2022年山西省强基计划模拟试卷（三）

这是一份2022年山西省强基计划模拟试卷（三），共55页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2022年山西省强基计划模拟试卷（三）
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1．（6分）（2022•山西自主招生）已知函数f（x）＝（sin2x+4cosx）+2sinx，则f（x）的最大值为（　　）
A．4 B． C．6 D．5+2
2．（6分）（2022•山西自主招生）已知x，y，z∈N*，且x+y+z＝10，记随机变量ξ为x，y，z中的最大值，则E（ξ）＝（　　）
A． B． C．5 D．
3．（6分）（2022•山西自主招生）已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝a（a＞2），+an+1＝﹣+kan（n∈N*），给出下列三个结论：
（1）若k＝1，则数列{an}仅有有限项；
（2）若k＝2，则数列{an}单调递增；
（3）若k＝2，则对任意的M＞0，都存在n0∈N*，使得＞M成立．
则上述结论中正确的为（　　）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
4．（6分）（2022•山西自主招生）如图，将矩形纸片ABCD折起一角落（△EAF）得到△EA′F，记二面角A′﹣EF﹣D的大小为θ（0＜θ＜），直线A′E，A′F与平面BCD所成角分别为α，β，则（　　）

A．α+β＞θ B．α+β＜θ C． D．α+β＞2θ
5．（6分）（2022•山西自主招生）已知点F为抛物线y2＝4x的焦点，M（﹣1，0），点N为抛物线上一动点，当最小时，点N恰好在以M，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为（　　）
A． B． C． D．
6．（6分）（2022•山西自主招生）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l1∥l2，l与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于点E、D，设弧FG的长为x（0＜x＜π），y＝EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f（x）的图像大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题：（每小题9分，共54分）
7．（9分）（2022•山西自主招生）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝有下列结论：
①函数f（x）在（﹣6，﹣5）上单调递增；
②函数f（x）的图象与直线y＝x有且仅有2个不同的交点；
③若关于x的方程[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a∈R）恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；
④记函数f（x）在[2k﹣1，2k]（k∈N*）上的最大值为ak，则数列{an}的前7项和为．
其中所有正确结论的编号是 　 　．
8．（9分）（2022•山西自主招生）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则|AF|＝　 　．
9．（9分）（2022•山西自主招生）三棱锥A﹣BCD中，△ABC为边长为3的等边三角形，BC⊥CD，，且面ABC⊥面BCD，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为 　 　．
10．（9分）（2022•山西自主招生）已知首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，若λSn+1+SnSn+2＝λSn+Sn+12，且数列a1，a2，…，ak（k≥3）成各项均不相等的等差数列，则k的最大值为 　 　．
11．（9分）（2022•山西自主招生）考察等式：（*），其中n、m、r∈N*，r≤m＜n且r≤n﹣m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：
设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，
记事件Ak＝{取到的r件产品中恰有k件次品}，则，k＝0，1，2，…，r．
显然A0，A1，…，Ar为互斥事件，且A0∪A1∪…∪Ar＝Ω（必然事件），
因此1＝P（Ω）＝P（A0）+P（A1）+…P（Ar）＝，
所以，即等式（*）成立．
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式（*）成立 ②等式（*）不成立 ③证明正确 ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号　 　．
12．（9分）（2022•山西自主招生）为了创建全国文明城市，吕梁市政府决定对市属辖区内老旧小区进行美化改造，如图，某小区内有一个近似半圆形人造湖面，O为圆心，半径为一个单位，现规划在△OCD区域种花，在△OBD区域养殖观赏鱼，若∠AOC＝∠COD，且使四边形OCDB面积最大，则cos∠AOC＝　 　．

三、（20分）
13．（20分）（2022•山西自主招生）设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，左准线为l，点P在椭圆上．作PQ⊥l，Q为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P，使得PQF1F2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e的等式或不等式来表示）．
四、（20分）
14．（20分）（2022•山西自主招生）设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an﹣1+n，n＝1，2，3，…．试求出an的表达式（答案用有限个关于n的式子相加的形式表示，且项数与n无关）．
五、（20分）
15．（20分）（2022•山西自主招生）试求出所有的有序整数对（a，b），使得关于x的方程x4+（2b﹣a2）x2﹣2ax+b2﹣1＝0的各个根均是整数．
附加题一、（50分）
16．（2022•山西自主招生）点P在△ABC内，且∠BAP＝∠CAP，连结BP并延长交AC于点Q．设∠BAC＝60°，且．求证：P是△ABC的内心．
二、（50分）
17．（2022•山西自主招生）设正数a、b满足且使得关于x的不等式≥总有实数解．试求f（a，b）＝a2﹣3ab+b2的取值范围．
三、（50分）
18．（2022•山西自主招生）试求出正整数k的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k个整数a1，a2，…，ak（允许相等），必定存在相应的k的整数x1，x2，…，xk（也允许相等），且|xi|≤2（i＝1，2，…，k），|x1|+|x2|+…+|xk|≠0，使得2003整除x1a1+x2a2+…+xkak．

