2022年山西省强基计划模拟试卷（四）

这是一份2022年山西省强基计划模拟试卷（四），共45页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022年山西省强基计划模拟试卷（四）
一、选择题（每小题6分，共36分）：
1．（6分）（2022•山西自主招生）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若bsin＝asinB，且△ABC内切圆面积为9π，则△ABC面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
2．（6分）（2022•山西自主招生）如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止．则下列说法正确的是（　　）

A．甲从M到达N处的方法有120种
B．甲从M必须经过A2到达N处的方法有64种
C．甲、乙两人在A2处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
3．（6分）（2022•山西自主招生）已知数列{an}满足a1a2≠0，若，则“数列{an}为无穷数列”是“数列{an}单调”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．非充分非必要条件
4．（6分）（2022•山西自主招生）如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，P在棱BC上，BP＝x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A﹣l﹣P为θ，已知初始状态下x＝0，d＝0，则（　　）

A．当x增大时，θ先增大后减小
B．当x增大时，θ先减小后增大
C．当d增大时，θ先增大后减小
D．当d增大时，θ先减小后增大
5．（6分）（2022•山西自主招生）已知抛物线C1：x2＝2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，点D（x0，y0）在抛物线C1上，点A，B在圆C2：x2+y2﹣4y+3＝0上，直线DA，DB分别与圆C2仅有1个交点，且与抛物线C1的另一个交点分别为P，Q，若直线PQ的倾斜角为120°，则x0＝（　　）
A． B．或 C．或 D．
6．（6分）（2022•山西自主招生）若不等式xex﹣a（x+2）﹣alnx≥0恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．[0，] B．[0，] C．[0，]∪[1，] D．[0，]∪[1，e]
二、填空题（每小题9分，共54分）：
7．（9分）（2022•山西自主招生）已知函数f（x）＝|sinx|﹣|cosx|，则下列说法正确的有 　 　．（将所有正确的序号填在答题卡横线上）
①π是函数f（x）的一个周期；
②f（x）的图象关于点中心对称；
③f（x）在区间上单调递减；
④f（x）的值域为[﹣1，2]．
8．（9分）（2022•山西自主招生）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G，H八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有 　 　种．

9．（9分）（2022•山西自主招生）已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝x（x∈N*），an+2＝|an+1﹣an|，若前2010项中恰好含有666项为0，则x的值为　 　．
10．（9分）（2022•山西自主招生）已知点P（2，0），动点Q满足以PQ为直径的圆与y轴相切，过点P作直线x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0的垂线，垂足为R，则|QP|+|QR|的最小值为 　 　．
11．（9分）（2022•山西自主招生）已知F为双曲线的右焦点，O为坐标原点，点A是以OF为直径的圆与双曲线C的一个公共点．若点F关于点A的对称点也在双曲线C上，则双曲线C的渐近线的斜率为 　 　．
12．（9分）（2022•山西自主招生）函数f（x）＝x3﹣3x2+3tx﹣3t+3，t∈（0，1），记|f（x）|在x∈[0，2]上的最大值为M（t），则M（t）≤的解集是　 　．
三、（20分）
13．（20分）（2022•山西自主招生）△ABC的三边长a、b、c（a≤b≤c）同时满足下列三个条件．
（i）a、b、c均为整数；
（ii）a、b、c依次成等比数列；
（iii）a与c中至少有一个等于100．
求出（a，b，c）的所有可能的解．
四、（20分）
14．（20分）（2022•山西自主招生）在三棱锥D﹣ABC中，AD＝a，BD＝b，AB＝CD＝c，且∠DAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∠DBA+∠ABC+∠DBC＝180°．求异面直线AD与BC所成的角．
五、（20分）
15．（20分）（2022•山西自主招生）设正系数一元二次方程ax2+bx+c＝0有实根．证明：
（1）max{a，b，c}≥（a+b+c）；
（2）min{a，b，c}≤（a+b+c）．
附加题一、（50分）
16．（2022•山西自主招生）已知△ABC的外角∠EAC平分线与△ABC的外接圆交于D，以CD为直径的圆分别交BC、CA于点P、Q．求证：线段PQ平分△ABC的周长．
二、（50分）
17．（2022•山西自主招生）已知x0＝1，x1＝3，xn+1＝6xn﹣xn﹣1（n∈N+）．求证：数列{xn}中无完全平方数．
三、（50分）
18．（2022•山西自主招生）有2002名运动员，号码依次为1，2，3，…，2002．从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积．那么被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由．

