【精品同步】数学同步培优练习八年级下册平行四边形单元测试（知识梳理+含答案）

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平行四边形单元测试满分：120分 考试时间：120分钟一、选择题(每小题4分，共48分)1. 下列命题中，假命题是(　　)A. 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 B. 矩形的对角线相等C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的菱形是正方形2. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是(　　)A. 当ABBC时，它是菱形B. 当AC⊥BD时，它是菱形C. 当∠ABC90°时，它是矩形D. 当ACBD时，它是正方形3. 如图，在矩形ABCD中，AD10，AB6，E为BC上一点，DE平分∠AEC，则CE的长为(　　)A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是(　　)A. 正方形 B. 矩形   C. 菱形         D. 不能确定5. 已知四边形ABCD中，∠A∠B∠C90°，如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是正方形，那么这个条件可以是(　　)A.∠D90° B. ABCD C. ADBC D. BCCD6. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(　　)A. 45°    B. 55° C. 60°     D. 75°7. 在Rt△ABC中，∠C90°，AC6，BC8，则AB上的中线长是(　　)A. 5     B. 6   C. 8    D. 108. 如图，菱形ABCD的周长为40 cm，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC的中点，则OE的长为(　　)A. 6cm   B. 5cm C. 4cm   D. 3cm9. 如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB6，BC9，则BF的长为(　　)A. 4 B. 3 C. 4.5     D. 510. 如图，有一张一个角为30°，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是(　　)A. 8或2     B. 10或4+2 C. 10或2 D. 8或4+211. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC4，则四边形OCED的周长为(　　)A. 4 B. 8 C. 10 D. 1212. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(　　)A. 4.8          B. 5C. 6    D. 7.2二、填空题(每小题4分，共20分)13. 如图，菱形ABCD的周长是40 cm，对角线AC为10 cm，则菱形相邻两内角的度数分别为 . 14. 如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠BAD60°，点E是AD的中点，OE4，则菱形ABCD的面积为　　 　. 15. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF3，△EFC的周长为12，则EC的长为　　　　. 16. 如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，点E是AC的中点，若AD6，DE5，则CD的长为　　　　. 17. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD120°，点E是AB的中点，点F是AC上的动点，则EF+BF的最小值是　　　　. 三、解答题(共82分，解答时写出必要的解答过程)18. (6分)如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AF，CE分别与对角线BD交于点F，E. 求证：四边形AFCE是平行四边形.19. (8分)如图所示，在矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB，CD的延长线分别交于点E，F.（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？并证明你的结论.20. (8分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BEAB，连接CE.（1）求证：BDEC；（2）若∠E50°，求∠BAO的大小.21. (8分)如图，在△ABC中，∠ACB90°，点D，E分别是边BC，AB的中点，连接DE并延长至点F，使EF2DE，连接CE，AF.（1）证明：AFCE；（2）当∠B30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由.22.(10分)如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于点O.（1）求证：△COM≌△AON；（2）求线段OM的长度.23. (10分)如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E，点M是线段CP上的一动点（不与两端点C，P重合），连接DM，EM.（1）求证：DMEM；（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由.24. (10分)如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，其中E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点.（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论.25. (10分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.（1）求证：AFDC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，要使四边形ADCF为正方形，在△ABC中应添加什么条件，请直接把补充条件写在横线上　　　　 (不需说明理由). 26. (10分)（1）如图(1)，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD. 请你完成图形，并证明：BECD；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)（2）如图(2)，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）（2）解答中积累的经验和知识，完成下题：如图(3)，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC45°，∠CAE90°，ABBC100米，ACAE，求BE的长.八下第一本答案第十八章 平行四边形18.1 平行四边形的性质例1、A 练习：1.B 2.B 3.答案不唯一． BE=DF或BF=DE或∠BCE=∠DAF或AF∥EC等 4.C 例2、D 练习：B 例3、28 13 82 练习：AB=14cm AD=10cm 例4-练习：4cm例5:证明：∵ABCD，∴OA=OC，DF∥EB，∴∠E=∠F，又∵∠EOA=∠FOC，∴△OAE≌△OCF(AAS)，∴OE=OF．练习：DE=BF.证明如下：∵ABCD，O为AC的中点∴OA=OC.又AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO.故在△AOE与△COF中，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE=CF.