2022年山西省强基计划模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1．（6分）（2022•山西自主招生）已知函数f（x）＝（sin2x+4cosx）+2sinx，则f（x）的最大值为（　　）
A．4 B． C．6 D．5+2
【考点】三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【答案】B
【分析】先将f（x）化为f（x）＝2（cosx+1）（sinx+2）﹣4，然后利用基本不等式和辅助角公式、正弦函数的最值，可得所求f（x）的最大值．
【解答】解：f（x）＝（sin2x+4cosx）+2sinx＝2sinxcosx+4cosx+2sinx＝2cosx（sinx+2）+2sinx
＝2（cosx+1）（sinx+2）﹣4，
显然 sinx+2＞0，由于要求 f（x） 的最大值，
所以只需考虑cosx+1＞0 的情况即可，
当cosx+1＞0时，2（cosx+1）（sinx+2）﹣4≤2（）2﹣4＝2[]2﹣4≤2×﹣4＝，
当且仅当，即x＝2kπ+（k∈Z） 时等号成立，
因此当x＝2kπ+（k∈Z） 时，f（x）取得最大值．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的最值和基本不等式的应用，考查转化能力和运算求解能力，属于中档题．
2．（6分）（2022•山西自主招生）已知x，y，z∈N*，且x+y+z＝10，记随机变量ξ为x，y，z中的最大值，则E（ξ）＝（　　）
A． B． C．5 D．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【答案】D
【分析】先求出方程的全部正整数解，即基本事件总数，ξ为x，y，z中的最大值，则ξ可能的取值为4，5，6，7，8，然后分别求出对应的概率即可．
【解答】解：根据隔板法，将10看作10个完全相同的小球排成一排，中间形成的9个空，放入两块隔板，可求得x+y+z＝10正整数解有组，
ξ可能的取值为4，5，6，7，8，不妨设x＝max{x，y，z}，则ξ＝x，
下分类讨论：x＝8，（x，y，z）＝（8，1，1）；x＝7，（x，y，z）＝（7，1，2），（7，2，1），x＝6，（x，y，z）＝（6，1，3），（6，3，1），（6，2，2）；x＝5，（x，y，z）＝（5，1，4），（5，4，1），（5，2，3），（5，3，2）；x＝4，（x，y，z）＝（4，3，3），（4，4，2），
但根据x，y，z的对称性，上述每一组解的结果数还要乘以3，于是则有：，，，，，
故．
故选：D．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望求解，考查转化能力，属于中档题．
3．（6分）（2022•山西自主招生）已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝a（a＞2），+an+1＝﹣+kan（n∈N*），给出下列三个结论：
（1）若k＝1，则数列{an}仅有有限项；
（2）若k＝2，则数列{an}单调递增；
（3）若k＝2，则对任意的M＞0，都存在n0∈N*，使得＞M成立．
则上述结论中正确的为（　　）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
【考点】命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】对于①，利用数列的单调性，通过累加法即可作出判断；对于②，先证明an＞2，再借助作差法即可得到结果；对于③，判断数列{}是有界的还是发散的即可．
【解答】解：对于①，因为+an+1＝﹣+kan（n∈N*），
所以an+1﹣an＝﹣﹣，
又数列{an}各项都为正数，所以an+1﹣an＜0，
所以数列{an}单调递减，
所以0＜an+1＜an≤a1，
所以．
因为an+1＝an﹣﹣＜an﹣，即an+1＜an﹣，
所以an+1﹣an＜﹣，
所以an﹣a1＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）
＜﹣﹣﹣…﹣＜﹣﹣﹣…﹣＝﹣，
所以an﹣a1＜﹣，即0＜an＜a1﹣，
所以0＜a1﹣，即n＜+1＝a2+1，
而a2+1为定值，所以数列{an}仅有有限项，命题正确；
对于②，先用数学归纳法证明an＞2．
（1）当n＝1时，a1＝a＞2，显然成立；
（2）假设当n＝k时，ak＞2，则＝﹣+2ak＞．
记f（x）＝e﹣x+x，x＞0，则
f'（x）＝1﹣e﹣x＞0，所以f（x）＝e﹣x+x在（0，+∞）上单调递增，
f（2）＝e﹣2+2＜＜f（ak+1），
所以ak+1＞2，
所以∀n∈N*，都有an＞2．
因为an+1＞0，所以∈（0，1），
所以an+1﹣an＝an﹣﹣＞an﹣﹣1，
又因为y＝2x﹣﹣1在（2，+∞）上单调递增，且an＞2，
所以an+1﹣an＞2﹣﹣1＝＞0，
所以数列{an}单调递增，命题正确；
对于③，因为+an+1＝﹣+2an（n∈N*），
所以an+1＝﹣+2an﹣＞2an﹣﹣1，
即an+1＞2an﹣﹣1，又因为an＞2，
所以an+1＞2an﹣﹣1＝2an﹣，
所以an+1﹣＞2（an﹣），
所以an＞（a1﹣）•2n﹣1+1，
所以＜＜，
显然存在上界，即存在上界，所以命题错误．
故选：A．
【点评】本题考查数列的综合应用、命题真假判断，考查学生的逻辑思维能力和计算能力，属难题．
4．（6分）（2022•山西自主招生）如图，将矩形纸片ABCD折起一角落（△EAF）得到△EA′F，记二面角A′﹣EF﹣D的大小为θ（0＜θ＜），直线A′E，A′F与平面BCD所成角分别为α，β，则（　　）

