2022年北京市清华大学新领军招生数学试卷（一）

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2022年北京市清华大学新领军招生数学试卷（一）（TACA）
一、解答题（共5小题，满分0分）
1．（2022•北京自主招生）作出函数f（x）＝ln|x|﹣x2+1图象．
2．（2022•北京自主招生）y＝sinx在区间[t﹣1，t]上的最大值为M（t），最小值为N（t），若t∈[，]，求M（t）﹣N（t）的最大值．
3．（2022•北京自主招生）数列满足an+1＝2，求an．
4．（2022•北京自主招生）在△ABC中，BC＝，AC＝2，AB＝1，AD⊥AB且AD∩BC＝D，求S△ADC．
5．（2022•北京自主招生）过椭圆左焦点作直线交椭圆于A，B两点，然后在椭圆上存在一点C，使得OABC为平行四边形，求椭圆离心率范围．

2022年北京市清华大学新领军招生数学试卷（一）（TACA）
参考答案与试题解析
一、解答题（共5小题，满分0分）
1．（2022•北京自主招生）作出函数f（x）＝ln|x|﹣x2+1图象．
【考点】函数的图象与图象的变换；对数函数的图象与性质．菁优网版权所有
【专题】作图题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象．
【分析】先得到函数为偶函数，即图象关于y轴对称，再利用导数求出函数的单调性与最值，即可得到函数图象．
【解答】解：函数f（x）＝ln|x|﹣x2+1的定义域为{x|x≠0}，
且f（﹣x）＝ln|x|﹣x2+1＝f（x），故函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，
当x＞0时，f（x）＝lnx﹣x2+1，f′（x）＝﹣x＝，
令f′（x）＝0，解得x＝1，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
所以当x＝1时，函数f（x）取得极大值也是最大值为f（1）＝，
所以可得函数f（x）＝ln|x|﹣x2+1的图象如图所示：

【点评】本题考查了函数图象的作法，属于中档题．
2．（2022•北京自主招生）y＝sinx在区间[t﹣1，t]上的最大值为M（t），最小值为N（t），若t∈[，]，求M（t）﹣N（t）的最大值．
【考点】三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】结合函数y＝sinx的图象，根据单调性，确定表达式M（t）﹣N（t），再利用两角和差公式化简即可．
【解答】解：函数y＝sinx的周期为6，
函数y＝sinx在[，]上递减，
当t∈[，]时，[t﹣1，t]⊆[，]，
M（t）﹣N（t）＝sin﹣sin＝sin﹣cos﹣sin＝﹣sin（+）≤1．
当+＝，即t＝时取最大值1．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
3．（2022•北京自主招生）数列满足an+1＝2，求an．
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】由已知可得，分两种情况讨论：①当时，②当时，然后求数列的通项公式即可．
【解答】解：已知an+1＝2，
则，
即，
即，
即或，
由a1+1＝2，
即a1＝1，
①当时，
数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
即，
即，
则当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，
又n＝1时，a1＝1满足上式，
即an＝2n﹣1；
②当时，
则，
即，
即Sn+1＝Sn﹣1，
即an+an+1＝0，（n≥2），
由a1+a2＝0，
即an+an+1＝0，（n≥1），
又a1＝1，
即，
综上可得an＝2n﹣1或．
【点评】本题考查了数列的递推式，重点考查了数列通项公式的求法，属中档题．
4．（2022•北京自主招生）在△ABC中，BC＝，AC＝2，AB＝1，AD⊥AB且AD∩BC＝D，求S△ADC．
【考点】正弦定理．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】由已知结合余弦定理可求cosC，进而可求CD，然后结合勾股定理求出AD，再由三角形面积公式可求．
【解答】解：因为BC＝，AC＝2，AB＝1，
由余弦定理得cosC＝＝，
因为AD⊥AB，
Rt△ACD中，cosC＝，
所以CD＝2×＝，AD＝＝＝，
故S△ADC＝＝＝．
【点评】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于基础题．
5．（2022•北京自主招生）过椭圆左焦点作直线交椭圆于A，B两点，然后在椭圆上存在一点C，使得OABC为平行四边形，求椭圆离心率范围．
【考点】椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为my＝x+c，椭圆方程为+＝1（a＞b＞0），左焦点为F（﹣c，0），联立化为（b2m2+a2）y2﹣2b2mcy﹣b4＝0，由在椭圆上存在一点C，使得OABC为平行四边形，可得＝+＝（x1+x2，y1+y2），于是+＝1，把根与系数的关系代入化简，进而得出结论．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
设直线AB的方程为my＝x+c，椭圆方程为+＝1（a＞b＞0），左焦点为F（﹣c，0），
联立，
化为（b2m2+a2）y2﹣2b2mcy﹣b4＝0，
Δ＞0，
y1+y2＝，
x1+x2＝m（y1+y2）﹣2c＝﹣2c＝，
∵在椭圆上存在一点C，使得OABC为平行四边形，
∴＝+＝（x1+x2，y1+y2），
∴+＝1，
把y1+y2＝，x1+x2＝代入上式化为：
b4m4+（2a2b2﹣4b2c2）m2+a4﹣4a2c2＝0，
Δ＝（2a2b2﹣4b2c2）2﹣4b4（a4﹣4a2c2）＝16b4c4＞0，
上述关于m2的一元二次方程存在非负实数根，
则≥0，≥0，或≤0，
不等式组≥0，≥0，无解，舍去；
由≤0，化为a2≤4c2，
解得≤e＜1，
∴椭圆离心率范围是[，1）．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质、一元二次方程的根与系数的关系、平面向量运算法则、不等式的解法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

考点卡片
1．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．

【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x）y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．

解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
2．对数函数的图象与性质
【知识点归纳】

3．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝　+cos（2x+）　．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2•＝+（cos2x﹣sin2x）
＝+cos（2x+）．
故答案为：+cos（2x+）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是　　．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
4．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
5．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC　
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
6．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
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