2022年山西省强基计划模拟试卷（四）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题6分，共36分）：
1．（6分）（2022•山西自主招生）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c若bsin＝asinB，且△ABC内切圆面积为9π，则△ABC面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦定理．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化法；解三角形；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】由bsin＝asinB，利用三角形内角和定理、诱导公式、倍角公式即可得出A．设△ABC内切圆的半径为r．由△ABC内切圆面积为9π，可得r．利用三角形面积计算公式、基本不等式、余弦定理即可得出．
【解答】解：∵bsin＝asinB，∴bsin（﹣）＝asinB，∴sinBcos＝sinAsinB，∴cos＝2sincos，
可得：sin＝，A∈（0，π），
∴A＝．
设△ABC内切圆的半径为r．
∵△ABC内切圆面积为9π，∴πr2＝9π，解得r＝3．
∴bcsin＝×3（a+b+c），
由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccos≥2bc﹣bc＝bc，
∴a≥，
∴bc≥（+2），
解得bc≥108，当且仅当a＝b＝c＝6取等号．
则△ABC面积的最小值＝×＝27，
故选：D．
【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、倍角公式、三角形面积计算公式、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．（6分）（2022•山西自主招生）如图，在某城市中，M、N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M、N处的甲、乙两人分别要到N、M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N、M处为止．则下列说法正确的是（　　）

A．甲从M到达N处的方法有120种
B．甲从M必须经过A2到达N处的方法有64种
C．甲、乙两人在A2处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
【考点】排列、组合及简单计数问题；进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【答案】C
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，甲由道路网M处出发随机地选择一条沿街的最短路径到达N处需走6步，共有C＝20种方法，故A不正确；
对于B，甲从M经过A2有3种，从A2到N的也有3种方法，则甲从M必须经过A2到达N处的方法有9种，B错误；
对于C，由A可得：甲从M到达N处的方法20种，同理乙从N到M地的方法也有20种，
由B可得：甲从M经过A2到达N的走法有9种，同理，乙从N经过A2到达M地的方法也有9种，
故甲、乙两人相遇经A3点的方法数为：9×9＝81种，
故甲、乙两人在A2处相遇的概率P＝＝，C正确；
对于D，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A1、A2、A3、A4处相遇，
他们在Ai（i＝1，2，3，4）相遇的走法有（C3i﹣1）4种方法；
又由（C30）4+（C31）4+（C32）4+（C33）4＝164，故甲、乙两人相遇的概率P＝＝，D错误；
故选：C．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及互斥事件概率计算公式与古典概型计算公式，属于中档题．
3．（6分）（2022•山西自主招生）已知数列{an}满足a1a2≠0，若，则“数列{an}为无穷数列”是“数列{an}单调”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．非充分非必要条件
【考点】数列递推式；充分条件与必要条件．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；综合法；简易逻辑；逻辑推理．
【答案】B
【分析】首先推出，讨论a1,a2的正负判断“数列{an}为无穷数列”是“数列{an}单调”的必要条件，举例说明“数列{an}为无穷数列”是“数列{an}单调”的不充分条件，即可得到结果．
【解答】解：∵，∴，
∴{}是公差为1的等差数列，∴，
数列{an}为无穷数列⇔an≠0，
若数列{an}单调，若a1,a2异号，则an≠0，
若a1,a2＜0,则＞0，∴a3＜0，，∴a4＜a3，
∵数列{an}单调，∴{an}是一个递减数列，满足an≠0，
同理，若a1,a2＞0,{an}是一个递增数列，满足an≠0，
故“数列{an}为无穷数列”是“数列{an}单调”的必要条件，
若数列{an}为无穷数列，取a1＝2,a2＝﹣1，则≠0，满足
此时，不满足数列{an}单调，
故“数列{an}为无穷数列”是“数列{an}单调”的不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充要条件的判断，结合了数列的内容进行考查，思路比较难找，属于难题．
4．（6分）（2022•山西自主招生）如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，P在棱BC上，BP＝x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A﹣l﹣P为θ，已知初始状态下x＝0，d＝0，则（　　）

