2023高考能力提高专项练习 第一节 数列的概念及数列中的递推

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【能力提高练】第一节 数列的概念及数列中的递推1．(2022•高考浙江卷)已知数列满足，则(    )A． B．  C． D．【解析】  ∵，易得，依次类推可得，由题意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；综上：．故选：B．【答案】  B2．(2022•高考全国乙卷数学(理))嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则(    )A． B． C． D．【解析】  因为，所以，，得到，同理，可得，，又因为，故，；以此类推，可得，，故A错误；，故B错误；，得，故C错误；，得，故D正确.故选：D.【答案】  D3．(2022•重庆市育才中学高三第五次适应性考试)数列满足＝，＝1，＝2，则＝(    )A． B．1 C．4 D．8【解析】  由＝，＝1，＝2，得，，，，，，所以数列的周期为.所以.故选：C.【答案】  C4．(2022•重庆市育才中学高三二诊)(多选)已知数列{an}满足，，则(    )A．{an}是递增数列 B．C．  D．【解析】  因为a1=1，，所以，故A正确；易知，所以为正整数，又{an}是递增数列，所以，故B正确；由递推公式得：，又，所以，，，易知，故C不正确；取倒得，则由累加法得整理得，又所以，故选：ABD【答案】  ABD5．(2022•浙江省Z20名校联盟高三(下)第二次联考)数列满足：，，记数列的前项和，则(    )A． B．C． D．【解析】  由题意知，，，即，则，即，由累加法可得，所以当时，，所以，又，得，所以，故选：D【答案】  D6．(2022•山西省长治市第二中学高三(上)第三次练考)已知数列、的前项和分别为、，记.则数列的前10项和为(    )A． B．C． D．【解析】  当时，.故.故答案为C【答案】  C7．(2022•湖南省长郡中学高三第四次月考)()，则，，…，中值为0的有(    )个A．201 B．202 C．404 D．405【解析】  令，根据正弦函数的性质可得的周期为10，0，在10个为一组里面有两个值为0，那么在中有，故选：C【答案】  C8．(2022•湖南省雅礼中学等十六校高三(下)第一次联考)已知数列满足，设数列的前项和为，若，，则(    )A．1008 B．1009 C．2016 D．2018【解析】  ∵，，∴，则，∴，，则，可知，，，∴，∵，∴，∴，∵，则，∴，∵，∴，，∵，∴，故选：B．【答案】  B9．(2022•安徽省六安一中高三第四次月考)删去正整数，，，，，中的所有数(如，，等)，得到一个新数列，则这个数列的第项是(    )A． B． C． D．【解析】  ，，且，故新数列的第项是正整数列中的第项，故新数列的第项是.故选：B.【答案】  B10．(2022•吉林白山一模)十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．下面关于斐波那契数列的说法不正确的是(       )A．是奇数 B．C． D．【解析】  因为的项具有2奇1偶，3项一周期的周期性，所以是奇数，所以A正确；因为，所以B错误；因为，所以C正确；因为，所以D正确．故选：B.【答案】  B11．(2022•广东省四校高三(上)第一次联考)已知数列满足，则(    )A． B． C． D．【解析】  因，则，所以，所以.【答案】  D12．(2022•辽宁省实验中学高三(上)期中)数列中，，，使对任意的()恒成立的最大值为(    )A． B． C． D．【解析】  由已知可得，数列：，可得规律为；；；此时将原数列分为三个等差数列：，；，；;因为，所以满足对任意的恒成立的最大值为．【答案】  B13．(2022•湖南永州一中高三月考)在数列中，，则(    )A．25 B．32 C．62 D．72【答案】B【解析】令函数，由对勾函数的性质得函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，是单调递减数列，当时，是单调递增数列，所以所以故选：B14．(2022•浙江省名校协作体高三(下)3月联考)我国古代数学家已经会借助三角数表来计算二阶等差数列的和，例如计算，把第一个数表逆时针旋转两次，得到后两个数表，再把3个数表叠在一起，每一个位置的和都是5，所以，我们使用类似的想法计算：，三个数表叠加之后每一个位置的和都是___________；推广可得的求和公式__________．【解析】  ，三个数表叠加之后每一个位置的和是1+1+12=14，又，三个数表叠加之后每一个位置的和是1+1+n=n+2，而一共有个这样的位置，故.故答案为：14，.【答案】  ①14    ②15．(2022•江苏省金陵中学高三二模)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，，，，1，，，，1，…，其中第一项是1，接下来的两项是，1，再接下来的三项是，，1，依此类推，求满足如下条件的最小整数N；该数列的前N项和大于46，那么该款软件的激活码是______．【解析】  该数列的前项和为，要使，当时，，则，又，所以对应满足条件的最小整数．故答案为：83.【答案】  8316．(2022•东北师大附中、黑龙江省大庆实验中学高三联合模拟考试)已知数列中，，，且，其中，则______.【解析】  因为，所以当时，有，得：，因为，，所以，显然，即，于是有，于是当时，，所以数列是以为周期的周期数列，因为，所以，故答案为：【答案】  17．(2022•湖南师范大学附属中学高三第四次月考)已知数列满足，又的前项和为，若，则___________.【解析】  因为，所以，所以，故答案为：【答案】  18．(2022•湖南省长郡中学高三第六次月考)已知数列对任意的，都有，且．①当时，_________．②若存在，当且为奇数时，恒为常数P，则P＝_________．【解析】  由题设通项公式，可得，故从第二项开始形成周期为3的数列，而，故．当时，为奇数时为偶数，故；若为奇数，由，故，不满足；若为偶数，则直到为奇教，有，故，当时满足条件，此时，即，故答案为：2，1【答案】  ①2    ②119．(2022•湖北省圆创联考高三(下)第二次联合测评)已知数列对任意的，都有，且．若时，则________．【解析】  若为奇数，则(舍)，若为偶数，则；若为奇数，则(舍)，若为偶数，则；若为奇数，则，若为偶数，则.故答案为：9或56.【答案】  9或56##56或920．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式．【解析】　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，∵a1＝2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n．(2)∵an＝＋＋＋…＋(n≥1)，①∴an＋1＝＋＋＋…＋＋．②②－①，得＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2(3n＋1＋1)．故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．【答案】  (1) 2n        (2) 2(3n＋1)(n∈N*)21．(2022•广东省铁一中学高三(上)期末)已知数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)数列，表示不超过的最大整数，求的前1000项和.【解析】  (1)当时，，当时，，将代入上式验证显然适合，所以.(2)因为，，，，所以，所以.【答案】  (1)；(2).