2023高考能力提高专项练习 第四节 空间向量及其运算

这是一份2023高考能力提高专项练习 第四节 空间向量及其运算，共8页。试卷主要包含了如图，三棱台中，，，等内容，欢迎下载使用。
【能力提高练】   第四节 空间向量及其运算1．(多选)(2022•重庆市育才中学高三一模)如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则下列结论正确的是(    )A．直线DB1与平面AEF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．三棱锥A1−AEF的体积等于【解析】  如图建立空间直角坐标系，则，，所以，，所以，所以与不垂直，所以直线DB1与平面AEF不垂直，所以A错误，对于B，设平面的法向量为，则，令，则，因为，所以，所以，因为A1G在平面AEF外，所以直线A1G与平面AEF平行，所以B正确，对于C，由题意可得截面为梯形，则，梯形的高为，所以截面的面积为，所以C错误，对于D，因为平面的法向量为，，所以到平面的距离为，因为，所以，因为，所以，所以，所以三棱锥A1−AEF的体积为，所以D正确，故选：BD【答案】  BD2．(2022•江苏省金陵中学高三二模)为正方体对角线上的一点，且，下面结论不正确的是(    )A． B．若平面PAC，则C．若为钝角三角形，则 D．若，则为锐角三角形【解析】  如图(1)所示：对于A中，正方体中，连接，因为平面，且平面，所以，又由且，所以平面，因为，所以平面，所以，所以A正确；对于B中，正方体中，连接，可得，且，所以平面，若平面，可得点在平面中，可得，又由，所以，所以B正确；对于C中，设正方体的棱长为，当为的中点时，即时，可得，，由余弦定理可得，可得，所以若为钝角三角形，则是不正确的，故C不正确；对于D中，建立如图所示的空间直角坐标系，如图(2)所示不妨设正方体的棱长为1，则，可得，,由，令，解得或(舍去)，又由，所以，即当时，，即为锐角，又因为中，，所以为锐角三角形，所以D正确.故选：C.【答案】  C3．(2022•四川成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟)已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，是上底面的边界上一点．若的最小值为，则该正四棱台的体积为(        )A． B． C． D．【解析】  由题意可知，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，，由对称性，点在是相同的，故只考虑在上时，设正四棱台的高为，则，，设，，，因为在上，所以，则，，，所以由二次函数的性质知，当时，取得最小值为，又因为的最小值为，所以，解得(负舍)，故正四棱台的体积为：.故选：A.【答案】  A4．(2022•山东泰安模拟)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵中，，M是的中点，，N，G分别在棱，AC上，且，，平面MNG与AB交于点H，则___________，___________.【解析】  如图，延长MG，交的延长线于K，连接KN，显然平面，平面，因此，平面MNG与AB的交点H，即为KN与AB交点，在堑堵中，，则，即，又，则，而，于是得，所以，因，，所以.故答案为：6；-42【答案】     6     -425．(2022•上海徐汇三模)已知､是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是___________.【解析】  因为互相垂直，所以，，当且仅当时，取得最小值，最小值为9，则的最小值为3.故答案为：3【答案】  36．(2022•浙江模拟)若、、是棱长为的正四面体棱上互不相同的三点，则的取值范围是_______.【解析】  如下图所示，由任意性，设点、、分别棱长为的正三棱锥的棱、、上的动点，设，其中，则，所以，，所以，，当且仅当线段与棱或重合时，等号成立，即的最大值为，，当且仅当与点或重合，、重合于点或点时，等号成立，但、、为不同的三点，则，由上可知的最大值为，取线段的中点，则，当且仅当线段与棱重合且为棱的中点时，等号成立，则.综上所述，.故答案为：.【答案】  7．(2022•河南省兰考县第一高级中学模拟)已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为的中点，若，则异面直线与所成角的余弦值为______．【解析】  由题意，,,所以，，所以故答案为：.【答案】  8．(2022•浙江绍兴模拟)如图，三棱台中，，，．(1)证明：；(2)求直线与平面所成的角．【解析】  (1)由题，取中点，连接，由，，则，又面，故面，因为面，故，又，则，得证；(2)由题，，则，又，，故，故.分别以为轴建立如图空间直角坐标系，易得，，，，，，设平面法向量，则，令，则，故，故直线与平面所成的角为.即直线与平面所成的角为.【答案】  见解析