2022年北京市清华大学强基校测数学试卷

这是一份2022年北京市清华大学强基校测数学试卷，共34页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年北京市清华大学强基校测数学试卷
一、解答题
1．（2022•北京自主招生）x&（y&z）＝x&y+z，x&x＝0，求2000&2022．
2．（2022•北京自主招生）a2+b2+c2+d2+e2＝1，求|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣e|+|e﹣a|的最大值．
3．（2022•北京自主招生）已知复数z满足|z|＝1，求|（z﹣2）（z+1）2|的最大值．
4．（2022•北京自主招生）在复平面内，复数z1终点在1+i和1+ai表示两点连成的线段上移动，|z2|＝1，若z＝z1+z2在复平面上表示的点围成的面积为π+4，则a的可能值为 　 　．
5．（2022•北京自主招生）已知一个空间几何体三视图如图，都为中点最大边长为2，求这个几何体可能的体积（　　）

A． B． C．3 D．4
6．（2022•北京自主招生）对于x∈R，f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝1，f（x）＝2f（），且对于0≤x1≤x2≤1，恒有f（x1）≤f（x2），则f（）＝　 　．
7．（2022•北京自主招生）用蓝色和红色给一排10个方格染色，则至多2个蓝色相邻的方法数为 　 　．
8．（2022•北京自主招生）对于三个正整数a，b，c，有，，为三个连续正整数，则a2+b2+c2最小值为 　 　．
9．（2022•北京自主招生）已知a2+ab+b2＝3，求a2+b2﹣ab的最大值和最小值．
10．（2022•北京自主招生）sin＝　 　．
（多选）11．（2022•北京自主招生）曲线C：（x2+y2）3＝16x2y2（　　）
A．曲线C仅过（0，0）一个整点
B．曲线C上的点距原点最大距离为2
C．曲线C围成的图形面积大于4π
D．曲线C为轴对称图形
12．（2022•北京自主招生）任意四边形ABCD，＝，＝，则（+）（+）＝　 　（用，表示）．
13．（2022•北京自主招生）已知ax+by＝1，ax2+by2＝2，ax3+by3＝7，ax4+by4＝18，则ax5+by5＝　 　．

2022年北京市清华大学强基校测数学试卷
参考答案与试题解析
一、解答题
1．（2022•北京自主招生）x&（y&z）＝x&y+z，x&x＝0，求2000&2022．
【考点】有理数指数幂及根式．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】﹣22．
【分析】由变量的任意性，代入，得2000&0＝2000&2022+2022，再代入，得2000&0＝2000，从而2000&2022+2022＝2000，由此能求出2000&2022．
【解答】解：∵x&（y&z）＝x&y+z，x&x＝0，
∴由变量的任意性，代入，得：
2000&（2022&2022）＝2000&0＝2000&2022+2022，
∴2000&0＝2000&2022+2022，①
再代入，得：
2000&（2000&2000）＝2000&0＝2000&2000+2000＝2000，
∴2000&0＝2000，②
由①②知，2000&2022+2022＝2000，
∴2000&2022＝﹣22．
【点评】本题考查新定义的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2022•北京自主招生）a2+b2+c2+d2+e2＝1，求|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣e|+|e﹣a|的最大值．
【考点】绝对值三角不等式；函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用绝对值三角不等式求解即可．
【解答】解：对于|a﹣b|≤|a|+|b|，其取等号的条件为a，b异号或至少其中一个为0，不妨设a≥0，则b≤0，
同理可得|b﹣c|≤|b|+|c|，|c﹣d|≤|c|+|d|，…，
当以上不等式都取等号时，则有a≥0，b≤0，c≥0，d≤0，e≥0，
令a≥e，于是有|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣e|+|e﹣a|＝2a﹣2b+2c﹣2d＝2（|a|+|b|+|c|+|d|），
∵，
∴2（|a|+|b|+|c|+|d|）＝4≤4，
∴|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣e|+|e﹣a|的最大值为4，当且仅当e＝0，a＝c＝，b＝d＝﹣时，等号成立．
【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用，属于基础题．
3．（2022•北京自主招生）已知复数z满足|z|＝1，求|（z﹣2）（z+1）2|的最大值．
【考点】复数的模．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；换元法；数系的扩充和复数；数学运算．
【答案】|（z﹣2）（z+1）2|的最大值为3．
【分析】由|z1•z2|＝|z1|•|z2|，|z|2＝z•可化简|（z﹣2）（z+1）2|＝（z++2），设T＝（z++2），令z+＝t，再利用不等式求最值即可．
【解答】解：∵|z1•z2|＝|z1|•|z2|，|z|2＝z•，
∴|（z﹣2）（z+1）2|
＝|z﹣2|•|z+1|2
＝•（z+1）（+1）
＝（z++2），
设T＝（z++2），
令z+＝t，
则T＝（t+2）
＝
≤
＝3；
当且仅当t＝1，z＝+i时，等号成立．
故|（z﹣2）（z+1）2|的最大值为3．
【点评】本题考查了复数的运算及不等式的应用，属于中档题．
4．（2022•北京自主招生）在复平面内，复数z1终点在1+i和1+ai表示两点连成的线段上移动，|z2|＝1，若z＝z1+z2在复平面上表示的点围成的面积为π+4，则a的可能值为 　﹣1或3　．
【考点】轨迹方程；复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数系的扩充和复数；数学运算．
【答案】﹣1或3
【分析】设出z1表示的复数，z2表示的复数，然后通过z＝z1+z2在复平面上表示的点围成的面积为π+4，求解即可．
【解答】解：设z1＝1+ti，则1≤t≤a（a＞1），z2＝cosθ+isinθ，
∴z＝z1+z2＝1+cosθ+（t+sinθ）i＝x+yi，可得（x﹣1）2+（y﹣t）2＝1，1≤t≤a，
如图，则z在复平面上围成的面积即为粉色区域，所以S＝2（a﹣1）+π＝π+4，解得a＝3，
同理，当a＜1时，则有S＝2（1﹣a）+π＝4+π，解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1或3．