又∵AD=CB(平行四边形的对边相等)，∴AE−AD=CF−CB，即DE=BF.例6：AB=4cm，BC=6cm，平行四边形ABCD面积为cm2例7：证明：设：CE、DF相交于M∵平行四边形ABCD ∴AB∥CD AD=BC又∵AD=2AB，且AE=AB ∴BC=BE ∴∠E=∠ECB∵AB∥CD ∴∠E=∠ECD ∴∠ECD=∠ECB=∠BCD同样道理： ∠FDC=∠FDA=∠ADC∵平行四边形ABCD中AD∥BC ∴∠ADC＋∠BCD=180º∴∠ECD＋∠FDC=(∠BCD＋∠ADC)=90º即∠MCD＋∠MDC=90º ∴∠DMC=90º∴CE⊥DF课后巩固一、选择题1-4、BDAD 5、80° 6、3；6 7、150°；30° ；150° 8、49 9、9 10. BE =DF 证明略.11. 9cm12证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO(平行四边形的对角线互相平分)，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF．13.答案：(1)解：有4对全等三角形．分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA．(2)证明：如图，∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF． ∴△OAE≌△OCF，∴∠EAO=∠FCO． 在ABCD中，AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO．∴，即∠EAM=∠FCN．14.证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， ∵AD∥BC， ∴∠1=∠2． ∵AF=CE， ∴AE=CF， 在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠1=∠2，AE=CF，∴△ABE≌△CDF．18.2 平行四边形的判定例1-练习：点拨：欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形． 证明：∵ 四边形AECF为平行四边形， ∴ AF∥CE． ∵ 四边形DEBF为平行四边形， ∴ BE∥DF．∴ 四边形EGFH为平行四边形．2.证明：在等边△ADC和等边△AFB中 ∠DAC＝∠FAB＝60°． ∴ ∠DAF＝∠CAB．又∵ AD＝AC，AF＝AB．∴ △ADF≌△ACB(SAS)． ∴ DF＝CB＝CE． 同理，△BAC≌△BFE，∴ EF＝AC＝DC． ∴ 四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．3.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，　　 　 ∴AB=CD，AB∥DC，　　 　 ∴∠ABE=∠CDF，　　 　 ∵AG=CH，　　 　 ∴BG=DH，　　 　 在△BEG和△DFH中，　　 　 　　 　 ∴△BEG≌△DFH(SAS)；　　 　 (2)∵△BEG≌△DFH(SAS)，　　 　 ∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，　　 　 ∴∠GEF=∠HFB，　　 　 ∴GE∥FH，　　 　 ∴四边形GEHF是平行四边形．　　　　　4.分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。解：(1)四边形ABCD是平行四边形，理由如下：∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°又∠A=60°，∠C=60°，∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C∴四边形ABCD是平行四边形(2)四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，∠BC1D1=∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB所以四边形ABC1D1是平行四边形例2、解答：证明：连接BF，∵△ADF和△ABC是等边三角形，∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60∘，∴∠FAD−∠EAD=∠CAB−∠EAD，∴∠FAB=∠CAD，在△FAB和△DAC中AF=AD，∠FAB=∠CAD，AB=AC，∴△FAB≌△DAC(SAS)，∴BF=DC,∠ABF=∠ACD=60∘，∵BE=CD，∴BF=BE，∴△BFE是等边三角形，∴EF=BE=CD，在△ACD和△CBE中∵CA=BC，∠ACB=∠ABC，CD=BE∴△ACD≌△CBE(SAS)，∴AD=CE=DF，∵EF=CD，∴四边形CDFE是平行四边形。练习：(1)易证 (2)DE=例3、解答：在四边形AECF中，∵ ∠EAF＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD， ∴ ∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－60°－90°－90°＝120°． 在ABCD中，∵ AB∥CD，∴ ∠B＋∠C＝180°．∠C＋∠D＝180°，∴ ∠B＝∠D＝60°． 在Rt△ABE中，∠B＝60°，BE＝2cm， ∴ AB＝4cm，CD＝AB＝4cm．(平行四边形的对边相等) 同理，在Rt△ADF中，AD＝6cm，∴ BC＝AD＝6cm， ∴ ∴ ．练习：解：平移线段AM至BE，连EA，则四边形BEAM为平行四边形∴BE＝AM＝9，ED＝AE＋AD＝15，又∵BD＝12∴∠EBD＝90°，BE⊥BD， ∴△EBD面积＝又∵2AE＝AD∴△ABD面积＝＝36∴ABCD的面积＝72.例4、解：延长BD交AC于点N． ∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN， ∴ ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°， 又∵ AD为公共边，∴ △ABD≌△AND(ASA) ∴ AN＝AB＝12，BD＝DN． ∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6， ∵ D、M分别为BN、BC的中点， ∴ DM＝CN＝＝3．练习：B；解： 连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，∴ 线段EF的长度将保持不变．例5-练习：证明：如图,过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，则四边形AMEN为平行四边形，∴NE=AM，ME⊥BC， ∵ME=AN=CM,∠EMB=∠MCA=90∘，BM=AC，∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠3=90∘，∴∠2+∠4=90∘且BE=NE，∴△BEN为等腰直角三角形,∠BNE=45∘，∵AM∥NE，∴∠BPM=∠BNE=45∘.课后巩固1、解：(1)选证△BDE≌△FEC证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACD=60°∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120°又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC(2)四边形ABDF是平行四边形理由：由(1)知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°∴AB∥DF，BD∥AF∵四边形ABDF是平行四边形。