2023高考能力提高专项练习 第四节 三角函数的综合应用

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【能力提升练】 第四节 三角函数的综合应用
1．(2022•全国新高考II卷)(多选)已知函数的图像关于点中心对称，则( )
A．在区间单调递减
B．在区间有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【解析】 由题意得：，所以，，即，又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．
【答案】 AD
2．(2022•天津市南开中学高三第一次统练)记表示，中的较大者，则函数在上的图象大致为( )
A． B．
C． D．
【解析】 画出和的图象，根据图象观察即可得到所求函数图象．另外，也可以进行分类讨论：当时，，故；当时，，故；当时，，故，故选：C．

【答案】 C
3．(2022•辽宁省名校高三第四次联考)已知函数的定义域为，则满足的实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【解析】 ，函数和的图象在上都关于直线对称，且它们都在上递增，在上递减，所以函数的图象在上关于直线对称，且在上递增，在上递减，由，得，即，所以，解得，实数的取值范围是，故选C.
【答案】 C
4．(2022•东北师大附中、黑龙江省大庆实验中学高三联合模拟考试)函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )

A．是周期为的周期函数 B．点是图象的一个对称中心
C．直线是图象的一条对称轴 D．对任意实数，恒成立
【解析】 依题意，令的周期为，则，解得，，由得：，而，则有，即，函数的最小正周期，A不正确；
因，则点是图象的一个对称中心，B正确；
因，则直线不是图象的对称轴，C不正确；
，即是函数的最小值，D不正确.故选：B
【答案】 B
5．(2022•重庆市育才中学高三(下)入学考试)(多选)已知函数，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则以下结论正确的是( )
A．的最大值为1
B．函数的单调递增区间为
C．是函数的一条对称轴
D．是函数的一个对称中心
【解析】 ，将画数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到，再向左平移个单位长度，向上平移2个单位长度得，
选项A：的最大值为3，故A错误；
选项B：令，故．
故函数的单调递增区间为，故B正确；
选项C：因为，所以是函数的一条对称轴，故C正确；
选项D：因为，所以不是函数的一个对称中心，故D错误．故选：BC
【答案】 BC
6．(2022•重庆市育才中学高三一模)(多选)已知函数(其中，，)的部分图像，则下列结论正确的是( )

A．函数的图像关于直线对称
B．函数的图像关于点对称
C．将函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，则为奇函数
D．函数在区间上单调递增
【解析】 由图象得函数最小值为，故，，故，，故函数，又函数过点，故，解得，又，即，故，对称轴：，解得，当时，，故A选项正确；
对称中心：，解得，对称中心为，故B选项错误；
函数图像上所有的点向右平移个单位，得到函数，为奇函数，故C选项正确；
的单调递增区间：，解得，又，故D选项正确；故选：ACD.
【答案】 ACD
7．(2022•重庆市第八中学高三第五次月考)(多选)已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称.当时，.则下列结论正确的是( )
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的最小正周期为2
C．当时，
D．函数在上单调递减
【解析】 因为函数对任意都有，所以，即，所以，所以，即恒成立，所以的周期为4.因为函数的图象关于对称，所以将的图象向右平移一个单位，得到的图象，所以关于对称.任取，则，因为函数对任意都有，即，所以.所以，作出的图象如图所示：

对于A：由图象可知：函数的图象关于点中心对称，故A错误；
对于B：函数的图象可以看成的图象x轴上方的图象保留，把x轴上方的图象轴下方的图象翻折到x轴上方，所以函数的最小正周期为2.故B正确；

