江西省景德镇市2023届高三第二次质检试题数学（理）试题

江西省景德镇市2023届高三第二次质检试题数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（    ）

A．1 B．3 C．4 D．6

2．已知i为虚数单位，若复数（）为纯虚数，则复数在复平面上对应的点（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知向量，，，若，则的值为（    ）

A．2 B．-2 C． D．

4．已知一个实心铜质的圆锥形材料的底面半径为4，圆锥母线长，现将它熔化后铸成一个实心铜球，不计损耗，则铜球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

5．斐波那契（约1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列满足，，设，则（    ）

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025

6．如图，已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点.则下列选项中错误的是（    ）

A．直线平面

B．三棱锥在平面上的正投影图的面积为4

C．在棱上存在一点，使得平面平面

D．若为棱的中点，三棱锥的外接球表面积为

7．已知抛物线C：的焦点为F，，是C上两点，若则（    ）

A． B． C． D．2

8．德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于π的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国．我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算π开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式计算π的近似值（其中P表示π的近似值）”．若输入，输出的结果P可以表示为（    ）

A． B．

C． D．

9．杨辉是南宋杰出的数学家，他曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带．杨辉一生留下了大量的著述，他给出了著名的三角垛公式：．若正项数列的前n项和为，且满足，数列的通项公式为，则根据三角垛公式，可得数列的前10项和（    ）

A．440 B．480 C．540 D．580

10．已知双曲线的焦距为,过双曲线的右焦点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，为坐标原点，若且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

11．若抛掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，则在函数的值域为R的条件下，满足“函数为偶函数”的概率为（    ）

A． B． C． D．

12．若函数恰有两个零点，则实数t的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．由于夏季炎热某小区用电量过大，据统计一般一天停电的概率为0.3，现在用数据0、1、2表示停电；用3、4、5、6、7、8、9表示当天不停电，现以两个随机数为一组，表示连续两天停电情况，经随机模拟得到以下30组数据，

28  21  79  14  56    74  06  89  53  90    14  57  62  30  93

78  63  44  71  28    67  03  53  82  47    23  10  94  02  43

根据以上模拟数据估计连续两天中恰好有一天停电的概率为________.

14．在直角坐标系xOy中，点A、B分别在射线和上运动，且的面积为1，则周长的最小值为______________．

15．若函数，在上恰有两个最大值点和四个零点，则实数ω的取值范围是______________．

16．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是______________．

三、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且角A为锐角.

(1)求角B；

(2)若的面积为，求b的最小值.

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，，，，点N在棱PC上，平面平面．

(1)证明：

(2)若平面BDN，求平面与平面所成夹角的余弦值．

19．世界杯小组赛中，A，B，C，D四支球队被分到同一组进行循环赛（每两队间进行一场比赛，获胜的球队积3分，平局两队各积1分，落败的球队积0分）．已知四支球队实力相当，每支球队在每场比赛中胜，负，平的概率分别为0.4，0.4，0.2．

(1)求A队踢完三场比赛后积分不少于6分的概率；

(2)求四支球队比完后积分相同的概率．

20．已知椭圆：的左右焦点分别为，，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于，两点，当倾斜角为时，是椭圆的上顶点，且的周长为6.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由.

21．已知函数

(1)若函数在定义域上单调递增，求的最大值；

(2)若函数在定义域上有两个极值点和，若，，求的最小值．

22．在平面直角坐标系中，曲线：（为参数）经过伸缩变换得到曲线，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程；

(2)设点是曲线上的动点，求点到直线距离的最小值.

23．已知函数，.

(1)若，求不等式的解集；

(2)已知，若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围.

参考答案：

1．D

【分析】首先列出集合的非空子集，即可得到方程，解得即可.

【详解】解：集合的非空子集有、、，

所以，

解得.

故选：D

2．D

【分析】化简复数，由纯虚数概念可解得的值，从而得出结论.

【详解】由 为纯虚数,

则实部 , 虚部 , 解得 ,

则复数，在复平面上对应的点在第四象限.

故选: D.

3．A

【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】解：因为，，

所以，又且，

所以，则.

故选：A

4．B

【分析】首先求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积，从而求出球的半径，再根据球的表面积公式计算可得.

【详解】解：依题意圆锥的底面半径，母线，所以圆锥的高，

所以圆锥的体积，

设铜球的半径为，则，解得，

所以铜球的表面积.

故选：B

5．C

【分析】由斐波那契数列的递推公式计算即可.