2、解：(1)∵ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE(2)∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，∵四边形ABCD是正方形∴BE′∥DG，AB=CD∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG∴四边形DE′BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形3、分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，∴∠AEO=∠CGO，∵∠AOE=∠COG，OA=OC∴△AOE≌△COG，∴OE=OG同理△BOF≌△DOH∴OF=OH∴四边形EFGH是平行四边形4、四边形DEBF是平行四边形；理由是：连接BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，DO=BO；∵AE=CF，∴AO−AE=CO−CF，∴EO=FO，又∵DO=BO，∴四边形DEBF是平行四边形。5、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，又∵ED=BF，∴AD−ED=BC−BF，即AE=CF，在△AEO和△CFO中,⎧AE=CF ∠AEO=∠CFO ∠FCO=∠EAO，∴△AEO≌△CFO，∴OA=OC.6、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠F=∠E，∠FDO=∠EBO，又∵CF=AE，∴ED=BF，∴△EOD≌△FOB.∴OD=OB，OF=OE.即EF与BD互相平分。7、(1)易证 (2)由(1)可知AD=BC ∠DAF=∠BCE ∴AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形8、∵BE是∠ABC的平分线,∠ABC=70∘,∴∠ABE=∠CBE=35∘,∠ADC=∠ABC=70∘，在ABCD中，∵AD∥BC，∴∠EBF=∠AEB=35∘，∵DF∥BE，∴∠ADF=∠AEB=35∘，∴∠CDF=35∘.9、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵CE⊥BE，∴∠EBC+∠ECB=90° ∵∠ABC+∠DCB=180°∴∠ABE+∠DCE=90°，∴∠BCE=∠DCE，同理得：CD=DE，∵AD=AE+ED=AB+CD=2CD，∴BC=2CD10、(1)证明：当∠AOF=90∘时，∵∠BAO=∠AOF=90∘，∴AB∥EF，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形。(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，在△AOF和△COE中∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE.∴△AOF≌△COE(ASA).∴AF=EC. 11、证明：连接BD，交AC于点O.∵四边形ABCD和EBFD均是平行四边形，∴OA=OC，OE=OF，∠ACD=∠BAC即∠FCD=∠EAB∴OA-OE=OC-OF，即AE=CF.∴在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS)12、证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C,DC∥AB.∵AE=CF,∴△ADE≌△CBF(SAS).∴∠AED=∠CFB,DE=BF.∵DC∥AB,∴∠CFB=∠ABF.∴∠AED=∠ABF.∴ME∥FN.又∵M、N分别是DE、BF的中点，且DE=BF，∴ME=FN.∴四边形ENFM是平行四边形。13、证明：∵ABCD，∴AB∥CD，BC∥AD，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，∵AB=CD，∴BF=DE，∵BF∥DE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴FG∥HE，∵GE∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG=FH特殊平行四边形类型一、矩形的性质例1、解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN∥BC，∴∠CBN=∠MNB，∵∠PNB=3∠CBN，∴∠PNM=2∠CBN；(2)连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，∵MN∥AD，∴∠PAN=∠ANM，由(1)知∠PNM=2∠CBN，∴∠PAN=∠PNA，∴AP=PN，∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，∴DN=2，设AP=x，则PD=6﹣x，在Rt△PDN中PD2+DN2=PN2，∴(6﹣x)2+22=x2，解得：x=所以AP=．练习：A例2、(1)证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD.∴∠EBF=∠DCF，∠BEF=∠CDF.∵AB=BE，∴BE=CD.在△ABD与△BEC中，∠EBF=∠DCF BE=CD ∠BEF=∠CDF，∴△BEF≌△CDF.(2)由(1)知，四边形BECD为平行四边形，则FD=FE，FC=FB.∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠FCD.又∵∠BFD=2∠A，∠BFD=∠FCD+∠FDC，∴∠FCD=∠FDC，∴FC=FD，∴FC+FB=FD+FE，即BC=ED，∴四边形BECD为矩形.例3、解析：证明：在ABCD中，AD∥BC， ∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°， ∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC， ∴ ∠BAE＋∠ABE＝∠BAD＋∠ABC＝90°． ∴ ∠HEF＝∠AEB＝90°． 同理：∠H＝∠F＝90°．∴ 四边形EFGH是矩形．例4、证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝AB，DF＝CD.∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA.(2)四边形AECF是矩形.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD.∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE＝AB，DF＝CD.∴AE∥CF且AE＝CF.∴四边形AECF是平行四边形.∵CA＝CB，E是AB的中点，∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形.例5、C；解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．练习：连接OP． ∵ 四边形ABCD是平行四边形． ∴ AO＝CO，BO＝DO， ∵ ∠APC＝∠BPD＝90°，∴ OP＝AC，OP＝BD，∴ AC＝BD．∴ 四边形ABCD是矩形．课后巩固1-4：DDBC5.； 6. 30或14； 7.12； 8.；9.(1)证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO＝∠DFO＝90°，∵点O是EF的中点，∴OE＝OF，又∵∠DOF＝∠BOE，∴△BOE≌△DOF(ASA)；(2)解：四边形ABCD是矩形．理由如下：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD，又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OA＝BD，OA＝AC，∴BD＝AC，∴ABCD是矩形．10.