2021年上海交通大学强基计划数学试卷

2021年上海交通大学强基计划数学试卷

1．（2021•上海自主招生）已知△ABC中，tanC＝﹣3tanA，求tanB最大值．

2．（2021•上海自主招生）求边长为1的正五边形的对角线长．

3．（2021•上海自主招生）实数a，b＞1，满足lg（a+b）＝lga+lgb，求lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值．

4．（2021•上海自主招生）2个抛物线最多分平面为7份，3个最多分16份，求4个抛物线最多分平面为几份？

5．（2021•上海自主招生）求方程的实根个数．

2021年上海交通大学强基计划数学试卷

参考答案与试题解析

1．（2021•上海自主招生）已知△ABC中，tanC＝﹣3tanA，求tanB最大值．

【考点】两角和与差的三角函数．菁优网版权所有

【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．

【答案】

【分析】通过tanB＝tan[（A+B）﹣A]利用公式展开，把tan（A+B）＝2tanA代入，整理后利用基本不等式求得tanB的最大值，进而根据等号成立的条件求得tanB的值，即可得出结果．

【解答】解：∵tanC＝﹣3tanA，

∴可得3tanA＝tan（A+B），

∴tanB＝tan（A+B﹣A）＝＝＝，

∴A，B均为锐角，

∴tanA＞0，且≥2，当且仅当＝3tanA，即tanA＝时取“＝”号，

∴0＜tanB＝≤，

∴tanB最大值是，此时B＝A＝，C＝．

【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数和运用基本不等式求最值的问题，考查了学生对基础知识的综合运用和基本的运算能力，属于中档题．

2．（2021•上海自主招生）求边长为1的正五边形的对角线长．

【考点】三角形中的几何计算．菁优网版权所有

【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形；数学运算．

【答案】．

【分析】先根据∠1＝∠3，∠AEB＝∠DEA可知三角形ABE∽三角形DAE，设BD＝x，则DE＝1﹣x，根据两三角形相似，对应边之比相等可得＝，进而可解得x，进而根据AC＝BD+CE+CD＝1+x，进而求出AC，原式可证．

【解答】解：∵正五边形中，∠BAC＝108°，∠1＝∠2＝∠4＝36°，

∴∠1＝∠3＝36°，

∵∠AEB＝∠DEA，

∴三角形ABE∽三角形DAE，

设BD＝x，则DE＝1﹣x，

则：＝，可得：x＝，

可得对角线BC＝1+x＝．

故答案为：．

【点评】本题主要考查三角形中几何计算，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．

3．（2021•上海自主招生）实数a，b＞1，满足lg（a+b）＝lga+lgb，求lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值．

【考点】对数的运算性质．菁优网版权所有

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．

【答案】0．

【分析】由题意，利用对数的运算法则求出a+b＝ab，由此能求出lg（a﹣1）+lg（b﹣1）的值．

【解答】解：∵实数a，b＞1，满足lg（a+b）＝lga+lgb＝lgab，

∴a+b＝ab，

∴lg（a﹣1）+lg（b﹣1）＝lg[（a﹣1）×（b﹣1）]

＝lg（ab﹣a﹣b+1）＝lg[ab﹣（a+b）+1]

＝lg（ab﹣ab+1）＝lg1＝0．

【点评】本题主要考查对数的运算法则，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．

4．（2021•上海自主招生）2个抛物线最多分平面为7份，3个最多分16份，求4个抛物线最多分平面为几份？

【考点】抛物线的性质．菁优网版权所有

【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．

【答案】29．

【分析】记n个抛物线最多分平面为Tn份，由题意可得Tn+1﹣Tn＝4n+1，可求T4＝29．

【解答】解：记n个抛物线最多分平面为Tn份，

易知2个抛物线之间分平面最多时，有4个交点，

那么第n+1个抛物线与其余n个抛物线共有4n个交点时，将抛物线截成4n+1曲线段，

每个曲线段将原来所在区域一分为二，所以增加了4n+1个区域，

则可知Tn+1﹣Tn＝4n+1，又T1＝2，所以Tn＝2n2﹣n+1．

故T4＝29．

【点评】本题考查抛物线分平面的区域问题，属中档题．

5．（2021•上海自主招生）求方程的实根个数．

【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有

【专题】数形结合；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．

【答案】2．

【分析】方程根的个数转化为函数图象交点个数，利用数形结合求解即可．

【解答】解：方程的实根个数就是函数y＝||与y＝交点的个数，在平面直角坐标系中画出两个函数的图象，可知有2个交点，

方程的实根个数为：2．

【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，是中档题．

考点卡片

1．对数的运算性质

【知识点的认识】

对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．

loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaM﹣logaN；

logaMn＝nlogaM； loga＝logaM．

2．两角和与差的三角函数

【知识点的认识】

（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；

（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；

（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；

（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；

（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．

（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．

3．函数的零点与方程根的关系

【函数的零点与方程根的关系】

 函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．

【解法】

 求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．

例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．

解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70

＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）

∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．

 通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．

【考查趋势】

 考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．

4．三角形中的几何计算

【知识点的知识】

1、几何中的长度计算：

（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：

①已知两角和任一边，求其他两边和一角．

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．

（2）利用余弦定理可以求解：

①解三角形；

②判断三角形的形状；

③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．

2、与面积有关的问题：

（1）三角形常用面积公式

①S＝a•ha（ha表示边a上的高）；

②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．

③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．

（2）面积问题的解法：

①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．

②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．

3、几何计算最值问题：

（1）常见的求函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；

②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．

⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．

（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：

①当角度在0°～90°间变化时，

正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；

余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；

正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．

②当角度在90°～180°间变化时，

正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；

余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；

正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．

5．抛物线的性质

【知识点的知识】

抛物线的简单性质：

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