【点评】本题考查复数的轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
5．（2022•北京自主招生）已知一个空间几何体三视图如图，都为中点最大边长为2，求这个几何体可能的体积（　　）

A． B． C．3 D．4
【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】转化思想；数形结合法；立体几何；数学运算．
【答案】D
【分析】根据三视图知该几何体是棱长为2的正方体，过每条棱的中点作截面后剩余的部分，由此求出该几何体的体积．
【解答】解：设正方体的棱长为2，如图所示：
计算正方体的体积为2×2×2＝8，该几何体是过正方体各棱的中点作截面ABCDEF，剩余的下面部分；
计算该几何体的体积为V＝×8＝4．
故选：D．

【点评】本题考查了利用三视图求几何体的体积应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
6．（2022•北京自主招生）对于x∈R，f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝1，f（x）＝2f（），且对于0≤x1≤x2≤1，恒有f（x1）≤f（x2），则f（）＝　　．
【考点】抽象函数及其应用；函数的值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】．
【分析】先利用赋值法求出f（）＝，f（0）＝0，设0≤x0≤1，则f（x0）＝1﹣f（1﹣x0）＝2f（）＝1﹣2f（），可求得f（）＝，且f（）＝，从而当时，f（x）＝，再根据f（）＝求解即可．
【解答】解：对于x∈R，f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝1，f（x）＝2f（），
令x＝可得，f（）+f（1﹣）＝1，∴f（）＝，
令x＝0可得，f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，
设0≤x0≤1，则f（x0）＝1﹣f（1﹣x0）＝2f（）＝1﹣2f（），
∴2f（）＝1﹣2f（），∴f（）+f（）＝，
当x0＝0时，则有f（）+f（0）＝，
∴f（）＝，且f（）＝，
∴当时，f（x）＝，
又f（）＝，且，∴f（）＝，
∴f（）＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了抽象函数的性质，考查了赋值法、迭代法的应用，对学生的逻辑推理能力有很高的要求，属于中档题．
7．（2022•北京自主招生）用蓝色和红色给一排10个方格染色，则至多2个蓝色相邻的方法数为 　504　．
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；逻辑推理；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，按红色方格的数目分8种情况讨论，求出每种情况涂色方法，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分7种情况讨论：
①10个方格都涂红色，有1种涂法，
②9个方格涂红色，1个方格涂蓝色，有C101＝10种涂法，
③8个方格涂红色，2个方格涂蓝色，有C102＝45种涂法，
④7个方格涂红色，3个方格涂蓝色，有C83+＝112种涂法，
⑤6个方格涂红色，4个方格涂蓝色，有C74+＝161种涂法，
⑥5个方格涂红色，5个方格涂蓝色，有C65+＝126种涂法，
⑦4个方格涂红色，6个方格涂蓝色，有＝45种涂法，
⑧3个方格涂红色，7个方格涂蓝色，有＝4种涂法．
则有1+10+45+112+161+126+45+4＝504种涂色方法，
故答案为：504．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中档题．
8．（2022•北京自主招生）对于三个正整数a，b，c，有，，为三个连续正整数，则a2+b2+c2最小值为 　1297　．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】1297．
【分析】由题意不妨设a＞b＞c，可得，解得，且，可得，即可求解a2+b2+c2最小值．
【解答】解：因为三个正整数a，b，c，且，，为三个连续正整数，
不妨设a＞b＞c，
由题意可得，解得，且，
可得k≥6，此时，
所以a2+b2+c2≥1297，
则a2+b2+c2最小值为1297．
故答案为：1297．
【点评】本题考查了方程组的解法，考查了不等式的解法及其应用，考查了方程思想，属于基础题．
9．（2022•北京自主招生）已知a2+ab+b2＝3，求a2+b2﹣ab的最大值和最小值．
【考点】基本不等式及其应用；二维形式的柯西不等式．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】最大值为9，最小值为1．
【分析】由已知可得a2+b2﹣ab＝a2+ab+b2﹣2ab＝3﹣2ab，利用基本不等式可得﹣3≤ab≤1，从而可求得a2+b2﹣ab的取值范围，即可求得最值．
【解答】解：a2+b2﹣ab＝a2+ab+b2﹣2ab＝3﹣2ab，
由a2+ab+b2＝3，所以a2+ab+b2＝3≥﹣2ab+ab，可得ab≥﹣3，当且仅当a＝﹣b时等号成立，
由a2+b2＝3﹣ab≥2ab，可得ab≤1，当且仅当a＝b时等号成立，
所以﹣3≤ab≤1，
所以1≤a2+b2﹣ab＝3﹣2ab≤9，
即a2+b2﹣ab的最大值为9，最小值为1．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
10．（2022•北京自主招生）sin＝　　．
【考点】极限及其运算；数列的极限．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】．
【分析】利用定积分定义求和式的极限公式即可得解．
【解答】解：因为f（）＝f（x）dx，
所以sin＝sin（）π＝sin（πx）dx
＝﹣cosπx|
＝﹣（cosπ﹣cos0）
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了数列极限运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（多选）11．（2022•北京自主招生）曲线C：（x2+y2）3＝16x2y2（　　）
A．曲线C仅过（0，0）一个整点
B．曲线C上的点距原点最大距离为2
C．曲线C围成的图形面积大于4π
D．曲线C为轴对称图形
【考点】曲线与方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】ABD
【分析】根据四叶玫瑰线，结合基本不等式和联立思想，逐一判断即可．
【解答】解：四叶玫瑰线如图：