A．α+β＞θ B．α+β＜θ C． D．α+β＞2θ
【考点】直线与平面所成的角．菁优网版权所有
【专题】转化思想；分析法；空间角；逻辑推理；数学运算．
【答案】A
【分析】过A'作A'H⊥平面BCD，垂足为H，过A'作A'G⊥EF，垂足为G，利用二面角的平面角的定义以及线面角的定义，得到∠A'GH＝θ，∠A'EH＝α，∠A'FH＝β，在三角形中利用边角关系求出sin2α+sin2β＝sin2θ，然后由二倍角公式以及角的变换进行化简变形得到，由此依次分析四个选项即可．
【解答】解：如图，过A'作A'H⊥平面BCD，垂足为H，
过A'作A'G⊥EF，垂足为G，
设A'G＝d，A'H＝h，∠A'EG＝γ，
因为A'H⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，故A'H⊥EF，
又A'G∩A'H＝A'，故EF⊥平面A'GH，又GH⊂平面A'GH，
所以EF⊥GH，故∠A'GH＝θ，
由∠A'EH＝α，∠A'FH＝β，
在直角三角形A'GE中，，同理，
故，同理sinβ＝sinθcosγ，
故sin2α+sin2β＝sin2θ，
故，整理可得，
所以，
整理可得，cos（α+β）cos（α﹣β）＝cos2θ，即，
若α+β≤θ，由，cos（α+β）≥cosθ，即，
但|α﹣β|＜α+β≤θ，故cos|α﹣β|＞cosθ，即，矛盾，
故α+β＞θ，故选项A正确，选项B错误；
由sin2α+sin2β＝sin2θ，可得sinα＜sinθ，sinβ＜sinθ，
而α，β，θ均为锐角，故α＜θ，β＜θ，α+β＜2θ＜，故选项C错误，选项D错误．
故选：A．

【点评】本题考查了空间角的理解和应用，三角恒等变换的应用，解题的关键是找到二面角和线面角对应的角，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．
5．（6分）（2022•山西自主招生）已知点F为抛物线y2＝4x的焦点，M（﹣1，0），点N为抛物线上一动点，当最小时，点N恰好在以M，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的性质；基本不等式及其应用；抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合双曲线的性质，以及抛物线的定义和基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，M（﹣1，0），F（1，0），抛物线的准线方程为x＝﹣1，
设以M，F为焦点的双曲线的方程为 （a＞0），
设点N（），
根据抛物线的定义|NF|＝，
又|NM|＝，
故＝＝≥，
当且仅当，即y0＝±2时，等号成立，
所以点N（1，2）或N（1，﹣2），
则，解得 （舍去）或，
故双曲线的渐近线的斜率的平方为．
故选：B．
【点评】本题主要考查椭双曲线的性质，以及抛物线的定义和基本不等式的公式，属于中档题．
6．（6分）（2022•山西自主招生）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l1∥l2，l与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于点E、D，设弧FG的长为x（0＜x＜π），y＝EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f（x）的图像大致是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】根据给定条件求出函数y＝f（x）的解析式，再借助函数性质分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，正△ABC的高为1，则其边长，
如图，连接OF，OG，过O作ON⊥l1于N，交l于点M，过E作EH⊥l1于H，
因OF＝1，弧FG的长为x（0＜x＜π），则∠FOG＝x，又l//l1//l2，即有，
于是得，，，
因此，，
即，0＜x＜π，显然f（x）在（0，π）上单调递增，且图象是曲线，排除选项A，B，
而，C选项不满足，D选项符合要求，
故选：D．

【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的解析式的求法，属于中档题．
二、填空题：（每小题9分，共54分）
7．（9分）（2022•山西自主招生）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝有下列结论：
①函数f（x）在（﹣6，﹣5）上单调递增；
②函数f（x）的图象与直线y＝x有且仅有2个不同的交点；
③若关于x的方程[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a∈R）恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；
④记函数f（x）在[2k﹣1，2k]（k∈N*）上的最大值为ak，则数列{an}的前7项和为．
其中所有正确结论的编号是 　①④　．
【考点】命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【答案】①④．
【分析】由f（x）是奇函数，则f（0）＝0，写出f（x）在（﹣6，﹣5）上的函数解析式，作出函数x≥0的图象，
对于①，由图可知，函数f（x）在（5，6）上单调递增，由奇函数性质可知，函数f（x）在（﹣6，﹣5）上单调性，即可判断①是否正确；
对于②，结合函数的奇偶性可知，f（x）的图象与直线y＝x有3个不同的交点，即可判断②是否正确；
对于③，设f（x）＝t，则关于[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a∈R）的方程等价于t2﹣（a+1）t+a＝0，解得t＝a或t＝1，结合图象，分两种情况：（1）t＝a＝，（2）t＝a＝﹣，讨论f（x）＝a的实数根的和，即可判断③是否正确；
对于④，函数f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）＝1，即a1＝1，则函数解析式及性质可知，数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，即可判断④是否正确．
【解答】解：当x＝0时，f（0）＝0，此时不满足方程，
若2＜x≤4，则0＜x﹣2≤2，即f（x）＝f（x﹣2）＝（2|x﹣3|﹣1），
若4＜x≤6，则2＜x﹣2≤4，即f（x）＝f（x﹣2）＝（2|x﹣5|﹣1），
作出函数x≥0的图象，如图所示：

