海南省2023届高三一轮复习调研考试数学试题

海南省2023届高三一轮复习调研考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（   ）

A． B． C． D．

2．已知，则复数的共轭复数的虚部为（   ）

A． B． C． D．

3．在正项等比数列中，，则公比（   ）

A．2 B． C．4 D．

4．已知抛物线的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（   ）

A．10 B．16 C．11 D．26

5．若正实数，满足．则的最小值为（   ）

A．12 B．25 C．27 D．36

6．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，若在带宽为，信噪比为1000的基础上，将带宽增大到，信噪比提升到200000，则信息传递速度大约增加了（   ）（参考数据：）

A．187% B．230% C．530% D．430%

7．在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则三棱锥的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

8．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从2022年到该地旅游的游客中随机抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则（    ）

A．估计2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人占游客总人数的80%

B．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占游客总人数的26.25%

C．估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客中青年人超过一半

D．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人还要多

10．已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（   ）

A． B． C． D．

11．将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若是偶函数，则（   ）

A．的最小正周期为

B．点是图像的一个对称中心

C．当时，的值域是

D．函数在上单调递增

12．在中，，，，如图所示，将绕逆时针旋转120°至处，则（    ）

A．在旋转过程中，点运动的轨迹长度为

B．点到平面的距离为

C．异面直线与所成的角为90°

D．直线与平面所成角的正弦值为

三、填空题

13．已知，，若，则_________．

14．的展开式中含项的系数为_________．

四、双空题

15．法国数学家加斯帕・蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆：，则的蒙日圆的方程为______；若过圆上的动点作的两条切线，分别与圆交于，两点，则面积的最大值为______．

五、填空题

16．过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的一个可能值为_________．

六、解答题

17．已知为数列的前项和，且，．

(1)求的通项公式；

(2)若，数列的前项和为，证明：．

18．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，.

(1)求的值；

(2)若，求的面积.

19．2022年9月23日，延期后的杭州亚运会迎来倒计时一周年，杭州亚组委发布宣传片《亚运+1》和主办城市推广曲《最美的风景》．杭州某大学从全校学生中随机抽取了1200名学生，对是否收看宣传片的情况进行了问卷调查，统计数据如下，

(1)根据以上数据说明，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否收看宣传片与性别有关？

(2)现从参与问卷调查且收看了宣传片的学生中，按性别采用分层抽样的方法选取8人，参加杭州2023年第19届亚运会志愿者宣传活动．若从这8人中随机选取2人到校广播站开展亚运会比赛项目宣传介绍．记为人选的2人中女生的人数，求随机变量的分布列及数学期望．

参考公式和数据：，．

20．如图，与都是边长为的正三角形，平面平面，平面，．

(1)证明：平面．

(2)求点到平面的距离．

21．已知双曲线的左、右焦点分别为，，在双曲线上，且轴，．

(1)求双曲线的渐近线方程；

(2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点，且于，证明：存在定点，使为定值．

22．已知函数．

(1)求的最值；

(2)当时，函数的图像与的图像有两个不同的交点，求实数的取值范围．

参考答案：

1．A

【分析】根据集合的并集运算直接求解即可.

【详解】解：因为，，

所以．

故选：A

2．C

【分析】根据复数的除法运算求解，共轭复数的概念等求解即可.

【详解】因为，

所以，复数的共轴复数为，

所以复数的共轭复数的虚部为．

故选：C

3．B

【分析】由正项等比数列的性质结合已知条件求出、，由，可求公比.

【详解】为等比数列，则有，且，所以．

因为，所以，所以，故.

故选：B

4．C

【分析】根据抛物线的定义转化为到抛物线准线的距离求解即可.

【详解】记抛物线的准线为，作于，由抛物线的定义知，

所以，当，，三点共线时，有最小值，最小值为．

故选：C

5．C

【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；

【详解】解：因为，所以．

因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，

所以，的最小值为27．

故选：C

6．D

【分析】根据题干定义分别求提升前和提升后的信息传送速度，最后再计算信息传递速度增加律.