设曲线C：f（x，y），则f（x，y）＝f（﹣x，y）＝f（x，﹣y），D正确；
，解得x2+y2≤4，故B正确，C错误；
联立，得到两曲线交点均不为整数，且，因此曲线C仅过（0，0）一个整点，故A正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了曲线与方程的综合运用，属于中档题．
12．（2022•北京自主招生）任意四边形ABCD，＝，＝，则（+）（+）＝　﹣　（用，表示）．
【考点】平面向量的基本定理；向量的加法．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用向量的加法和相反向量，即可求解．
【解答】解：（+）•（+）＝（+++）•（+++）＝（+）•（﹣）＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查向量的数量积的计算，属中档题．
13．（2022•北京自主招生）已知ax+by＝1，ax2+by2＝2，ax3+by3＝7，ax4+by4＝18，则ax5+by5＝　　．
【考点】有理数指数幂及根式．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】．
【分析】由于（ax2+by2）（x+y）＝（ax3+by3）+（ax+by）xy，（ax3+by3）（x+y）＝（ax4+by4）+（ax2+by2）xy，把已知代入解出x+y＝，xy＝﹣，再由（ax4+by4）（x+y）＝（ax5+by5）+（ax3+by3）xy，即可得出结果．
【解答】解：∵（ax2+by2）（x+y）＝（ax3+by3）+（ax+by）xy，
（ax3+by3）（x+y）＝（ax4+by4）+（ax2+by2）xy，
∴2（x+y）＝7+xy，7（x+y）＝18+2xy，
解得x+y＝，xy＝﹣，
又（ax4+by4）（x+y）＝（ax5+by5）+（ax3+by3）xy，
∴18（x+y）＝（ax5+by5）+7xy，
∴18×＝（ax5+by5）+7×（﹣），
解得ax5+by5＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了多项式的乘法、方程的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

考点卡片
1．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
2．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
3．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
4．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）＝﹣1＝
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
5．有理数指数幂及根式
【根式与分数指数幂】
规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

常考题型：
例1：下列计算正确的是（　　）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、＝a C、＝3 D、＝a（a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
∴A不正确；
∵，
∴B不正确；
∵，
∴C正确；
∵
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．

【有理数指数幂】
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．

常考题型：
例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（　　）
A、 B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n D、1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
6．数列的极限
【知识点的知识】
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限趋近于某个常数a（即|an﹣a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限，记作an＝a．（注：a不一定是{an}中的项 ）
2、几个重要极限：