对于①，由图可知，函数f（x）在（5，6）上单调递增，
由奇函数性质可知，函数f（x）在（﹣6，﹣5）上单调递增，故①正确；
对于②，可知函数在x＞0时的图象与直线y＝x有1个交点，
结合函数的奇偶性可知，f（x）的图象与直线y＝x有3个不同的交点，故②错误；
对于③，设f（x）＝t，则关于[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a∈R）的方程等价于t2﹣（a+1）t+a＝0，
解得t＝a或t＝1，


当t＝1时，即f（x）＝1对应一个交点为x1＝2，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：
（1）t＝a＝，即f（x）＝对应3个交点，且x2+x3＝2，x4＝4，
此时4个实数根的和为8，
（2）t＝a＝﹣，即f（x）＝﹣对应3个交点，且x2+x3＝﹣2，x4＝4，
此时4个实数根的和为4，故③错误；
对于④，函数f（x）在[1，2]上的最大值为f（2）＝1，即a1＝1，
由函数解析式及性质可知，数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，
则数列的前7项和为＝，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题考查命题真假的判断，解题关键是熟悉函数的性质，属于中档题．
8．（9分）（2022•山西自主招生）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则|AF|＝　　．
【考点】抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】．
【分析】先将点M代入抛物线方程得到一个关系式，而后利用抛物线的定义将A到焦点的距离转化为到准线的距离，然后根据圆的弦长公式用勾股定理得到第二个关系式，进一步解出即可．
【解答】解：如图所示，在抛物线上，则10＝2px0⇒px0＝5……①，

易知，，
由，
因为被直线截得的弦长为，则，
由|MA|＝|ME|＝r，于是在Rt△MDE中，……②，
由①②解得：，所以．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的简单几何性质和定义以及勾股定理在抛物线中的应用，一定要结合图形找到各个量之间的联系，抛物线题目切记抛物线上点到焦点的距离等于其到准线的距离，属中档题．
9．（9分）（2022•山西自主招生）三棱锥A﹣BCD中，△ABC为边长为3的等边三角形，BC⊥CD，，且面ABC⊥面BCD，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为 　　．
【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；数学运算．
【答案】．
【分析】由题意画出图形，分别取底面三角形BCD与等边三角形ABC的外心，过两外心分别作所在面的垂线，两垂线的交点即为三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，代入球的体积公式得答案．
【解答】解：如图，

∵BC⊥CD，∴△BCD是直角三角形，且BD为斜边，
∵BC＝3，CD＝，∴BD＝，
取BD中点E，则E为底面三角形BCD的外心．
∵面ABC⊥面BCD，且面ABC∩面BCD＝BC，BC⊥CD，
∴CD⊥平面ABC，又△ABC为边长为3的等边三角形，
取BC中点F，连接EF，则EF⊥平面ABC，
设△ABC的外心为G，则G在AF上，且GF＝＝．
过E作底面BCD的垂线，过G作平面ABC的垂线，两垂线相交于O，
则O为三棱锥A﹣BCD的外接球的球心，连接OB，
则OB为外接球的半径等于＝．
∴三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．
故答案为：．
【点评】本题考查多面体的外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
10．（9分）（2022•山西自主招生）已知首项为1的数列{an}的前n项和为Sn，若λSn+1+SnSn+2＝λSn+Sn+12，且数列a1，a2，…，ak（k≥3）成各项均不相等的等差数列，则k的最大值为 　4　．
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．
【答案】4．
【分析】由已知的等式，利用赋值法，n和k进行取值，得到关于λ和d的关系，求出λ和d的值，然后验证即可得到答案．
【解答】解：数列a1，a2，…，ak（k≥3）成各项均不相等的等差数列，公差为d，
则d≠0，a1＝1，S1＝a1＝1，
k＝3，则a2＝1+d，S2＝a1+a2＝2+d，a3＝1+2d，S3＝3+3d，
因为λSn+1+SnSn+2＝λSn+Sn+12，
当n＝1时，λS2+S2S2＝λS1+S22，可得λ（1+d）＝d2+d+1①，
同理，当k＝4，n＝2时，有λ（1+2d）＝3d2+2d+1②，
由①②可得，d＝﹣2，λ＝﹣3，
当k＝4时，符合题意，
当k＝5时，不符合题意．
故k的最大值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查数列递推公式的应用，解题的关键是利用递推关系求出d和λ的值，属于中档题．
11．（9分）（2022•山西自主招生）考察等式：（*），其中n、m、r∈N*，r≤m＜n且r≤n﹣m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：
设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，
记事件Ak＝{取到的r件产品中恰有k件次品}，则，k＝0，1，2，…，r．
显然A0，A1，…，Ar为互斥事件，且A0∪A1∪…∪Ar＝Ω（必然事件），
因此1＝P（Ω）＝P（A0）+P（A1）+…P（Ar）＝，
所以，即等式（*）成立．
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式（*）成立 ②等式（*）不成立 ③证明正确 ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号　①③　．
【考点】概率的应用；组合及组合数公式．菁优网版权所有
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】构造概率模型，从中随机取出r件产品，记事件Ak＝{取到的产品中恰有k件次品}，利用古典概型概率公式求得其概率，根据A0，A1，…，Ar为互斥事件，且A0∪A1∪…∪Ar＝Ω（必然事件），即可判断．
【解答】解：设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余n﹣m件为正品．
现从中随机取出r件产品，记事件Ak＝{取到的产品中恰有k件次品}，则取到的产品中恰有k件次品共有种情况，又从中随机取出r件产品，共有种情况，k＝0，1，…，r，故其概率为，k＝0，1，…，r．
∵A0，A1，…，Ar为互斥事件，且A0∪A1∪…∪Ar＝Ω（必然事件），
因此1＝P（Ω）＝P（A0）+P（A1）+…P（Ar）＝，
所以∁m0Cn﹣mr+∁m1Cn﹣mr﹣1+…+∁mrCn﹣m0＝∁nr，即等式（*）成立．
从而可知正确的序号为：①③
故答案为：①③
【点评】本题以概率为依托，证明组合中的等式问题，解题的关键是构造概率模型，利用古典概型的概率公式求概率，题目新颖．
12．（9分）（2022•山西自主招生）为了创建全国文明城市，吕梁市政府决定对市属辖区内老旧小区进行美化改造，如图，某小区内有一个近似半圆形人造湖面，O为圆心，半径为一个单位，现规划在△OCD区域种花，在△OBD区域养殖观赏鱼，若∠AOC＝∠COD，且使四边形OCDB面积最大，则cos∠AOC＝　　．

