数学八年级下册第十九章 一次函数19.2 一次函数19.2.2 一次函数导学案及答案

这是一份数学八年级下册第十九章 一次函数19.2 一次函数19.2.2 一次函数导学案及答案，共59页。学案主要包含了一次函数的定义，一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，分段函数，一次函数的变化规律，待定系数法求一次函数的解析式等内容，欢迎下载使用。
19.3 一次函数

要点一、一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.
详解：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.
要点二、一次函数的图象与性质
1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ；
当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；
当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的.
2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质：


3. 、对一次函数的图象和性质的影响：
决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限．
4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：
（1）与相交； （2）且与平行.
要点三、待定系数法求一次函数解析式
一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.
详解：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法. 由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.
要点四、分段函数
对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数. 解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.
详解：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.



类型一、由正比例函数到一次函数-平移
例1、已知一次函数通过平移后得到直线，则下列说法正确的是（　　）
A. 向左平移3个单位 B. 向右平移3个单位
C. 向上平移7个单位 D. 向下平移6个单位

练习：1、将一次函数的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（　　）
A. B．    C． D．

2、将直线向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是 ．
类型二、一次函数的判断
例2、下列函数中，是一次函数的是 .
①；②；③；④；⑤；⑥.

练习：1、下列函数表达式：①，②，③，④，⑤．其中是一次函数的有（ ）
A.  4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
2、下列函数表达式：①；②；③；④；⑤中，是一次函数的有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

例3、如果是一次函数，则此函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
练习： 1、已知函数，当m满足 时，它是一次函数；当m满足 时，它是正比例函数.
2、表示一次函数，则m等于(　 　)
A. 1 B.1   C. 0或1 D. 1或1

类型三、一次函数的象限问题
例4、将正比例函数的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第 象限．
练习：1、一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、下面函数图象不经过第二象限的为（ ）
A.   B.   C. D.

例5、已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是（ ）
A. B.   C. D.
练习：1、如果直线经过第一、二、三象限，那么 0．
2、若点关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数的图象不经过第 象限.
3、已知一次函数中y随x的增大而减小，且，则直线的图象经过（ ）
A. 第一二三象限 B. 第一三四象限       C. 第一二四象限 D. 第二三四象限
4、若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（ ）
A.   B.      C.  D.
5、在平面直角坐标系中，点在一次函数图象上，则点所在象限
是（ ）
A.  第一象限       B. 第二象限          C. 第四象限        D. 第不能确定
6、如果，，则直线不通过（ ）
A．第一象限   B．第二象限     C．第三象限  D．第四象限
7、已知一次函数，y随x的增大而增大，且图象经过第一、二、三象限，k的取值范围是 .
8、的图象经过第一、二、四象限，则的图象经过第 象限.
9、如果一次函数的图象经过第一、三、四象限，则k的取值范围是 .
10、直线与直线的交点不可能在第 象限.

类型四、确定一次函数的图象
例6、已知一次函数，y随着x的增大而增大，且，则在直角坐标系内它大致图象是（　　）

练习：1、关于x的一次函数的图象可能正确的是（　　）
2、如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（　　）
3、若正比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ）

4、下列图形中，表示一次函数与正比例函数(、是常数且)图象
是（ ）




A B C D
y
x

例7、已知，一次函数的图象如图所示，则，的符号是（ ）
A.  B. 
C.  D. 

练习：若一次函数的图象如图所示，则（ ）
A.  B. 
C.  D. 

类型五、一次函数的变化规律
例8、一次函数，y随x的增大而 .

练习：1、已知函数，当时，则 .
2、已知函数，，当x 时，.
3、已知函数，当时，函数值y的取值范围是 .
4、关于直线，下列说法不正确的是（ ）
A. 点在上 B. 经过定点
C. 当时，y随x的增大而增大 D. 经过第一、二、三象限
5、点，是一次函数图象上的两个点，且，则
．(填“＞”，“＜”或“＝”)
6、已知点，都在直线上，则大小关系是（ ）
 A. B. C. D. 不能比较

例9、已知一次函数，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
 A.   B. C. D.

练习：1、若一次函数的函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
 A.  m0   C.  m2
2、已知一次函数，
（1） 当 时，它的图象经过原点；
（2） 当 时，它的图象经过点；
（3） 当 时，它的图象与轴的交点在轴的上方；
（4） 当 时，它的图象平行于直线；
（5） 当 时，随的增大而减小.

类型六、待定系数法求一次函数的解析式
例10、已知一次函数的图象经过，两点，求此一次函数的解析式.



练习：1、一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为，，求此一次函数的解析式.


2、一次函数的图象与直线平行，且过点，求这个一次函数的解析式.



3、直线经过点且与y轴的交点纵坐标是3，求这个一次函数的解析式.