证明：(1)由折叠可得．∵ AD∥BC， ∴ ，∴ ，∴ ．(2)猜想．理由：由题意，得，．由(1)知．在中，∵ ，，，，∴ ．11、(1)证明：∵∠BAD=∠CAE，　　∴∠EAB=∠DAC，　　在△ABE和△ACD中　　∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD　　∴△ABE≌△ACD(SAS)；　(2)证明：∵△ABE≌△ACD，　　∴BE=CD，　　又DE=BC，　　∴四边形BCDE为平行四边形．　　∵AB=AC，　　∴∠ABC=∠ACB　　∵△ABE≌△ACD，　　∴∠ABE=∠ACD，　　∴∠EBC=∠DCB　　∵四边形BCDE为平行四边形，　　∴EB∥DC，　　∴∠EBC+∠DCB=180°，　　∴∠EBC=∠DCB=90°，　　四边形BCDE是矩形．12、证明：连接EG、DG，∵ CE是高， ∴ CE⊥AB． ∵ 在Rt△CEB中，G是BC的中点， ∴ EG＝BC，同理DG＝BC． ∴ EG＝DG． 又∵ F是ED的中点， ∴ FG⊥DE．18.3.2菱形例1、证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)，∴DF=BE．练习：1、50°；解：在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO(SAS)，∴∠CBO=∠CDO=50°．2、C；例2、解：四边形DECF是菱形，理由如下： ∵ DE∥AC，DF∥BC ∴ 四边形DECF是平行四边形． ∵ CD平分∠ACB，∴ ∠1＝∠2 ∵ DF∥BC， ∴ ∠2＝∠3， ∴ ∠1＝∠3．∴ CF＝DF，∴ 四边形DECF是菱形．例3： 解：四边形AEDF是菱形，理由如下： ∵ EF垂直平分AD， ∴ △AOF与△DOF关于直线EF成轴对称． ∴ ∠ODF＝∠OAF， 又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE， ∴ ∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF， 同理可得：DE∥AF． ∴ 四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF 又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分． ∴AEDF是菱形．例4、解析：(1)证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF(AAS)；(2)解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6(s)．故答案为：6s．练习1.(1)①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四边形AFCE为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形，②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8−x)cm，在Rt△ABF中，AB=4cm，由勾股定理得42+(8−x)2=x2，解得x=5，∴AF=5cm.(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A. C. P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形。因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，∴PC=5t，QA=CD+AD−4t=12−4t，即QA=12−4t，∴5t=12−4t，解得t=，∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=秒。②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上。分三种情况：i)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12−b，得a+b=12；ii)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12−b=a，得a+b=12；iii)如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12−a=b，得a+b=12.综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).2.解：(1)∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形 ∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a ∴四边形AQMP的周长为2a(2)M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM, ∴四边形AQMP为菱形课后巩固1、解析： 证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC， ∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°． ∵ ∠1＝∠2， ∴ ∠3＝∠4． ∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD． ∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．∴ AE＝AG又 EF∥AG． ∴ 四边形AEFG是平行四边形． 又∵ AE＝AG， ∴ 四边形AEFG是菱形． 方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC， ∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°． ∴ ∠3＝∠4． ∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD． ∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5． ∴ AE＝AG． 在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG， ∴ △AEG≌△FEG． ∴ AG＝FG． ∴ AE＝EF＝FG＝AG． ∴ 四边形AEFG是菱形．2.证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD ∵ E、F分别为AB、CD的中点 ∴ DF＝DC，BE＝AB ∴ DF∥BE．DF＝BE ∴ 四边形DEBF为平行四边形 ∴ DE∥BF (2)证明：∵ AG∥BD ∴ ∠G＝∠DBC＝90° ∴ △DBC为直角三角形 又∵ F为边CD的中点． ∴ BF＝DC＝DF 又∵ 四边形DEBF为平行四边形 ∴ 四边形DEBF是菱形3.解析： 解：连接AC． ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF． 又∵ ∠B＝60°， ∴ △ABC是等边三角形． ∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC． ∴ ∠ACF＝∠B＝60°． 又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60° ∴ ∠BAE＝∠CAF． ∴ △ABE≌△ACF． ∴ AE＝AF． ∴ △AEF为等边三角形． ∴ ∠AEF＝60°． 又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°， ∴ ∠CEF＝18°．4.C．解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF′=DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．