A．当x增大时，θ先增大后减小
B．当x增大时，θ先减小后增大
C．当d增大时，θ先增大后减小
D．当d增大时，θ先减小后增大
【考点】二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算．
【答案】C
【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式表示出cosθ，再利用导数研究函数单调性，分析判断．
【解答】解：由题意，以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
设正方体的棱长为3，则P（2，x，0），a（2，0，2），
设直线l与EH，EF交于点M，N，
则，
所以，
，
设平面AMN的法向量为，
则，即，
令a＝d，则，
设平面PMN的法向量为，
则，即，
令f＝1，则，
则，
对于A，B，令d＝0，则，
显然函数在（0，+∞）时为减函数，即cosθ减小，则θ增大，故选项A，B错误；
对于C，D，当x＝0时，则cosθ＝
＝
＝
＝，
令，
则＝，
因为，令y'＝0，则，
所以当0＜d＜时，y'＜0，则函数单调递减，即cosθ减小，θ增大，
当d＞时，y'＞0，则函数单调递增，即cosθ增大，θ减小，
故当d增大时，θ先增大后减小，故选项C正确，D错误．
故选：C．

【点评】本题考查了二面角的理解和应用，利用导数研究函数的单调性，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，考查了逻辑推理了与运算能力，属于难题．
5．（6分）（2022•山西自主招生）已知抛物线C1：x2＝2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，点D（x0，y0）在抛物线C1上，点A，B在圆C2：x2+y2﹣4y+3＝0上，直线DA，DB分别与圆C2仅有1个交点，且与抛物线C1的另一个交点分别为P，Q，若直线PQ的倾斜角为120°，则x0＝（　　）
A． B．或 C．或 D．
【考点】抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】C
【分析】根据题意求得，得到x2＝y，设过点D与圆C2相切直线的斜率为k，得到切线方程，利用，结合韦达定理，求得，联立方程组，取得k＝x+x0，得到xP＝k1﹣x0，xQ＝k2﹣x0，结合，列出方程，即可求解．
【解答】解：由抛物线的焦点到准线的距离为，可得，
所以抛物线的方程为x2＝y，
又由，可得圆心坐标为C2（0，2），半径r＝1，
设过点D（x0，y0）与圆C2相切的直线的斜率为k，
可得方程为y﹣y0＝k（x﹣x0），即，即，
则圆心到直线的距离为，
整理得，可得，
联立方程组，可得，
即，所以k＝x+x0，
所以xP＝k1﹣x0，xQ＝k2﹣x0，
因为直线PQ的倾斜角为120°，所以，
可得，
解得或．
故选：C．