4、一次函数的图象与的图象的交点的横坐标为2，与的图象的交点的纵坐标为1，求此一次函数的解析式.




类型七、求一次函数与坐标轴围成的三角形面积
例11、已知函数，．
（1）在同一坐标系中画出这两个函数的图象．
（2）求出函数图象与x轴围成三角形的面积．
解析：（1）函数与x轴和y轴的交点是和，与x轴和y轴的交点是和，其图象如图：
（2）设，的交点为点A，可得：，
可得：，
．

练习：1、已知与成正比例，且当时，.
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若图象与轴交于A点，与交于B点，求△AOB的面积.






2、与两坐标轴围成的三角形的面积为 .
3、直线与轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ，该直线与坐标轴围成的三角形的面积是 .




一、填空题
1. 直线与轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 . 与坐标轴围成的三角形的面积是 .
2. 若一次函数的图象过原点，则的值为　　　　　．
3. 一次函数的图象如图所示，看图填空：
（1）当时，y= ；当x= 时，.
（2）k= ，b= .
（3）当时，y= ；当时，x= .
4. 若直线与直线平行，则m .
5. 在同一直角坐标系内函数与平行，则a， b的取值范围是　 　　　．
6. 将直线向上平移3个单位得到的直线解析式是　　　　 　，将直线向下移3个单位得到的直线解析式是 ．将直线向下移2个单位得到的直线解析式是　　 　　　．
7. 一次函数的图象经过一、三、四象限，则的取值范围是　　　　　．
8. 已知点，都在一次函数(为常数)的图象上，则a与b的大小关系是a____b.(填“”)
9. 直线经过一、二、三象限，则 　0， 　0；经过二、三、四象限，则有　 0，
　0；经过一、二、四象限，则有　　0，　　0．
10. 如果直线与轴交点的纵坐标为，那么这条直线一定不经过第　 C　象限．
11. 直线与x轴的交点坐标是_______，与y轴的交点坐标是_______.
12. 已知一次函数.
（1）当m______时，y随x的增大而减小；
（2）当m______，n______时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方；
（3）当m______，n______时，函数图象过原点.

二、选择题
1. 已知函数，要使函数值随自变量的增大而减小，则的取值范围是（　　）
A.  B.  C.  D. 
2. 一次函数中，的值随的减小而减小，则的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
3. 已知直线，经过点和点，若，且，则与的大小关系是（　　）
A. B. C. D.不能确定
4. 若直线经过第二、三、四象限，则的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
5. 一次函数的图象不经过（　　）
A.第一象限 B.第二象限   C.第三象限 D.第四象限
6. 如果点关于x轴的对称点P在第三象限，那么直线yax+b的图象不经过 （　　）
A.第一象限   B.第二象限  C.第三象限 D.第四象限
7. 若一次函数ykx+b的图象经过和点，则这个函数的图象不经过（　　）
A.第一象限   B.第二象限   C.第三象限  D.第四象限
8. 下列图象中不可能是一次函数的图象的是（　　）
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
D.
C.
B．
A．




Ｏ
y
x


Ｏ
y
x


Ｏ
y
x


Ｏ
y
x


D.
C.
B．
A．
9. 两个一次函数与，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）




10. 下列一次函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
11. 在一次函数中，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A.     B.     C.   D.
12. 将直线向上平移两个单位，所得的直线是（ ）
A.     B. C. D.
13. 汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y(升)与行驶时间t (时)的函数关系用图象表示应为下图中的（ ）

三、解答题
1. 在同一个直角坐标系中，画出函数与的图象，并判断点，是否在所画的图象上？在哪一个图象上？





2. 已知一次函数(k、b为常数且k≠0)的图象经过点和点，求此函数的解析式.





3. 求函数与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积.





4. 根据下列条件，确定函数关系式：
（1）y与x成正比，且当时，；
（2）的图象经过点和点．





5. 某摩托车的油箱最多可存油5升，行驶时油箱内的余油量y(升)与行驶的路程x(km)成一次函数关系，其图象如图.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）摩托车加满油后到完全燃烧，最多能行驶多少km？







6. 已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，求△ABC的面积.

八下第一本答案
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形的性质
例1、A 练习：1.B 2.B
3.答案不唯一． BE=DF或BF=DE或∠BCE=∠DAF或AF∥EC等
4.C 例2、D 练习：B
例3、28 13 82 练习：AB=14cm AD=10cm 例4-练习：4cm
例5:证明：∵ABCD，
∴OA=OC，DF∥EB，
∴∠E=∠F，
又∵∠EOA=∠FOC，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴OE=OF．
练习：DE=BF.证明如下：
∵ABCD，O为AC的中点
∴OA=OC.
又AE∥CF，∴∠EAO=∠FCO.
故在△AOE与△COF中，

∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF.
又∵AD=CB(平行四边形的对边相等)，
∴AE−AD=CF−CB，即DE=BF.
例6：AB=4cm，BC=6cm，平行四边形ABCD面积为cm2
例7：证明：设：CE、DF相交于M
∵平行四边形ABCD ∴AB∥CD AD=BC
又∵AD=2AB，且AE=AB ∴BC=BE ∴∠E=∠ECB
∵AB∥CD ∴∠E=∠ECD ∴∠ECD=∠ECB=∠BCD
同样道理： ∠FDC=∠FDA=∠ADC
∵平行四边形ABCD中AD∥BC ∴∠ADC＋∠BCD=180º
∴∠ECD＋∠FDC=(∠BCD＋∠ADC)=90º
即∠MCD＋∠MDC=90º ∴∠DMC=90º
∴CE⊥DF
课后巩固
一、选择题
1-4、BDAD 5、80° 6、3；6 7、150°；30° ；150° 8、49 9、9
10. BE =DF 证明略.
11. 9cm
12证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO(平行四边形的对角线互相平分)，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF．
13.答案：(1)解：有4对全等三角形．分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA．
(2)证明：如图，∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF．

∴△OAE≌△OCF，∴∠EAO=∠FCO．
在ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO．
∴，即∠EAM=∠FCN．
14.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2．
∵AF=CE，
∴AE=CF，
在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠1=∠2，AE=CF，∴△ABE≌△CDF．
18.2 平行四边形的判定
例1-练习：点拨：欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．
证明：∵ 四边形AECF为平行四边形，
∴ AF∥CE．
∵ 四边形DEBF为平行四边形，
∴ BE∥DF．
∴ 四边形EGFH为平行四边形．
2.证明：在等边△ADC和等边△AFB中
∠DAC＝∠FAB＝60°．
∴ ∠DAF＝∠CAB．
又∵ AD＝AC，AF＝AB．
∴ △ADF≌△ACB(SAS)．
∴ DF＝CB＝CE．
同理，△BAC≌△BFE，∴ EF＝AC＝DC．
∴ 四边形DCEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
3.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
　　 　 ∴AB=CD，AB∥DC，
　　 　 ∴∠ABE=∠CDF，
　　 　 ∵AG=CH，
　　 　 ∴BG=DH，
　　 　 在△BEG和△DFH中，
　　 　
　　 　 ∴△BEG≌△DFH(SAS)；
　　 　 (2)∵△BEG≌△DFH(SAS)，
　　 　 ∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，
　　 　 ∴∠GEF=∠HFB，
　　 　 ∴GE∥FH，
　　 　 ∴四边形GEHF是平行四边形．
　　　
　　
4.分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
解：(1)四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，
∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°
又∠A=60°，∠C=60°，∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C
∴四边形ABCD是平行四边形
(2)四边形ABC1D1是平行四边形，理由如下：
将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B1C1D1的位置时，有Rt△C1BB1≌Rt△ADD1
∴∠C1BB1=∠AD1D，∠BC1B1=∠DAD1
∴有∠C1BA=∠ABD+∠C1BB1=∠C1D1B1+∠AD1B=∠AD1C1，
∠BC1D1=∠BC1B1+∠B1C1D1=∠D1AD+∠DAB=∠D1AB
所以四边形ABC1D1是平行四边形
例2、解答：

证明：连接BF，
∵△ADF和△ABC是等边三角形，
∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60∘，
∴∠FAD−∠EAD=∠CAB−∠EAD，
∴∠FAB=∠CAD，
在△FAB和△DAC中
AF=AD，∠FAB=∠CAD，AB=AC，
∴△FAB≌△DAC(SAS)，
∴BF=DC,∠ABF=∠ACD=60∘，
∵BE=CD，
∴BF=BE，
∴△BFE是等边三角形，
∴EF=BE=CD，
在△ACD和△CBE中
∵CA=BC，∠ACB=∠ABC，CD=BE
∴△ACD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE=DF，
∵EF=CD，
∴四边形CDFE是平行四边形。
练习：(1)易证 (2)DE=
例3、解答：在四边形AECF中，∵ ∠EAF＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ ∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－60°－90°－90°＝120°．
在ABCD中，∵ AB∥CD，
∴ ∠B＋∠C＝180°．∠C＋∠D＝180°，
∴ ∠B＝∠D＝60°．
在Rt△ABE中，∠B＝60°，BE＝2cm，
∴ AB＝4cm，CD＝AB＝4cm．(平行四边形的对边相等)
同理，在Rt△ADF中，AD＝6cm，∴ BC＝AD＝6cm，
∴
∴ ．
练习：解：平移线段AM至BE，连EA，则四边形BEAM为平行四边形
∴BE＝AM＝9，ED＝AE＋AD＝15，
又∵BD＝12

