2020年湖北省武汉大学强基计试数学试卷

这是一份2020年湖北省武汉大学强基计试数学试卷，共33页。试卷主要包含了备注等内容，欢迎下载使用。

2020年湖北省武汉大学强基计试数学试卷
一、备注:不定项选择题:共15题，每题答案完全正确得满分;选对不全得部分分，选错得0分
1．（3分）（2020•湖北自主招生）设圆O的半径为3，其一条弦AB＝4，P为圆O上任意一点，则的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．4
2．（3分）（2020•湖北自主招生）设实数x，y满足5x2+4xy﹣y2＝5，则2x2+y2的最小值为（　　）
A．0 B．2 C． D．
3．（3分）（2020•湖北自主招生）过椭圆＝1的中心作两条互相垂直的弦AC和BD，顺次连接A，B，C，D得一四边形，则该四边形的面积可能为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
4．（3分）（2020•湖北自主招生）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C若，则不正确的是（　　）
A．B＝
B．B＝
C．△ABC面积的最大值为
D．△ABC周长的最小值为
（多选）5．（3分）（2020•湖北自主招生）设正整数k使得关于x的方程kx＝sinx在区间（﹣3π，3π）内恰有5个实根x1＜x2＜x3＜x4＜x5，则（　　）
A．x1+x2+x3+x4+x5＝0 B．
C．x3，x4，x5成等差数列 D．x5＝tanx5
6．（3分）（2020•湖北自主招生）两个半径为r实心球体，它们的球心相距d，设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为V（d），则＝（　　）
A． B． C．π D．
7．（3分）（2020•湖北自主招生）空间图形{（x，y，z）|0≤x≤y≤z≤1}的体积为（　　）
A． B． C． D．
（多选）8．（3分）（2020•湖北自主招生）如图、延长圆O的一条弦AB至C，过点C作圆O的切线CM，CN，切点分别为M，N，Q为AB上一点，满足∠AMQ＝∠CNB，则下列结论正确的是（　　）

A．△CBM∽△CMA B．△AQM∽△NBM C．△MAN∽△MQB D．△MAN∽△BQN
9．（3分）（2020•湖北自主招生）设A是集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（　　）
A．32 B．56 C．72 D．84
10．（3分）（2020•湖北自主招生）已知直线l1：，l2：，动点P在椭圆（a＞b＞0）上，作PM∥l1交l2于点M，作PN∥l2交l1于点N．若|PM|2+|PN|2为定值，则＝（　　）
A． B． C． D．
（多选）11．（3分）（2020•湖北自主招生）设函数f（x）＝，则（　　）
A．当f（x）有极小值时，a＞
B．当f（x）有极大值时，a＞﹣
C．当f（x）连续时，a的可能值有3个
D．当f（x）有2个极值点时，a＝0或＜a＜1
12．（3分）（2020•湖北自主招生）圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（　　）
A．10 B．20 C．40 D．60
（多选）13．（3分）（2020•湖北自主招生）设复数z的实部和虚部都是整数，则（　　）
A．z2﹣z的实部都能被2整除
B．z3﹣z的实部都能被3整除
C．z4﹣z的实部都能被4整除
D．z5﹣z的实部都能被5整除
14．（3分）（2020•湖北自主招生）设z1，z2是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，则（　　）
A．最小值为 B．没有最小值 C．最大值为2 D．没有最大值
15．（3分）（2020•湖北自主招生）设方程f（x）＝sinxsin2x，则下列错误的是（　　）
A．方程f（x）＝有解
B．方程f（x）＝a在[0，2π）内解的个数为偶数
C．f（x）的图像有对称轴
D．f（x）的图像有对称中心

2020年湖北省武汉大学强基计试数学试卷
参考答案与试题解析
一、备注:不定项选择题:共15题，每题答案完全正确得满分;选对不全得部分分，选错得0分
1．（3分）（2020•湖北自主招生）设圆O的半径为3，其一条弦AB＝4，P为圆O上任意一点，则的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．3 D．4
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】数形结合；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】由已知结合向量数量积的性质及三角函数的性质即可求解．
【解答】解：＝＝+，
如图所示，由射影定理得＝＝﹣＝﹣8，
＝3×4×cosα＝12cosα，α为，的夹角，
因为P为圆O上任意一点，
所以当α＝0时，＝12cosα取得最大值12，此则取最大值﹣8+12＝4．
故选：D．

