2021年北京大学强基计划数学试卷

这是一份2021年北京大学强基计划数学试卷，共38页。试卷主要包含了的组数为 　 　等内容，欢迎下载使用。
2021年北京大学强基计划数学试卷

1．（2021•北京自主招生）已知O为△ABC的外心，AB、AC与△OBC的外接圆交于D、E．若DE＝OA，则∠OBC＝　 　．
2．（2021•北京自主招生）方程y3+f4＝d5的正整数解（y，f，d）的组数为 　 　．
3．（2021•北京自主招生）若实数a，b，c，d满足ab+bc+cd+da＝1，则a2+2b2+3c2+4d2的最小值为 　 　．
4．（2021•北京自主招生）已知，则Y的个位数字是 　 　．
5．（2021•北京自主招生）若平面上有100条二次曲线，则这些曲线可以把平面分成若干个连通区域，则连通区域数量最大值为 　 　．
6．（2021•北京自主招生）已知实数x0∈[0，1）．数列{xk}满足：若，则xn＝2xn﹣1，若，则xn＝2xn﹣1﹣1（n＝1，2，⋯）．现知x0＝x2021，则可能的x0的个数为 　 　．
7．（2021•北京自主招生）设．若109﹣1|yn，则n的最小值为 　 　．
8．（2021•北京自主招生）已知a、b、c是三个不全相等的实数且满足a＝ab+c、b＝bc+a、c＝ca+b．则a+b+c＝　 　．
9．（2021•北京自主招生）如图，AD为△ABC中∠A的平分线．过A作AD的垂线AH，过C作CE∥AD交AH于点E．若BE与AD交于点F，且AB＝6，AC＝8，BC＝7．则CF＝　 　．

10．（2021•北京自主招生）如果一个十位数F的各位数字之和为81，则称F是一个“小猿数”．则小猿数的个数为 　 　．
11．（2021•北京自主招生）设an是与的差的绝对值最小的整数，bn是与的差的绝对值最小的整数．记的前n项和为的前n项和为Tn．则2T100﹣S100的值为 　 　．
12．（2021•北京自主招生）设正整数n≤2021，且n5﹣5n3+4n+7是完全平方数．则可能的n的个数为 　 　．
13．（2021•北京自主招生）方程x2﹣2xy+3y2﹣4x+5＝0的整数解的组数为 　 　．
14．（2021•北京自主招生）现有7把钥匙和7把锁．用这些钥匙随机开锁，则D1，D2，D3这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是 　 　．
15．（2021•北京自主招生）设正整数m，n均不大于2021，且．则这样的数组（m，n）个数为 　 　．
16．（2021•北京自主招生）有三个给定的经过原点的平面．过原点作第四个平面α，使之与给定的三个平面形成的三个二面角均相等．则这样的α的个数是 　 　．
17．（2021•北京自主招生）若a，b，c为非负实数，且a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝25，则a+b+c的最小值为 　 　．
18．（2021•北京自主招生）已知数列{an}满足a1＝2，．数列{bn}满足b1＝5，．若正整数m满足bm＞a25，则m的最小值为 　 　．
19．（2021•北京自主招生）若x1，x2，⋯，x7为非负整数，则方程x1+x2+⋯+x7＝x1x2⋯x7的解有 　 　组．
20．（2021•北京自主招生）已知a，b，c∈R+，且，求的最小值．

2021年北京大学强基计划数学试卷
参考答案与试题解析

1．（2021•北京自主招生）已知O为△ABC的外心，AB、AC与△OBC的外接圆交于D、E．若DE＝OA，则∠OBC＝　　．
【考点】圆内接多边形的性质与判定．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；分析法；直线与圆；逻辑推理．
【答案】
【分析】由题意，画出图形，进而求得△EBC为直角三角形，且BC为直角边，BC为第二个圆的直径，再求∠OBC即可．
【解答】解：如图所示，连接BE．

