2023高考考点分析 第一节 数列的概念及数列中的递推

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【考点分析】　第一节 数列的概念及数列中的递推【考点一】  由数列的前几项求数列的通项公式【典型例题1】  (2021·广东广州模拟)数列{an}为，3，，8，，…，则此数列的通项公式可能是(　　)A．an＝　　 B．an＝C．an＝　　 D．an＝【解析】　方法一：数列{an}为，，，，，…，其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故其通项公式为an＝．方法二：当n＝2时，a2＝3，而选项B、C、D，都不符合题意，故选A．【答案】  A【归纳总结】  由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．【考点二】  利用an与Sn的关系求通项公式an【典型例题2】  (2021·重庆一中)已知数列{an}满足a1＝1，前n项和为Sn，且Sn＝2an(n≥2，n∈N*)，则{an}(n≥2)的通项公式为an＝(　　)A．2n－1　　 B．2n－2C．2n＋1－3　　 D．3－2n【解析】　∵Sn＝2an(n≥2，n∈N*)，∴当n≥3时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥3)，易得a2＝1，∴an＝2n－2(n≥2)，故选B．【答案】  B【归纳总结】  (1)已知Sn求an的三个步骤①先利用a1＝S1求出a1.②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．(2)Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．　 ①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．【考点三】  利用an与类Sn的关系求通项公式an【典型例题3】  已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n2－2n＋1，求an.【解析】　设a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn，当n＝1时，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2，当n≥2时，nan＝Tn－Tn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，因此an＝，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝【答案】  an＝【考点四】  利用an与Sn的关系求Sn【典型例题4】  设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．【解析】　由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，两边同时除以Sn＋1Sn，得－＝－1，故数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.【答案】　－【考点五】  由递推关系求数列的通项公式【典型例题5】  分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N*)；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．【解析】　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，所以数列的通项公式为an＝(n－1)2．(2)由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，将这n－1个等式叠乘，得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2，所以数列的通项公式为an＝2．(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以该数列的通项公式为an＝2·3n－1－1．【答案】  (1) (n－1)2        (2) 2       (3) 2·3n－1－1【归纳总结】  已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列求解；当出现an＋1＝时，构造等差数列求解．【考点六】  根据增减性求数列中的未知数【典型例题6】  (2021·石家庄模拟)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝3n－λa，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．【解析】　(1)∵2Sn＝(n＋1)an，∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝，∴＝＝…＝＝1，∴an＝n(n∈N*)．(2)bn＝3n－λn2．bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1)．∵数列{bn}为递增数列，∴2·3n－λ(2n＋1)>0，即λ<．令cn ＝，则＝·＝>1．∴{cn}为递增数列，∴λ<c1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．【答案】  (1) an＝n(n∈N*)     (2) (－∞，2)【归纳总结】  解决数列单调性问题的三种方法(1)作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．(2)作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．(3)结合相应函数的图象直观判断．【考点七】  数列的周期性【典型例题7】  (2021·山东潍坊调研)已知数列{an}中，a1＝2，an＝1－(n≥2)，则a2 022＝(　　)A．　　 B．－C．－1　　 D．2【解析】　∵a1＝2，an＝1－(n≥2)，∴a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝1－(－1)＝2，a5＝1－＝，…．∴数列{an}是以3为周期的周期数列．∵2 022＝3×674，∴a2 022＝a3＝－1，故选C．【答案】  C【归纳总结】  解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．【考点八】  数列的最值【典型例题8】  已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6．(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式；(2)求n为何值时，an最小．【解析】  (1)由得bn＋1－bn＝2n－6，b1＝a2－a1＝－14．当n≥2时，bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋(b4－b3)＋…＋(bn－bn－1)＝－14＋(2×1－6)＋(2×2－6)＋(2×3－6)＋…＋[2(n－1)－6]＝－14＋2×－6(n－1)＝n2－7n－8，当n＝1时，上式也成立．所以数列{bn}的通项公式为bn＝n2－7n－8．(2)由(1)可知an＋1－an＝n2－7n－8＝(n＋1)(n－8)，当n<8时，an＋1<an，即a1>a2>a3>…>a8，当n＝8时，a9＝a8，当n>8时，an＋1>an，即a9<a10<a11<…所以当n＝8或n＝9时，an的值最小．【答案】  (1) n2－7n－8        (2) 8或9【考点九】  数列在分段函数中的应用【典型例题9】  (2021·福建泉州一中)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数a的取值范围可以是(　　)A．　　 B．C．　　 D．【解析】　∵数列{an}是递增数列且an＝∴解得2<a<3，所以实数a的取值范围是(2,3)，故选B．【答案】  B【考点十】  数列的最大、最小项问题【典型例题10】  (2022•天津市新华中学高三(上)期末)在数列中，，则数列中的最大项的________ .【解析】  ，令，解得，即时，，当时，，所以或最大，所以或.故答案为：6或7.【答案】  6或##7或6【归纳总结】  (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．(2)可以利用不等式组(n>1)找到数列的最大项；利用不等式组(n>1)找到数列的最小项．