【点评】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力，考查方程思想，属中档题．
6．（6分）（2022•山西自主招生）若不等式xex﹣a（x+2）﹣alnx≥0恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．[0，] B．[0，] C．[0，]∪[1，] D．[0，]∪[1，e]
【考点】利用导数研究函数的最值；函数恒成立问题．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】A
【分析】令f（x）＝xex﹣a（x+2）﹣alnx，x∈（0，+∞）．可得f′（x）＝（x+1）（ex﹣），对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值即可得出a的取值范围．
【解答】解：令f（x）＝xex﹣a（x+2）﹣alnx，x∈（0，+∞）．
f′（x）＝（x+1）ex﹣a×
＝（x+1）（ex﹣），
a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
x→0时，f（x）→﹣∞，不满足不等式xex﹣a（x+2）﹣alnx≥0恒成立，舍去．
a＝0时，f（x）＝xex＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立．
a＞0时，函数y＝ex﹣在x∈（0，+∞）上单调递增，存在x0＞0，使得＝，
可得函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
∴x＝x0时，函数f（x）取得极小值即最小值．
由＝可得x0＝a，x0＝lna﹣lnx0，
则f（x0）＝a﹣a（x0+2）﹣a（lna﹣x0）＝﹣a﹣alna≥0，
解得0＜a≤．
综上可得：a的取值范围是[0，]．
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（每小题9分，共54分）：
7．（9分）（2022•山西自主招生）已知函数f（x）＝|sinx|﹣|cosx|，则下列说法正确的有 　①③　．（将所有正确的序号填在答题卡横线上）
①π是函数f（x）的一个周期；
②f（x）的图象关于点中心对称；
③f（x）在区间上单调递减；
④f（x）的值域为[﹣1，2]．
【考点】命题的真假判断与应用；正弦函数的图象．菁优网版权所有
【专题】转化思想；整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑推理；数学运算．
【答案】①③．
【分析】利用特殊值法可判断②；化简函数f（x）在区间上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断③；由f（π+x）＝f（x）可得f（x）的周期为π，再在[0，π]上讨论函数f（x）的单调性、最值，可判断④．
【解答】解：对于①，∵f（π+x）＝＝＝f（x），所以f（x）的周期为π，故①正确；
对于②，因为f（）＝0，f（）＝，所以f（）≠f（），所以f（x）的图象不关于点（）中心对称，故②错误；
对于③，当x∈时，f（x）＝|sinx|﹣|cosx|＝sinx+cosx＝2sin（x+），
∵x+∈[]，所以函数f（x）在区间上单调递减，故③正确；
对于④，当x∈[0，]时，f（x）＝sinx﹣cosx＝2sin（x﹣），x﹣∈[﹣]，
所以f（x）在区间[0，]上单调递增，f（x）min＝f（0）＝﹣1，f（x）max＝f（）＝；
由③可知，函数f（x）在区间[]上单调递减，当x∈[]时，f（x）max＝f（）＝，f（x）min＝f（π）＝﹣1，故④错误；
故答案为：①③．
【点评】方法点睛：求函数f（x）＝Asin（ωx+φ）在区间[a，b]上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如f（x）＝Asin（ωx+φ）+k的形式或f（x）＝Acos（ωx+φ）+k的形式；
第二步：由x的取值范围确定ωx+φ的取值范围，再确定sin（ωx+φ）（或cos（ωx+φ））的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）．
8．（9分）（2022•山西自主招生）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G，H八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有 　168　种．