对于C：由前面的推导可得：当，.故C正确；
对于D：作出的图像如图所示，在上函数单调递增.故D错误. 故选：BC

【答案】 BC
8．(2022•西南大学附属中学校高三第六次月考)(多选)设函数的定义域为R，如果存在常数，对于任意，都有，则称函数是“类周期函数”，T为函数的“类周期”．现有下面四个命题，正确的是( )
A．函数是“类周期函数”
B．函数是“类周期函数”
C．如果函数是“类周期函数”，那么“，”
D．如果“类周期函数”的“类周期”为，那么它是周期为2的周期函数
【解析】 对于A，若函数是“类周期函数”，则存在非零常数，使，
即，即，即，令，因为，且函数在上连续，所以函数在上存在零点，即方程在上有解，即存在常数，对于任意，都有，所以函数是“类周期函数”，故A正确；
对于B，若函数是“类周期函数”，则存在非零常数，使，即，则，即对任意的恒成立，则，矛盾，所以不存在常数，对于任意，都有，所以函数不是“类周期函数”，故B错误.
对于C，若函数是“类周期函数”，则存在非零常数，使，即；故或，当时，，由诱导公式得，；当时，，由诱导公式得，；故“，”，故C正确；
对于D，如果“类周期函数”的“类周期”为，则，即；故它是周期为2的周期函数；故D正确.故选：ACD.
【答案】 ACD
9．(2022•西南四省名校高三第二次大联考)若函数满足对都有，且为R上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为( )
A．11 B．12 C．13 D．14
【解析】 由为R上的奇函数,①，
又 ②，
由②－①为周期为2的周期函数,而又，当时当时,．又当时，单调递增，且．故可作出函数 的大致图象如图：

而集合A中的元素个数为函数与图象交点的个数，由以上分析结合函数性质可知，3为集合A中的一个元素，且y=f(x)与在(1，3)，(3，5)，...，(23，25)中各有一个交点，∴集合中的元素个数为13．故选：C．
【答案】 C
10．(2022•天津市新华中学高三(上)期末)已知函数的定义域为，且，当时，若关于x的方程在上所有实数解的和为15，则实数k的取值范围是( )
A． B． C． D．
【解析】 ∵，∴在上的图象，可由在上的图象向右平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的倍得到，同理，可画出函数在上的大致图象，如图，作出函数及在上的大致图象，

由条件可得，
①当时，与图象的交点两两一组分别关于直线，，，，对称，则实数解的和为；
②当时，与图象的交点两两一组分别关于直线，，，对称，则实数解的和为；
③当时，与图象的交点两两一组分别关于直线，，对称，则实数解的和为；
④当时，与图象的交点两两一组分别关于直线，对称，则实数解的和为；
⑤当时，与图象的两个交点关于直线对称，则实数解的和为；
经验证，当，，，，，及或时，均不符合题意．综上所述，，故选：D．
【答案】 D
11．(2022•天津市南开中学高三第四次调查)若将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，已知函数.)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是( )

A．在上的最小值是
B．是的一个对称中心
C．在上单调递减
D．的图象关于点对称
【解析】 由函数，)的部分图象，可得且，解得，所以，又由时，，即，解得，因为，可得，所以，所以，
对于A中，当时，可得，当时，即时，函数取得最小值，所以A正确；
对于B中，当时，可得，所以点点是的一个对称中心，所以B正确；
对于C中，当时，可得，此时为先减后增的函数，所以C不正确；
对于D中，当时，可得，所以是函数的对称中心，所以D正确.故选：C.
【答案】 C
12．(2022•四川省成都市石室中学高三专家联测卷(二))已知函数最小正周期为，且的图象过点，则方程所有解的和为( )
A． B． C． D．
【解析】 因为的最小正周期为，所以，又因为的图象过点，所以，所以，又因为，所以且此时，所以，即，即，又因为时，，，所以，因为，所以，当时，或，解得或，所以方程所有解的和为.故选：A.
【答案】 A
13．(2022•山东省滕州市第一中学高三(下)开学考试)(多选)对于函数，下列结论正确的是( )
A．若恒成立，则的最小值为
B．当时，是单调增区间
C．当时，的图象关于对称
D．当时，的图象可由的图象向右移个单位得到
【解析】 对于A选项，由题意可知，，所以，，可得，因为，当时，取最小值，A错；
对于B选项，当时，由得，此时，函数的单调递增区间为，B对；
对于C选项，当时，，，此时，的图象关于对称，C对；
对于D选项，当时，，此时，的图象可由的图象向右移个单位得到，D对.故选：BCD.
【答案】 BCD
14．(2022•宁夏银川一中高三第六次月考)已知函数的部分图象如图所示，下列关于函数的表述正确的是( )

