2020年北京大学强基计划数学试卷

这是一份2020年北京大学强基计划数学试卷，共38页。
2020年北京大学强基计划数学试卷
一、选择题共20小题，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错或不选得0分.
1．（5分）（2020•北京自主招生）正实数x，y，z，w满足x≥y≥w和x+y≤2（z+w），则+的最小值等于（　　）
A． B．
C．1 D．前三个答案都不对
2．（5分）（2020•北京自主招生）在（2019×2020）2021的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为（　　）
A．16 B．31
C．32 D．前三个答案都不对
3．（5分）（2020•北京自主招生）整数列{an}n≥1满足a1＝1，a2＝4，且对任意n≥2有an2﹣an+1an﹣1＝2n﹣1，则a2020的个位数字是（　　）
A．8 B．4
C．2 D．前三个答案都不对
4．（5分）（2020•北京自主招生）设a，b，c，d是方程x4+2x3+3x2+4x+5＝0的4个复根，则+++的值为（　　）
A．﹣ B．﹣
C． D．前三个答案都不对
5．（5分）（2020•北京自主招生）设等边三角形ABC的边长为1，过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线于点D，AD＞BD，则三角形BCD的面积为（　　）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
6．（5分）（2020•北京自主招生）设x，y，z均不为（k+）π，其中k为整数，已知sin（y+z﹣x），sin（x+z﹣y），sin（x+y﹣z）成等差数列，则依然成等差数列的是（　　）
A．sinx，siny，sinz B．cosx，cosy，cosz
C．tanx，tany，tanz D．前三个答案都不对
7．（5分）（2020•北京自主招生）方程19x+93y＝4xy的整数解个数为（　　）
A．4 B．8
C．16 D．前三个答案都不对
8．（5分）（2020•北京自主招生）从圆x2+y2＝4上的点向椭圆C：+y2＝1引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（　　）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
9．（5分）（2020•北京自主招生）使得5x+12≤a（x+y）对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为（　　）
A．8 B．9
C．10 D．前三个答案都不对
10．（5分）（2020•北京自主招生）设P为单位立方体ABCD﹣A1B1C1D1上的一点，则PA1+PC1的最小值为（　　）
A． B．
C．2﹣ D．前三个答案都不对
11．（5分）（2020•北京自主招生）数列{an}（n≥1）满足a1＝1，a2＝9，且对任意n≥1，有an+2＝4an+1﹣3an﹣20，其前n项和为Sn，则数列Sn的最大值等于（　　）
A．28 B．35
C．47 D．前三个答案都不对
12．（5分）（2020•北京自主招生）设直线y＝3x+m与椭圆+＝1交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最大值为（　　）
A．8 B．10
C．12 D．前三个答案都不对
13．（5分）（2020•北京自主招生）正整数n≥3称为理想的，若存在正整数1≤k≤n﹣1使得C，C，C构成等差数列，其中C＝为组合数，则不超过2020的理想数个数为（　　）
A．40 B．41
C．42 D．前三个答案都不对
14．（5分）（2020•北京自主招生）在△ABC中，∠A＝150°，D1，D2，……，D2020依次为边BC上的点，且BD1＝D1D2＝D2D3＝…＝D2019D2020＝D2020C，∠BAD1＝α1，∠D1AD2＝α2，……，∠D2019AD2020＝α2020，∠D2020AC＝α2021，则的值为（　　）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
15．（5分）（2020•北京自主招生）函数+的最大值为（　　）
A．+ B．2+
C．+2 D．前三个答案都不对
16．（5分）（2020•北京自主招生）方程+＝1的实根个数为（　　）
A．1 B．2
C．3 D．前三个答案都不对
17．（5分）（2020•北京自主招生）凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G，已知BF：FD＝5：4，AG：GD＝1：1，CF：FG：GE＝2：2：3，S△CFD和S△ABE分别为△CFD和△ABE的面积，则S△CFD：S△ABE的值等于（　　）
A．8：15 B．2：3
C．11：23 D．前三个答案都不对
18．（5分）（2020•北京自主招生）设p，q均为不超过100的正整数，则含有有理根的多项式f（x）＝x5+px+q的个数为（　　）
A．99 B．133
C．150 D．前三个答案都不对
19．（5分）（2020•北京自主招生）满足对任意n≥1有an+1＝2n﹣3an且严格递增的数列{an}（n≥1）的个数为（　　）
A．0 B．1
C．无穷多个 D．前三个答案都不对
20．（5分）（2020•北京自主招生）设函数f（x，y，z）＝++，其中x，y，z均为正实数，则有（　　）
A．f（x，y，z）既有最大值也有最小值
B．f（x，y，z）有最大值但无最小值
C．f（x，y，z）有最小值但无最大值
D．前三个答案都不对