【考点】计数原理的应用；排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；分类法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．
【答案】168．
【分析】分E，F，G，H涂4种，3种或2种颜色，先涂E，F，G，H，再涂A，B，C，D，再分别计算涂色的方法种数．
【解答】解：①对E，F，G，H涂4种颜色，对于剩下的A，B，C，D各剩2种颜色，
且相领的都含有一种颜色是相同的，
即当某个点取一种颜色时，其它点的颜色是确定的，
则A，B，C，D共有2种情况，共有＝48种；
②对E，F，G，H涂3种颜色，对于E，F，G，H从4种颜色中取3种，即＝4，
从这3种颜色中取1种来作重复的一种，即＝3，
再对这4种颜色进行排列，重复的那种只能在对角，有2个对角，
再对其他不重复的2种进行排列，有＝2，即2＝4种，
对于剩下的A，B，C，D，同①一样，各剩2个颜色，
当其中一点取一种颜色时，其他点的颜色是确定的，共有2种，
故共有＝96种；
③E，F，G，H涂2种颜色，则选2种颜色，涂在对角位置，有＝12种方法，
A，B，C，D共2种颜色，故共有＝24种方法，
∴一共有48+96+24＝168种方法．
故答案为：168．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，是中档题．
9．（9分）（2022•山西自主招生）已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝x（x∈N*），an+2＝|an+1﹣an|，若前2010项中恰好含有666项为0，则x的值为　8或9　．
【考点】数列的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题；规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用x＝1，2，3，4，5分析出在前2010项中含有0的项的个数的规律，就可求出答案．
【解答】解：当x＝1时，数列数列{an}的各项为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2010项中恰好含有＝670项为0；
当x＝2时，数列数列{an}的各项为1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2010项中恰好含有＝669项为0，即有669项为0；
当x＝3时，数列数列{an}的各项为1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…所以在前2010项中恰好含有＝669项为0；
当x＝4时，数列数列{an}的各项为1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，…所以在前2010项中恰好含有＝668项为0；即有668项为0；
当x＝5时，数列数列{an}的各项为1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，0…所以在前2010项中恰好含有＝668项为0；
…
由上面可以得到当x＝6或x＝7时，在前2010项中恰好含有667项为0；
当x＝8或x＝9时，在前2010项中恰好含有666项为0；
故答案为8或9．
【点评】本题是一道规律型题，在作题时，要有耐心，把x＝1，2，3，4，5时对应的前2010项中含有0的项的个数的规律找到就可求出答案．
10．（9分）（2022•山西自主招生）已知点P（2，0），动点Q满足以PQ为直径的圆与y轴相切，过点P作直线x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0的垂线，垂足为R，则|QP|+|QR|的最小值为 　　．
【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；演绎法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】．
【分析】由抛物线定义可知Q的轨迹方程，直线x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0过定点，结合圆的性质，可知R点的轨迹为圆，再结合抛物线与圆的性质即可得到最小值．
【解答】解：由动点Q满足以QP为直径的圆与y轴相切可知：
动点Q到定点P的距离等于动点Q到直线x＝﹣2的距离，
故动点Q的轨迹为y2＝8x，
由x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0可得x﹣y﹣5+m（y+2）＝0，
，解得D（3，﹣2），
即直线x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0过定点D（3﹣2），
又过P作直线x+（m﹣1）y+2m﹣5＝0的垂线，垂足为R，
所以R点在以PD为直径的圆上，直径式方程为（x﹣2）（x﹣3）+y（y+2）＝0，
化为标准方程为：，圆心，半径，

过Q做QM垂直准线，垂足为M，过E做EG垂直准线，垂足为G，
则．
故答案为：．

【点评】本题主要考查轨迹方程的确定，数形结合的数学思想，直线恒过定点问题，解析几何中的最值问题等知识，属于中等题．
11．（9分）（2022•山西自主招生）已知F为双曲线的右焦点，O为坐标原点，点A是以OF为直径的圆与双曲线C的一个公共点．若点F关于点A的对称点也在双曲线C上，则双曲线C的渐近线的斜率为 　　．
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】综合题；转化思想；综合法；数学运算．
【答案】．
【分析】设点F关于点A的对称点为M，左焦点为F1，根据题意可得MF1⊥MF，M为以FF1为直径的圆与双曲线的交点位于y轴右边的点，解圆与双曲线的方程组成的方程组得交点M的坐标，表
示出点A的坐标为，代入双曲线方程计算可渐近线的斜率．
【解答】解：设点F关于点A的对称点为M，左焦点为F1，根据题意可得MF1⊥MF，
所以M为以FF1为直径的圆与双曲线的交点位于y轴右边的点，
以FF1为直径的圆的方程为x2+y2＝c2，
联立方程，解得点M的坐标为，
MF的中点A的坐标为，
又点A在双曲线线上，代入双曲线方程得，
﹣a2b2＝4a2c2，
∴，
∴4a2c2+4a2b2＝9a4﹣6a2c2+c4，
把c2＝a2+b2代入化简有12a2＝b2，
所以，
所以渐近线的斜率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了转化的思想和双曲线的性质，以及运算能力，属中档题．
12．（9分）（2022•山西自主招生）函数f（x）＝x3﹣3x2+3tx﹣3t+3，t∈（0，1），记|f（x）|在x∈[0，2]上的最大值为M（t），则M（t）≤的解集是　　．
【考点】利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】．
【分析】作出f（x）的草图，易知|f（x）|max＝M（t）＝max{f（x1），f（2）}，然后由以及即可得解．
【解答】解：记f′（x）＝3x2﹣6x+3t＝3（x﹣x1）（x﹣x2），其中，
作出函数f（x）的草图如下，

