2022年江苏省南京大学强基计划数学试卷（复试）

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2022年江苏省南京大学强基计划数学试卷（复试）一、解答题。1．（2022•南京自主招生）n＞1，证明：（）n＜n！＜（）n．2．（2022•南京自主招生）若α，β∈（0，π），求满足cosα+cosβ﹣cos（α+β）＝的α，β的值．3．（2022•南京自主招生）x2﹣6x+1＝0的两根为x1，x2，an＝．（1）求证：an∈Z；（2）求a2022个位数．
2022年江苏省南京大学强基计划数学试卷（复试）参考答案与试题解析一、解答题。1．（2022•南京自主招生）n＞1，证明：（）n＜n！＜（）n．【考点】不等式的证明．菁优网版权所有【专题】证明题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】证明见解析．【分析】利用数学归纳法证明，首先证明n＝2时，1＜2＜，不等式成立，再假设命题对n成立，即，利用分析法可知只需证明，①，②成立即可，根据二项式定理可知①②成立，故命题对n+1成立．得证．【解答】证明：利用数学归纳法，①当n＝2时，＝1，2！＝2，＝，∵1＜2＜，∴不等式成立，②假设命题对n成立，即，则，故只需要证明，①，②可得，①等价于，②等价于，由二项式定理有：，＝3，可知①②两式是成立的．故命题对n+1成立．从而，对一切n＞1命题成立．【点评】本题考查了利用数学归纳法证明不等式，属于难题．2．（2022•南京自主招生）若α，β∈（0，π），求满足cosα+cosβ﹣cos（α+β）＝的α，β的值．【考点】两角和与差的三角函数．菁优网版权所有【专题】三角函数的求值；平面向量及应用．【答案】见试题解答内容【分析】构造向量＝（ 1﹣cosβ，sinβ），＝（cosα，sinα），则可求•，||2•||2，由（•）22≤||2•||2，整理得 （cosβ﹣）2≤0，解得cosβ，结合范围即可得解．【解答】解：原等式化为（ 1﹣cosβ）cosα+sinβsinα＝﹣cosβ①构造向量＝（ 1﹣cosβ，sinβ），＝（cosα，sinα），则•＝（ 1﹣cosβ）cosα+sinβsinα＝﹣cosβ，||2•||2＝[（1﹣cosβ）2+sin2β]•[cos2α+sin2α]＝2﹣2cosβ，因 （•）22≤||2•||2，于是有 （﹣cosβ）2≤2﹣2cosβ，整理得 （cosβ﹣）2≤0，∴cosβ＝．又 β∈（0，π），∴β＝．同理可得α＝．【点评】对于某些三角问题，若能合理地构造向量，利用向量来解，往往可使问题得到快捷方便地解决，本题主要考查了平面向量及应用，三角函数恒等变换的应用，属于难题．3．（2022•南京自主招生）x2﹣6x+1＝0的两根为x1，x2，an＝．（1）求证：an∈Z；（2）求a2022个位数．【考点】数列递推式；一元二次方程的根的分布与系数的关系．菁优网版权所有【专题】计算题；对应思想；分析法；等差数列与等比数列；数学运算．【答案】（1）证明见解析，（2）1．【分析】（1）求得x1，x2的完全平方式，再结合二项式定理，进行证明即可；（2）根据两个根的关系，求得an+an﹣2＝6an﹣1，再利用数列的递推式进行求解即可．【解答】证明：（1）由题意可知，，此时，，，则＝，此时，；解：（2）因为，上述两式相加得an+an﹣2＝6an﹣1，设bn为an的个位数字，则b1＝3，b2＝7，b3＝9，b4＝7，b5＝3，b6＝1，b7＝3，b8＝7，则数列{bn}是以6为周期的数列，则b2022＝b6＝1．【点评】本题考查数列的递推公式，考查学生的综合能力，属于难题．
考点卡片1．一元二次方程的根的分布与系数的关系【概述】 一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．【例题解析】例：利用根与系数的关系求出二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0两根的平方． 解：方程x2﹣3x+1＝0中，∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，设方程两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1x2＝1，∴（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，即9＝x12+x22+2，∴x12+x22＝7，又x12x22＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次项系数为1，则所求方程为x2﹣7x+1＝0．这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2与x1•x2可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．【考点分析】 首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．2．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．3．数列递推式【知识点的知识】1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．3、数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．4．不等式的证明【知识点的知识】证明不等式的基本方法：1、比较法：（1）作差比较法①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．（2）作商比较法①理论依据：b＞0，＞1⇒a＞b；b＜0，＜1⇒a＜b；②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2、综合法（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．3、分析法（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．4、放缩法（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．常用的放缩技巧有：声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/5/3 21:04:14；用户：陈元；邮箱：17666135761；学号：42949630