∴∠EBD＝90°，BE⊥BD，
∴△EBD面积＝
又∵2AE＝AD
∴△ABD面积＝＝36
∴ABCD的面积＝72.
例4、解：延长BD交AC于点N．
∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，
∴ ∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，
又∵ AD为公共边，∴ △ABD≌△AND(ASA)
∴ AN＝AB＝12，BD＝DN．
∵ AC＝18，∴ NC＝AC－AN＝18－12＝6，
∵ D、M分别为BN、BC的中点，
∴ DM＝CN＝＝3．
练习：B；
解： 连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，
∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．
∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，
∴ 线段EF的长度将保持不变．

例5-练习：证明：如图,过M作ME∥AN，使ME=AN，连NE，BE，
则四边形AMEN为平行四边形，
∴NE=AM，ME⊥BC，
∵ME=AN=CM,∠EMB=∠MCA=90∘，BM=AC，
∴△BEM≌△AMC，得BE=AM=NE，∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠3=90∘，
∴∠2+∠4=90∘且BE=NE，
∴△BEN为等腰直角三角形,∠BNE=45∘，
∵AM∥NE，
∴∠BPM=∠BNE=45∘.
课后巩固
1、解：(1)选证△BDE≌△FEC
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACD=60°
∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC是等边三角形
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120°
又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC
(2)四边形ABDF是平行四边形
理由：由(1)知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形
∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°
∴AB∥DF，BD∥AF
∵四边形ABDF是平行四边形。
2、解：(1)∵ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE
(2)∵△DCE绕D顺时针
旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，
∵四边形ABCD是正方形
∴BE′∥DG，AB=CD
∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG
∴四边形DE′BG是平行四边形
点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形
3、分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。
证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AEO=∠CGO，
∵∠AOE=∠COG，OA=OC
∴△AOE≌△COG，∴OE=OG
同理△BOF≌△DOH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
4、四边形DEBF是平行四边形；
理由是：连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO；
∵AE=CF，
∴AO−AE=CO−CF，
∴EO=FO，
又∵DO=BO，
∴四边形DEBF是平行四边形。
5、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，
又∵ED=BF，
∴AD−ED=BC−BF，即AE=CF，
在△AEO和△CFO中,⎧AE=CF ∠AEO=∠CFO ∠FCO=∠EAO，
∴△AEO≌△CFO，
∴OA=OC.
6、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，∴∠F=∠E，∠FDO=∠EBO，
又∵CF=AE，∴ED=BF，∴△EOD≌△FOB.∴OD=OB，OF=OE.
即EF与BD互相平分。
7、(1)易证 (2)由(1)可知AD=BC ∠DAF=∠BCE ∴AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形
8、∵BE是∠ABC的平分线,∠ABC=70∘,
∴∠ABE=∠CBE=35∘,∠ADC=∠ABC=70∘，
在ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠EBF=∠AEB=35∘，
∵DF∥BE，
∴∠ADF=∠AEB=35∘，
∴∠CDF=35∘.
9、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE
∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵CE⊥BE，∴∠EBC+∠ECB=90° ∵∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABE+∠DCE=90°，∴∠BCE=∠DCE，同理得：CD=DE，∵AD=AE+ED=AB+CD=2CD，
∴BC=2CD
10、(1)证明：当∠AOF=90∘时，
∵∠BAO=∠AOF=90∘，
∴AB∥EF，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形。
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
在△AOF和△COE中
∠FAO=∠ECO AO=CO ∠AOF=∠COE.
∴△AOF≌△COE(ASA).
∴AF=EC. 
11、证明：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD和EBFD均是平行四边形，
∴OA=OC，OE=OF，∠ACD=∠BAC即∠FCD=∠EAB
∴OA-OE=OC-OF，即AE=CF.
∴在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF(SAS)
12、证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C,DC∥AB.∵AE=CF,∴△ADE≌△CBF(SAS).∴∠AED=∠CFB,DE=BF.∵DC∥AB,∴∠CFB=∠ABF.∴∠AED=∠ABF.∴ME∥FN.又∵M、N分别是DE、BF的中点，且DE=BF，∴ME=FN.∴四边形ENFM是平行四边形。
13、证明：∵ABCD，∴AB∥CD，BC∥AD，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE，∵AB=CD，∴BF=DE，∵BF∥DE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴FG∥HE，∵GE∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴EG=FH
特殊平行四边形
类型一、矩形的性质
例1、解：(1)∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN∥BC，
∴∠CBN=∠MNB，
∵∠PNB=3∠CBN，
∴∠PNM=2∠CBN；
(2)连接AN，
根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，
∵MN∥AD，
∴∠PAN=∠ANM，
由(1)知∠PNM=2∠CBN，
∴∠PAN=∠PNA，
∴AP=PN，
∵AB=CD=4，M，N分别为AB，CD的中点，
∴DN=2，
设AP=x，则PD=6﹣x，
在Rt△PDN中
PD2+DN2=PN2，
∴(6﹣x)2+22=x2，
解得：x=
所以AP=．