由图象可知，|f（x）|max＝M（t）＝max{f（x1），f（2）}，
则，解得，
又，故＝，
∴，解得，
综上，实数t的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
三、（20分）
13．（20分）（2022•山西自主招生）△ABC的三边长a、b、c（a≤b≤c）同时满足下列三个条件．
（i）a、b、c均为整数；
（ii）a、b、c依次成等比数列；
（iii）a与c中至少有一个等于100．
求出（a，b，c）的所有可能的解．
【考点】数列的应用；等比数列的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【答案】（100，100，100），（100，110，121），（100，120，144），（100，130，169），（100，140，196），
（100，150，225），（100，160，256），（49，70，100），（64，80，100），（81，90，100）．
【分析】根据题意，先分析a、c的关系，再分a＝100或c＝100两种情况讨论，分析可能的情况，即可得答案．
【解答】解：根据题意，a、b、c为△ABC的三边，则a+b＞c，
又由a、b、c均为整数且a、b、c依次成等比数列，则b2＝ac，
则有a+＞c，变形可得+﹣1＞0，
解可得：＞或＜，
变形可得：＞，
又由0＜a≤b≤c，则≤1，
故有＜≤1，
又由a与c中至少有一个等于100，
若a＝100，b的个位数字必然为0，且c＜＝50（3+）≈262，
此时（a，b，c）可能解为（100，100，100），（100，110，121），（100，120，144），（100，130，169），（100，140，196），（100，150，225），（100，160，256）；
若c＝100，b的个位数字必然为0，且a＞100（3﹣）≈76；
此时（a，b，c）可能解为（49，70，100），（64，80，100），（81，90，100），（100，100，100），
综合可得：（a，b，c）可能解为（100，100，100），（100，110，121），（100，120，144），（100，130，169），（100，140，196），（100，150，225），（100，160，256），（49，70，100），（64，80，100），（81，90，100）．
【点评】本题考查数列的性质以及应用，涉及等比数列的性质，属于中档题．
四、（20分）
14．（20分）（2022•山西自主招生）在三棱锥D﹣ABC中，AD＝a，BD＝b，AB＝CD＝c，且∠DAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∠DBA+∠ABC+∠DBC＝180°．求异面直线AD与BC所成的角．
【考点】异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算．
【答案】．
【分析】将三棱锥D﹣ABC侧面沿侧棱剪开后展开在底面所在平面上，因为∠D1AB+∠BAC+∠D2AC＝180°，所以D1、A、D2三点共线，同理，D1、B、D3三点共线，通过计算可得三棱锥D﹣ABC的三对对棱分别相等，将三棱锥D﹣ABC放入长方体中，即可求解．
【解答】解：如图，将三棱锥D﹣ABC侧面沿侧棱剪开后展开在底面所在平面上，

因为∠D1AB+∠BAC+∠D2AC＝180°，所以D1、A、D2三点共线，同理，D1、B、D3三点共线，
因为AD1＝AD2，BD1＝BD3，所以，AB是ΔD1D2D3的中位线，故D2D3＝2AB＝2c，
而CD2＝CD3＝c，CD2+CD3＝D1D2，所以，D2、C、D3三点共线，
从而，BC＝D1A＝a，AC＝D1B＝b，
因此，三棱锥D﹣ABC的三对对棱分别相等，
如图，将三棱锥D﹣ABC放入长方体中，，