2020年北京大学强基计划数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共20小题，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错或不选得0分.
1．（5分）（2020•北京自主招生）正实数x，y，z，w满足x≥y≥w和x+y≤2（z+w），则+的最小值等于（　　）
A． B．
C．1 D．前三个答案都不对
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】依题意，，再利用基本不等式及放缩思想即得出结论．
【解答】解：由x+y≤2（z+w），得，
又x≥y≥w，
∴，
当且仅当，即时取等号．
故选：D．
【点评】本题主要考查基本不等式的运用，考查放缩思想及运算能力，属于基础题．
2．（5分）（2020•北京自主招生）在（2019×2020）2021的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为（　　）
A．16 B．31
C．32 D．前三个答案都不对
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】C
【分析】根据题意，有2019×2020＝3×671×22×5×101，则（2019×2020）2021的全体正因数均由2、3、5、101、671这5个数中任意1个或几个相乘组成，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，2019×2020＝3×671×22×5×101，则（2019×2020）2021的全体正因数均由1、2、3、5、101、671这6个数中任意1个或几个相乘组成，
在（2019×2020）2021的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，
需要在2、3、5、101、671中任选1、2、3、4、5个相乘组成，
考虑因数1，也符合题意，在可选因数的范围内，
最多可以选1+C51+C52+C53+C54+C55＝25＝32个因数，
故选：C．
【点评】本题考查排列组合的应用，注意将（2019×2020）2021正确分解，属于基础题．
3．（5分）（2020•北京自主招生）整数列{an}n≥1满足a1＝1，a2＝4，且对任意n≥2有an2﹣an+1an﹣1＝2n﹣1，则a2020的个位数字是（　　）
A．8 B．4
C．2 D．前三个答案都不对
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．
【答案】A
【分析】先将已知式子变形为，进而得到 an+1＝4an﹣2an﹣1，让 an 模 10所得结果从a2 开始的周期为24，进而求出a2000 的个位数字．
【解答】解：因为 ，则
，
，
因为 ，则 a3＝14，故
，
即 an+1＝4an﹣2an﹣1，欲求个位数字，只需让 an 模 10，其结果为

从 a2 开始周期为 24，则 a2000 的个位数字是 8，
故选：A．
【点评】本题考查数列的递推关系式的变形与同构，得到 an+1＝4an﹣2an﹣1是解题的关键，考查学生的变形运算化简的能力和分析问题、解决问题的能力，属于难题．
4．（5分）（2020•北京自主招生）设a，b，c，d是方程x4+2x3+3x2+4x+5＝0的4个复根，则+++的值为（　　）
A．﹣ B．﹣
C． D．前三个答案都不对
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】A
【分析】由根与系数的关系可得，a+b+c+d＝﹣2，ab+ac+ad+bc+cd＝3，abc+bcd+abd+acd＝﹣4，abcd＝5，再直接计算即可．
【解答】解：由根与系数的关系可得，a+b+c+d＝﹣2，ab+ac+ad+bc+cd＝3，abc+bcd+abd+acd＝﹣4，abcd＝5，
+++＝，
又
＝＝，
∴+++＝．
故选：A．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查根与系数的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
5．（5分）（2020•北京自主招生）设等边三角形ABC的边长为1，过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线于点D，AD＞BD，则三角形BCD的面积为（　　）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【考点】三角形的面积公式．菁优网版权所有
【专题】数形结合；综合法；解三角形；数学运算．
【答案】C
【分析】根据题意，作出图形，设∠DCB＝α，∠CDB＝β，求出BD，进而利用三角形的面积公式得解．
【解答】解：如图，连接OC，记∠DCB＝α，∠CDB＝β，在△OHC中，，
∴，
∴，，
又∠DBC＝120°，
∴，
∴在Rt△DHO中，，
∴，
∴．
故选：C．

