2022年浙江省普通高中强基联盟高考数学统测试卷（3月份）

这是一份2022年浙江省普通高中强基联盟高考数学统测试卷（3月份），共58页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年浙江省普通高中强基联盟高考数学统测试卷（3月份）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）（2022•浙江模拟）已知集合M＝{y|y＝﹣|2x|，x∈R}，N＝{，x∈R}，则（　　）
A．M＝N B．N⊆M C．M＝∁RN D．∁RN⫋M
2．（4分）（2022•浙江模拟）双曲线的离心率等于（　　）
A． B． C．3 D．
3．（4分）（2022•浙江模拟）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．
4．（4分）（2022•浙江模拟）已知平面α，β，直线m，α⊥β，则“m∥α”是“m⊥β”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（4分）（2022•浙江模拟）若x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）

A． B． C．4 D．5
6．（4分）（2022•浙江模拟）函数y＝sin2x•的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）（2022•浙江模拟）在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，则sin∠ADC的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）（2022•浙江模拟）已知函数，若函数，恰有两个零点，则（　　）
A．a≤1 B．a≤0或a＝1 C． D．a≥0或
9．（4分）（2022•浙江模拟）有5个人去并排的5个不同场馆锻炼，假定每人可以选择去任意一个场馆，则恰有2个场馆无人选择，且这2个场馆不相邻的选择方式共有（　　）
A．800种 B．900种 C．1200种 D．1500种
10．（4分）（2022•浙江模拟）如图，在四棱锥Q﹣EFGH中，底面是边长为的正方形，QE＝QF＝QG＝QH＝4，M为QG的中点．过EM作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为V1，V2，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．（6分）（2022•浙江模拟）已知 i为虚数单位，且z（3+i）＝1﹣i，则z的虚部是 　 　，|z|＝　 　．
12．（6分）（2022•浙江模拟）已知随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P



则当时，E（X）＝　 　；当0＜p＜1时，D（X）的最大值为 　 　．
13．（6分）（2022•浙江模拟）已知（x﹣2）（x+m）5＝a6x6+a5x5+⋯+a1x+a0，m为常数，若a5＝﹣7，则m＝　 　，a6+a5+⋯+a1＝　 　．
14．（6分）（2022•浙江模拟）若正项数列{an}满足a1＝a2＝1，且对任意的正整数n，有an+2＝an+1﹣an+n+2，则a4＝　 　，a2022＝　 　．
15．（4分）（2022•浙江模拟）已知实数a，b满足，则的最小值为 　 　．
16．（4分）（2022•浙江模拟）椭圆的两个焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，，|MF2|＝|F1F2|，则椭圆的离心率为 　 　．
17．（4分）（2022•浙江模拟）已知向量，，满足，，，则的最大值是 　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）（2022•浙江模拟）已知函数f（x）＝sinxcosx+sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，f（A）＝1，求的值．
19．（15分）（2022•浙江模拟）如图，在矩形ABCD中，2BC＝AB＝2，M是AB的中点，沿直线MC将△BCM翻折成△PCM，∠PCD＝60°．
（Ⅰ）求证：PC⊥DM；
（Ⅱ）求直线PM与平面PCD所成角的正弦值．

20．（15分）（2022•浙江模拟）正项递增数列{an}的前n项和为Sn，4Sn＝an2+4n﹣1（n∈N*）．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若a1＝1，bn＞0，bn2＝1+，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜n+1．
21．（15分）（2022•浙江模拟）过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，过点B作直线MN交x轴于点M，交抛物线于点N，且B为MN的中点．
（Ⅰ）若F为△AMN的重心，求点A的坐标；
（Ⅱ）当△ABN面积最小时，求点A的横坐标．

22．（15分）（2022•浙江模拟）已知函数（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）＜﹣1恒成立，证明：方程f（x）+2a+1＝0有两根s，t（s＜t）且．