【考点】根据实际问题选择函数类型．菁优网版权所有
【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学建模．
【答案】．
【分析】设∠AOC＝∠COD＝α（0＜α＜），表示出四边形OCDB面积S，然后利用导数研究函数的单调性，确定函数取最值的条件，即可得到答案．
【解答】解：设∠AOC＝∠COD＝α（0＜α＜），
因为OC＝OB＝OD＝1，
所以四边形OCDB的面积S＝＝，
＝，
令S'＝0，解得或，
即，
又cosα在（0，）上单调递减，
所以当，即cosα∈（，1）时，S单调递减，
当α∈（arccos，），即cosα∈（0，）时，S单调递增，
所以当cos∠AOC＝时，四边形OCDB的面积最大．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
三、（20分）
13．（20分）（2022•山西自主招生）设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，左准线为l，点P在椭圆上．作PQ⊥l，Q为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P，使得PQF1F2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e的等式或不等式来表示）．
【考点】椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】．
【分析】设点P的坐标为（x0，y0），由于PQF1F2为平行四边形，则PQ∥F1F2，PQ＝F1F2，即x0﹣（﹣）＝c﹣（﹣c），即x0＝，又+＝1，且P不能在F1F2所在直线上，进而可得，即可解得答案．
【解答】解：设点P的坐标为（x0，y0），
因为F1（﹣c，0），F2（c，0），左准线为l：x＝﹣，
由于PQF1F2为平行四边形，
所以PQ∥F1F2，PQ＝F1F2，
所以x0﹣（﹣）＝c﹣（﹣c），即x0＝，
由于P在椭圆上，即+＝1，且P不能在F1F2所在直线上，
所以x0的取值范围为（﹣a，a），即x02＜a2，
所以（2e﹣）2＜1，
所以﹣e＜2e2﹣＜e，
所以，
解得＜e＜1，
所以，当且仅当椭圆的离心率e满足条件＜e＜1时，这样的点P存在．
【点评】本题考查椭圆的离心率，解题中需要理清思路，属于中档题．
四、（20分）
14．（20分）（2022•山西自主招生）设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an﹣1+n，n＝1，2，3，…．试求出an的表达式（答案用有限个关于n的式子相加的形式表示，且项数与n无关）．
【考点】数列递推式．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【答案】a2n＝2n+2﹣2n﹣3；a2n+1＝3×2n+1﹣2n﹣4．
【分析】由题意，由an+1＝2an﹣1+n，an+2＝2an+n+1，再令bn＝an+1﹣an，通过求得bn通项公式，求出an的通项公式．
【解答】解：首先，有a2＝2a0+1＝3．由an+1＝2an﹣1+n，an+2＝2an+n+1，相减得an+2﹣an+1＝2（an﹣an﹣1）+1．①
令bn＝an+1﹣an，则由①得bn+1＝2bn﹣1+1，②
其中b0＝a1﹣a0＝1，b1＝a2﹣a1＝3﹣2＝1，b2＝2b0+1＝3．
由②得bn+1+1＝2（bn﹣1+1）．③
由③易得，
及．
所以，．④
又因为bi﹣1＝ai﹣ai﹣1，所以
即an＝1+b0+b1+b2+⋯+bn﹣1．⑤
由④和⑤得a2n＝1+（b0+b1）+（b2+b3）+⋯+（b2n﹣2+b2n﹣1）
＝1+2（21﹣1）+2（22﹣1）+⋯+2（2n﹣1）＝1﹣2n+4（2n﹣1）＝2n+2﹣2n﹣3，
从而，．
故a2n＝2n+2﹣2n﹣3；a2n+1＝3×2n+1﹣2n﹣4．
【点评】本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于难题．
五、（20分）
15．（20分）（2022•山西自主招生）试求出所有的有序整数对（a，b），使得关于x的方程x4+（2b﹣a2）x2﹣2ax+b2﹣1＝0的各个根均是整数．
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】a＝2k﹣1，b＝k2﹣k﹣1（k∈Z）．
【分析】将原方程变形为（x2+b+ax+1）（x2+b﹣ax﹣1）＝0，则有x2+b+ax+1＝0及x2+b﹣ax﹣1＝0的各个根都是整数，所以△1＝a2﹣4（b+1）＝t12，△2＝a2﹣4（b﹣1）＝t22，即有2＝．由于t2﹣t1与t2+t1的奇偶性相同，于是t2＝3，t1＝1，再求解a，b的值即可．
【解答】解：把原方程变形为（x2+b）2﹣（ax+1）2＝0，
即（x2+b+ax+1）（x2+b﹣ax﹣1）＝0．
所以x2+b+ax+1＝0及x2+b﹣ax﹣1＝0的各个根都是整数．
于是△1＝a2﹣4（b+1）＝t12，△2＝a2﹣4（b﹣1）＝t22，其中t1和t2为非负整数．
由两式相减得8＝t22﹣t12＝（t2+t1）（t2﹣t1）．
所以0≤t1＜t2，且2＝．
由于t2﹣t1与t2+t1的奇偶性相同，所以t2﹣t1与t2+t1均为偶数．
从而有＝1，＝2．
于是t2＝3，t1＝1，即a2﹣4（b+1）＝1，a2﹣4（b﹣1）＝9．
所以a2﹣4b＝5，a必为奇数．
令a＝2k﹣1（k∈Z），则4b＝a2﹣5＝4k2﹣4k﹣4，即b＝k2﹣k﹣1．
这时x2+b+ax+1＝0及x2+b﹣ax﹣1＝0的根分别为x＝＝﹣k+1或﹣k及x＝＝k+1或k﹣2，都符合题目要求．
综上所述，所求的有序整数对（a，b）为a＝2k﹣1，b＝k2﹣k﹣1（k∈Z）．
【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，也考查了转化思想及逻辑推理能力，属于难题．
附加题一、（50分）
16．（2022•山西自主招生）点P在△ABC内，且∠BAP＝∠CAP，连结BP并延长交AC于点Q．设∠BAC＝60°，且．求证：P是△ABC的内心．
【考点】三角形五心．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；解三角形；逻辑推理．
【答案】证明过程见解答．
【分析】将条件变形为，应用正弦定理，进行三角变换，得∠BPC＝120°，利用同一法即可证明P是△ABC的内心．
【解答】证明：如图，设∠PCQ＝γ，∠PBA＝θ，