【点评】本题考查三角形的面积求解，涉及了和差角公式的运用，考查了运算求解能力，属于中档题．
6．（5分）（2020•北京自主招生）设x，y，z均不为（k+）π，其中k为整数，已知sin（y+z﹣x），sin（x+z﹣y），sin（x+y﹣z）成等差数列，则依然成等差数列的是（　　）
A．sinx，siny，sinz B．cosx，cosy，cosz
C．tanx，tany，tanz D．前三个答案都不对
【考点】等差数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；三角函数的求值；数学运算．
【答案】C
【分析】先由题设条件⇒2sin（x+z﹣y）＝sin（y+z﹣x）+sin（x+y﹣z）＝2sinycos（z﹣x），再利用三角公式推导出
tanx+tanz＝2tany，即可选出正确选项．
【解答】解：∵sin（y+z﹣x），sin（x+z﹣y），sin（x+y﹣z）成等差数列，
∴2sin（x+z﹣y）＝sin（y+z﹣x）+sin（x+y﹣z）＝2sinycos（z﹣x），
∴sin（x+z﹣y）＝sinycos（z﹣x），
∴sin（x+z）cosy﹣cos（x+z）siny＝sinycos（z﹣x），
∴sin（x+z）cosy＝siny[cos（x+z）+cos（z﹣x）]＝2sinycosxcosz，
∴sinxcoszcosy+cosxsinzcosy＝2sinycosxcosz①，
∵x，y，z均不为（k+）π，其中k为整数，∴cosx，cosy，cosz均不为0，
∴对式子①左右两侧同时除以cosxcosycosz，可得：tanx+tanz＝2tany，
∴tanx，tany，tanz成等差数列．
故选：C．
【点评】本题主要考查等差数列的定义、判定及三角公式的应用，属于中档题．
7．（5分）（2020•北京自主招生）方程19x+93y＝4xy的整数解个数为（　　）
A．4 B．8
C．16 D．前三个答案都不对
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】转化思想；分类法；推理和证明；数学抽象．
【答案】B
【分析】把已知等式分解变形，可得（4x﹣93）（4y﹣19）＝93×19＝1×3×31×19．然后分类求解得答案．
【解答】解：由19x+93y＝4xy，得4xy﹣19x﹣93y＝0，
即（4x﹣93）（4y﹣19）＝93×19＝1×3×31×19．
若，无整数解，不合题意；
若，解得；
若，解得；
若，解得；
若，无整数解，不合题意；
若，无整数解，不合题意；
若，无整数解，不合题意；
若，解得．
同理，当4x﹣93与4y﹣19取对应的负数时，原方程组无整数解的有解，有整数解的无解．
∴方程19x+93y＝4xy的整数解个数为8组．
故选：B．
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，是中档题．
8．（5分）（2020•北京自主招生）从圆x2+y2＝4上的点向椭圆C：+y2＝1引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（　　）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【考点】直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】数形结合；转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；直观想象．
【答案】A
【分析】设点 A（2cosθ，2sinθ），再根据题意求出切点弦方程，作图易得椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积即椭圆的面积，结合椭圆面积公式求解即可．
【解答】解：如图所示，设点 A（2cosθ，2sinθ），则 BC 直线方程为
cosθ•x+2sinθ•y＝1，
由于 在点 （acosθ，bsinθ） 的切线方程为
，
则 ，
因此 cosθ•x+2sinθ•y＝1 为椭圆 x2+4y2＝1 的切线系方程．
由椭圆的面积可得 ，