2022年浙江省普通高中强基联盟高考数学统测试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）（2022•浙江模拟）已知集合M＝{y|y＝﹣|2x|，x∈R}，N＝{，x∈R}，则（　　）
A．M＝N B．N⊆M C．M＝∁RN D．∁RN⫋M
【考点】补集及其运算．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；集合；数学抽象．
【答案】C
【分析】由已知结合函数的性质先分别求出M，N，然后结合集合交集运算即可求解．
【解答】解：M＝{y|y＝﹣|2x|，x∈R}＝{y|y≤0}，N＝{，x∈R}＝{y|y＞0}，
∁RN＝{y|y≤0}，
所以M＝∁RN，B正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的性质，集合交集运算，属于基础题．
2．（4分）（2022•浙江模拟）双曲线的离心率等于（　　）
A． B． C．3 D．
【考点】双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】B
【分析】利用双曲线方程，求解a，c，然后求解离心率．
【解答】解：双曲线，可得a＝1，b＝3，c＝，
所以双曲线的离心率为：e＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
3．（4分）（2022•浙江模拟）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【答案】A
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．
【解答】解：很具几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A﹣BCD；
如图所示：

所以．
故选：A．

【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4．（4分）（2022•浙江模拟）已知平面α，β，直线m，α⊥β，则“m∥α”是“m⊥β”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】直线与平面垂直；充分条件与必要条件．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理．
【答案】D
【分析】由α⊥β，m∥α，m⊄β，可得m∥β或m与β相交；由α⊥β，m⊥β，得m⊄α或m∥α，由此能求出结果．
【解答】解：由α⊥β，m∥α，m⊄β，可得m∥β或m与β相交，
即充分性不成立；
由α⊥β，m⊥β，得m⊄α或m∥α，
即必要性不成立．
∴“m∥α”是“m⊥β”的不充分不必要条件．
故选：D．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的应用，考查充分必要条件的判定，是基础题．
5．（4分）（2022•浙江模拟）若x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）

A． B． C．4 D．5
【考点】简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与坐标原点连线斜率的倒数求解．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（），
∵＝，∴的最大值为4．
故选：C．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
6．（4分）（2022•浙江模拟）函数y＝sin2x•的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象．
【答案】B
【分析】首先判断函数的奇偶性，可得图象的对称性，计算x＝时y的符号，可得结论．
【解答】解：函数y＝f（x）＝sin2x•（x≠0），
f（﹣x）＝sin（﹣2x）•＝﹣sin2x•＝f（x），
可得f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，
可排除选项A、C；
由y＝0，可得sin2x＝0，可得2x＝kπ，k∈Z，
即x＝kπ，k∈Z，k＝1时，x＝；
当x＝＜，y＝sin1•＞0，可排除选项D．
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
7．（4分）（2022•浙江模拟）在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，则sin∠ADC的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】正弦定理．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【答案】C
【分析】由已知结合正弦定理先求出sin∠BAD，然后结合同角平方关系求出cos∠BAD，再由三角形外角及诱导公式，两角和的正弦公式展开可求．
【解答】解：因为△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，
由正弦定理得，，
所以sin∠BAD＝，
因为AD＞BD，
所以∠BAD＜45°，
所以cos∠BAD＝，
则sin∠ADC＝sin（∠BAD+45°）＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角平方关系，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
8．（4分）（2022•浙江模拟）已知函数，若函数，恰有两个零点，则（　　）
A．a≤1 B．a≤0或a＝1 C． D．a≥0或
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】由题意可得当x＜0数有一个零点x＝﹣1，所以只要函数在（0，+∞）有且仅有一个零点，转化为f（x）＝a（x2﹣1），g（x）＝2﹣2x﹣lnx在（0，+∞）上两函数有且仅有一个交点，而f（1）＝g（1）＝0，即（1，0），所以两函数再不能有交点，然后分a≥0和a＜0讨论即可．
【解答】解：当x＜0时，y＝，由x﹣＝0，得x＝﹣1或x＝1（舍去），
所以函数在（﹣∞，0）有一个零点x＝﹣1，
所以函数在（0，+∞）有且仅有一个零点，
即y＝ax（x﹣）+2x﹣2+lnx＝a（x2﹣1）+2（x﹣1）+lnx在（0，+∞）有且仅有一个零点，
设f（x）＝a（x2﹣1），g（x）＝2﹣2x﹣lnx，则f（1）＝g（1）＝0，
所以在（0，+∞）上两函数有且仅有一个交点，
f′（x）＝2ax，g'（x）＝﹣2﹣＜﹣2，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，
当a≥0时，f′（x）≥0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以两函数图象只有一个交点，
当a＜0时，由于f（1）＝g（1）＝0，
所以由图象可知，当两曲线f（x），g（x）在x＝1处有公共切线时，
两曲线在（0，+∞）上有唯一的交点，此时f′（1）＝g′（1），
则2a＝﹣2﹣1，解得a＝﹣，
综上，a≥0或a＝﹣．
故选：D．