由题设得，∴，
由正弦定理，得+1＝，
∴sinθ+sinγ＝sin（θ+60°），
∴sinγ＝sin（θ+60°）﹣sinθ＝2cos（θ+30°）sin30°＝sin（60°﹣θ），
∴60°﹣θ＞0°，且r＝60°﹣θ或r+（60°﹣θ）＝180°，
∴γ+θ＝60°或γ＝θ+120°，
∵∠BPC＝θ+γ+60°，∴若r＝θ+120°，
则∠BPC＝θ+（θ+120°）+60°＝2θ+180°＞180°，
这与∠BPC＜180°相矛盾，
只有γ+θ＝60°，这时∠BPC＝60°+60°＝120°，
设I为△ABC的内心，则点I在PA上或AP的延长线上，
且∠BIC＝180°﹣＝180°﹣＝120°＝∠BPC，
∴点P必与I重合，∴P为△ABC的内心．
【点评】本题考查正弦定理、三角恒等变换、三角形内心性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二、（50分）
17．（2022•山西自主招生）设正数a、b满足且使得关于x的不等式≥总有实数解．试求f（a，b）＝a2﹣3ab+b2的取值范围．
【考点】其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【答案】（﹣∞，1）．
【分析】首先，求出a、b应满足的条件，由原不等式得下列的各个等价形式：，两边同时平方并整理得，①进而通过整理得②③④⑤⑥，又f（a，b）＝tk（0＜t≤1，k＜1），所以，f（a，b）的取值范围是f（a，b）＜1，即f（a，b）能取遍（﹣∞，1）中的每一个值（t与k是相互独立的）．
【解答】解：首先，求出a、b应满足的条件，由原不等式得下列的各个等价形式：，两边同时平方并整理得
，①
令，则x＝t2+1，代入式①得
2bt≥（a2﹣1）（t2+1）+a2﹣b2+1（t≥0），
即（a2﹣1）t2﹣2bt+2a2﹣b2≤0（t≥0），②
下面分3种情形讨论：
当a2＝1时，式②变为﹣2bt+2﹣b2≤0（t≥0），有解，
当a2＜1，t充分大时（t→+∞），式②有解，
当a2＞1时，首先要求判别式Δ≥0，有（﹣2b）2﹣4（a2﹣1）（2a2﹣b2）≥0，
即2a2≤b2+2（a2＞1），③
令f（t）＝（a2﹣1）t2﹣2bt+2a2﹣b2，
由于Δ≥0，所以，方程f（t）＝0有两个实根t1、t2（t1≤t2），因为，所以，必有t2＞0，
又因为抛物线y＝f（t）开口向上，所以，不等式f（t）≤0（t≥0）在t≥0时总是有解max{0，t1}≤t≤t2，
综合上述得，a、b应满足的充分必要条件是2a2≤b2+2（a＞0，b＞0），④
即，⑤
注意到式⑤与三角恒等式的“相似性”，
故令，
则，
其中，
令，则．⑥
当k＝﹣2时，由式⑥得，
当k≠﹣2时，由式⑥解得．
若，则，
即，
它等价于，
即，
故这种情形不可能存在，从而只有一种可能，
即，于是，．
这时有两种可能：
（1），
或（2），
由（1）可解得k＜﹣2，由（2）可解得﹣2＜k＜1，
综上可知，k的取值范围是k＜1，
又f（a，b）＝tk（0＜t≤1，k＜1），所以，f（a，b）的取值范围是f（a，b）＜1，
即f（a，b）能取遍（﹣∞，1）中的每一个值（t与k是相互独立的）．