下面证明以下两个引理：
①过椭圆 上一点 P（x0，y0） 的切线方程为 ．
证明：当斜率存在时，设切线方程为 y＝kx+t，联立椭圆方程 ，
联立直线与椭圆方程可得（b2+a2k2）x2+2a2ktx+a2（t2﹣b2）＝0①
由题可得：Δ＝4a4k2t2﹣4a2（b2+a2k2）（t2﹣b2）＝0，
化简可得：t2＝a2k2+b2，①式只有一个根，记作 x0
为切点的横坐标，
切点的纵坐标 ，
所以 ，所以 ，
所以切线方程为：，
化简得：，
当切线斜率不存在时，切线为 x＝±a，也符合方程 ，
综上 上一点 P（x0，y0） 的切线方程为 ．
②从椭圆 外一点 P（x0，y0） 作椭圆的两条切线，
切点分别为 A，B，则切点弦 AB 的方程为 ．
证明：如图，设切点 A，B 的坐标分别为 （x1，y1），（x2，y2），
则椭圆的以 A，B 为切点的切线方程分别为 和 ，
由两切线均过点 P（x0，y0） 有 和 ，
所以点 A（x1，y1），B（x2，y2） 均在直线 上，
因此切点弦 AB 的方程为．
故选：A．



【点评】本题考查椭圆的切线方程与切点弦方程，考查椭圆的面积公式，考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．
9．（5分）（2020•北京自主招生）使得5x+12≤a（x+y）对所有正实数x，y都成立的实数a的最小值为（　　）
A．8 B．9
C．10 D．前三个答案都不对
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】由已知分离参数可得，a＝＝，换元t＝，（t＞0），然后导数与单调性关系及恒成立与最值的相互转化可求．
【解答】解：∵5x+12≤a（x+y）对所有正实数x，y都成立，
∴a＝＝，
令t＝，（t＞0），
a≥，
令f（t）＝，t＞0，
则＝﹣，
易得f（t）在（，+∞）上单调递减，（0，）上单调递增，
故f（t）＜f（）＝9，
∴a≥9即最小值为9
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式恒成立与最值的相互转化关系的转化，还考查了利用导数研究函数的最值，体现了转化思想的应用．
10．（5分）（2020•北京自主招生）设P为单位立方体ABCD﹣A1B1C1D1上的一点，则PA1+PC1的最小值为（　　）
A． B．
C．2﹣ D．前三个答案都不对
【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；立体几何；直观想象；数学运算．
【答案】D
【分析】直线结合三角形的两边之和大于第三边即可求解．
【解答】解：因为PA1+PC1≥，当且仅当P在线段A1C1上时等号成立，
所以PA1+PC1的最小值为，
故选：D．
【点评】本题考查立体几何中动点最值问题，考查直观想象的核心素养，属于基础题．
11．（5分）（2020•北京自主招生）数列{an}（n≥1）满足a1＝1，a2＝9，且对任意n≥1，有an+2＝4an+1﹣3an﹣20，其前n项和为Sn，则数列Sn的最大值等于（　　）
A．28 B．35
C．47 D．前三个答案都不对
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．
【答案】A
【分析】设bn＝an+1﹣an，则bn+1＝3bn﹣20，即可得到数列{bn﹣10}是以a2﹣a1﹣10＝9﹣1﹣10＝﹣2为首项，3为公比的等比数列，从而求出bn，利用累加法求出an，当 n≥4 时，an﹣an﹣1＜0，此时数列为单调递减数列，再计算出数列{an}的前4项，又当 n≥5 时，an＜0，所以，则Sn 的最大值可求．
【解答】解：数列{an}（n≥1）满足a1＝1，a2＝9，且对任意n≥1，
有an+2＝4an+1﹣3an﹣20，
整理得an+2﹣an+1＝3（an+1﹣an）﹣20，
设bn＝an+1﹣an，
所以bn+1＝3bn﹣20，转换为bn+1﹣10＝3（bn﹣10），
所以（常数），
所以数列{bn﹣10}是以a2﹣a1﹣10＝9﹣1﹣10＝﹣2为首项，3为公比的等比数列．
所以，
所以，
故，…，，
所以，