【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想，属于中档题．
9．（4分）（2022•浙江模拟）有5个人去并排的5个不同场馆锻炼，假定每人可以选择去任意一个场馆，则恰有2个场馆无人选择，且这2个场馆不相邻的选择方式共有（　　）
A．800种 B．900种 C．1200种 D．1500种
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】应用题；分类讨论；综合法；排列组合；数学抽象；数学运算．
【答案】B
【分析】假设并排5个不同场馆为A、B、C、D、E，2个不相邻场馆的选择方式为AC、AD、AE、BD、BE、CE共6种，
每种选择中5人在其他3个场馆的选择方式共有（+）种，然后可计算结果．
【解答】解：假设并排5个不同场馆为A、B、C、D、E，2个不相邻场馆的选择方式为AC、AD、AE、BD、BE、CE共6种，每种选择种5人在其他3个场馆的选择方式共有（+）＝150（种），
∴2个场馆不相邻的选择方式共有6×150＝900（种）．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合应用，考查数学运算能力及抽象能力，属于中档题．
10．（4分）（2022•浙江模拟）如图，在四棱锥Q﹣EFGH中，底面是边长为的正方形，QE＝QF＝QG＝QH＝4，M为QG的中点．过EM作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为V1，V2，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【答案】A
【分析】过Q作平面EFG的垂线，垂足为O，连接EG、EM、QO，设EG、QO的交点为A，在△QHF中，过A作直线交QH，QF于B，C，由相交直线确定平面，得到四边形ECMB是过EM的截面，由此能求出结果．
【解答】解：过Q作平面EFG的垂线，垂足为O，连接EG、EM、QO，
设EG、QO的交点为A，在△QHF中，过A作直线交QH，QF于B，C，
由相交直线确定平面，得到四边形ECMB是过EM的截面，
由题意得EG＝4，∴△QEG是等边三角形，∴A是△QEG的重心，
设QB＝xQH，QC＝yQF，
则＝+，又＝x，＝x，∴＝，＝，
∴＝+，
由三点共线得＝1，解得＝3，
∴E到平面QHF的距离为OE＝2，M到平面QHF的距离为1，
∵S△QBC＝＝4xy，
∴V1＝VE﹣QBC+VM﹣QBC＝（1+2）＝＝4，
V2＝VQEFGH﹣V1＝，
＝＝﹣1+，
∵＝3，∴3＝≥2，∴xy≥，
当且仅当x＝y＝．取等号，
∴＝﹣1+≥﹣1+＝，
∴（）min＝．
故选：A．

【点评】本题考查几何体的体积的比值的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．（6分）（2022•浙江模拟）已知 i为虚数单位，且z（3+i）＝1﹣i，则z的虚部是 　　，|z|＝　　．
【考点】复数的运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【答案】；．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数虚部的定义和复数模公式，即可求解．
【解答】解：∵z（3+i）＝1﹣i，
∴＝＝，
∴z的虚部为，．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数虚部的定义和复数模公式，属于基础题．
12．（6分）（2022•浙江模拟）已知随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P