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
2．（3分）（2020•湖北自主招生）设实数x，y满足5x2+4xy﹣y2＝5，则2x2+y2的最小值为（　　）
A．0 B．2 C． D．
【考点】函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；直观想象；数学运算．
【答案】C
【分析】由题意可得（5x+y）（x﹣y）＝5，令，将问题转化为求的最小值，利用重要不等式求解即可．
【解答】解：因为5x2+4xy﹣y2＝5，
所以（5x+y）（x﹣y）＝5，
令，
则，且mn＝5，
所以2x2+y2＝2（）2+（）2＝＝﹣≥﹣＝，
当且仅当m2＝9n2时等号成立，
所以2x2+y2的最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查了利用不等式的性质求最值，也考查了转化思想，属于中档题．
3．（3分）（2020•湖北自主招生）过椭圆＝1的中心作两条互相垂直的弦AC和BD，顺次连接A，B，C，D得一四边形，则该四边形的面积可能为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【考点】椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】B
【分析】由椭圆的性质，结合三角函数值域的求法求解即可．
【解答】解：设A（r1cosθ，r1sinθ），，θ∈[0，2π]，
即B（﹣r2sinθ，r2cosθ），
又点A、B在椭圆上，
则，，
则＝5cos2θ+4，，
则＝，
又，
则，
则，
即该四边形的面积的取值范围为，
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题．
4．（3分）（2020•湖北自主招生）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C若，则不正确的是（　　）
A．B＝
B．B＝
C．△ABC面积的最大值为
D．△ABC周长的最小值为
【考点】三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；分析法；解三角形．
【答案】B
【分析】分别运用正弦定理和两角和差正弦公式，以及基本不等式和正弦函数的值域，即可得到所求结论．
【解答】解：由题意可得bcosC+（a+c）（bsinC﹣1）＝0，
（bcosC﹣a）+bsinC﹣c＝0，
由正弦定理可得sinBcosC﹣sinA+sinBsinC﹣sinC＝0，
即有sinBcosC﹣sin（B+C）+sinBsinC﹣sinC＝0，
﹣cosBsinC+sinBsinC﹣sinC＝0，sinC＞0，
即有sinB﹣cosB＝1，
即为sin（B﹣）＝，
由0＜B＜π，可得B﹣＝，
则B＝；
由a+c≥2，
可得ac≤，则△ABC的面积的最大值为××＝；
bcosC+（a+c）（bsinC﹣1）＝0，可得
bcosC+bsinC＝，
即b（cosC+sinC）＝，
即为bsin（C+）＝，
由bsin（C+）≤b，
当C＝时，b取得最小值，
此时△ABC的周长最小值为．
综上可得A，C，D正确；B不正确．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换和正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．
（多选）5．（3分）（2020•湖北自主招生）设正整数k使得关于x的方程kx＝sinx在区间（﹣3π，3π）内恰有5个实根x1＜x2＜x3＜x4＜x5，则（　　）
A．x1+x2+x3+x4+x5＝0 B．
C．x3，x4，x5成等差数列 D．x5＝tanx5
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】ABD
【分析】作出函数y＝sinx的图象，结合已知条件作出满足要求的函数y＝kx的图象，根据函数图象判断每个选项即可．
【解答】解：函数y＝kx与函数y＝sinx恰有5个交点，如图所示，