练习：A
例2、(1)证明：
在平行四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，则BE∥CD.
∴∠EBF=∠DCF，∠BEF=∠CDF.
∵AB=BE，
∴BE=CD.
在△ABD与△BEC中，
∠EBF=∠DCF BE=CD ∠BEF=∠CDF，
∴△BEF≌△CDF.
(2)由(1)知，四边形BECD为平行四边形，则FD=FE，FC=FB.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠FCD.
又∵∠BFD=2∠A，∠BFD=∠FCD+∠FDC，
∴∠FCD=∠FDC，
∴FC=FD，
∴FC+FB=FD+FE，即BC=ED，
∴四边形BECD为矩形.

例3、解析：证明：在ABCD中，AD∥BC，
∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°，
∵ AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，
∴ ∠BAE＋∠ABE＝∠BAD＋∠ABC＝90°．
∴ ∠HEF＝∠AEB＝90°．
同理：∠H＝∠F＝90°．
∴ 四边形EFGH是矩形．
例4、证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴BE＝DF.
∴△BEC≌△DFA.
(2)四边形AECF是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD.
∴AE∥CF且AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CA＝CB，E是AB的中点，
∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形.
例5、C；
解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．

练习：连接OP．
∵ 四边形ABCD是平行四边形．
∴ AO＝CO，BO＝DO，
∵ ∠APC＝∠BPD＝90°，
∴ OP＝AC，OP＝BD，
∴ AC＝BD．
∴ 四边形ABCD是矩形．
课后巩固
1-4：DDBC
5.； 6. 30或14； 7.12； 8.；
9.(1)证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，
∴∠BEO＝∠DFO＝90°，
∵点O是EF的中点，
∴OE＝OF，
又∵∠DOF＝∠BOE，
∴△BOE≌△DOF(ASA)；
(2)解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA＝BD，OA＝AC，
∴BD＝AC，
∴ABCD是矩形．
10.证明：(1)由折叠可得．
∵ AD∥BC， ∴ ，
∴ ，
∴ ．
(2)猜想．理由：
由题意，得，．
由(1)知．
在中，∵ ，，，，
∴ ．
11、(1)证明：∵∠BAD=∠CAE，
　　∴∠EAB=∠DAC，
　　在△ABE和△ACD中
　　∵AB=AC，∠EAB=∠DAC，AE=AD
　　∴△ABE≌△ACD(SAS)；
　(2)证明：∵△ABE≌△ACD，
　　∴BE=CD，
　　又DE=BC，
　　∴四边形BCDE为平行四边形．
　　∵AB=AC，
　　∴∠ABC=∠ACB
　　∵△ABE≌△ACD，
　　∴∠ABE=∠ACD，
　　∴∠EBC=∠DCB
　　∵四边形BCDE为平行四边形，
　　∴EB∥DC，
　　∴∠EBC+∠DCB=180°，
　　∴∠EBC=∠DCB=90°，
　　四边形BCDE是矩形．
12、证明：连接EG、DG，∵ CE是高，
∴ CE⊥AB．
∵ 在Rt△CEB中，G是BC的中点，
∴ EG＝BC，同理DG＝BC．
∴ EG＝DG．
又∵ F是ED的中点，
∴ FG⊥DE．

18.3.2菱形
例1、证明：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，CD=BC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．
在Rt△CDF与Rt△CBE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)，
∴DF=BE．
练习：1、50°；
解：在菱形ABCD中，
AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，
CD=CB，∠BCO=∠DCO，
∴在△BCO和△DCO中，
，
∴△BCO≌△DCO(SAS)，
∴∠CBO=∠CDO=50°．
2、C；
例2、解：四边形DECF是菱形，理由如下：
∵ DE∥AC，DF∥BC
∴ 四边形DECF是平行四边形．
∵ CD平分∠ACB，∴ ∠1＝∠2
∵ DF∥BC，
∴ ∠2＝∠3，
∴ ∠1＝∠3．
∴ CF＝DF，
∴ 四边形DECF是菱形．
例3： 解：四边形AEDF是菱形，理由如下：
∵ EF垂直平分AD，
∴ △AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．
∴ ∠ODF＝∠OAF，
又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，
∴ ∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，
同理可得：DE∥AF．
∴ 四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF
又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．
∴AEDF是菱形．
例4、解析：(1)证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF(AAS)；
(2)解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，
则此时的时间t=6÷1=6(s)．
故答案为：6s．
练习1.(1)①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形，
②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8−x)cm，
在Rt△ABF中，AB=4cm，
由勾股定理得42+(8−x)2=x2，
解得x=5，
∴AF=5cm.
(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A. C. P、Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形。
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,
∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=CD+AD−4t=12−4t，即QA=12−4t，
∴5t=12−4t，
解得t=，
∴以A. C. P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=秒。
②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上。
分三种情况：
i)如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，即a=12−b，得a+b=12；
ii)如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，即12−b=a，得a+b=12；
iii)如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，即12−a=b，得a+b=12.
综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).