因为DE＝OC，在△OBC外接圆中，
∠DBE＝∠OBC，进而可得
∠DBO＝∠EBC．
另外在⊙O中，∠AOB＝2∠ACB．
以及∠AOB+2∠OBD＝180°．
即2∠BCE+2∠EBC＝180°．
即△EBC为直角三角形，且BC为直角边，BC为第二个圆的直径．
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查圆内接多边形的内角，考查学生推理能力，属于中档题．
2．（2021•北京自主招生）方程y3+f4＝d5的正整数解（y，f，d）的组数为 　无穷　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】综合题；对应思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】无穷．
【分析】考虑到2n+2n＝2n+1，取n≡0（mod 3），n≡0（mod 4），n≡﹣1（mod 5），取n＝60k+24即可．
【解答】解：因为2n+2n＝2n+1，取n＝60k+24，k∈N，
此时（220k+8）3+（215k+6）4＝（212k+5）5，k∈N，
故方程y3+f4＝d5的正整数解（y，f，d）的组数为无穷，
故答案为：无穷．
【点评】本题考查方程根的求解，涉及公式2n+2n＝2n+1的应用，属于难题．
3．（2021•北京自主招生）若实数a，b，c，d满足ab+bc+cd+da＝1，则a2+2b2+3c2+4d2的最小值为 　2　．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】2．
【分析】直接利用柯西不等式的应用和基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：由于ab+bc+cd+da＝1，整理得（a+c）（b+d）＝1；
根据柯西不等式：，即，
同理，整理得，
故a2+2b2+3c2+4d2，当且仅当a：b：c：d＝3：2：1：1等号成立．
故答案为：2．
【点评】本题考查的知识要点：柯西不等式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4．（2021•北京自主招生）已知，则Y的个位数字是 　5　．
【考点】数列的求和．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【答案】5．
【分析】由23≡1（mod7），可知2i模7是三循环的，23k≡1（mod7），23k+1≡2（mod7），23k+2≡4（mod7），其中k∈N，则Y＝1+23+26+⋯+22019﹣674，结合84k≡6（mod10），84k+1≡8（mod10），84k+2≡4（mod10），84k+3≡2（mod10）（其中k∈N），即可求解．
【解答】解：由23≡1（mod7），可知2i模7是三循环的，
23k≡1（mod7），23k+1≡2（mod7），
23k+2≡4（mod7），其中k∈N，
）
＝
＝
＝1+23+26+⋯+22019﹣674，
结合84k≡6（mod10），84k+1≡8（mod10），
84k+2≡4（mod10），84k+3≡2（mod10）（其中k∈N），
可知Y≡1+168（8+4+2+6）+8﹣674
≡5（mod10）．
故答案为：5．
【点评】本题考查了数列的求和，属于难题．
5．（2021•北京自主招生）若平面上有100条二次曲线，则这些曲线可以把平面分成若干个连通区域，则连通区域数量最大值为 　20101　．
【考点】归纳推理．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；推理和证明；数学运算．
【答案】20101．
【分析】从第k个二次曲线开始计算，新增加一个二次曲线变成k+1条的情形，这条二次曲线与原来每一个二次曲线最多有4个交点，相当于最多增增加4k个交点，由此能求出从第一个曲线开始，每次均引入相交直线，连通区域数量最大值．
【解答】解：从第k个二次曲线开始计算，新增加一个二次曲线变成k+1条的情形，
这条二次曲线与原来每一个二次曲线最多有4个交点，相当于最多增增加4k个交点，
（1）如果是椭圆或圆，被分成4k段圆弧，相当于增加连通区域最多4k个，
（2）如果是抛物线，被分成4k+1段曲线，相当于最多增加连通区域4k+1个，
（3）如果是双曲线，被分成4k+2段曲线，相当于最多增加连通区域4k+2个，
（4）如果是两条直线，明显相交直线更优，相当于依次加入两条直线，最多增加连通区域4k+3个，
