策略(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总方法数．【考点三】  两个计数原理的综合应用【典型例题3】  (1)如图，某教师要从A地至B地参加高考教研活动：路线Ⅰ：A到B有三条路线；路线Ⅱ：A到C后再到B，其中A到C有1条路线，C到B有2条路线；路线Ⅲ：从A到D，D到C，C到B，其中A到D，D到C，C到B各有2条路线，则该教师的选择路线种数共有(　　)A．10   B．11C．13   D．24(2)现有5种不同的颜色，给如图所示的几何体的五个顶点P，A，B，C，D涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，则不同的涂色方法有(　　)A．240种  B．360种C．420种  D．480种【解析】  (1)按路线Ⅰ，共有3种选择；按路线Ⅱ，分2步可以到达B，共有1×2＝2种选择；按路线Ⅲ，分3步，共有2×2×2＝8种，故共有3＋2＋8＝13种选择．(2)当顶点A，C同色时，顶点P有5种颜色可供选择，顶点A有4种颜色可供选择，顶点B有3种颜色可供选择，此时顶点C与顶点A同色，只有1种颜色可选，顶点D有3种颜色可选，不同的方法共有5×4×3×1×3＝180种；当顶点A，C不同色时，顶点P有5种颜色可供选择，顶点A有4种颜色可供选择，顶点B有3种颜色可供选择，此时顶点C与顶点A不同色，有2种颜色可选，顶点D有2种颜色可选，不同的方法共有5×4×3×2×2＝240种．综上，不同的方法共有180＋240＝420种，故选C.【答案】(1)C　(2)C【归纳总结】  分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类；分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，只有完成每一步，整件事才算完成．若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步．【考点四】  计数原理中的新定义问题【典型例题4】  用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由分类加法计数原理及分步乘法计数原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法是(　　)A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)【解析】  因为无区别，所以取红球的方法数为1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；因为蓝球要都取出，或都不取出，所以方法为1＋b5，因为黑球有区别，因此，取黑球的方法数为(1＋c)5，所以所有取法数为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5.故选A.【答案】  A【考点五】  排列问题【典型例题5】  3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起．【解析】  (1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A＝2 520种排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5 040种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝A·A·A＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A种排法，故N＝A·A＝1 440(种)．【答案】  (1)2520    (2)5040    (3)288    (4)1440【归纳总结】  求解排列应用问题的主要方法直接法分类法选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数分步法选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空隙中间接法对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法【考点六】  组合问题【典型例题6】  已知男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．【解析】  (1)第1步，选3名男运动员，有C种选法；第2步，选2名女运动员，有C种选法，共有C·C＝120(种)选法．(2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得总选法数为CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)．法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种．所以“至少有1名女运动员”的选法为C－C＝246(种)．(3)法一：直接法可分类求解：“只有男队长”的选法为C；“只有女队长”的选法为C；“男、女队长都入选”的选法为C；所以共有2C＋C＝196(种)选法．法二：间接法从10人中任选5人有C种选法．其中不选队长的方法有C种．所以“至少有1名队长”的选法为C－C＝196(种)．(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有C－C种．所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种)．【答案】  (1)120  (2)246  (3)196  (4)191【归纳总结】  组合问题的题型及解法题型解法“含有”或“不含有”某些元素的组合“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取“至少”或“至多”含有几个元素的组合解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理【考点七】  相邻、相间问题【典型例题7】  有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有(　　)A．34种　　　　　　　　　 B．48种C．96种   D．144种【解析】　特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有CAA＝96(种)，故选C.【答案】　C【考点八】  分组、分配问题【典型例题8】  从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)【解析】　分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C－C＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．【答案】　660【考点九】  特殊元素(位置)问题【典型例题9】  在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为________．【解析】　①若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有CCA＝36种．②若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有CAA＝24种．故所有的出场顺序的排法种数为36＋24＝60.【答案】　60【考点十】  数字排序问题【典型例题10】  由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数.（1）共可以组成多少个五位数？（2）其中奇数有多少个？（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由.【解析】  （1）由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，共可以组成A55＝120个五位数（2）∵由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数的奇数，∴第五个数字必须从1、3、5中选出，共有C31种结果，其余四个位置可以用四个元素在四个位置进行全排列，共有A44种结果，根据分步计数原理得到共有C31A44＝72；（3）根据题意，用1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，有A55＝120种情况，即一共有120个五位数，再考虑大于43125的数，分为以下四类讨论：①5在首位，将其他4个数字全排列即可，有A44＝24个，②4在首位，5在千位，将其他3个数字全排列即可，有A33＝6个，③4在首位，3在千位，5在百位，将其他2个数字全排列即可，有A22＝2个，④43215，43251，43152，共3个故不大于43125的五位数有120﹣（24+6+2+3）＝85个，即43125是第85项。【答案】  (1)  120    (2) 72    (3)  85【考点十一】  整体均分问题【典型例题11】  国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6名免费培养的教育专业师范毕业生，将其平均分到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．【解析】　先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有A＝90种分配方法．【答案】　90【考点十二】  部分均分问题【典型例题12】  将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为________．【解析】　先将5人分成三组(1，1，3或2，2，1两种形式)，再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有·A·C＝900种．【答案】　900【考点十三】  不等分组问题【典型例题13】  将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法．【解析】　先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有C种选法；再从余下的5本中选2本，有C种选法；最后余下3本全选，有C种选法．故共有C·C·C＝60种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有60A＝360种分配方法．【答案】　360