A．函数的图象关于点对称
B．函数在上递减
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的图象上所有点向左平移个单位得到函数的图象
【解析】 根据函数的部分图象知，最小正周期为，；又，，，；又，故；，函数；时，，的图象不关于点对称，故A错误；
当时，，在上单调递减，故B正确；
当时，，的图象不关于直线对称，故C错误；
的图象上所有点向左平移个单位，得的图象，不是函数的图象，故D错误．故选：B
【答案】 B
15．(2022•辽宁省大连市第二十四中学等校高三联合模拟)(多选)已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称.当时，.则下列结论正确的是( )
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的最小正周期为2
C．当时，
D．函数在上单调递减
【解析】 因为函数对任意都有，所以，即，所以，所以，即恒成立，所以的周期为4.因为函数的图象关于对称，所以将的图象向右平移一个单位，得到的图象，所以关于对称.任取，则，因为函数对任意都有，即，所以.所以，
作出的图象如图所示：

对于A：由图象可知：函数的图象关于点中心对称，故A错误；
对于B：函数的图象可以看成的图象x轴上方的图象保留，把x轴上方的图象轴下方的图象翻折到x轴上方，所以函数的最小正周期为2.故B正确；

对于C：由前面的推导可得：当，.故C正确；
对于D：作出的图像如图所示，在上函数单调递增.故D错误. 故选：BC

【答案】 BC
16．(2022•江苏省扬州中学高三(下)开学检测)(多选)已知函数的任意两对称轴间的最小距离为，函数的图象关于原点对称，则( )
A．在在单调递增
B．，，
C．把的图象向右平移个单位即可得到的图象
D．若在上有且仅有两个极值点，则a的取值范围为
【解析】 由于函数的任意两对称轴间的最小距离为，所以的最小正周期为，所以，所以，，由于的图象关于原点对称，所以，由于，所以.所以.对于A选项，，所以A选项错误.
对于B选项，，所以，，，所以B选项正确.
对于C选项，由于，所以C选项错误.
对于D选项，在上有且仅有两个极值点，，所以，，D选项正确.故选：BD
【答案】 BD
17．(2022•湖南师范大学附属中学高三第四次月考)将方程的所有正数解从小到大组成数列，记，则( )
A． B． C． D．
【解析】 ，即为，即，所以或，，即或，，而，所以，，，，所以，，，，后面的值都是以，重复循环出现，且，，，所以，故选：C．
【答案】 C
18．(2022•湖南省长郡中学高三第六次月考)(多选)将函数的图象横坐标伸长为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数()的部分图象(如图所示)．对于，且若，都有成立，则( )

A．
B．
C．在上单调递增
D．函数在的零点为，，，，则
【解析】 对于A，由题意可知函数的图象在区间上的对称轴为直线，又，所以，所以，，，故，A正确；
对于B，右移个单位得到函数的图象，再将其横坐标缩短为原来的得到的图象，故B正确；
对于C，令，，得，，当时，，所以在上单调递增，而，故C错误，
对于D，今，则，函数在上有个零点，，，，则，，，，，故，所以，故D正确；故选：ABD．
【答案】 ABD
19．(2022•湖南省雅礼中学等十六校高三(下)第一次联考)(多选)已知函数在区间上的零点个数为，函数在区间上的所有零点的和记为.则下述正确的是( )
A．
B．
C．在区间上任意两零点的差大于
D．在区间上任意两相邻零点的差大于
【解析】 由得，此方程的解即直线与函数交点的横坐标，又是周期为的周期函数，也是奇函数，且在上单调递减，而是增函数也是奇函数，它们只有一个交点，同理在上都是有一个交点，时，交点在 上，所以它们在上交点个数为，即，，B正确；
由函数和都是奇函数，知所有交点关于原点对称，因此，A正确；
相邻两个零点为，，，又当时，，设且，则，而，所以，且，若，则，所以，若，则，即仍然有，综上，任意两个相邻零点，都有，C正确，D错误．故选：ABC．
【答案】 ABC
20．(2022•湖南省衡阳市第八中学高三第五次月考)(多选)已知函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )

A．
B．将的图象向右平移个单位，得到函数的图象
C．的图象关于直线对称
D．若，则
【解析】 由图可知，函数的最小正周期为，则，，得，所以，，得，，得，所以，A项错误；
将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，B项正确；
，故C项错误；
的最小正周期为，所以若，则，故D项正确，故选：BD．
【答案】 BD
21．(2022•湖北省圆创联考高三(下)第二次联合测评)(多选)已知函数，在恒成立，且在单调递增，则下列说法正确的是( )
A．将函数的图象向左平移个单位所得图像关于轴对称
B．的对称中心是
C．若，则
D．在上的值域为
【解析】 ∵函数，在恒成立，∴为函数的最小值，∴，即，又∵在单调递增，∴，即，则，即，将函数的图象向左平移个单位所得图像为，即，该函数为偶函数，则关于轴对称，故选项正确；
令，解得，则对称中心，故选项不正确；
若，则，故选项正确；
当时，则，即，，故选项正确.故选：.
【答案】 ACD
22．(2022•河北省衡水中学高三六调)(多选)已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，关于有下述四个结论，正确的是( )
A．的一个周期是 B．是非奇非偶函数
C．在单调递减 D．的最大值大于
【解析】 ，的一个周期是，故A正确；
，是非奇非偶函数，B正确；
对于C，时，，不增不减，所以C错误；
对于D，，，D正确.故选：ABD
【答案】 ABD
23．(2022•华南师范大学附属中学高三(上)综合测试)已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解析】 当时，，则，等式两边平方得，整理得，所以曲线表示圆的下半圆，如下图所示，由题意可知，函数有三个不同的零点，等价于直线与曲线的图象有三个不同交点，直线过定点，当直线过点时，则，可得；当直线与圆相切，且切点位于第三象限时，，此时，解得．由图象可知，当时，直线与曲线的图象有三个不同交点．因此，实数取值范围是．故选：B．

【答案】 B
24．(2022•广东省铁一中学高三(上)期末)(多选)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是( )
A．为奇函数
B．
C．当时，在上有4个极值点
D．若在上单调递增，则的最大值为5
【解析】 ∵，∴，且，∴，即为奇数，∴为偶函数，故A错.
由上得：为奇数，∴，故B对.
由上得，当时，，,由图像可知在上有4个极值点,故C对，

∵在上单调，所以,解得：，又∵，∴的最大值为5，故D对故选：BCD.
【答案】 BCD
25．(2022•甘肃省兰州大学附属中学高三第三次月考)已知函数，定义域为的函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则( )
A． B． C． D．
【解析】 由得的图象关于对称，同时函数也关于对称，则函数与图象的交点关于对称，则不妨设关于点对称的坐标为，，则，，则，，同理可得：，，，，即，故选：．
【答案】 B
26．(2022•北京市一零一中学高三(上)统考(二))已知函数在上单调，且，则( )
A． B． C． D．
【解析】 函数，其中，，若在区间上单调，所以，解得：；又因为，所以为的一条对称轴，因为，所以即为的一个对称中心，所以，解得：，，因为，所以，因为，所以.故选：A.
【答案】 A
27．(2022•江苏省金陵中学高三二模)已知函数，则的最小正周期为___________；当时，的值域为___________.
【解析】 因为，故为的一个周期,而当时，，由题意可知，令，得，故，，因为当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故的最小正周期为π，且在上的最大值为，而，，故，故当时，函数的值域为,故答案为：；
【答案】 ① ②
28．(2022•甘肃省兰州大学附属中学高三第三次月考)如图是函数的部分图象，则下列说法正确的编号是______.①；②；③是函数的一个对称中心；④函数在区间上是减函数.