如果包括二次曲线的退化情形，例如两条相交直线，
则从第一个曲线开始，每次均引入相交直线，连通区域数量最大值为：
4+（4×1+3）+（4×2+3）+•••+（4×99+3）＝20101．
故答案为：20101．
【点评】本题考查简单的归纳推理、椭圆、圆、抛物线、双曲线、相交线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
6．（2021•北京自主招生）已知实数x0∈[0，1）．数列{xk}满足：若，则xn＝2xn﹣1，若，则xn＝2xn﹣1﹣1（n＝1，2，⋯）．现知x0＝x2021，则可能的x0的个数为 　22021﹣1　．
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【答案】22021﹣1
【分析】利用数学归纳法进行证明，再得出可能的x0的值即可．
【解答】解：首先我们证明xn∈[0，1）恒成立．
若，则xi+1＝2xi∈[0，1）；
若，则xi+1＝2xi﹣1∈[0，1）．
由数学归纳法知，xn∈[0，1）对∀n∈N*成立，
那么有，其中{α}表示α的小数部分．
∴．
∴{22021x0}＝x0，即22021x0﹣x0为整数．
∴，
∴可能的x0的值共有22021﹣1个．
故答案为：22021﹣1．
【点评】本题考查数学归纳法，考查学生的推理能力，属于中档题．
7．（2021•北京自主招生）设．若109﹣1|yn，则n的最小值为 　80　．
【考点】整除的概念和性质；函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】转化思想；定义法；二项式定理；逻辑推理；数学运算．
【答案】80．
【分析】根据整除的概念和辗转相除法求解即可．
【解答】解：＝，
由109﹣1|yn，可得109﹣1|×11，故9×（109﹣1）|10n+1﹣1，于是109﹣1|10n+1﹣1．
利用辗转相除法可以证明（am﹣1，an﹣1）|a（m，n）﹣1（a为大于1的正整数）．
于是，我们有9|n+1．
令n+1＝9k，代入原式则有9×（109﹣1）|109k﹣1，
109k﹣1＝（109﹣1）×（109（k﹣1）+109（k﹣2）+…+109+1），
因此，我们有9|109（k﹣1）+109（k﹣2）+…+109+1，继而9|k，所以k≥9．
再结合n+1≥81可知，n的最小值为80．
【点评】本题考查整除的概念，辗转相除法是解题关键，属于基础题．
8．（2021•北京自主招生）已知a、b、c是三个不全相等的实数且满足a＝ab+c、b＝bc+a、c＝ca+b．则a+b+c＝　3　．
【考点】有理数指数幂及根式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】3．
【分析】推导出a，b，c均不为0，从而1﹣（a+b+c）﹣（ab+bc+ca）﹣abc＝1，进而3（ab+bc+ca）＝3abc+（a+b+c）2，推导出﹣3（a+b+c）+（a+b+c）2＝0，由此能求出a+b+c的值．
【解答】解：先证明a，b，c均不为0，若否，不妨设a＝0，则a＝ab+c，得c＝0，
同理得b＝0，与a，b，c不全相等矛盾，
∴a，b，c均不为0，
题目中三式相加得到ab+bc+ca＝0，
∵a、b、c是三个不全相等的实数且满足a＝ab+c、b＝bc+a、c＝ca+b，
∴a（1﹣b）＝c，b（1﹣c）＝a，c（1﹣a）＝b，
此三式相乘得到abc（1﹣a）（1﹣b）（1﹣c）＝1，
∴1﹣（a+b+c）﹣（ab+bc+ca）﹣abc＝1，
∵ab+bc+ca＝0，∴abc＝﹣（a+b+c），
∵ac＝abc+c2，ab＝abc+a2，bc＝abc+b2，
∴ab+bc+ca＝3abc+a2+b2+c2，
∴3（ab+bc+ca）＝3abc+（a+b+c）2，
∵ab+bc+ca＝0，abc＝﹣（a+b+c），∴﹣3（a+b+c）+（a+b+c）2＝0，
∵a+b+c＝﹣abc≠0，∴a+b+c＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查有理数指数幂、根的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9．（2021•北京自主招生）如图，AD为△ABC中∠A的平分线．过A作AD的垂线AH，过C作CE∥AD交AH于点E．若BE与AD交于点F，且AB＝6，AC＝8，BC＝7．则CF＝　　．