则当时，E（X）＝　　；当0＜p＜1时，D（X）的最大值为 　　．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【答案】．
【分析】当时，利用期望公式可求得E（X）的值；求得D（X）关于p的函数表达式，利用二次函数的基本性质可求得D（X）的最大值．
【解答】解：由期望公式可得，
当时，，
当0＜p＜1时，
＝，
当且仅当时，等号成立，故D（X）的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了离散型随机变量的期望和方差运算，属于基础题．
13．（6分）（2022•浙江模拟）已知（x﹣2）（x+m）5＝a6x6+a5x5+⋯+a1x+a0，m为常数，若a5＝﹣7，则m＝　﹣1　，a6+a5+⋯+a1＝　﹣2　．
【考点】二项式定理．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．
【答案】﹣1；﹣2．
【分析】求出展开式中含x5的项，进而可以求出m的值，再分别令x＝0，x＝1，建立方程，由此即可求解．
【解答】解：由已知可得a5为x5的系数，
则展开式中含x5的项为x×﹣2×＝（5m﹣2）x5，
所以5m﹣2＝﹣7，解得m＝﹣1，
令x＝0，则a＝2，
令x＝1，则a0+a1+.....+a6＝（1﹣2）（1﹣1）5＝0，
所以a6+a5+.....+a1＝﹣2，
故答案为：﹣1；﹣2．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，涉及到赋值法的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
14．（6分）（2022•浙江模拟）若正项数列{an}满足a1＝a2＝1，且对任意的正整数n，有an+2＝an+1﹣an+n+2，则a4＝　6　，a2022＝　2024　．
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】等差数列与等比数列；数学运算．
【答案】6；2024．
【分析】首先利用递推关系找到其中第三项及第四项，然后令n＝n+1，找出递推关系从而进行求解．
【解答】解：由已知令n＝1，有a3＝a2﹣a1+3，解得：a3＝3，
令n＝2，a4＝a3﹣a2+4，解得a4＝6，
故a4＝6，
令n＝n+1，则有an+3＝an+2﹣an+1+n+3⋯①，
由已知有：an+2＝an+1﹣an+n+2⋯②，
①+②化简得：an+3+an＝2n+5⋯③，
令n＝n+3可得：an+6+an+3＝2n+11⋯④，
④﹣③可得：an+6﹣an＝6，
故可得{an}中每隔六项为等差数列，
∴a2022＝a6+336×6，
由③有a6+a3＝11，解得a6＝8，
故a2022＝2024．
故答案为6；2024
【点评】本题主要考查数列递推关系，并结合数列周期性进行考查，属于中档题．
15．（4分）（2022•浙江模拟）已知实数a，b满足，则的最小值为 　　．
【考点】函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．
【答案】．
【分析】当a＝0时，可求得＝3，当a≠0时，令t＝，则由已知条件结合基本不等式可求出t≥2，再将化为，化简根据函数的单调性可求得结果
【解答】解：当a＝0时，得b2，则＝3，当a≠0时，令t＝，
由，得a2﹣+≤0，
得≥＝（a2+）×2＝2，当且仅当a2＝时取等号，
所以t≥2，
所以＝＝3﹣，
所以当t＝2时，3﹣取得最小值3﹣＝，
综上，则的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的单调性及分类讨论思想、转化思想，属于中档题．
16．（4分）（2022•浙江模拟）椭圆的两个焦点为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，，|MF2|＝|F1F2|，则椭圆的离心率为 　　．
【考点】椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【答案】
【分析】设椭圆的焦点在x轴上，由，|MF2|＝|F1F2|＝2c，则|MF1|，|NF1|，|NF2|的值，在三角形中，由余弦定理可得cos∠NF1F2和cos∠MF1F2的值，由两角互为补角，可得余弦值之和为0，可得a，c的关系，进而求出椭圆的离心率．
【解答】解：设椭圆的方程为：+＝1，（a＞b＞0）
因为，|MF2|＝|F1F2|＝2c，则|MF1|＝2a﹣2c，|NF1|＝，|NF2|＝，
过F2作NF2⊥MN交于Q，则Q为MF1的中点，则cos∠MF1F2＝＝，
cos∠NF1F2＝＝＝，
因为∠NF1F2+∠MF1F2＝π，
所以cos∠NF1F2+cos∠MF1F2＝0，
即＝﹣，整理可得：＝，
故答案为：．