选项A，根据对称性可知x1+x2+x3+x4+x5＝0，A正确；
选项B，考虑在区间内，两函数在x＝x5时相切，又y'＝cosx，
所以，所以满足x5＝tanx5，
设y＝x﹣tanx，其中，
则，
所以函数y＝x﹣tanx在上单调递减，
而，即，
又x5﹣tanx5＝0，所以，B正确；
选项C，由图可知x3＝0，，，
所以，
所以，
故x3，x4，x5不是等差数列，C错误．
选项D，两函数在x＝x5时相切，所以，
所以x5＝tanx5，D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
6．（3分）（2020•湖北自主招生）两个半径为r实心球体，它们的球心相距d，设包含这两个实心球体的最小实心球的体积为V（d），则＝（　　）
A． B． C．π D．
【考点】极限及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用；球；逻辑推理；数学运算．
【答案】B
【分析】直接利用球的体积公式和极限的定义求出结果．
【解答】解：包含两个实心球体的最小实心球半径为，
则V（d）＝，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：球的体积公式，极限的定义，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
7．（3分）（2020•湖北自主招生）空间图形{（x，y，z）|0≤x≤y≤z≤1}的体积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】计算题；运动思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算．
【答案】B
【分析】先由0≤x≤y≤z≤1可确定（x，y，z）在围成的正方体内，再分别考虑x≤y，y≤z的图形即可．
【解答】解：因为点（x，y，z）满足0≤x≤y≤z≤1，
所以（x，y，z）在围成的正方体内，如图所示，

又x≤y，y≤z，
故可得（x，y，z）构成的图形为棱长为1的正方体内的一个三棱锥O﹣ABC，
故体积为，
故选：B．
【点评】本题考查了空间中点的运动轨迹问题，考查了三棱锥体积的计算，属于基础题．
（多选）8．（3分）（2020•湖北自主招生）如图、延长圆O的一条弦AB至C，过点C作圆O的切线CM，CN，切点分别为M，N，Q为AB上一点，满足∠AMQ＝∠CNB，则下列结论正确的是（　　）

A．△CBM∽△CMA B．△AQM∽△NBM C．△MAN∽△MQB D．△MAN∽△BQN
【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】ABCD
【分析】根据弦切角定理和圆周角定理得∠CMB＝∠MAB＝∠MNB，∠CNB＝∠BMN＝∠BAN＝∠AMQ，可判断ABC，由圆的切割线性质可判断D．
【解答】解：根据弦切角定理和圆周角定理得：
∠CMB＝∠MAB＝∠MNB，∠CNB＝∠BMN＝∠BAN＝∠AMQ，
对于A，在△CBM和△CMA中，∠CMB＝∠CAM，∠MCB＝∠ACM，
∴△CBM∽△CMA，故A正确；
对于B，在△AQM和△NBM中，∠AMQ＝∠NMB，∠MAQ＝∠MNB，
∴△AQM∽△NBM，故B正确；
对于C，在△MAN和△MQB中，∠ANM＝∠QBM，∠AMN＝∠AMQ+∠QMN，
∠QMB＝∠BMN+∠QMN，
∵∠BMN＝∠AMQ，∴∠∠QMB，∴△MAN∽△MQB，故C正确；
对于D，∵△MAN∽△MQB，∴，
∵，∴AN•BM＝AM•BN，
∵AM•BN＝MN•QB，∴，
∴△MAN∽△BQN，故D正确．
故选：ABCD．
【点评】本题考查相似三角形的判断等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（3分）（2020•湖北自主招生）设A是集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（　　）
A．32 B．56 C．72 D．84
【考点】排列、组合及简单计数问题；子集与真子集．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．
【答案】B
【分析】根据题意，该问题可以转化为将7个相同小球排成一排，将3个挡板不相邻的插在空位中，由组合数公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，在集合A中任选3个不相邻的元素即可，
该问题可以转化为将7个相同小球排成一排，将3个挡板不相邻的插在空位中，
有C83＝56种选法，即有56个这种子集A；
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的应用，注意原问题的转化，属于基础题．
10．（3分）（2020•湖北自主招生）已知直线l1：，l2：，动点P在椭圆（a＞b＞0）上，作PM∥l1交l2于点M，作PN∥l2交l1于点N．若|PM|2+|PN|2为定值，则＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【答案】C
【分析】设M（2m，m），N（2n，﹣n），表示出点P的坐标满足，根据点P（x，y）在椭圆上，得出关系，进一步可得出的值．
【解答】解：设M（2m，m），N（2n，﹣n），由题意四边形OMPN为平行四边形，

设|PM|2+|PN|2＝t，则|PM|2+|PN|2＝|OM|2+|ON|2＝5（m2+n2）＝t，
由，则P（2m+2n，m﹣n），
设P（x，y），即，
所以，
由P（x，y）为椭圆上任意一点，即，
所以，即．
故选：C．