【考点】平行线分线段成比例定理；相似三角形的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【答案】．
【分析】延长CE，BA交于G，推导出E为CG的中点，从而F为AD的中点，||＝，由此能求出CF．
【解答】解：延长CE，BA交于G，
∵AE是∠BAC的外角平分线，结合AE垂直于CE，
由题意可知E为CG的中点，
从而F为AD的中点．

∴||＝
＝
＝
＝
＝．
∴CF＝．
【点评】本题考查线段长的求法，考查平行线分线段成比例定理、相似三角形性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
10．（2021•北京自主招生）如果一个十位数F的各位数字之和为81，则称F是一个“小猿数”．则小猿数的个数为 　48619　．
【考点】计数原理的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；定义法；排列组合；数学运算．
【答案】48619
【分析】将“小猿数”个数转化为a1+a2+......+a10＝81的非负整数解得个数，利用组合数的公式求解即可．
【解答】解：设F＝．
则a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝81，
其中1≤a1≤9，0≤ai≤9，i＝1，2，3，…，10．
令bi＝9﹣ai则有b1+b2+...+b10＝9，
其中0≤b1≤8，0≤bi≤9，i＝1，2，3，…，10．
而该方程的非负整数解共有C＝＝48620组，
除去唯一一组不合题意得（9，0，0，…，0），
故共有48620﹣1＝48619个“小猿数”．
故答案为：48619．
【点评】本题考查组合数的应用，是中档题．
11．（2021•北京自主招生）设an是与的差的绝对值最小的整数，bn是与的差的绝对值最小的整数．记的前n项和为的前n项和为Tn．则2T100﹣S100的值为 　1　．
【考点】数列的求和．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【答案】1．
【分析】∈[2k2﹣2k+1，2k2+2k]，故有4k个n使得an＝k，进而求得S100，类似的，故共有k个n使得bn＝k，进而求得T100，即可求解．
【解答】解：∈[2k2﹣2k+1，2k2+2k]，
故有4k个n使得an＝k，
于是，
类似的，
故共有k个n使得bn＝k，
则，
故＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了数列的求和，属于中档题．
12．（2021•北京自主招生）设正整数n≤2021，且n5﹣5n3+4n+7是完全平方数．则可能的n的个数为 　0　．
【考点】有理数指数幂及根式．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】0．
【分析】先变形，得到n5﹣5n3+4n+7＝（n﹣2）（n﹣1）n（n+1）（n+2）+7，再得到被4除余数为3，求解即可．
【解答】解：∵n5﹣5n3+4n+7＝n（n2﹣1）（（n2﹣4）+7＝（n﹣2）（n﹣1）n（n+1）（n+2）+7，
∵n﹣2，n﹣1，n，n+1，n+2是连续5个整数的乘积，
∴（n﹣2）（n﹣1）n（n+1）（n+2）能被4整除，
∴n5﹣5n3+4n+7＝（n﹣2）（n﹣1）n（n+1）（n+2）+7被4除余3，
∴n5﹣5n3+4n+7不是完全平方数，
∴可能的n的个数为0，
故答案为：0．
【点评】本题考查完全平方数的性质，被4除余数为0或1，属于中档题．
13．（2021•北京自主招生）方程x2﹣2xy+3y2﹣4x+5＝0的整数解的组数为 　2　．
【考点】曲线与方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】2
【分析】所给方程等价于x2﹣（2y+4）x+3y2+5＝0，考虑判别式Δ，计算可得Δ≤4，由整数解可知判别式是一个平方数，经检验只能Δ＝4，此时y＝1，代入方程可得x的值，从而可知整数解的组数．
【解答】解：方程等价于x2﹣（2y+4）x+3y2+5＝0，
判别式Δ＝（2y+4）2﹣4（3y2+5）＝4（﹣2y2+4y﹣1）＝4（1﹣2（y﹣1）2）⩽4，
判别式是一个平方数，经检验只能Δ＝4，此时y＝1，
方程转化为x2﹣6x+8＝0，解得x＝2或x＝4，
因此（x，y）∈{（2，1），（4，1）}，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二元二次方程的根的问题，转化为二元一次方程的根求解是解题关键，属于中档题．