2.解：(1)∵MQ∥AP，MP∥AQ，
∴四边形AQMP是平行四边形
∴QM＝AP
又∵AB＝AC，MP∥AQ，
∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC
∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a
∴四边形AQMP的周长为2a
(2)M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.
∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,
∴QM＝PM,
∴四边形AQMP为菱形

课后巩固
1、解析： 证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∵ ∠1＝∠2，
∴ ∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．
∴ AE＝AG
又 EF∥AG．
∴ 四边形AEFG是平行四边形．
又∵ AE＝AG，
∴ 四边形AEFG是菱形．
方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∴ ∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．
∴ AE＝AG．
在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，
∴ △AEG≌△FEG．
∴ AG＝FG．
∴ AE＝EF＝FG＝AG．
∴ 四边形AEFG是菱形．
2.证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD
∵ E、F分别为AB、CD的中点
∴ DF＝DC，BE＝AB
∴ DF∥BE．DF＝BE
∴ 四边形DEBF为平行四边形
∴ DE∥BF
(2)证明：∵ AG∥BD
∴ ∠G＝∠DBC＝90°
∴ △DBC为直角三角形
又∵ F为边CD的中点．
∴ BF＝DC＝DF
又∵ 四边形DEBF为平行四边形
∴ 四边形DEBF是菱形
3.解析： 解：连接AC．
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．
又∵ ∠B＝60°，
∴ △ABC是等边三角形．
∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．
∴ ∠ACF＝∠B＝60°．
又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60°
∴ ∠BAE＝∠CAF．
∴ △ABE≌△ACF．
∴ AE＝AF．
∴ △AEF为等边三角形．
∴ ∠AEF＝60°．
又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，
∴ ∠CEF＝18°．
4.C．
解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．
∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF′=DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=3．
∴EP+FP的最小值为3．
5、解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，即O为BD的中点，
又∵E是AB的中点，
∴EO是△ABD的中位线，
∴AD=2EO=2×2=4，
∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．
6、解答：
(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，2DE=BC，
又∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=BC=BE，
∴四边形BCFE是菱形。
(2)∵四边形BCFE是菱形,∠BCF=120∘，
∴∠ACB=60∘，
∵BC=BE，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠BEC=60∘，
∵E是AC的中点，CE=4，
∴AE=EC=BE=4,∴∠A=30∘，
∴∠ABC=180∘−∠ACB−∠A=90∘.
在Rt△ABC中,AB2=AC2−BC2,AB=
18.3.3正方形
例1、C．解：∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF=90°，
∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，
∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D=70°(平行四边形对角相等)．
故选C．
练习：1、证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCD＝90°
∵E为BC延长线上的点，
∴∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠DCE．
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE(SAS)，
∴BF＝DE．
2.B；
提示：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，∠BAF=45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAE=90°+60°=150°，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=(180°﹣150°)=15°，
∴∠BFC=∠BAF+∠ABE=45°+15°=60°；
例2-练习：(1)证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90∘，
∴四边形ADCE为矩形。
(2)当△ABC满足∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45∘，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45∘，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形。
∴当∠BAC=90∘时，四边形ADCE是一个正方形。
例3、证明：(1)∵AD=CD，点E是边AC的中点，
∴DE⊥AC．
即得DE是线段AC的垂直平分线．
∴AF=CF．
∴∠FAC=∠ACB．
在Rt△ABC中，由∠BAC=90°，
得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°．
∴∠B=∠BAF．
∴AF=BF．
(2)∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE．
又∵点E是边AC的中点，∴AE=CE．
在△AEG和△CEF中，
，
∴△AEG≌△CEF(AAS)．
∴AG=CF．
又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．
∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形．
在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF．
即得点F是边BC的中点．
又∵AB=AC，∴AF⊥BC．即得∠AFC=90°．
∴四边形AFCG是正方形．
例4、证明：(1)延长DC，使CH＝AE，连接BH，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠A＝∠BCH＝90°，又AB＝BC，CH＝AE，
∴ Rt△BAE≌Rt△BCH，
∴ ∠1＝∠2，BE＝BH．
又∵ ∠1＋∠3＋∠4＝90°，∠4＝45°，
∴ ∠1＋∠3＝45°，∠2＋∠3＝45°，

在△EBF和△HBF中

∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝FC＋CH＝AE＋CF．即AE＋CF＝EF．
(2)如图所示：不成立，正确结论：EF＝CF－AE．
证明：在CF上截取CH＝AE，连接BH．
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ 在Rt△EAB和Rt△HCB中，