【详解】由斐波那契数列的定义及递推公式可得：

，即.

故选：C

6．B

【分析】连接，交于点，连接、，即可证明四边形为平行四边形，所以，即可证明A；连接，则四边形为三棱锥在平面上的正投影，求出四边形的面积，即可判断B；取中点，连接，，，可证平面，可判断C；若为棱的中点，为三棱锥的外接球的直径，求出表面积，可判断D．

【详解】解：对于A：连接，交于点，连接、，显然为的中点，又，分别为，的中点

所以且，且，

所以且，

所以四边形为平行四边形，所以，

又平面，平面，所以平面，故A正确；

对于B：如图，连接，则四边形为三棱锥在平面上的正投影，

因为，故B错误；

对于C：取中点，连接，，，

显然，所以，又，所以

所以，

由正方体，可得平面，平面，

，又，平面，，

平面，又平面，

平面平面，故C正确；

对于D：

若为棱的中点，，，，所以，即

即，均为直角三角形，且是公共斜边，

由直角三角形的性质，可知为三棱锥的外接球的直径，

故外接球的半径为，

所以三棱锥的外接球表面积，故D正确.

故选：B

7．D

【分析】根据抛物线定义计算即可.

【详解】由抛物线定义可得，则.

故选：D

8．C

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量P的值, 模拟程序的运行过程可得答案.

【详解】因为输入 , 所以跳出循环的 值为 10 由程序框图知算法的功能是求,

故选：C.

9．A

【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项公式，再利用三角垛公式求出作答.

【详解】，，当时，，

两式相减得：，即，

整理得，因此，即数列为等差数列，

又，，解得，于是，，

数列的前n项和，

所以.

故选：A.

10．D

【分析】设双曲线的左焦点为，作出图形，分析可知，计算出，分析出，可求出，可得出的值，再结合双曲线的离心率公式可求得结果.

【详解】设双曲线的左焦点为，如下图所示：

因为，所以，，

所以，，

不妨设点在直线上，则，，

因为，所以，，

因为，则为线段的中点，且，则，

所以，，

又因为，则，故，

因此，.

故选：D.

11．D

【分析】根据函数的值域为R可得之间的关系，再根据为偶函数可得，最后根据条件概率的概率公式可求题设中的概率.

【详解】设事件为“的值域为R”，

设事件为“函数为偶函数，

掷两枚骰子出现的点数分别为a，b，所得基本事件有：

，

，

，

，

，

，

故基本事件的总数为.

因为的值域为R，所以，故，

而为偶函数，故，

所以，整理得到，

所以即.

故对应的基本事件有：

，

，

，

，

，

故共有基本事件的个数为，

又对应的基本事件有，

故，

故选：D.

12．B

【分析】将问题转化为与有两个交点，分类讨论取绝对值，利用导数讨论单调性，然后做出的草图可得.

【详解】因为，所以不是的零点，

当时，令，则，

记，

则问题转化为与有两个交点，

易知在上单调递增，

又，

所以的零点，当时，当时，

当且时，，

令，得

当时，，单调递增，当或时，，单调递减，

当时，，则，单调递增，

且当x趋近于0或从左趋近于1时，趋近于，当x从右趋近于1时，趋近于，当x趋近于时，趋近于1.

又，

所以可作的草图如下：

由图可知，当或时，与有两个交点，即有两个零点.

故选：B

13．/

【分析】根据题意从30个数据中找出恰有一天停电的情况，再利用古典概型的概率公式可求得结果.

【详解】由题意可知恰有一天停电的情况有：28，14，06，90，14，62，30，71，28，03，82，23，共12种，

所以连续两天中恰好有一天停电的概率为，

故答案为：

14．/

【分析】设，，根据面积为1可得，根据基本不等式可求周长的最小值.

【详解】因为，故直线与直线垂直.

设，，

故，故.

设的周长为，

当且仅当时等号成立.

故答案为：.

15．

【分析】先化简函数式得，再结合三角函数的图象与性质，利用整体代换计算即可.

【详解】由三角恒等变换可得，

时，有，

若要满足题意则需：.

故答案为：

16．

【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为，利用函数的单调性建立条件关系即可

【详解】由函数性质知，

，

∴，

即，解得，∴，

故答案为：.

17．(1)

(2)

【分析】（1）首先化简可得： ，由角A为锐角， 所以，即可的得解；

（2）由 ，可得，由，代入即可得解.