解得，
则cos∠A′OB＝cos（∠A′CB+∠CA′D′）＝cos2∠A′CB＝2cos2∠A′CB﹣1＝，
故异面直线AD与BC所成的角是．

【点评】本题考查了异面直线所成角的计算，属于难题．
五、（20分）
15．（20分）（2022•山西自主招生）设正系数一元二次方程ax2+bx+c＝0有实根．证明：
（1）max{a，b，c}≥（a+b+c）；
（2）min{a，b，c}≤（a+b+c）．
【考点】不等式的证明．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；分析法；不等式；数学运算．
【答案】（1）见解析，（2）见解析．
【分析】（1）利用换元法，利用基本不等式进行证明即可，
（2）利用换元法，利用基本不等式进行证明即可．
【解答】证明：令a+b+c＝t（t＞0）．
（1）若，结论已成立．
若，则由b2﹣4ac≥0，得．①
又，即，则由①得，
即．
解得或．
若，结论已成立；
若，则．结论亦成立．
综上所述，．
（2）若，结论已成立．
若，得b2≥4ac＞ct，即．②
又，即．③
由②③得，即．
因，则．所以．
综上所述，．
【点评】本题考查基本不等式，考查学生的运算能力，属于中档题．
附加题一、（50分）
16．（2022•山西自主招生）已知△ABC的外角∠EAC平分线与△ABC的外接圆交于D，以CD为直径的圆分别交BC、CA于点P、Q．求证：线段PQ平分△ABC的周长．
【考点】与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【答案】证明见解析．
【分析】连结DB、DP、DQ．由几何关系可得△DBC为等腰三角形．在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理，可得，然后结合三角形相似可得．从而可得线段PQ平分△ABC的周长．
【解答】证明：连结DB、DP、DQ．

因∠ABD＝∠ACD，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，则∠EAC＝∠DBC+∠DCB，
即2∠DAC＝∠DBC+∠DCB．
又∠DAC＝∠DBC，则∠DBC＝∠DCB．
故△DBC为等腰三角形．
因DP⊥BC，则．
在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理，得AC⋅BD＝BC⋅AD+AB⋅CD．
因BD＝CD，则．
又DQ⊥AC，则△ADQ∽△BDP．
所以，，即．
故AC﹣AB＝2AQ，即．
从而，＝．
因此，线段PQ平分△ABC的周长．
【点评】本题主要考查与圆有关的比例线段，托勒密定理的应用，三角形周长的有关计算等知识，属于中等题．
二、（50分）
17．（2022•山西自主招生）已知x0＝1，x1＝3，xn+1＝6xn﹣xn﹣1（n∈N+）．求证：数列{xn}中无完全平方数．
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【答案】证明过程见解答．
【分析】利用特征根法可求得数列{xn}的通项公式，再证明xn不是完全平方数，即数列{xn}中无完全平方数即可．
【解答】证明：由特征根法可求得数列{xn}的通项公式为，
设，则yn∈N，且易得．
因此，欲证xn不是完全平方数，由佩尔方程结论可知，
只需方程x4﹣2y2＝1无正整数解（x，y），其中x⩾3．
由x4﹣2y2＝1得x必为奇数，而2y2＝x4﹣1＝（x2+1）（x﹣1）（x+1），
故y为偶数，不妨设y＝2y1（y1∈N），则．
又，即互质，且，
则或且s，t互素，s⋅t＝y1），
若，则x2＝4s2﹣1＝3（mod4）矛盾．
若，则（x﹣2t）（x+2t）＝1，
由，解得，矛盾．
故xn不是完全平方数，即数列{xn}中无完全平方数．
【点评】本题考查数列的递推公式，考查学生的推理运算能力，属于难题．
三、（50分）
18．（2022•山西自主招生）有2002名运动员，号码依次为1，2，3，…，2002．从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积．那么被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由．
【考点】进行简单的合情推理；排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明；逻辑推理；数学运算．
【答案】43．
【分析】根据题意，可以选取编号为2到44的运动员，对于剩下的运动员，分“选取的2人中有编号为1”和“选取的2人中没有编号为1”的两种情况讨论，分析可得结论．
【解答】解：根据题意，可以选取编号为2到44的运动员，可以保证剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积，
理由：在选取了编号为2到44的运动员，从剩下的1959名运动员中任取2个，
由于44×45＝1980＜2002，45×46＝2070＞2002，
若选取的2人中有编号为1的，必定符合题意；
若选取的2人中没有编号为1的，选出2人的编号之积必定大于2002，符合题意．
【点评】本题考查合情推理的应用，关键是明确选取的规则，属于基础题．