【点评】本题考查椭圆的性质的应用及余弦定理的应用，属于中档题．
17．（4分）（2022•浙江模拟）已知向量，，满足，，，则的最大值是 　3+3　．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】3+3．
【分析】根据条件可得||＝3，△ABC是直角三角形，在△BDC中，利用中线定理可得，进而利用基本不等式可得结果．
【解答】解：设，
则，
∵，
∵，
∴点D是△ABC的重心，
∴BA⊥CA，
∴△ABC是直角三角形，
在△BDC中，利用中线定理，得BD2+CD2＝2（BE2+DE2）＝45，
即，
∴，∴，
故答案为：3+3．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算和性质以及模长的最值问题，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）（2022•浙江模拟）已知函数f（x）＝sinxcosx+sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，f（A）＝1，求的值．
【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的周期性．菁优网版权所有
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；数学运算．
【答案】（I）[]；
（II）．
【分析】（I）先利用二倍角及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；
（II）由已知先求出A，然后结合两角和的正弦公式进行化简可求．
【解答】解：（I）f（x）＝sinxcosx+sin2x＝＝sin（2x﹣）+，
故T＝＝π，
因为﹣1≤，
所以，
故函数的值域为[]；
（II）由f（A）＝sin（2A﹣）+＝1得sin（2A﹣）＝，
由A为三角形内角得A＝，
故＝sin（）＝＝．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了正弦函数的性质，属于中档题．
19．（15分）（2022•浙江模拟）如图，在矩形ABCD中，2BC＝AB＝2，M是AB的中点，沿直线MC将△BCM翻折成△PCM，∠PCD＝60°．
（Ⅰ）求证：PC⊥DM；
（Ⅱ）求直线PM与平面PCD所成角的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；数学运算．
【答案】．
【分析】（Ⅰ）先在△PCD中利用余弦定理求出PD，再由勾股定理的逆定理可得PC⊥PD，而PC⊥PM，由线面垂直的判定可得PC⊥平面PDM，从而可得PC⊥DM；
（Ⅱ）设M到平面PCD的距离为h，直线PM与平面PCD所成角为θ，由VM﹣PCD＝VC﹣PDM求出h，从而可求得sinθ的值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由题可知PC＝BC＝1，CD＝AB＝2，
由余弦定理，得PD2＝PC2+CD2﹣PC•CDcos∠PCD＝3，
∴PC2+PD2＝CD2，∴PC⊥PD，
∵PC⊥PM，PM和PD是平面PDM内两条相交直线，
∴PC⊥平面PDM，又DM⊂平面PDM，∴PC⊥DM；
（Ⅱ）设M到平面PCD的距离为h，直线PM与平面PCD所成角为θ，
依题意可得DM＝，∴DM2+PM2＝PD2，∴DM⊥PM，△PDM的面积为，
由（Ⅰ）知PC⊥PD，∴△PCD的面积为PC•PD＝，
由（Ⅰ）知PC⊥平面PDM，根据VM﹣PCD＝VC﹣PDM，
得h×＝×1×，解得h＝，
∴sinθ＝＝．
直线PM与平面PCD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查直线与直线的垂直的证明，以及线面角的求法，属中档题．
20．（15分）（2022•浙江模拟）正项递增数列{an}的前n项和为Sn，4Sn＝an2+4n﹣1（n∈N*）．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若a1＝1，bn＞0，bn2＝1+，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜n+1．
【考点】数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；转化思想；分类法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【答案】（Ⅰ）an＝2n﹣1或an＝2n+1；（Ⅱ）证明过程请看解答．
【分析】（Ⅰ）利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2），结合配方法可得an﹣an﹣1＝2或an+an﹣1＝2（n≥2），而a1＝1或3，再分a1＝1和a1＝3两种情况，并根据正项递增数列{an}进行取舍，即可得解；
（Ⅱ）易得bn＝，先结合分子有理化，放缩法，可得bn﹣1＜，即bn＜﹣+1，再采用裂项求和法，得证．
【解答】（Ⅰ）解：因为4Sn＝an2+4n﹣1，
所以当n≥2时，4Sn﹣1＝an﹣12+4（n﹣1）﹣1，
两式相减得，4an＝an2﹣an﹣12+4，即an﹣12＝an2﹣4an+4＝（an﹣2）2，
因为an＞0，所以an﹣2＝an﹣1或an﹣2＝﹣an﹣1，即an﹣an﹣1＝2或an+an﹣1＝2（n≥2），
在4Sn＝an2+4n﹣1中，令n＝1，则4a1＝a12+3，解得a1＝1或3，
①当a1＝1时，若an﹣an﹣1＝2（n≥2），则数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，故an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1；
若an+an﹣1＝2（n≥2），则an＝a1＝1，与递增数列{an}相矛盾，不符合题意；
②当a1＝3时，若an﹣an﹣1＝2（n≥2），则数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，故an＝3+（n﹣1）×2＝2n+1；
若an+an﹣1＝2（n≥2），则a2＝﹣1＜0，与正项数列{an}相矛盾，不符合题意，
综上所述，{an}的通项公式为an＝2n﹣1或an＝2n+1．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，a1＝1时，an＝2n﹣1，
所以Sn＝＝n2，
因为bn＞0，bn2＝1+＝1+＝，
所以bn＝，
所以bn﹣1＝﹣1＝＝＜＝
＝＜＝﹣，
所以bn＜﹣+1，
故Tn＜（1﹣+﹣+…+﹣）+n＝1﹣+n＜n+1，得证．
【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用an＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求通项公式，等差数列的通项公式，放缩法，以及裂项求和法是解题的关键，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
21．（15分）（2022•浙江模拟）过抛物线y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，过点B作直线MN交x轴于点M，交抛物线于点N，且B为MN的中点．
（Ⅰ）若F为△AMN的重心，求点A的坐标；
（Ⅱ）当△ABN面积最小时，求点A的横坐标．