∴ Rt△EAB≌Rt△HCB，
∴ BE＝BH，∠EBA＝∠HBC．
∵ ∠HBC ＋∠ABH＝90°，∴ ∠EBA ＋∠ABH＝90°．
又∵ ∠EBF＝45°，∴ ∠HBF＝45°，即∠EBF＝∠HBF．

在△EBF和△HBF中

∴ △EBF≌△HBF，
∴ EF＝FH＝CF－CH＝CF－AE，即EF＝CF－AE．
练习： 证法一：(间接折半法)如图①所示．
∵ ∠3＝∠1＋∠4，∠5＝∠2＋∠6．
而∠1＝∠2，∠4＝∠6＝45°．
∴ ∠3＝∠5，BE＝BF．
取AE的中点G，连接OG，
∵ AO＝OC，∴ OG EC．
由∠7＝∠5，∠8＝∠3，
∴ ∠7＝∠8，∴ FO＝GO．
∴ EC＝2OG＝2FO．
证法二：(直接折半法)如图②所示．
由证法一得BE＝BF．
取EC的中点H，连接OH．
∵ AO＝OC，∴ OH∥AE．
∴ ∠BOH＝∠BFE＝∠BEF＝∠BHO．
∴ BO＝BH，∴ FO＝EH．
∴ EC＝2EH＝2FO．
证法三：(直接加倍法)如图③所示．
由证法一得BE＝BF．
在OD上截取OM＝OF，连接MC．
易证Rt△AOF≌Rt△COM．
∴ ∠OAF＝∠OCM，
∴ AE∥MC．
由∠BMC＝∠BFE＝∠BEF＝∠BCM，
∴ FM＝EC．
∴ EC＝FM＝2FO．
例5、(1)等腰
(2)如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形。
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A.
∴四边形ABFE为正方形。
∴BF=AB=2，
∴F(2,0).
(3)矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，
理由如下：i、当F在边OC上时，如图②所示。
，即当F与C重合时，面积最大为4.
ii、当F在边CD上时，如图③所示，
过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K.
∵

∴
即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4.
下面求面积最大时，点E的坐标。
i、当F与点C重合时，如图④所示。
由折叠可知CE=CB=4，
在Rt△CDE中,
∴
∴E(,2).
ii、当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示。
此时E(0,2).
综上所述,折痕△BEF的最大面积为4时,点E的坐标为E(0,2)或E(,2)..


例6、解：(1)EG＝CG，且EG⊥CG．
(2)EG＝CG，且EG⊥CG．

证明：延长FE交DC延长线于M，连MG，如图③，
∵ ∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，
∴ 四边形BEMC是矩形．
∴ BE＝CM，∠EMC＝90°，
又∵ BE＝EF，∴ EF＝CM．
∵ ∠EMC＝90°，FG＝DG，
∴ MG＝FD＝FG．
∵ BC＝EM，BC＝CD，∴ EM＝CD．
∵ EF＝CM，∴ FM＝DM，∴∠F＝45°．
又FG＝DG，∠CMG＝∠EMD＝45°，
∴ ∠F＝∠GMC，∴ △GFE≌△GMC，
∴ EG＝CG，∠FGE＝∠MGC，
∵ MG⊥DF，
∴ ∠FGE＋∠EGM＝90°，
∴ ∠MGC＋∠EGM＝90°即∠EGC＝90°，
∴ EG⊥CG．
课后巩固
1-5：DADBB 6.7 7.13 8.128
9.(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB(已知)，
∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，
∵∠AOC＋∠BOC＝180°，
∴2∠COD＋2∠COF＝180°，
∴∠COD＋∠COF＝90°，
∴∠DOF＝90°；
∵OA＝OC，OD平分∠AOC(已知)，
∴OD⊥AC，AD＝DC(等腰三角形的“三线合一”的性质)，
∴∠CDO＝90°，
∵CF⊥OF，
∴∠CFO＝90°
∴四边形CDOF是矩形；
(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形；理由如下：
∵∠AOC＝90°，AD＝DC，
∴OD＝DC；
又由(1)知四边形CDOF是矩形，则
四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．
10.(1)BE的长为
(2)证明：在FE上截取一段FI，使得FI=EH，
∵由(1)知，△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°=∠DBC，
∵∠DHE=∠BHF，
∴∠EDH=∠BFH(三角形的内角和定理)，
在△DEH和△DFI中，DE＝DF，∠DEH＝∠DFI，EH＝FI
∴△DEH≌△DFI(SAS)，
∴DH=DI，
又∵∠HDE=∠BFE，∠ADE=2∠BFE，
∴∠HDE=∠BFE=∠ADE，
∵∠HDE+∠ADE=45°，
∴∠HDE=15°，
∴∠DHI=∠DEH+∠HDE=60°，
即△DHI为等边三角形，
∴DH=HI，
∴HF=FI+HI=HE+HD，即HF=HE+HD．
11.(1)证明：∵四边形EFGH为菱形，
∴HG=EH，
∵AH=2，DG=2，
∴DG=AH，
在Rt△DHG和△AEH中，
，
∴Rt△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∵四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH为正方形；