【解析】 由图像可知，函数的最小正周期，所以，故①不正确；
因为，所以，，解得，，又，所以，，故②正确；
函数，因为，所以不是函数的一个对称中心，故③错误；
令，，得，，当时，，因为，所以函数在区间上是减函数，故④正确，故答案为：②④.
【答案】 ②④
29．(2022•安徽省六校教育研究会高三(下)第二次联考)函数，已知且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为______.
【解析】 因为函数，，所以，所以，,因为于任意的都有，所以，所以，所以，所以或，所以或，即(舍去)，所以，因为，所以，即，令，所以，在上单调，，且，所以在区间中包含在一个对称轴和对称中心之间()即，所以，而，所以的最大值为5.故答案为：5.
【答案】 5
30．(2022•北京师范大学附属实验中学高三(下)摸底考试)已知函数.
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【解析】 (1)依题意，
，则有的最小正周期为，
由得，，，
所以的最小正周期为，单调增区间为.
(2)由(1)知，当时，，
因正弦函数在上递增，在上递减，
因此，当，即时，取最大值，
当，即时，取最小值1，
所以在区间上的最大值为，最小值为1.
【答案】 (1)最小正周期为，增区间为； (2)最大值为，最小值为1.
31．(2022•黑龙江省实验中学高三第六次月考)已知函数为偶函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，若在上有两个不同的根，求m的取值范围．
【解析】 (1)函数
为偶函数，
令，可得，
图像的相邻两对称轴间的距离为，，
(2)将函数的图像向右平移个单位长度，可得的图像，再将横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图像
若在上有两个不同的根，则在上有两个不同的根，
即函数的图像与直线在上有两个不同的交点.
，，，，求得，
故的取值范围为．
【答案】 (1) (2)
32．(2022•北京市北京大学附属中学高三2月开学考试)已知函数(其中a为常数且)，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.
(1)求a的值；
(2)若方程在区间上有解，求实数m的最小值.
条件①：函数的最大值为4；条件②：函数的图象关于点对称.
【解析】 (1)
(其中)
若选①，因为函数的最大值为4，所以，因为，所以解得，
若选②，因为函数的图象关于点对称，
所以，解得
(2)由(1)可知可化为，
所以，得，
所以或，
得或，
因为，所以的最小值为
【答案】 (1) (2)的最小值为
33．(2022•重庆市育才中学高三二诊)已知函数(其中a为常数且)，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.
(1)求a的值；
(2)若方程在区间上有解，求实数m的最小值.
条件①：函数的最大值为4；条件②：函数的图象关于点对称.
【解析】 (1)，
(其中)
若选①，因为函数的最大值为4，所以，因为，所以解得，
若选②，因为函数的图象关于点对称，所以，
解得
(2)由(1)可知可化为，
所以，得，
所以或，
得或，
因为，所以的最小值为
【答案】 (1) (2)的最小值为
34．(2022•重庆市第八中学高三第六次调研检测)已知函数的最小值为.
(1)求函数的最大值；
(2)把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，且函数在上为增函数，求的最大值.
【解析】 (1)
，函数的最小值为，，解得，
则，函数的最大值为2.
(2)由(1)可知：把函数向右平移个单位，
可得函数的图象.在上为增函数，
函数的周期，，即的最大值为4.
【答案】 (1) (2)4
35．(2022•浙江省Z20名校联盟高三(下)第二次联考)已知函数.
(1)求的单调递增区间及值域；
(2)若，，求的值.
【解析】 (1)∵

∴由，，即，，
所以的单调递增区间为，，
且的值域为；
(2)∵，∴，
∵，则，
又因为，所以，所以，
则.
【答案】 (1)单调递增区间为，，的值域为 (2)