【点评】本题考查了不等式的综合应用，属于难题．
三、（50分）
18．（2022•山西自主招生）试求出正整数k的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k个整数a1，a2，…，ak（允许相等），必定存在相应的k的整数x1，x2，…，xk（也允许相等），且|xi|≤2（i＝1，2，…，k），|x1|+|x2|+…+|xk|≠0，使得2003整除x1a1+x2a2+…+xkak．
【考点】数学归纳法．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；转化法；简易逻辑；逻辑推理；数学运算．
【答案】最小正整数k为7．
【分析】先证明k＝7时，命题成立，其次，举出反例证明k＝6时，命题不成立，从而得到所求的最小正整数k的值．
【解答】解：先证明k＝7时，命题成立，
为此，考虑和式S（y1，y2，…，y7）＝y1a1+y2a2+…+a7y7，其中yi∈{﹣1，0，1}．
这种和式共有37＝2187个，因为2187＞2003，所以由抽㞌原则可知，
必有两个不同的和式S（y1，y2，…，y7）与S（y1′，y2′，…，y7′）被2003除所得的余数相同．
故2003能整除S（y1，y2，…，y7）﹣S（y1′，y2′，…，y7′）
＝（y1﹣y1′）a1+（y2﹣y2′）a2+…+（y7﹣y7′）a7
其中yi﹣yi′∈{﹣2，﹣1，0，1，2}，i＝1，2，…，7（因为yi，yi′∈{﹣1，0，1}，i＝1，2，…，7），
且至少有一个yi﹣yi′≠0（因为数组（y1，y2，…，y7）≠（y1′，y2′，…，y7′））．
这时，取xi＝yi﹣yi′，i＝1，2，…，7，即可满足要求．
故当k＝7时，命题成立．
其次，证明k＝6时，命题不成立，为此，我们举反例．
取，
于是，对于任意的6个整数x1，x2，…，x6，|xi|≤2，|x1|+|x2|+...+|x6|≠0，
和式S（x1，x2，…，x6）＝a1x1+a2x2+…+a6x6都是3的倍数．
则
＝3（36﹣1）＝3（33﹣1）（33+1）＝3×26×28＝3×728．
不妨设x1，x2，…，x6中不为零且下标k1为最大的数是，
即，且，
则，
另外，不妨设（当时，可考虑S（x1，x2，…，x6））．
若k1≥2，则S（x1，x2，…，x6）≥﹣2×﹣2×﹣…﹣2×3
＝．
若k1＝1，则x1≠0，S（x1，x2，…，x6）＝a1x1＞0．
综上可知3|S（x1，x2，…，x6），且S（x1，x2，…，x6）≠0，|S（x1，x2，…，x6）|≤3×728．
显然2003与3互素．
假若有2003整除S（x1，x2，…，x6），则S（x1，x2，…，x6）＝3t，t为整数，且1≤|t|≤728．
于是，2003|t，这与1≤|t|≤728矛盾．
因此，当取时，就不可能有x1，x2，…，x6∈Z，
|xi|≤2，i＝1，2，…，6，|x1|+|x2|+…+|x6|≠0，
能使得2003|S（x1，x2，…，x6）＝a1x1+a2x2+…+a6x6．
这个反例说明：当k＝6时，命题不成立．
由上述两步可知，所求的最小正整数k为7．
【点评】本题考查命题的判断及推理，归纳推理的应用，考查学生的推理能力，属于难题．