【点评】本题考查了直线与椭圆的综合运用，属于中档题．
（多选）11．（3分）（2020•湖北自主招生）设函数f（x）＝，则（　　）
A．当f（x）有极小值时，a＞
B．当f（x）有极大值时，a＞﹣
C．当f（x）连续时，a的可能值有3个
D．当f（x）有2个极值点时，a＝0或＜a＜1
【考点】利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】综合题；数形结合；分析法；导数的综合应用；直观想象．
【答案】ABC
【分析】同一坐标系内作出函数y＝x与y＝4x3﹣3x的图象，求出y＝4x3﹣3x的极值点，两函数的交点坐标，据图分析，逐项判断即可．
【解答】解：对于函数y＝4x3﹣3x得y′＝12x2﹣3，令y′＝0解得x＝，
可知是极大值点，x＝是极小值点，
再由解得或或，所以两函数y＝x与y＝4x3﹣3x的交点为A（﹣1，﹣1），O（0，0），B（1，1），
同一坐标系作出y＝x与y＝4x3﹣3x的图象：
显然，当时，是f（x）的极小值点，A对；
同理，当a时，x＝是f（x）的极大值点，B对；
当a＝±1，0的时候，f（x）都是连续的，C对；
当a＝0时，x＝和0是f（x）的极值点；当时，x＝是f（x）的两个极值点，所以D错．
故选：ABC．

【点评】本题考查函数的极值点、函数连续性的性质，以及学生运用数形结合思想解题的能力，属于中档题．
12．（3分）（2020•湖北自主招生）圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（　　）
A．10 B．20 C．40 D．60
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】对应思想；定义法；排列组合；数学运算．
【答案】D
【分析】把10个点看成5条线段的组合，再用组合数公示计算即可．
【解答】解：圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，
把10个点看成5条线段的组合，
因为梯形的两条边平行，可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取2组，有Ct种选法，
梯形的腰从5组不平行于直径的4条平行弦中选取2条，有C种选法，
∴梯形的个数为＝60．
故选：D．
【点评】本题考查组合数公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）13．（3分）（2020•湖北自主招生）设复数z的实部和虚部都是整数，则（　　）
A．z2﹣z的实部都能被2整除
B．z3﹣z的实部都能被3整除
C．z4﹣z的实部都能被4整除
D．z5﹣z的实部都能被5整除
【考点】虚数单位i、复数；复数的运算．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑推理；数学运算．
【答案】BD
【分析】设z＝a+bi，分别计算z2，z3，z4，z5，代入化简能求出结果．
【解答】解：z＝a+bi，
则z2＝a2﹣b2+2abi，
z3＝a3﹣3ab2+（3a2b﹣b3）i，
z4＝a4﹣6a2b2+b4+4（a3b﹣ab3）i，
z5＝a5﹣10a3b2+5ab4+（5a4b﹣10a2b3﹣10a2b3+b5）i，
∵z2﹣z＝a2﹣a﹣b2+（2ab﹣b）i＝a（a﹣1）﹣b2+（2ab﹣b）i，
a（a﹣1）可以被2整除，当b为奇数时，a（a﹣1）﹣b2不能被2整除，故A错误；
∵z3﹣z＝a3﹣a﹣3ab2+（3a2b﹣b3﹣b）i，由费马小定理得a3﹣a能被3整除，故B正确；
z4﹣z的实部为a4﹣6a2b2+b4﹣a，当a，b为奇数时，a4﹣6a2b2+b4﹣a也为奇数，故不能被4整除，故C错误；
z5﹣z的实部为a5﹣a﹣10a3b2+5ab4，由费马小定理a5﹣a能被5整除，
∴a5﹣a﹣10a3b2+5ab4能被5整除，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查复数的运算法则、整除的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（3分）（2020•湖北自主招生）设z1，z2是非零复数，它们的实部和虚部都是非负实数，则（　　）
A．最小值为 B．没有最小值 C．最大值为2 D．没有最大值
【考点】复数的模；复数的运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．
【答案】A
【分析】由题意考虑将复数问题转化为向量来解决即可．
【解答】解：设z1，z2，z1+z2在复平面对应的点分别为A，B，C，
则＝＝＝，
因为z1、z2的实部和虚部都是非负实数，所以＜＞∈[0，]，
≥2，cos＜＞≥0，所以≥，所以有最小值．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的几何意义，复数和向量有密不可分的关系，相比复数而言，课本上有许多向量的知识与方法，所以更加容易解决问题．
15．（3分）（2020•湖北自主招生）设方程f（x）＝sinxsin2x，则下列错误的是（　　）
A．方程f（x）＝有解
B．方程f（x）＝a在[0，2π）内解的个数为偶数
C．f（x）的图像有对称轴
D．f（x）的图像有对称中心
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；直观想象；数学运算．
【答案】A
【分析】利用三元均值不等式判断A；
首先判断函数的周期性，再画出函数图象，数形结合即可判断B；
根据周期性公式及对称性公式判断C、D．
【解答】解：对于A，考虑sinx＞0时的最大值，
f（x）＝sinxsin2x＝2sin2xcosx＝2＝•≤•＝＜，
故f（x）max＝，当时仅当cos2x＝时等号成立，故A错误；
对于B，因为f（x+2π）＝sin（x+2π）sin2（x+2π）＝sinxsin2x＝f（x），所以f（x）＝sinxsin2x是以2π为周期的周期函数，
函数图象如下所示：