【详解】提升前的信息传送速度，

提升后的信息传送速度，

所以信息传递速度大约增加了．

故选：D.

7．B

【分析】根据三棱锥的几何特征找到球心的位置并求出球的半径，再利用球的体积公式即可求解.

【详解】由题意可知∥，因为平面，所以平面，

因为平面，所以，

又，所以和有公共的斜边，

设的中点为，则点到，，，的距离都相等，

所以点为三棱锥外接球的球心，为该球的直径，

所以，即，

该球的体积．

故选：B.

8．A

【分析】令，利用导数得在上单调递增，从而可得；令，利用导数可得在上单调递减，从而可得，即可得答案.

【详解】解：因为，

令，

则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，即；

令，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，得，即，

故.

故选：A.

9．ABC

【分析】根据已知条件可知游客中老年人、中年人、青年人的人数比例以及选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数的比例，即可判断.

【详解】设2022年到该地旅游的游客总人数为，

由题意可知游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为，，，

其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为，，，

所以2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人的人数为，所以A正确；

因为2022年到该地旅游的游客选择自助游的人数，

所以B正确；

因为2022年到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以C正确；

因为2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人的人数为，而到该地旅游的老年人的人数为，所以D错误．

故选：ABC.

10．ABC

【分析】根据给定条件，结合函数奇偶性定义，探讨出函数的周期，即可逐项分析判断作答.

【详解】因为函数为偶函数，则，即，B正确；

又函数是奇函数，则，因此，即有，

于是，即函数的周期为4，有，C正确；

因为是定义域为的奇函数，则，解得，A正确；

当时，，所以，D错误．

故选：ABC

11．AD

【分析】利用辅助角公式先化简函数，结合已知条件求出参数，得到函数的解析式，然后根据其他条件求出函数，然后利用函数的性质逐项分析即可.

【详解】因为，

所以．

因为是偶函数，

所以，

所以．

因为，所以，

所以，，

的最小正周期为，

故A正确．

因为，所以点不是函数图象的一个对称中心，

故B错误．

，当时，值域为，

故C错误．

当时，，

函数在上单调递增，

故D正确．

故选：AD.

12．BCD

【分析】对于选项A，过作，旋转过程中，点在为半径的圆上运动，利用条件可求出结果；

对于选项B，利用等体法求解；

对于选项C，利用异面直线的定义，取的中点，连接，转化成平面角，在中利用边长关系可求出结果；

对于选项D，利用线面角的定义，过作交的延长线于，连接，转化成平面角，在中求出结果；

【详解】过作，交的延长线于，则，．

在中，，，所以，，

所以在旋转过程中，点运动的轨迹长度为，故A错误．

在中，，，所以．设点到平面的距离为，因为，所以，

即到平面的距离为，故B正确．

取的中点，连接，则，连接，所以或其补角为所求角，在中，，，，所以，所以，所以异面直线与所成的角为90°，故C正确．

过作，交的延长线于，连接，则平面，所以为所求的线面角．

在中，，，所以，故D正确．

故选：BCD

13．3

【分析】根据向量垂直关系的坐标表示求解即可.

【详解】解：因为，

所以，所以．

故答案为：

14．80

【分析】根据二项式定理的通项公式直接求解即可.

【详解】解：展开式的通项为，

令，得，

所以展开式中常数项为．

故答案为：

15．          12

【分析】根据蒙日圆的定义，可知点一定在蒙日圆上，可求得蒙日圆的半径，进而求得蒙日圆的方程；因为，，都在圆上，且，所以为圆的直径，显然，圆上的点到直线距离的最大值为圆的半径，进而求解.

【详解】由题意可知，点一定在蒙日圆上，

所以蒙日圆的半径，

所以蒙日圆的方程为．

因为，，都在圆上，且，

所以为圆的直径，所以，

显然，圆上的点到直线距离的最大值为圆的半径，

故面积的最大值为．

故答案为：；12.

16．，，，只需写出一个答案即可

【分析】设切点为，利用导数求切线方程，代入一点，关于的方程没有实数解，由判别式解不等式求整数的值.