考点卡片
1．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．

【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
2．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
3．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．

（4）指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

4．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．

【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x）y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．

解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
5．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝　+cos（2x+）　．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2•＝+（cos2x﹣sin2x）
＝+cos（2x+）．
故答案为：+cos（2x+）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是　　．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
6．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
7．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．

【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（　　）
A．y＝0.025x B．y＝1.003x C．y＝l+log7x D．y＝x2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%＝x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求；
D中，函数y＝x2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．

典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x＝（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x＝，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）
生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y＝…（3分）
＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）
（2）因为当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．

【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
8．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an＝的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
9．数学归纳法
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．

2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．

3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
10．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
11．三角形五心
【知识点的认识】
三角形五心包括：
（1）重心
（2）外心
（3）内心
（4）垂心
（5）旁心．
12．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．

2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．

3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．

用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．
13．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
14．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

15．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
16．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．

2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
17．概率的应用
【知识点的知识】
概率相关知识梳理：
一、古典概型与互斥事件
1．频率与概率：频率是事件发生的概率的估计值．
2．古典概率计算公式：P（A）＝．
集合的观点：设试验的基本事件总数构成集合I，事件A包含的事件数构成集合A，则．
3．古典概型的特征：（1）每次试验的结果只有一个基本事件出现；（2）试验结果具有有限性；（3）试验结果出现等可能性．
4．互斥事件概率
（1）互斥事件：在一个随机试验中，一次试验中不可能同时发生的两个事件A，B称为互斥事件．
（2）互为事件概率计算公式：若事件A，B互斥，则P（A+B）＝P（A）+P（B）．
（3）对立事件：在一个随机试验中，一次试验中两个事件A，B不会同时发生，但必有一个事件发生，这样的两个事件称为对立事件．记作：B＝，由对立事件定义知：P（A）＝1﹣P（）
（4）互斥事件与对立事件的关系：对立必互斥，互斥未必对立．
用集合的观点分析对立事件与互斥事件：
设两个互斥事件A，B包含的所有结果构成集合A，B，则A∩B＝∅（如图所示）

设两个对立事件A，包含的所有结果构成的集合为A，，A∩＝∅，A∪＝I，
则
注：若A1，A2，…，An任意两个事件互斥，
则：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）

二、几何概型
几何概型定义：向平面有限区域（集合）G内投掷点M，若点M落在子区域G1⊆G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，我们就称这种概型为几何概型．
几何概型计算公式：
几何概型的特征：（1）试验的结果有无限个（无限性）；（2）试验的结果出现等可能性．
注：几何概型中的区域可以是长度、面积、体积等．

三、条件概率与独立事件
1．条件概率的定义：对于任何两个事件A，B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率称为事件B发生时事件A发生的条件概率，记为P（A|B）．类似的还可定义为事件A发生时事件B发生的条件概率，记为P（B|A）．
2．把事件A，B同时发生所构成的事件D，称为事件A，B的交（或积），记为：A∩B＝D或D＝AB．
3．条件概率计算公式：P（A|B）＝（P（B）＞0），P（B|A）＝（P（A）＞0），
注：
（1）事件A在“事件B发生的条件下”的概率与没有事件B发生时的概率是不同的．
（2）对于两个事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）则表明事件B的发生不影响事件A发生的概率．
此时事件A，B是相互独立的两个事件，即有P（A|B）＝P（A）＝（P（B）＞0⇒P（AB）＝P（A）P（B）．
故当两个事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立，同时A与，与B，与也相互独立．

四、二项分布、超几何分布、正态分布
1．二项分布：
（1）n次独立重复试验的概念：在相同的条件下，重复做n次试验，各次试验的结果相互独立．
n次独立重复试验的特征：
①每次试验的条件相同，某一事件发生的概率不变；
②各次试验的结果互不影响，且每次试验只有两个结果发生或不发生．
（2）二项分步概率计算公式：一般地，在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为，若随机变量由此式确定，则X服从参数n，p的二项分布，记作：X～B（n，p）．

2．超几何分布
超几何分布定义：一般地，设有N件产品，其中含有M件次品（M≤N），从N件产品中任取n件产品，用X表示取出的n件产品中含有的次品的个数，则，（k为非负整数），若随机变量由此式确定，则X服从参数N，M，k的超几何分布，记作X～H（N，M，n）
注：超几何分布是概率分布的另一种形式，要注意公式中N，M，k的含义．随机变量X取某一个值的概率就是求这一事件发生的次数与总次数的商．
3．正态分布：
（1）正态曲线：函数f（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）若随机变量X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2．

五、离散型随机变量的分布列，期望，方差．
1、概念：
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．

2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．

3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．

4、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．

5、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．

【典型例题分析】
题型一：概率的计算
典例1：已知函数y＝（0≤x≤4）的值域为A，不等式x2﹣x≤0的解集为B，若a是从集合A中任取的一个数，b是从集合B中任取一个数，则a＞b的概率是（　　）
A． B． C． D．
解：由题意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a为横坐标，b为纵坐标，建立平面直角坐标系，则围成的区域面积为2，使得a＞b的区域面积为2﹣，故所求概率为．
故选D

题型二：离散型随机变量的分布列、均值、方差
典例2：在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是．
（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ．求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．（结果用分数表示）
解：（I）设命中油罐的次数为X，则当X＝0或X＝1时，油罐不能被引爆．
，
，
∴
（II）射击次数ξ的取值为2，3，4，5．
，
，
，
P（ξ＝5）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）﹣P（ξ＝4）
＝．
因此，ξ的分布列为：
ξ
2
3
4
5
P




∴

【解题方法点拨】
概率和离散型随机变量知识是新课标高考的重点内容之一，重点考查古典概率、几何概率、离散型随机变量的分布列及性质等内容，对于基础知识考查以选择题、填空题为主．考查的内容相对简单，即掌握住基础知识就能解决此类问题．对于综合性知识的考查主要是把概率、随机变量的分布列性质、离散型随机变量的均值、方差等内容综合在一起解决实际问题，多以大题的形式出现．题目的难度在中等以上水平，解决此类问题的关键是正确理解离散型随机变量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，如二项分布、超几何分布等），便于求出分布列，进而求出均值与方差．利用均值、方差的含义去分析问题，这也是新课标高考命题的方向．
18．组合及组合数公式
【考点归纳】
1．定义
（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．
（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．
2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．
3．组合数的性质：
性质1
性质2 ．
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