2023高考能力提高专项练习 第二节 两直线间的位置关系

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【能力提高练】   第二节 两直线间的位置关系1．(2022•宁夏银川一中高三第六次月考)已知直线和直线，下列说法不正确的是(    )A．始终过定点 B．若，则或C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限【解析】  ，，，即始终过定点，故A正确．若，当则与重合，故B错误.或，故C正确．当时，直线始终过点，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.故选：B【答案】  B2．(2022•广东省铁一中学高三(上)期末)已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是(    )A． B．C． D．【解析】  动直线过定点，动直线，即过定点，且此两条直线垂直．∴点P在以AB为直径的圆上，，设∠ABP＝θ，则，θ∈[0，]，，∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴sin(θ+)∈[，1]，∴∈[，2]，故选：D．【答案】  D3．(多选)(2022•全国·高三专题练)瑞士数学家欧拉(Euler)在1765年在其所著作的《三角形的几何学》－书中提出：三角形的外心(中垂线的交点)、重心(中线的交点)、垂心(高的交点)在同一条直线上，后来，人们把这条直线称为欧拉线．若△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则下列说法正确的是(       )A．△ABC的外心为(－1，1) B．△ABC的顶点C的坐标可能为(－2，0)C．△ABC的垂心坐标可能为(－2，0) D．△ABC的重心坐标可能为【解析】  由顶点A(－4，0)，B(0，4)，可知直线AB的垂直分线方程为，的外心在直线x－y＋2＝0上，联立，可得外心坐标为(－1，1)，故A正确；设外心为G，则G(－1，1)，故，所以外接圆方程为，设，则的重心为，代入欧拉线方程为x－y＋2＝0中，得：，和联立，解得或，即C点坐标可以为，故B错误；由C点坐标为，可知重心可能为，故D正确；当C点坐标为时，过C和AB垂直的直线方程为，联立欧拉线方程为x－y＋2＝0可解得垂心坐标为；当C点坐标为时，过C和AB垂直的直线方程为，联立欧拉线方程为x－y＋2＝0可解得垂心坐标为，故C正确，故选：ACD．【答案】  ACD4．(多选)(2022•重庆模拟)“出租车几何”或“曼哈顿距离”(ManhattanDistance)是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系内，对于任意两点、，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则下列说法正确的是(       )A．若点为线段上任意一点，则为定值B．对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为C．对于平面上任意三点、、，都有D．若、为椭圆上的两个动点，则最大值为【解析】  对于A选项，设点为线段上任意一点，则，A对；对于B选项，设点，则，当，时，则；当，时，则；当，时，则；当，时，则．作出点的轨迹如下图所示：由图可知，点的轨迹是边长为的正方形，故动点的轨迹长度为，B错；对于C选项，设点、、，由绝对值三角不等式可得，同理可得，所以，，即，C对；对于D选项，设点、，不妨设，，则，其中为锐角，且，取，，等号成立，D错．故选：AC．【答案】  AC5．(2022•河北邯郸模拟)如图，在平面直角坐标系中，将三角板的端点､分别放在轴和轴的正半轴上运动，点在第一象限，且，若，则点与点之间的距离(       )A．最大值为2 B．最大值为C．最大值为 D．最大值为【解析】  依题意，，，．取中点为，由于为直角三角形，故由于为直角三角形，故显然，，当且仅当､､三点共线时，等号成立．因此，最大值为．故选：C．【答案】  C6．(多选)(2022•河北衡水高三阶段练)已知，过定点的直线为与过定点的直线，两条动直线的交点为，则(       )A．定点B．定点C．点的轨迹方程为D．的最大值为【解析】  对于A选项，直线过定点，A错；对于B选项，直线的方程可化为，由可得，故定点，B对；对于C选项，，所以，，所以，，线段的中点为，且，所以，，所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，所以，点的轨迹方程为，即，C对；对于D选项，设点，，，所以，，所以，，记点，则，因为且，所以，，所以，，当且仅当、、三点共线且点在线段上时，等号成立，故的最大值为，D错．故选：BC．【答案】  BC7．(2022•浙江高三专题练)已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是(       )A． B．9 C．7 D．【解析】  圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为．，又，，．点关于轴的对称点为，，所以，，故选：B．【答案】  B8．(2022•天津市实验中学高三(下)第三次检测)已知a，，曲线，若两条曲线在区间上至少有一个公共点，则的最小值为________．【解析】  曲线，，，，于是可以看作关于a，b的直线方程，则是该直线上的点，表示原点到点的距离的平方，设原点到直线的距离为d，根据点到直线的距离公式得到，，令，则，则，，设，可知函数在上为减函数，当时，，当时，最小值为．故答案为:．【答案】  9．(2022•全国高三专题练)求函数的最小值为___________．【解析】  函数表示轴上动点到和的距离和，当为与轴的交点时，函数取最小值，故答案为：5【答案】  510．(2022•全国高三专题练)已知点，，动点P，Q分别在直线和上，且PQ与两直线垂直，则的最小值为___________．【解析】  设，因为PQ与两直线垂直且，则，故．此式表示为点到及的距离之和，其最小值即为．故所求最小值为．故答案为：【答案】  5+211．(2020·复旦附中青浦分校高三开学考试)已知二元函数的最小值为，则正实数a的值为__________________．【解析】  由题意得，其几何意义为：点与点的距离之和，如图所示：设点，则求的最小值即可，以B为旋转中心，将绕点B逆时针旋转60°至，连接，则均为等边三角形，所以，所以，即，又，所以，化简可得，左右同时平方，根据，解得，故答案为：2【答案】  2