14．（2021•北京自主招生）现有7把钥匙和7把锁．用这些钥匙随机开锁，则D1，D2，D3这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是 　　．
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【答案】
【分析】求得这3把钥匙不能打开锁的对立事件的方法有多少种，用总数减去对立事件的方法数，再根据古典概型公式计算即可．
【解答】解：全部情况有7！种．
记第i把锁被打开的情形构成集合Ai，i＝1，2，3．
则|Ai|＝6！，|Ai∩Aj|＝5！，|A1∩A2∩A3|＝4！．
由容斥原理知概率为：＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，利用对立事件的性质是解决本题的关键，属于中档题．
15．（2021•北京自主招生）设正整数m，n均不大于2021，且．则这样的数组（m，n）个数为 　3449　．
【考点】计数原理的应用；不等关系与不等式．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；不等式；数学运算．
【答案】3449．
【分析】利用不等式求出m和n之间的表达式，再利用分步和分类计数原理求值．
【解答】解：原式等价于．
记区间．
则Ij∩Ij+1＝．
且Ij∩Ik＝∅（k≥j+1）．
由于不为整数，故Ij∩Ij+1内恰有一个整数．
当n≥1430时，．
故所求数组（m，n）的个数是诸|In|（n＝1，2，3..，1429）之和．
每个m∈{1，2，•••，2021}都出现在某个In之中，且当且仅当对于某个j，m∈Ij∩Ij+1时，m会出现在两个In内．
因此所求数组个数为2021+1428＝3449．
故答案为：3449．
【点评】本题主要考查分步和分类计数原理，属于中档题．
16．（2021•北京自主招生）有三个给定的经过原点的平面．过原点作第四个平面α，使之与给定的三个平面形成的三个二面角均相等．则这样的α的个数是 　1或4　．
【考点】二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】操作型；分类讨论；综合法；空间角；数学运算．
【答案】1或4．
【分析】①三个平面法向量共面（记平面为β），②三个平面法向量不共面，分类讨论可得结论．
【解答】解：若三个平面法向量共面（记平面为β），则只有一个和他们均垂直的平面满足要求，
这是因为α的法向量在β上的投影必须在这三个平面法向量两两形成的角的角平分线上，
因此投影只能是零向量，也就是α的法向量需要与β垂直，即三平面两两相交时，交线平行或重合的情况，
只能有1个这样的平面，
若三个平面法向量不共面，则任意两个法向量所在基线均有两个角分面，
我们考虑第一个平面和第二个平面的两个角分面，以及第二个平面和第三个平面的两个角分面，
一共可以产生四条交线，这四条交线即为第四个平面法向量的基线，
极特殊情况，前三个平面如果两两垂直，即可以考虑空间直角坐标系中xOy，yOz，zOx，
与这三个平面夹角一样的第四个平面法向量的方向，即为每个卦限的中分线，一共四条，故有4个这样的平面．
故答案为：1或4．
【点评】本题考查空间中面面的位置关系，考查面面角的概念，属中档题．
17．（2021•北京自主招生）若a，b，c为非负实数，且a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝25，则a+b+c的最小值为 　5　．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】5．
【分析】直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：由于a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc，
所以（a+b+c）2≥a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝25；
故a+b+c≥5，
当a＝5，b＝0，c＝0，或a＝0，b＝5，c＝0或a＝0，b＝0，c＝5时等号成立．
故答案为：5．
【点评】本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
18．（2021•北京自主招生）已知数列{an}满足a1＝2，．数列{bn}满足b1＝5，．若正整数m满足bm＞a25，则m的最小值为 　24　．
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理．
【答案】24
【分析】利用数学归纳法分两步进行证明即可．
【解答】解：分两步证明：
①先证明对任意正整数n有bn＞an+1，
采用数学归纳法，
当n＝1时有显然成立，
假设当n＝k时结论成立，即bk＞ak+1，
则当n＝k+1时，有