所以方程f（x）＝a 在[0，2π） 内解的个数为偶数，故B正确；
对于C，因为f（x）＝sinxsin2x，所以f（x+π）＝sin（x+π）sin2（x+π）＝﹣sinxsin2x，
f（π﹣x）＝sin（π﹣x）sin2（π﹣x）＝﹣sinxsin2x，所以f（x+π）＝f（π﹣x），所以x＝π为f（x）的一条对称轴，故C正确；
对于D：因为f（x）＝sinxsin2x，
所以f（x+）＝sin（x+）sin2（x+）＝﹣cosxsin2x，
所以f（﹣x）＝sin（﹣x）sin2（﹣x）＝cosxsin2x，
所以（，0）为函数的对称中心，故D正确．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的对称性、周期性、不等式的性质及数形结合思想，属于中档题．

考点卡片
1．子集与真子集
【知识点的认识】
1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．
记作：A⊆B（或B⊇A）．

2、真子集是对于子集来说的．
真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．
也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，
若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集，
注：①空集是所有集合的子集；
②所有集合都是其本身的子集；
③空集是任何非空集合的真子集
例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．
所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．
{1，3}⊂{1，2，3，4}
{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}

3、真子集和子集的区别
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；
注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；
另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．

【解题方法点拨】
注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．

【命题方向】
本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．
2．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
3．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
4．极限及其运算
【知识点的知识】
1．数列极限
（1）数列极限的表示方法：

（2）几个常用极限：

③对于任意实常数，
当|a|＜1时，an＝0，
当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在
当|a|＞1时，an＝不存在．
（3）数列极限的四则运算法则：
如果，那么

特别地，如果C是常数，那么．
（4）数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S＝（|q|＜1）．
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限．＝a

2．函数极限；
（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作＝a或当x→x0时，f（x）→a．
注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）
如P（x）＝在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．
（2）函数极限的四则运算法则：
如果，那么

特别地，如果C是常数，那么
．
注：①各个函数的极限都应存在．
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．
（3）几个常用极限：


3．函数的连续性：
（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x＝x0处都连续．
（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．＝f（x0）．
（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．
①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但≠f（x0）．
5．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
6．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||cosθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||

2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）

【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是　①②　．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
7．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．

2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．

3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
8．虚数单位i、复数
【虚数单位i的概念】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．
【复数的运算】
①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．
②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M•N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．
【例题解析】
例：定义运算，则符合条件的复数z为．
解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z＝＝＝3﹣i．
这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．

【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
9．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则

10．复数的模
【知识点的知识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
11．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
12．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
13．直线与椭圆的综合
v．
14．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
15．相似三角形的判定
【知识点的知识】
相似三角形的判定
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
16．与圆有关的比例线段
【知识点的知识】
1、相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
2、割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
3、切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
4、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

【解题方法点拨】
相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这四个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理以及圆内接四边形的性质定理得到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题．
因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到两条割线要想到割线定理；见到切线和割线要想到切割线定理．
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