整理得＝1﹣3n﹣1+10n﹣10+1＝10n﹣3n﹣1﹣8．
则当n≥4时，an﹣an﹣1＜0，此时数列为单调递减数列，
可求得a1＝1，a2＝9，a3＝13，a4＝5，
当 n≥5 时，an＜0，则 Sn 的最大值为 S4＝28，
故选：A．
【点评】本题考查用数列的递推关系式求数列的通项公式，考查了数列的单调性、最值，考查学生运算能力，属于中档题．
12．（5分）（2020•北京自主招生）设直线y＝3x+m与椭圆+＝1交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最大值为（　　）
A．8 B．10
C．12 D．前三个答案都不对
【考点】直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】方程思想；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】B
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程，可得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求弦长，由点到直线距离公式求O导直线的距离，写出三角形面积，再由基本不等式求最值．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得241x2+150mx+25m2﹣400＝0，
则Δ＝（150m）2﹣4×241×（25m2﹣400）＝﹣1600m2+385600．
由Δ＞0，得m2＜241，
，．
∴|AB|＝＝＝．
O到AB的距离d＝，
∴S△OAB＝|AB|•d＝≤．
当且仅当241﹣m2＝m2，即m2＝，得m＝时上式取等号，
∴△OAB面积取得最大值10，
故选：B．
【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
13．（5分）（2020•北京自主招生）正整数n≥3称为理想的，若存在正整数1≤k≤n﹣1使得C，C，C构成等差数列，其中C＝为组合数，则不超过2020的理想数个数为（　　）
A．40 B．41
C．42 D．前三个答案都不对
【考点】数列的应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；排列组合；逻辑推理；数学运算．
【答案】C
【分析】把题意转化为关于k的方程4k2﹣4nk+n2﹣n﹣2＝0有解，即，所以 n+2 为完全平方数，设 n+2＝m2，n≥7，根据n≤2020得到 44≥m≥3，再验证m取[3，44]之间任何一个整数都满足题意即可．
【解答】解：由题意可得 构成等差数列，
则 ，化简可得n2﹣（4k+1）n+4k2﹣2＝0，
以 k 为主元整理 4k2﹣4nk+n2﹣n﹣2＝0，
则 ，
题意转化为存在正整数1≤k≤n﹣1使得 成立，
于是 n+2 为完全平方数，设 n+2＝m2，n≥7，
令f（k）＝4k2﹣4nk+n2﹣n﹣2，
因为f（1）＝f（n﹣1）＝n2﹣5n+2＞0，
故，
因为n≤2020，则 44≥m≥3．
若，
因为 m﹣2，m+1 奇偶性相反，
故对于任意 44≥m≥3 都满足题意．
综上，满足题意的有 42 个，
故选：C．
【点评】本题考查组合数的运算，考查二次方程求根公式，属于难题．
14．（5分）（2020•北京自主招生）在△ABC中，∠A＝150°，D1，D2，……，D2020依次为边BC上的点，且BD1＝D1D2＝D2D3＝…＝D2019D2020＝D2020C，∠BAD1＝α1，∠D1AD2＝α2，……，∠D2019AD2020＝α2020，∠D2020AC＝α2021，则的值为（　　）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
【考点】数列的求和．菁优网版权所有
【专题】数形结合；综合法；解三角形；数学运算．
【答案】D
【分析】作出图形，利用正弦定理化简求解即可．
【解答】解：注意到a1+α2+……+α2020＝150°，
在△BAD1中，，
在△D1AD2中，，
∴，
同理可得，
又，
∴，
∴＝．
故选：D．