【详解】（1）由可得：

，

由角A为锐角，所以，

所以，又，所以；

（2），

所以，

由余弦定可得，

当且仅当时取等，满足角A为锐角，

所以由，可得b的最小值为.

18．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）可证平面，从而可得.

（2）可证两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量后可求夹角的余弦值．

【详解】（1）因为平面平面，平面平面，

,平面，故平面，

而平面，所以.

（2）连接AC交BD于点O，连接ON.

因为平面BDN，平面，平面平面，

所以，而O为中点，则N也为PC中点.

而，，所以，

而平面，

故面，又平面，故，所以，

所以两两垂直，

∴以B为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，，

∴，，

设面的法向量为，

故，，取，则，故.

而，，

设面的法向量为，

故，取，则，故.

设平面ABN与平面ADN所成夹角为，

则，故平面ABN与平面ADN所成夹角的余弦值.

19．(1)0.352

(2)

【分析】（1）根据题意可知，积分不少于6分包括三胜、两胜一平、两胜一负三种情况，根据互斥事件的加法公式可得；

（2）四支球队共需进行6场比赛，每场比赛最少积2分，最多积三分，所以比赛完后四支球队积分总和最少12分，最多18分，四支球队积分相同，可能同积3分或同积4分，分别计算出其概率相加即可.

【详解】（1）A队踢完三场比赛后积分不少于6分，

所以A队三场比赛中至少胜两场，

.

（2）四支球队共需进行6场比赛，

六场比赛比完后四支球队积分总和最少12分，最多18分，

因此，四支球队积分相同，可能同积3分或同积4分，

①若同积3分，则六局皆平，

②若同积4分，则每支球队均一胜一平一负，

若A胜B，平C，负D，则B胜C，B平D，C胜D；

所以，

综上所述，四支球队比完后积分相同的概率为.

20．(1)

(2)为定值

【分析】（1）当倾斜角为时，求出直线的方程，令，求出，即可求出，再根据的周长及求出、，即可得解；

（2）由题设可得，设点，的方程设为，利用相切条件可得，联立直线方程可求的坐标，从而可判断在椭圆上，从而可证为定值.

【详解】（1）解：当倾斜角为时，直线为，

令，得，即椭圆的上顶点为，所以，

又的周长为，即，又，解得，，

所以椭圆的方程为 .

（2）解：由（1）可知，，，

因为过与圆相切的直线分别切于、两点，所以，

所以，

设点，则，圆的半径为，

则直线的方程为，

的方程设为，则，化简得，

由，解得，所以点

，所以点在椭圆上，

∴，即．

21．(1)

(2)

【分析】（1）求出，由题意可知，对任意的，，可得出，利用导数求出函数的最小值，即可求得实数的最大值；

（2）设，由极值点的定义可得出，变形可得出，，由此可得出，利用导数求出函数在上的最小值，即为所求.

【详解】（1）解：因为，其中，

则，

因为函数在上单调递增，对任意的，，即，

令，其中，则，，

由可得，由可得，

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以，，故，所以，的最大值为.

（2）解：由题意可知，，设，

由可得，则，

可得，，所以，，令，其中，

所以，，

令，其中，则，

因为，由，可得，由可得，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，

又因为且，

所以，当时，，即，

当时，，即，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，.

【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：

（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；

（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；

（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.

22．(1)；

(2).

【分析】（1）先根据参数方程和普通方程的互化公式求解的普通方程，再根据伸缩变化的性质求解的普通方程；

（2）先根据极坐标方程和普通方程的互化公式求解的普通方程，再设出点的坐标，利用点到直线的距离公式和正弦函数的性质可求得结果.

【详解】（1）由题意得曲线：（为参数）的普通方程为，

由伸缩变换，得，

代入，得，

所以曲线的普通方程为；

（2）因为直线的极坐标方程为，

所以直线的直角坐标方程为，

设点，则点到直线的距离为

，

所以当时，取得最小值，

即点到直线距离的最小值.

23．(1)

(2)

【分析】（1）当时将写出分段函数，再分类讨论求出不等式的解集；

（2）利用绝对值三角不等式求出，再利用基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可.

【详解】（1）解：当时，，

，

当时，即，；

当时，即，；

当时，即，，

综上可得不等式的解集为；

（2）解：，当且仅当时取等号，

，

又，且，，

则，

当且仅当，即，时等号成立，

所以

根据题意可得，解得或，

的取值范围是.