考点卡片
1．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．

【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
3．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a≤恒成立
即a≤x++2
⇒a≤2+2
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
4．正弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
单调性
递增区间：
（2kπ﹣，2kπ+）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ+，2kπ+）
（k∈Z）
递增区间：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
递减区间：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
递增区间：
（kπ﹣，kπ+）
（k∈Z）
最　值
x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）时，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 时，
ymin＝﹣1
无最值
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称性
对称中心：（kπ，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ+，k∈Z
对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）
对称轴：x＝kπ，k∈Z
对称中心：（，0）（k∈Z）
无对称轴
周期
2π
2π
π
5．等比数列的性质
【等比数列】
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）． 注：q＝1 时，an为常数列．
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．

例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝　　．
解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，
则18＝2q4，解得q2＝3，
∴y＝2q2＝2×3＝6．
故答案为：6．
本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．
【等比数列的性质】
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
6．数列的应用
【知识点的知识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
7．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
8．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
9．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC　
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
10．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

11．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞≤π时，θ＝cos（π﹣＜，＞）＝﹣cos＜，＞＝﹣＝．
12．直线的一般式方程与直线的垂直关系
【知识点的知识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
13．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系

2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
14．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

15．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
16．计数原理的应用
【知识点的认识】
1．两个计数原理
（1）分类加法计数原理：N＝m1+m2+…+mn
（2）分步乘法计数原理：N＝m1×m2×…×mn
2．两个计数原理的比较

分类加法计数原理
分步乘法计数原理
共同点
都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理．
不同点
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
n类方案相互独立，且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事
n个步骤相互依存，每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点
类类独立，不重不漏
步步相依，步骤完整
【解题方法】
1．计数原理的应用
（1）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类加法计数原理；
（2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步乘法计数原理．
2．解题步骤
（1）指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”；
（2）求每“类”或每“步”中不同方法的种数；
（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；
（4）作答．

【命题方向】
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法．
常见考题类型：
（1）映射问题
（2）涂色问题（①区域涂色②点的涂色③线段涂色④面的涂色）
（3）排数问题（①允许有重复数字②不允许有重复数字）
17．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
18．进行简单的合情推理
【知识点的知识】
1．推理
根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理．推理一般分为合情推理与演绎推理两类．
2．合情推理

归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
特点
由部分到整体、由个别到一般的推理
由特殊到特殊的推理
一般步骤
（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；
（2）从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（猜想）
（1）找出两类事物之间相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
3．演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；
（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
（3）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
“三段论”的结构
①大前提﹣﹣已知的一般原理；
②小前提﹣﹣所研究的特殊情况；
③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”的表示
①大前提﹣﹣M是P．
②小前提﹣﹣S是M．
③结论﹣﹣S是P．
19．与圆有关的比例线段
【知识点的知识】
1、相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
2、割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
3、切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
4、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

【解题方法点拨】
相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这四个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理以及圆内接四边形的性质定理得到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题．
因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到两条割线要想到割线定理；见到切线和割线要想到切割线定理．
20．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，＞1⇒a＞b；b＜0，＜1⇒a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：

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