5、解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16． 6、解答：(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC=BE，∴四边形BCFE是菱形。(2)∵四边形BCFE是菱形,∠BCF=120∘，∴∠ACB=60∘，∵BC=BE，∴△BEC是等边三角形，∴∠BEC=60∘，∵E是AC的中点，CE=4，∴AE=EC=BE=4,∴∠A=30∘，∴∠ABC=180∘−∠ACB−∠A=90∘.在Rt△ABC中,AB2=AC2−BC2,AB=18.3.3正方形例1、C．解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°(平行四边形对角相等)．故选C．练习：1、证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°∵E为BC延长线上的点，∴∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠DCE．在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE(SAS)，∴BF＝DE．2.B；提示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE=60°，AD=AE，∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣150°)=15°，∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；例2-练习：(1)证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90∘，∴四边形ADCE为矩形。(2)当△ABC满足∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45∘，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45∘，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形。∴当∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。例3、证明：(1)∵AD=CD，点E是边AC的中点，∴DE⊥AC．即得DE是线段AC的垂直平分线．∴AF=CF．∴∠FAC=∠ACB．在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．∴∠B=∠BAF．∴AF=BF．(2)∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．在△AEG和△CEF中，，∴△AEG≌△CEF(AAS)．∴AG=CF．又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．即得点F是边BC的中点．又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．∴四边形AFCG是正方形．例4、证明：(1)延长DC，使CH＝AE，连接BH，∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE，∴ Rt△BAE≌Rt△BCH，∴ ∠1＝∠2，BE＝BH．又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，在△EBF和△HBF中∴ △EBF≌△HBF，∴ EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF． (2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE．证明：在CF上截取CH＝AE，连接BH．∵ 四边形ABCD是正方形，∴ 在Rt△EAB和Rt△HCB中，∴ Rt△EAB≌Rt△HCB，∴ BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．∵ ∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH＝90°．又∵ ∠EBF＝45°，∴ ∠HBF＝45°，即∠EBF＝∠HBF．在△EBF和△HBF中∴ △EBF≌△HBF，∴ EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE． 练习： 证法一：(间接折半法)如图①所示． ∵ ∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6． 而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°． ∴ ∠3＝∠5，BE＝BF． 取AE的中点G，连接OG， ∵ AO＝OC，∴ OG EC． 由∠7＝∠5，∠8＝∠3， ∴ ∠7＝∠8，∴ FO＝GO． ∴ EC＝2OG＝2FO． 证法二：(直接折半法)如图②所示． 由证法一得BE＝BF． 取EC的中点H，连接OH． ∵ AO＝OC，∴ OH∥AE． ∴ ∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO． ∴ BO＝BH，∴ FO＝EH． ∴ EC＝2EH＝2FO． 证法三：(直接加倍法)如图③所示． 由证法一得BE＝BF．在OD上截取OM＝OF，连接MC．易证Rt△AOF≌Rt△COM．∴ ∠OAF＝∠OCM，∴ AE∥MC． 由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM， ∴ FM＝EC．∴ EC＝FM＝2FO．例5、(1)等腰(2)如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形。∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A.∴四边形ABFE为正方形。∴BF=AB=2，∴F(2,0).(3)矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，理由如下：i、当F在边OC上时，如图②所示。，即当F与C重合时，面积最大为4.ii、当F在边CD上时，如图③所示，过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K.∵∴即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4.下面求面积最大时，点E的坐标。i、当F与点C重合时，如图④所示。由折叠可知CE=CB=4，在Rt△CDE中,∴∴E(,2).ii、当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示。此时E(0,2).综上所述,折痕△BEF的最大面积为4时,点E的坐标为E(0,2)或E(,2)..例6、解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．(2)EG＝CG，且EG⊥CG． 证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③， ∵ ∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°， ∴ 四边形BEMC是矩形． ∴ BE＝CM，∠EMC＝90°， 又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM． ∵ ∠EMC＝90°，FG＝DG， ∴ MG＝FD＝FG． ∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD． ∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°． 