所以对n＝k+1结论也成立．
所以对任意正整数n有bn＞an+1．
②再证明对任意正整数n有an+2＞3bn，
当n＝1时，有a3＝16＞15＝3b1，
假设当n＝k时结论成立，即ak+2＞3bk，
则当n＝k+1时，
，
所以对n＝k+1结论也成立．
所以对任意正整数n有an+2＞3bn．
此时我们由（1）可以得到b24＞a25，
由（2）可以得到a25＞3b23＞b23，
所以满足bm＞a25的m的最小值为24．
【点评】本题考查数列的递推公式，考查学生的推理运算能力，属于难题．
19．（2021•北京自主招生）若x1，x2，⋯，x7为非负整数，则方程x1+x2+⋯+x7＝x1x2⋯x7的解有 　85　组．
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】综合题；转化思想；分类法；函数的性质及应用；数据分析．
【答案】85．
【分析】易知x1＝x2＝⋯＝x7＝0是满足条件的一组解，故考虑非零情形，设0＜x1≤x2≤⋯≤x7，得到x1＝x2＝x3＝x4＝1，进而将命题转化为x5x6x7＝4+x5+x6+x7，得到x5≤2，
分类讨论即可得到答案．
【解答】解：显然x1＝x2＝⋯＝x7＝0是满足条件的一组解，且只要x1，x2，⋯，x7中有0，则剩余的必须全为0，
下面只考虑x1，x2，⋯，x7为非零的情形：
不妨设0＜x1≤x2≤⋯≤x7，则x1x2⋯x7≤7x7，即有x1x2⋯x6≤7，
显然此时必有x1＝x2＝x3＝x4＝1，否则x4x5x6≥23＝8＞7，矛盾，
于是命题等价于x5x6x7＝4+x5+x6+x7，且由x5x6≤7，可得x5≤2，
情形1：x5＝1，
则x6x7＝5+x6+x7，即（x6﹣1）（x7﹣1）＝6，
满足条件的解有（x6，x7）＝（2，7），（3，4）；
情形2：x5＝2，则x6＝2或3，
x6＝2时，4x7＝8+x7（舍），x6＝3时，6x7＝9+x7（舍），
故此类情况无解；
综上（x1，x2，⋯，x7）＝（0，0，0，0，0，0，0），（1，1，1，1，1，2，7），（1，1，1，1，1，3，4），
考虑的轮换性，故有7×6×2+1＝85组．
故答案为：85．
【点评】本题考查方程根的求解，涉及分类讨论思想，属于难题．
20．（2021•北京自主招生）已知a，b，c∈R+，且，求的最小值．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】417+240．
【分析】直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用及换元法的应用求出结果．
【解答】解：关系式，
整理得：，
所以，
由齐次性，不妨设ab＝1，
则；
即（a+b）2﹣2≥2（a+b）．
所以a4+b4＝（a2+b2）2﹣2＝，
故＝+1（a4+b4+1）2．
当且仅当ab＝1，c＝1，a+b＝1+时，等号成立，这样的a和b显然存在．
【点评】本题考查的知识要点：关系式的变换，换元法，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．

