2023高考能力提高专项练习 第一节 导数的概念和运算

这是一份2023高考能力提高专项练习 第一节 导数的概念和运算，共11页。试卷主要包含了已知，，则与的公切线条数，若过点可以作曲线的两条切线，则等内容，欢迎下载使用。
【能力提高练】  第一节 导数的概念和运算1．(2022•华南师范大学附属中学高三(上)综合测试)(多选)国家环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，给出下列四个结论正确的是( )A．甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强；B．在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；D．在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强.【解析】  表示的割线斜率的相反数；对于A，在三段时间中，在中割线的斜率最大且都小于，在最小，甲企业在的污水治理能力最弱，A错误；对于B，在时刻，甲企业在该点的切线斜率比乙企业在该点的切线斜率小且都小于，甲企业在该点的污水治理能力比乙企业强，B正确；对于C，在时刻，甲乙企业的污水排放量都位于污水达标排放量以下，均达标，C正确；对于D，在这段时间内，甲企业的割线斜率要小于乙企业的割线斜率且都小于，在这段时间中，甲企业更大，甲企业在这段时间中的污水治理能力比乙企业强，D正确.故选：BCD.【答案】  BCD2．(2022•重庆市第八中学高三第六次月考)以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下：如果函数在闭区间上的图象不间断，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得，称为函数在闭区间上的中值点.则函数在区间上的中值点的个数为(    )A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】  由题意，函数，，所以，所以，所以由拉格朗日中值定理得：，即，所以，由于时，，所以在无解，在上有2解.所以函数在区间上的中值点的个数为2个.故选：B.【答案】  B3．(2022•全国模拟预测)已知曲线在处的切线为l，点到切线l的距离为d，则d的最大值为(       )A．1 B．2 C． D．【解析】  对求导，得，所以切线l的斜率为，又，所以切线l的方程为，即，所以，当且仅当时取等号， 故d的最大值为．故选：D．【答案】  D4．(2022•福建漳州一模)将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，得到曲线，则上到直线距离最短的点坐标为(       )A． B． C． D．【解析】  将化为，则将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的，得到曲线，即，要使曲线上的点到直线的距离最短，只需曲线上在该点处的切线和直线平行，设曲线上该点为，因为，且的斜率为，所以，解得或(舍)，即该点坐标为.故选：B.【答案】  B5．(2021·山东滕州一中高三期中)已知(为自然对数的底数)，，则与的公切线条数(    )A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【解析】  根据题意，设直线l与相切于点 ，与相切于点，对于，，则，则直线l的方程为 ，即，对于，，则，则直线l的方程为，即，直线l是与的公切线，则 ，可得，即或，则切线方程为： 或,切线有两条. 故选：C【答案】  C6．(2021·重庆市高三第三次联合诊断检测)已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是(    )A． B． C． D．【解析】  ，，设斜率为1的切线在，上的切点横坐标分别为，，由题知，∴，，两点处的切线方程分别为和，故，即.故选：D.【答案】  D7．(2022•天津市南开中学高三第四次调查)已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为(    )A． B．C． D．【解析】  |恒成立可以转化为函数的图象不在图象的下方，∵当时，，∴，∴上单调递减，且，又∵当时，，∴在上单调递增，且，画出函数图象如下图所示，，当和相切时，设切点的横坐标为，∴，即，解得，∴切点坐标为，∴此时，结合图象可知，当和相切时，设切点的横坐标为，∴，即，解得，∴切点坐标为，∴此时，结合图象可知，则实数的取值范围为，故选：.【答案】  A8．(2022•深圳外国语学校高三(下)第二次检测)下列关于三次函数叙述正确的是(    )①函数的图象一定是中心对称图形；②函数可能只有一个极值点；③当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点；④当时，则过点的切线可能有一条或者三条．A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【解析】  ①的对称轴为的轴对称图形，所以必定是中心对称图形，且对称中心为，所以①正确：(或者可用证明)②由于函数的图象是中心对称图形，如果存在极大值，那么一定存在极小值，故②错误；③设切点为，，斜率，切线为，所以，化简得：，∴或者，所以当时，即时，切线与有唯一的交点，当时，切线与有两个不同的交点，所以③正确；④过点的切线的切点不一定是，设切点为，则切线方程为，因为在切线上，所以，将，，代入化简可得：，∴或者，所以当时，即时，切线只有一条，当时，切线有两条，所以④错误；故选：A【答案】  A9．(2022•重庆市第八中学高三第五次调研检测)若过点可以作曲线的两条切线，则(    )A． B． C．     D．【解析】  设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时．，单调递减，时，，单调递增，所以，由题意知，即．故选：D．【答案】  D10．(2022•江苏省南京外国语学校模拟)若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为(       )A． B． C． D．【解析】  设，切线：，即，切线：，即，，令在上单调递增，在上单调递减，所以故选：A．【答案】  A11．(2022•山东省聊城二模)实数，，，满足：，，则的最小值为(       )A．0 B． C． D．8【解析】  由，则，又，的最小值转化为：上的点与上的点的距离的平方的最小值，由，得：，与平行的直线的斜率为1，∴，解得或(舍，可得切点为，切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，的最小值为：.故选：D.【答案】  D12．(2022•河南省许昌高中高三开学考试)已知函数的图象与函数的图象关于某一条直线l对称，若P，Q分别为它们图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为(       )A． B． C． D．【解析】  设为函数图象上任意一点，则，关于直线的对称点为，设，，则，，所以，所以，即函数的图象与的图象关于直线对称，所以这两点之间距离的最小值等于P到直线距离最小值的2倍.函数在点处的切线斜率为，令得,，，所以点P到直线距离的最小值为，所以这两点之间距离的最小值为.故选：A【答案】  A13．(2022•新高考全国I卷)若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【解析】  ∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：【答案】  14．(2022•新高考全国II卷)曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【解析】  因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；【答案】  ①    ②15．(2022•西北工业大学附属中学高三一模)已知直线是曲线的一条切线，则的取值范围是_________.【解析】  设，切点为，，所以，，所以，令，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，所以的取值范围是.【答案】  16．(2022•江苏省苏州中学等四校高三(下)期初联合检测)已知，直线与曲线相切，则的最小值是________．【解析】  根据题意，设直线与曲线的切点为，因为，直线的斜率为，所以，，，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值是.故答案为：【答案】  17．(2022•吉林省实验中学高三第三次学科诊断)曲线在处的切线的倾斜角为α，则__．【解析】  因为的导数为，可得在处的切线的斜率为，则，所以sin(2α)＝cos2α．故答案为：．【答案】  ．18．(2022•湖南省长郡中学高三第四次月考)若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________．【解析】  设两个切点分别为,两个切线方程分别为,,化简得两条切线为同一条.可得, ,,令，，所以g(x)在递增，递减，．所以，填．【答案】  19．(2022•广东省广州市执信中学高三(下)二月月考)已知(e为自然对数的底数)，，则与的公切线条数为_______．【解析】  根据题意，设直线与相切于点，与相切于点，对于，其导数为，则有，则直线的方程为，即，对于，其导数为，则有，则直线的方程为，即，直线是与的公切线，则，可得，则或，故直线的方程为或；则与的公切线条数是2条．故答案为：2．【答案】  2