3、数列极限的运算法则：

4、无穷等比数列的各项和：
（1）公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S＝Sn．
（2）
【典型例题分析】
典例1：已知数列{an}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有，其中Sn表示数列{an}的前n项和．则＝（　　）
A．0 B．1 C． D．2
解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，
∴a1＝1．当n≥2时，4an＝4Sn﹣4Sn﹣1＝（an+1）2﹣（an﹣1+1）2，
∴2（an+an﹣1）＝an2﹣an﹣12，又{an}各项均为正数，
∴an﹣an﹣1＝2．数列{an}是等差数列，
∴an＝2n﹣1．
∴＝＝＝．
故选：C．

典例2：已知点Pn（an，bn）在直线l：y＝2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，等差数列{an}的公差为1（n∈N*）．
（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）设cn＝，求的值；
（3）若dn＝2dn﹣1+an﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{dn+n}为等比数列，并求{dn}的通项公式．
解：（1）∵点Pn（an，bn）在直线l：y＝2x+1上，P1为直线l与y轴的交点，
∴bn＝2an+1，a1＝0，
∵等差数列{an}的公差为1（n∈N*），
∴an＝0+（n﹣1）＝n﹣1．
bn＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．
（2）解：由（1）可得an﹣a1＝n﹣1，bn﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，
∴|P1Pn|＝＝＝（n≥2）．
∴cn＝＝＝，
∴c2+c3+…+cn＝…+＝，
∴＝＝；
（3）证明：n≥2，dn＝2dn﹣1+an﹣1，＝2dn﹣1+n﹣2，
∴dn+n＝2（dn﹣1+n﹣1），
∴数列{dn+n}为等比数列，
首项为d1+1＝2，公比为2，
∴，
∴．

【解题方法点拨】
（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．
（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）
（3）求数列极限最后往往转化为（m∈N）或qn（|q|＜1）型的极限．
（4）求极限的常用方法：
①分子、分母同时除以nm或an．
②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．
③利用已知数列极限（如等）．
④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．
⑤∞﹣∞，，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．
7．极限及其运算
【知识点的知识】
1．数列极限
（1）数列极限的表示方法：

（2）几个常用极限：

③对于任意实常数，
当|a|＜1时，an＝0，
当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在
当|a|＞1时，an＝不存在．
（3）数列极限的四则运算法则：
如果，那么

特别地，如果C是常数，那么．
（4）数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S＝（|q|＜1）．
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限．＝a

2．函数极限；
（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作＝a或当x→x0时，f（x）→a．
注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）
如P（x）＝在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．
（2）函数极限的四则运算法则：
如果，那么

特别地，如果C是常数，那么
．
注：①各个函数的极限都应存在．
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．
（3）几个常用极限：


3．函数的连续性：
（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x＝x0处都连续．
（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．＝f（x0）．
（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．
①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但≠f（x0）．
8．向量的加法
【知识点的知识】
向量的加法运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量 叫做与的和，记作，即+＝+＝

特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于＝，根据三角形法则得+＝+＝，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）

（3）向量的加法性质
①+＝+＝；+（﹣）＝；
②+＝+；
③（+）+＝+（+）．
9．平面向量的基本定理
【知识点的知识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
10．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．
11．复数的模
【知识点的知识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
12．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：

（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.8﹣2πB.8﹣πC.8﹣D.8﹣
分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2××π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
13．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点

【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
14．曲线与方程
【曲线与方程】
在直角坐标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．
【例题解析】
例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是（　　）
A：直线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支．
解：对定点B分类讨论：
①若点B在圆A内（不与圆心A重合），如图所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．
由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．
②若点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，则|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．
由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支．
③若定点B与圆心A重合，如图3所示：
设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，则点M满足条件，
因此点M的轨迹是以点A为圆心，以为半径的圆．
④若点B在圆A上，则满足条件的点是一个点B．
综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一条直线．
故选A．

这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学生去好好研究一下．这个题的关键是找等量关系，而这个等量关系是靠自己去建立的，其中还要注意到圆半径是相等的和中垂线到两端点的距离相等这个特点，最后还需结合曲线的第二定义等来判断，是个非常有价值的题．
【考点点评】
这个考点非常重要，但也比较难，我们在学习这个考点的时候，先要认真掌握各曲线的定义，特别是椭圆、抛物线、双曲线的第二定义，然后学会去找等量关系，最后建系求解即可．



15．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
16．绝对值三角不等式
【知识点的认识】
绝对值三角不等式
1．定理1：如果a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
2．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a﹣c|≤|a﹣b|+|b﹣c|，当且仅当（a﹣b）（b﹣c）≥0时，等号成立．
17．二维形式的柯西不等式
【知识点的认识】
柯西不等式的二维形式
1．柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，则（a12+a22）（b12+b22）≥（a1b1+a2b2）2 （当且仅当a1b2＝a2b1时，等号成立）．
2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α•β|．
3．二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么+≥．

【关键要点点拨】
柯西不等式的形式特点
从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模平方之积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，可简记为“方和积不小于积和方”．
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