考点卡片
1．不等关系与不等式
【不等关系与不等式】
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．
【不等式定理】
①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
【例题讲解】
例1：解不等式：sinx≥．
解：∵sinx≥，
∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），
∴不等式sinx≥的解集为{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．
这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b⇔．
证明：由ab＞0，知＞0．
又∵a＞b，∴a＞b，即；
若，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．
2．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
3．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
4．有理数指数幂及根式
【根式与分数指数幂】
规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

常考题型：
例1：下列计算正确的是（　　）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、＝a C、＝3 D、＝a（a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
∴A不正确；
∵，
∴B不正确；
∵，
∴C正确；
∵
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．

【有理数指数幂】
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．

常考题型：
例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（　　）
A、 B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n D、1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
5．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
6．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝
②等比数列前n项和公式：

③几个常用数列的求和公式：

（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．

（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：

＝
＝．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn＝＝n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn＝＝＝＝，
∴Tn＝＝＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．

【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
7．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
8．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞≤π时，θ＝cos（π﹣＜，＞）＝﹣cos＜，＞＝﹣＝．
9．曲线与方程
【曲线与方程】
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．
【例题解析】
例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（　　）
A：直线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支．
解：对定点B分类讨论：
①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．
由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．
②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．
由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支．
③若定点B与圆心A重合，如图3所示：
设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件，
因此点M的轨迹是以点A为圆心，以为半径的圆．
④若点B在圆A上，则满足条件的点是一个点B．
综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一条直线．
故选A．

这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学生去好好研究一下．这个题的关键是找等量关系，而这个等量关系是靠自己去建立的，其中还要注意到圆半径是相等的和中垂线到两端点的距离相等这个特点，最后还需结合曲线的第二定义等来判断，是个非常有价值的题．
【考点点评】
这个考点非常重要，但也比较难，我们在学习这个考点的时候，先要认真掌握各曲线的定义，特别是椭圆、抛物线、双曲线的第二定义，然后学会去找等量关系，最后建系求解即可．



10．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
11．计数原理的应用
【知识点的认识】
1．两个计数原理
（1）分类加法计数原理：N＝m1+m2+…+mn
（2）分步乘法计数原理：N＝m1×m2×…×mn
2．两个计数原理的比较

分类加法计数原理
分步乘法计数原理
共同点
都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理．
不同点
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
n类方案相互独立，且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事
n个步骤相互依存，每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点
类类独立，不重不漏
步步相依，步骤完整
【解题方法】
1．计数原理的应用
（1）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类加法计数原理；
（2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步乘法计数原理．
2．解题步骤
（1）指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”；
（2）求每“类”或每“步”中不同方法的种数；
（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；
（4）作答．

【命题方向】
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法．
常见考题类型：
（1）映射问题
（2）涂色问题（①区域涂色②点的涂色③线段涂色④面的涂色）
（3）排数问题（①允许有重复数字②不允许有重复数字）
12．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，

2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（　　）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（　　）
A．A，B为定点，动点P满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n﹣1求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C选项由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3　 　
32＝1+3+5　　
42＝1+3+5+7
23＝3+5　 　
33＝7+9+11 　　
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n＝（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+11＝＝36，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n的值是解题的关键．
13．平行线分线段成比例定理
【知识点的知识】
平行线分线段成比例定理
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．
14．相似三角形的性质
【知识点的知识】
相似三角形的性质
性质定理：
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方；
④相似三角形外接圆（或内切圆）的直径比、周长比等于相似比，外接圆（或内切圆）的面积比等于相似比的平方．
15．圆内接多边形的性质与判定
【知识点的知识】
1、圆内接四边形的性质
（1）圆的内接四边形对角互补．
（2）圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
2、圆内接四边形的判定
（1）判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
（2）推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．

【解题方法点拨】
证明四点共圆的方法常有：
①如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；
②如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；
③如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；
④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．
16．整除的概念和性质
【知识点的认识】
整除的性质和概念
定义：设a，b为整数，且b≠0．如果存在整数q，使得a＝bq，那么称b整除a，或者a能被b整除，记作b|a，并且称b是a的因数，a是b的倍数．如果这样的整数q不存在，就称b不整除a，记作ba．
性质：
若a≠0，b≠0，则
（1）若a|b，b|a，则a＝b或a＝﹣b；
（2）若a|b，b|c，则a|c；
（3）若a|b，b|c，则对任意整数x，y，恒有a|bx+cy；
（4）若a|b，a|c，且a，b互质，则ab|c；
（5）若p为质数，p|ab，则p|a或p|b，特别地，若p|an，n∈N，则p|a．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/5/3 21:07:48；用户：陈元；邮箱：17666135761；学号：42949630