又FG＝DG，∠CMG＝∠EMD＝45°， ∴ ∠F＝∠GMC，∴ △GFE≌△GMC，∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，∵ MG⊥DF，∴ ∠FGE＋∠EGM＝90°，∴ ∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，∴ EG⊥CG．课后巩固1-5：DADBB 6.7 7.13 8.128 9.(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB(已知)，∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，∴∠DOF＝90°；∵OA＝OC，OD平分∠AOC(已知)，∴OD⊥AC，AD＝DC(等腰三角形的“三线合一”的性质)，∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°∴四边形CDOF是矩形；(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC；又由(1)知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．10.(1)BE的长为 (2)证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，∵由(1)知，△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴△DEF为等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，∵∠DHE=∠BHF，∴∠EDH=∠BFH(三角形的内角和定理)，在△DEH和△DFI中，DE＝DF，∠DEH＝∠DFI，EH＝FI∴△DEH≌△DFI(SAS)，∴DH=DI，又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，∴∠HDE=∠BFE=∠ADE，∵∠HDE+∠ADE=45°，∴∠HDE=15°，∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，即△DHI为等边三角形，∴DH=HI，∴HF=FI+HI=HE+HD，即HF=HE+HD．11.(1)证明：∵四边形EFGH为菱形，∴HG=EH，∵AH=2，DG=2，∴DG=AH，在Rt△DHG和△AEH中，，∴Rt△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形；(2)解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四边形EFGH为菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠QGF，在△AEH和△QGF中，∴△AEH≌△QGF，∴AH=QF=2，∵DG=6，CD=8，∴CG=2，∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．平行四边形单元测试1.C　2.D　3.B　4.C　5.D　6.C　7.A　8.B　9.A　10.D　11.B　12.A　13.60°,120°　14.3215.5　16.8　17.218.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,所以∠ADB=∠CBD,因为AF平分∠BAD,所以∠DAF=∠BAD,因为CE平分∠BCD,所以∠BCE=∠BCD,所以∠DAF=∠BCE,在△DAF和△BCE中,所以△ADF≌△CBE(ASA),所以AF=CE,∠AFD=∠CEB,所以AF∥CE,所以四边形AFCE是平行四边形.19.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以OB=OD(矩形的对角线互相平分),AE∥CF(矩形的对边平行),所以∠BEO=∠DFO,∠OBE=∠ODF,在△BOE与△DOF中,所以△BOE≌△DOF(AAS).(2)解:当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形,证明:连接AF,EC,因为四边形ABCD是矩形,所以OA=OC(矩形的对角线互相平分),又因为△BOE≌△DOF,所以OE=OF,所以四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),因为EF⊥AC,所以四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).20.(1)证明:因为菱形ABCD,所以AB=CD,AB∥CD,又因为BE=AB,所以BE=CD,BE∥CD,所以四边形BECD是平行四边形,所以BD=EC.(2)解:因为平行四边形BECD,所以BD∥CE,所以∠ABO=∠E=50°,又因为菱形ABCD,所以AC⊥BD,即∠AOB=90°,在Rt△AOB中,所以∠BAO=90°-∠ABO=40°,所以∠BAO的大小为40°.21.(1)证明:∵点D,E分别是边BC,AB的中点,∴DE∥AC,AC=2DE,∵EF=2DE,∴EF∥AC,EF=AC,∴四边形ACEF是平行四边形,∴AF=CE.(2)解:当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形;理由如下:∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°,AC=AB=AE,∴△AEC是等边三角形,∴AC=CE,又∵四边形ACEF是平行四边形,∴四边形ACEF是菱形.22.(1)证明:因为四边形ABCD为矩形,沿MN翻折后,A,C重合,所以AO=CO,AD∥BC,所以∠1=∠2,在△AON和△COM中,所以△AON≌△COM(ASA).(2)解:连接AM,因为四边形ABCD是矩形,AB=6,BC=8,所以∠B=90°,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC===10,由对折知,MN垂直平分AC,所以∠COM=90°,CO=AO=AC=×10=5,CM=AM,设BM=x,则AM=CM=BC-BM=8-x,在Rt△ABM中,由勾股定理,得AM2-BM2=AB2,即(8-x)2-x2=62,解得x=,所以BM=,CM=8-=,在Rt△COM中,由勾股定理,得OM=所以线段OM的长度为.23.(1)证明∵PC平分∠ACB,PD⊥CA,PE⊥CB,∴PD=PE.∴Rt△PCD≌Rt△PCE,∴CD=CE.在△DMC和△EMC中,∴△DCM≌△ECM,∴DM=EM.(2)解:当点M运动到线段CP的中点时,四边形PDME为菱形.理由如下:∵M为PC的中点,PD⊥CA,∴DM=PC,在直角三角形PDC中.∵∠ACB=60°,∴∠PCD=30°,∴PD=PC,∴DM=PD.由(1)得DM=EM,PD=PE,∴PD=PE=EM=DM,∴四边形PDME为菱形.24.(1)证明:因为E,F分别是AD,BD的中点,G,H分别是BC,AC的中点,所以EF∥AB,EF=AB,GH∥AB,GH=AB,所以EF∥GH,EF=GH,所以四边形EFGH是平行四边形.(2)解:当AB=CD时,四边形EFGH是菱形,理由:因为E,F分别是AD,BD的中点,H,G分别是AC,BC的中点,G,F分别是BC,BD的中点,E,H分别是AD,AC的中点,所以EF=AB,HG=AB,FG=CD,EH=CD,又因为AB=CD,所以EF=FG=GH=EH,所以四边形EFGH是菱形.25.(1)证明:因为E是AD的中点,所以AE=ED,因为AF∥BC,所以∠AFE=∠DBE,∠FAE=∠BDE,在△AFE和△DBE中,所以△AFE≌△DBE(AAS),所以AF=BD,因为AD是BC边中线,所以CD=BD,所以AF=CD.(2)解:四边形ADCF的形状是菱形.证明:因为AF=DC,AF∥BC,所以四边形ADCF是平行四边形,因为AB⊥AC,所以∠CAB=90°,因为AD为中线,所以AD=DC=BD=BC,所以平行四边形ADCF是菱形.