【详解】设切点为，因为，所以切线方程为．

因为切线经过点，所以，

由题意关于的方程没有实数解，

则，解得．

因为为整数，所以的取值可能是，，.

故答案为：，，，只需写出一个答案即可

17．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据给定的递推公式，结合“”可得，由此求出数列通项作答.

（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和推理作答即可.

【详解】（1）解：当时，，

因为，所以．

当时，，

即．

因为，所以，

所以是首项为4，公差为3的等差数列，故．

（2）证明：因为，

所以．

因为，，

所以，.

18．(1)

(2)24

【分析】（1）由余弦定理和已知可得，再利用和正弦二倍角公式可得答案；

（2）由、求出、，再由两角和的正弦展开式和正弦定理及面积公式可得答案.

【详解】（1），由余弦定理可得，

因为，所以，即，

因为，所以，

因为，且，所以；

（2）因为，，所以，

因为，

所以，，

因为，所以，

，由正弦定理可得，

所以的面积为.

19．(1)认为学生是否收看宣传片与性别有关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据独立性检验的思想，计算，判断即可；

（2）由题知选取的8人中，男生有人，女生有人，进而根据超几何分布求解即可.

【详解】（1）解：（1）零假设：学生是否收看宣传片与性别无关．

由题中数据可知，，

依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

所以，可以认为学生是否收看宣传片与性别有关．

（2）解：根据分层抽样方法，选取的8人中，男生有人，女生有人，

根据题意，所有可能取值为0，1，2．

，，，

所以的分布列为

所以．

20．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面，利用线面垂直的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.

【详解】（1）证明：取的中点，连接、，

因为是等边三角形，且为的中点，所以，，同理可得，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面．

因为平面，所以．

因为平面，平面，所以平面．

（2）解：因为平面，，

以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示．

因为与的边长均为，，

所以、、、，

设平面的法向量为，

因为，，

所以，，取，可得，

因为，所以到平面的距离．

21．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）设，进而结合题意得，，进而根据双曲线的定义求解得即可；

（2）分类讨论斜率是否存在，①斜率存在时，设l的方程，联立直线方程与双曲线方程，由得到m与k的关系式，得到直线恒过定点M，②斜率不存在时，再由得到直线l方程，进而得出此时直线l也恒过定点M，进而证得存在定点H为DM的中点，为的一半.

【详解】（1）设，因为，，

所以，．

因为，所以．

因为，

所以双曲线的渐近线方程为．

（2）由（1）知双曲线的方程为，设，．

①当直线的斜率存在时，设的方程为，

联立方程组，化简得，

则，即，

且，

因为，

所以，

化简得，

所以或，且均满足．

当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时，直线的方程为，过定点．

②当直线的斜率不存在时，由对称性，不妨设直线，

联立方程组，得（舍去）或，此时直线过定点．

综上，直线过定点

因为，

所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，且

所以，存在定点，使为定值4．

【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于结合已知，讨论的斜率不存在与存在时的两种情况得到直线过定点.

22．(1)，无最大值．

(2)

【分析】（1）求导，根据导函数的符号求解；

（2）构造函数 ，求导，研究 的单调性，对a分类讨论.

【详解】（1）因为，所以 ，

令 ，则，

所以 时， ，在上单调递减，

时， ， 单调递增，

所以，无最大值；

（2）令，原问题等价于 有2个零点，

，

令 ，则 ，

显然 在上单调递增，所以 ．

当时， ，在上单调递增，，即 ，

则在上单调递增，所以，

所以有且仅有1个零点，不符合题意；

当时， ，  ，

， ，

所以存在唯一，使得 ．

当时， ，单调递减，则，

当时， ，单调递增，

又 ，

所以当x趋于时， 也趋于，存在唯一的，使得．

当时， ，则在上单调递减，

当时， ，则在上单调递增，

因为，且当x趋于时， 也趋于，则在上有两个零点，

所以实数的取值范围是；

综上， 的最小值是 ，无最大值；a的取值范围是.

【点睛】本题难点在于二次，三次求导，并对a的分类讨论，注意利用特殊值 和 来判断 的符号.