【点评】本题主要考查正弦定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
15．（5分）（2020•北京自主招生）函数+的最大值为（　　）
A．+ B．2+
C．+2 D．前三个答案都不对
【考点】三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；构造法；导数的综合应用；三角函数的图象与性质；数学运算．
【答案】D
【分析】令x＝cosθ∈[﹣1，1]，则原题可转化为求函数的最大值，利用导数直接求解即可．
【解答】解：原式即为，令x＝cosθ∈[﹣1，1]，
则转化为求函数的最大值，
因为，令f′（x）＝0得，，解得，且，
由导数知识易知，当x＝x0时，函数f（x）取最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数与导数的综合，考查换元思想，转化思想以及函数思想，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）（2020•北京自主招生）方程+＝1的实根个数为（　　）
A．1 B．2
C．3 D．前三个答案都不对
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用；推理和证明；数学抽象．
【答案】D
【分析】把已知方程变形，可得，令（t≥0），得到|t﹣2|+|t﹣1|＝1，再由绝对值的几何意义求得t的范围，进一步求解x的范围得答案．
【解答】解：由+＝1，
得，①
令（t≥0），则①化为|t﹣2|+|t﹣1|＝1，
等式左边的几何意义为数轴非负半轴上的动点t到两定点1，2的距离和为1，
则1≤t≤2，即1≤≤2，
∴1≤x+1≤4，即0≤x≤3．
∴方程+＝1的实根个数为无数个．
故选：D．
【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查绝对值的几何意义及根式不等式的解法，是中档题．
17．（5分）（2020•北京自主招生）凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G，已知BF：FD＝5：4，AG：GD＝1：1，CF：FG：GE＝2：2：3，S△CFD和S△ABE分别为△CFD和△ABE的面积，则S△CFD：S△ABE的值等于（　　）
A．8：15 B．2：3
C．11：23 D．前三个答案都不对
【考点】三角形的面积公式．菁优网版权所有
【专题】对应思想；转化法；解三角形；数学运算．
【答案】A
【分析】根据边长的比值求出三角形的面积的比值即可判定结论．
【解答】解：如图示，连结AF：

∵CF：FG：GE＝2：2：3，
∴S△CFD：S△DFG：S△DEG＝2：2：3，
设S△CFD＝S，则S△DFG＝S，S△DEG＝S，
又BF：FD＝5：4，
∴S△BEF：S△DFE＝5：4，
∴S△BEF＝（S△DFG+S△DEG）＝S，
又BF：FD＝5：4，
∴S△ABF：S△AFD＝5：4，
∵AG：GD＝1：1，
∴S△AGE＝S△DEG＝S，S△AFG＝S△DFG＝S，
S△ABF＝S△ADF＝×2S＝S，
∴S△ABE＝S四边形ABFE﹣S△BEF＝（S△ABF+S△AFG+S△AGE）﹣S△BEF，
∴S△BEF＝S+S+S﹣S＝S，
∴S△CFD：S△ABE＝8：15，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形面积问题，考查转化思想，是一道常规题．
18．（5分）（2020•北京自主招生）设p，q均为不超过100的正整数，则含有有理根的多项式f（x）＝x5+px+q的个数为（　　）
A．99 B．133
C．150 D．前三个答案都不对
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】综合题；探究型；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学抽象；逻辑推理．
【答案】B
【分析】由题意首先确定方程的根为负数，然后分类讨论其根所满足的条件从而确定多项式的个数即可．
【解答】解析：因为 f（x）＝x5+px+q有有理根，则有理根必小于零．
设，且（m，n）＝1，则．
则qn5＝m5+pmn4，显然n|m，因为（m，n）＝1，则n＝1，故q＝m5+mp．
因为 q＝m5+mp≤100，故1≤m≤2，
当m＝1时，q＝1+p≤100，因此1≤q≤99，共99组，
当m＝2时，q＝32+2p≤100，故1≤p≤34，共34组，
综上所述：满足条件的（p，q） 共133组，
故选：B．
【点评】本题主要考查方程思想的应用，分类讨论的数学思想 等知识，属于中等题．
19．（5分）（2020•北京自主招生）满足对任意n≥1有an+1＝2n﹣3an且严格递增的数列{an}（n≥1）的个数为（　　）
A．0 B．1
C．无穷多个 D．前三个答案都不对
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．
【答案】B
【分析】首先利用构造法出数列的形式，进一步利用叠加法求出数列{bn}的通项公式，再求出数列{an}的通项公式，最后利用单调性求出数列的通项公式，最后求出结果．
【解答】解：满足对任意n≥1有an+1＝2n﹣3an且，两边同除以（﹣3）n+1，
得到：，
令＝bn，
所以，
设a1＝a，所以，
，
…，
，
以上（n﹣1）个式子相加得到：
，
整理得．
由于an＝（﹣3）nbn，
故，
由于{（﹣3）n﹣1}为摆动数列，
所以要使数列{an}严格单调递增，
所以当时，数列{an}的通项公式为（符合单调递增）
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，构造新数列，叠加法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
20．（5分）（2020•北京自主招生）设函数f（x，y，z）＝++，其中x，y，z均为正实数，则有（　　）
A．f（x，y，z）既有最大值也有最小值
B．f（x，y，z）有最大值但无最小值
C．f（x，y，z）有最小值但无最大值
D．前三个答案都不对
【考点】函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化思想；构造法；转化法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】D
【分析】先由糖水不等式得到f（x，y，z）＜2，再通过放缩证明f（x，y，z）＞1，把x当作主元，令，得函数g（x）的值域为（1，2），故 f（x，y，z） 既无最大值也无最小值．
【解答】解：注意到x，y，z＞0，一方面由糖水不等式可得
，
且，
另一方面，把x当作主元，令，
当x→+∞时，，明显当时，满足g（x）→2，
当x→0 时，，明显当 时，满足 g（x）→1，
故 f（x，y，z） 既无最大值也无最小值．
故选：D．
【点评】本题考查利用导数研究函数单调性，糖水不等式，函数的值域，考查转化能力，属于难题．