(3)解:AB=AC.26.解:(1)作图如图(a)所示,因为△ABD和△ACE都是等边三角形,所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAE=∠BAC+∠CAE,所以∠DAC=∠BAE.在△DAC和△BAE中,所以△DAC≌△BAE(SAS),所以BE=CD.(2)BE=CD.理由:因为四边形ABFD和ACGE是正方形,所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=90°,因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAE=∠BAC+∠CAE,所以∠DAC=∠BAE,在△DAC和△BAE中,所以△DAC≌△BAE(SAS),所以BE=CD.(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,以边AB为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABD,如图(b)所示.则∠BAD=90°,AD=AB,∠ABD=45°.在Rt△ABD中,AD=AB=100米,由勾股定理得,BD==100米.因为∠ABC=45°,所以∠DBC=∠DBA+∠ABC=45°+45°=90°,则△DBC为直角三角形.在Rt△DBC中,BC=100米,由勾股定理得,DC==100米.由(1)可知,BE=DC=100米.所以BE的长为100米.第十九章 一次函数19.1函数与变量例2、答案：(1)和(3)不是函数关系，(2)是函数关系。练习：答案：(1)(2)(4)是，(3)(5)(6)不是。答案：D 练习：C 例4：D； 练习：(1)x取任意实数(2)x取任意实数(3)(4)(5)(6)例7、答案：(1)；(2)；例8、B练习：1、B 2、A 3、C 4、D例9-练习：1、C 2、A例10、令x=0，则y=1；令y=0,则−2x+1=0,解得：x=.故函数y=−2x+1的图象过点(0,1),(,0).找出点(0,1),(,0)，过该两点作直线即可，如图所示。巩固练习一、选择题1-5、CCCBB 6-10、BAAAC 11-12、BD13、(1) 100 (2) 甲 (3) 814、(1) (2)BC边上的高；底边BC的长和△ABC的面积 (3) 36；915、(1) (2)x=-4,y=2；x=-2,y=-2 (3)y=0,x=-3，-1，4；y=4，x=1.5 (4)时，y的值最大为4；时，y的值最小为-2(5)当时，y随x的增大而增大；当或时，y随x的增大而减小.16、17、(1) ，如图 (2)再过2天,即n=6+2=8时，h=12+0.5×8=16(m)，再过2天水位高度将达到16米.19.2正比例函数例1.A 练习：1.A 2.C 例2.y=-6x 练习1.-1 2.m=2 3.k=1 4.B 例3. 练习：1. 2.0 3.例4.-3 二、四练习：1. 4 一 三 2.D 3.C 4.k>2 5.C 6.D 7.A例5.B 练习：a 2. 3. 4.D 5.> 6.A 例9.D 练习：1.D 2.(1)k=9 (2)k=10 (3)k3 例10. 练习：1. 2. 3. 4. 例11-练习：1.(1) (2)2.25 2.9 3.(2,0)(0，-4) 4课后巩固一、填空题1.(3，0)(0,6) 9 2、1 3.(1)4 2 (2)-2 4 (3)-6 -13 4. 2 5. 6. 7. 8.< 9.> > < < < > 10.二 11.(10,0)(0，-5) 12.(1)m400，则当月生产量大于400件时，选择方案一所获得利润较大；则当月生产量等于400件时，两种方案所获得利润一样大；则当月生产量小于400件时，选择方案二所获得利润较大。练习：(1)，(2)分为三种情况：若，则，解得：。当时，选择优惠方法①、②均可。若，即。当且为整数时，选择优惠方法②。若，即，当，且为整数时，选择优惠方法①。(3)最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔。课后巩固1.(1)每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元。(2)求函数关系式为：y= (3)小明家5月份水费70元。2.(1)2cm (2) (3)10个3.(1) (2)(3)个体车主4.(1)由图象可知，A. B两地的距离是300千米，甲车出发1.5小时到达C地；(2)(3)即乙车出发小时或3小时，两车相距150千米。5.(1)3，31 (2)加油前油箱剩油量y与行驶时间t的函数关系式是.(3)由图可知汽车每小时用油(50−14)÷3=12(升)，所以汽车要准备油210÷70×12=36(升)，因为45升>36升，所以油箱中的油够用.6.(1)符合题意的生产方案有两种：①生产A种产品25件，B种产品15件；②生产A种产品26件，B种产品14件。(2)一件A种产品的材料价钱是：7×50+4×40=510(元)，一件B种产品的材料价钱是：3×50+10×40=550(元)，方案①的总价钱是：25×510+15×550=21000(元)，方案②的总价钱是：26×510+14×550=20960(元)，由此可知：方案②的总价钱比方案①的总价钱少，所以方案②较优。即生产A种产品26件，B种产品14件较优。7.(1)加工方案有三种：①加工一般糕点24盒、精制糕点26盒；②加工一般糕点25盒、精制糕点25盒；③加工一般糕点26盒、精制糕点24盒。(2)按方案③加工利润最大，最大利润为24×1.5+26×2=88(元).8.(1)x取整数有：甲3 乙3，甲4 乙3，甲5 乙1，共有三种方案。(2)租车方案及其运费计算如下表。答：共有三种租车方案，其中第一种方案最佳，运费是5100元。9.(1)三种生产方案：方案一：生产A种产品30件，生产B种产品20件；方案二：生产A种产品31件，生产B种产品19件；方案三：生产A种产品32件，生产B种产品18件；(2)设生产A种产品x件,则生产B种产品(50−x)件，由题意，得由一次函数的性质知，y随x的增大而减小。因此，当x=30时，y取最大值，且ymax=45000.10.(1)该单位这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有33户．11.(1).(2)根据题意，得：y⩾2x，∴150−x⩾2x，解得：x⩽50，又∵x⩾0，150−x⩾0，∴0⩽x⩽50，∴p=600x+1000(150−x)，=−400x+150000.又∵p随x的增大而减小，并且0⩽x⩽50，∴−400×50+150000⩽p⩽−400×0+150000，即130000⩽p⩽150000.12.(1)根据题意得；(2)设实际医疗费为x元，根据题意得2600=x−y=x−(0.7x−350)=0.3x+350，解得x=7500.答：若自付医疗费2600元，则实际医疗费为7500元；(3)设实际医疗费为y元，根据题意得4100⩽y−(10000−500)×70%−(y−10000)×80%.解得y⩾13750.答：若自付医疗费4100元，则实际医疗费至少为13750元。第二十章 数据的分析20.1数据的集中趋势小关：78.65分 小兵：78.9分 例2. =597.5小时练习1、 =86.9 =87.5 乙被录取 2、答案 ：165.5例3、(1)中位数210件、众数210件 (2)不合理。因为15人中有13人的销售额达不到320件(320虽是原始数据的平均数，却不能反映营销人员的一般水平)，销售额定为210件合适，因为它既是中位数又是众数，是大部分人能达到的额定。例4、(1)1.2匹 (2)通过观察可知1.2匹的销售最大，所以要多进1.2匹，由于资金有限就要少进规格为2匹空调。练习：1. 众数90 中位数 85 平均数 84.62.(1)15，15，15；平均数、中位数或众数(2).16；5；4、5、6，众数、中位数例5、解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，∴ 候选人丙将被录用．(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8， ∴ 候选人甲将被录用．