【考点】直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）设，根据题意可得2y2＝y3，y1y2＝﹣4，再根据F为△AMN的重心，可得，从而可得出答案；
（Ⅱ）lAN：（y1+y3）y＝4x+y1y3＝4（x﹣2），从而，设，利用导数即可求出答案．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，抛物线的焦点F（1，0），
设，
由题意，2y2＝y3，y1y2＝﹣4，∴，
∴，
∴，∴，
∴；
（Ⅱ）lAN：（y1+y3）y＝4x+y1y3＝4（x﹣2），
∴AN恒过D（2，0），
，设y1＞0，
所以，
设，
则，
当 时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0，
所有函数f（x）在上递增，在上递减，
∴当时，S△AMN取最小值，此时．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，属于中档题．
22．（15分）（2022•浙江模拟）已知函数（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）＜﹣1恒成立，证明：方程f（x）+2a+1＝0有两根s，t（s＜t）且．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】综合题；整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；
（Ⅱ）证明见解析．
【分析】（Ⅰ）对函数求导得，再对a分四种情况讨论；
（Ⅱ）先利用零点存在性定理证明，再利用不等式的放缩进行证明．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
，
（1）当时，在 （0，1）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，在（0，+∞）上单调递减；
（3）当时，在上单调递减，在上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（4）当a＞1时，在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
证明：（Ⅱ）由（1）知，若f（x）＜﹣1恒成立，则a＞1，
当a＞1时，f（x）max＝f（1）＝1﹣a﹣a＝1﹣2a＜﹣1，故a＞1，
今，
∴
，
∴
，
由零点存在定理知，存在，使得g（s）＝g（t）＝0，
又g（x）在区间（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，故g（x）至多有两个零点，所以g（x）有且只有两个雾点，方程f（x）+2a+1＝0有两实根s，t，
∴．
【点评】本题考查了含参函数的单调性和导数与零点存在性定理的综合，属于难题．

考点卡片
1．补集及其运算
【知识点的认识】
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．
【解题方法点拨】
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．

【命题方向】
通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
2．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S＝＝．

（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．

【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （　　）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx+过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx+能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx+过点（，）时，＝+，所以k＝．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．

题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．

点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．

题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（　　）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．

解析　设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．

题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 　　．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|+|的最小值是 　　．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，+＝（x+1，y），|+|＝可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|+|的最小值是＝．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
4．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．

【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x）y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．

解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
5．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
6．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．

【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
7．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
8．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
9．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝
②等比数列前n项和公式：

③几个常用数列的求和公式：

（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）．

（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：

＝
＝．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Sn＝＝n2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn＝＝＝＝，
∴Tn＝＝＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．

【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
10．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
11．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
12．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
13．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||cosθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||

2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）

【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是　①②　．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
14．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC　
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
15．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则

16．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
17．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：

（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.8﹣2πB.8﹣πC.8﹣D.8﹣
分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2××π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
18．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
19．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．

2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．

3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．

用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．
20．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
21．直线与抛物线的综合
v．
22．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
23．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．

2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
24．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
25．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n＝∁nian﹣i•bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝　1.105　．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107×＝120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有

这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是∁nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
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