考点卡片
1．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
2．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
3．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝　+cos（2x+）　．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2•＝+（cos2x﹣sin2x）
＝+cos（2x+）．
故答案为：+cos（2x+）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是　　．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
4．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
5．等差数列的通项公式
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
【例题解析】
eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列
解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，
∴an＝，
把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，
∴{an}不是等差数列
考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．
eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为　　
解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，
∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，
解得a＝2．
∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，
∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．
故答案：4n﹣3．
这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．
【考点点评】
求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．
6．数列的应用
【知识点的知识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
7．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝
②等比数列前n项和公式：

③几个常用数列的求和公式：

（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．

（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：

＝
＝．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn＝＝n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn＝＝＝＝，
∴Tn＝＝＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．

【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
8．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
9．多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【知识点的知识】
多面体和旋转体表面上的最短距离问题的解法：
求多面体表面上两点间的最短距离，一般将表面展开为平面图形，从而把它转化为平面图形内两点连线的最短长度问题，要注意的是，如果不是指定的两点间的某种特殊路径，其表面上两点间的距离应是按各种可能方式展开成平面图形后各自所得最短距离中的最小者．旋转体侧面上两点间的最短距离，如同多面体一样，将侧面展开，转化为展开面内两点连线的最短长度问题来解决．
10．直线与椭圆的综合
v．
11．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
12．三角形的面积公式
三角形的面积公式
①已知三角形的底边长为a，高为h，则三角形面积S＝底×高÷2＝；

②已知三角形的两边及其夹角，则三角形的面积公式：S＝absinC＝bcsinA＝casinB．
③已知三角形的周长为l，内切圆半径为r，则三角形面积S＝；

④已知三角形的三边长的乘积为L，外接圆半径为R，则三角形面积S＝；

⑤已知三角形AOB中，向量＝，＝，则三角形的面积S＝•．此公式也适用于空间三角形求面积．
⑥在平面直角坐标系中，△ABC的三顶点分别为：A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），记K＝，则三角形的面积S＝|K|＝|x1y2+x2y3+x3y1﹣x1y3﹣x2y1﹣x3y2|；特别的，当C（0，0），此时S＝|x1y2﹣x2y1|．
⑦海伦公式：△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，p＝（a+b+c），则三角形面积S＝．
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