练习：解：小王平时测试的平均成绩(分)．所以(分)．答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．例6-练习：解：(1) ＝50－15－20－5＝10．(2)众数是15．平均数为×(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．课后巩固1. 2. 3. 53人 4. 约3.33万元 5. 约35.5岁 6. 65.4分贝 7、9，8； 8. 22； 9.B； 10.C； 11.(1)15. (2)约97天 12.(1)约2091 、1500、1500(2)3288、1500、1500(3)中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平。13.(1)3.2 (2)2.1 (3)中位数20.2数据的波动程度例1、6 例2、1.(1)甲、乙两种农作物的苗平均高度相同，均为10cm ；(2) ，，甲整齐.练习：1、段巍的成绩比金志强的成绩要稳定。答案： 2. ＞、乙；3. =1.5、=1.65、＝1. 5、＝0.65，乙机床性能好4. ＝10.9、S＝0.02； ＝10.9、S＝0.01选择小兵参加比赛。例2、解：(1)由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，则＝30－7－7－5－7＝4， 30÷5＝6，故答案为：4，6；(2)如图所示：；(3)①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，故答案为：乙；由于＜，所以上述判断正确．②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．练习：解：(分)， (分)． 甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分． (2)由(1)知分，所以，．①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；③从方差来看，因为，，所以甲的成绩较稳定；④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩．例3-练习：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是3×2-2=4；∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为13，∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的方差是13×32=3，∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的方差是3。例4、A组极差：10 B组极差：10 ， 练习：1.D 2.5 3.-5 4.-2或4课后巩固选择1．【答案】A【解析】10名学生的体育成绩中50分出现的次数最多，众数为50；第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：49+492 =49；平均数=46+2×47+48+2×49+4×5010=48.6，方差= 110 [(46-48.6)2+2×(47-48.6)2+(48-48.6)2+2×(49-48.6)2+4×(50-48.6)2]≠50；∴选项A正确，B、C、D错误；故选：A。2．【答案】D【解析】由图可知丁射击10次的成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，则丁的成绩的平均数为：110×(8+8+9+7+8+8+9+7+8+8)=8，丁的成绩的方差为：(-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2]=0.4，∵丁的成绩的方差最小，∴丁的成绩最稳定，∴参赛选手应选丁，故选：D。3．【答案】B【解析】∵乙的10次射击成绩不都一样，∴a≠0，∵乙是成绩最稳定的选手，∴乙的方差最小，∴a的值可能是0.020，故选：B。4．【答案】B【解析】甲同学四次数学测试成绩的平均数是14(87+95+85+93)=90，A错误；甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分，B正确；乙同学四次数学测试成绩的众数是80分和90分，C错误；∵∴甲同学四次数学测试成绩较稳定，D错误，故选：B。二、解答题5．(1)x甲= 110(7+8+6+8+6+5+9+10+4+7)=7；=[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(4-7)2+(7-7)2]=3；x乙=110(9+5+7+8+6+8+7+6+7+7)=7；= 110 [(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=1.2；∴因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，∴乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛。6．(1)甲的平均数= 110(585+596+…+601)=601.6，乙的平均数= 110(613+618+…+624)=599.3；(2)甲的极差为：613-585=28；乙的极差为：624-574=50；= 110 [(585-600)2+(596-600)2+…+(601-600)2]=65.84，= 110 [(613-600)2+(618-600)2+…+(624-600)2]=284.21。(3)甲的成绩较稳定，乙的最好成绩好。(4)若只想夺冠，选甲参加比赛；若要打破记录，应选乙参加比赛。7．(1)甲种电子钟走时误差的平均数是15(1-3-4+4+2)=0，乙种电子钟走时误差的平均数是：15(4-3-1+2-2)=0．(2)=15 [(1-0)2+(-3-0)2+…+(2-0)2]= 15×46=9.2，= 15 [(4-0)2+(-3-0)2+…+(-2-0)2]= 15×34=6.8，∴甲乙两种电子钟走时误差的方差分别是9.2s2和6.8s2；(3)因为乙的方差小于甲的方差，所以乙更稳定，故买乙种电子钟8．(1)x学生奶=3，x酸牛奶=80，x原味奶=40，金键酸牛奶销量高；(2)金键学生奶的方差=12.57；金键酸牛奶的方差=91.71；金键原味奶的方差=96.86，金键学生奶销量最稳定；(3)酸奶进80瓶，原味奶进40瓶，学生奶平时不进或少进，周末进一些．9．(1)将小勇成绩从小到大依次排列为580，590，596，597，597，630，631，中位数为597cm，将小明成绩从小到大依次排列为589，596，602，603，604，608，612中位数为603cm，小明成绩的平均数为：(589+596+602+603+604+608+612)÷7=602cm，小勇成绩的平均数为：(603+589+602+596+604+612+608)÷7=603cm，方差为：= 1 7 [(597-603)2+(580-603)2+…+(596-603)2]≈333cm2，= 1 7 [(603-602)2+(589-602)2+…+(608-60)2]≈49cm2，(2)从成绩的中位数来看，小明较高成绩的次数比小勇的多；从成绩的平均数来看，小勇成绩的“平均水平”比小明的高，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定；(3)在跳远专项测试以及之后的6次跳远选拔赛中，小明有5次成绩超过6米，而小勇只有两次超过6米，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定，选小明更有把握夺冠。(4)小勇有两次成绩分别为6.30米和6.31米，超过6.15米，而小明没有一次达到6.15米，故选小勇。方案甲种车乙种车运费(元)一331000×3+700×3=5100二421000×4+700×2=5400三511000×5+700×1=5700