(2)解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，
∵四边形EFGH为菱形，
∴HE=GF，HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠QGF，
在△AEH和△QGF中
，
∴△AEH≌△QGF，
∴AH=QF=2，
∵DG=6，CD=8，
∴CG=2，
∴△FCG的面积=CG•FQ=×2×2=2．

平行四边形单元测试
1.C　2.D　3.B　4.C　5.D　6.C　7.A　8.B　9.A　10.D　11.B　12.A　
13.60°,120°　
14.32
15.5　
16.8　
17.2
18.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AD=BC,AD∥BC,∠BAD=∠BCD,
所以∠ADB=∠CBD,
因为AF平分∠BAD,
所以∠DAF=∠BAD,
因为CE平分∠BCD,
所以∠BCE=∠BCD,
所以∠DAF=∠BCE,
在△DAF和△BCE中,

所以△ADF≌△CBE(ASA),
所以AF=CE,∠AFD=∠CEB,
所以AF∥CE,
所以四边形AFCE是平行四边形.
19.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,

所以OB=OD(矩形的对角线互相平分),
AE∥CF(矩形的对边平行),
所以∠BEO=∠DFO,
∠OBE=∠ODF,
在△BOE与△DOF中,

所以△BOE≌△DOF(AAS).
(2)解:当EF⊥AC时,四边形AECF是菱形,
证明:连接AF,EC,因为四边形ABCD是矩形,
所以OA=OC(矩形的对角线互相平分),
又因为△BOE≌△DOF,
所以OE=OF,
所以四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
因为EF⊥AC,所以四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
20.(1)证明:因为菱形ABCD,
所以AB=CD,AB∥CD,
又因为BE=AB,
所以BE=CD,BE∥CD,
所以四边形BECD是平行四边形,
所以BD=EC.
(2)解:因为平行四边形BECD,
所以BD∥CE,
所以∠ABO=∠E=50°,
又因为菱形ABCD,
所以AC⊥BD,
即∠AOB=90°,
在Rt△AOB中,
所以∠BAO=90°-∠ABO=40°,
所以∠BAO的大小为40°.
21.(1)证明:∵点D,E分别是边BC,AB的中点,
∴DE∥AC,AC=2DE,
∵EF=2DE,
∴EF∥AC,EF=AC,
∴四边形ACEF是平行四边形,
∴AF=CE.
(2)解:当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形;理由如下:
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,AC=AB=AE,
∴△AEC是等边三角形,
∴AC=CE,
又∵四边形ACEF是平行四边形,
∴四边形ACEF是菱形.
22.(1)证明:因为四边形ABCD为矩形,沿MN翻折后,A,C重合,
所以AO=CO,AD∥BC,

所以∠1=∠2,
在△AON和△COM中,

所以△AON≌△COM(ASA).
(2)解:连接AM,
因为四边形ABCD是矩形,
AB=6,BC=8,
所以∠B=90°,
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC===10,
由对折知,MN垂直平分AC,
所以∠COM=90°,CO=AO=AC=×10=5,CM=AM,
设BM=x,则AM=CM=BC-BM=8-x,
在Rt△ABM中,由勾股定理,得AM2-BM2=AB2,
即(8-x)2-x2=62,
解得x=,
所以BM=,CM=8-=,
在Rt△COM中,由勾股定理,得
OM=
所以线段OM的长度为.
23.(1)证明∵PC平分∠ACB,
PD⊥CA,PE⊥CB,
∴PD=PE.
∴Rt△PCD≌Rt△PCE,
∴CD=CE.
在△DMC和△EMC中,

∴△DCM≌△ECM,
∴DM=EM.
(2)解:当点M运动到线段CP的中点时,四边形PDME为菱形.
理由如下:
∵M为PC的中点,PD⊥CA,
∴DM=PC,
在直角三角形PDC中.
∵∠ACB=60°,
∴∠PCD=30°,
∴PD=PC,
∴DM=PD.
由(1)得DM=EM,PD=PE,
∴PD=PE=EM=DM,
∴四边形PDME为菱形.
24.(1)证明:因为E,F分别是AD,BD的中点,G,H分别是BC,AC的
中点,
所以EF∥AB,EF=AB,
GH∥AB,GH=AB,
所以EF∥GH,EF=GH,
所以四边形EFGH是平行四边形.
(2)解:当AB=CD时,四边形EFGH是菱形,
理由:因为E,F分别是AD,BD的中点,H,G分别是AC,BC的中点,G,F分别是BC,BD的中点,E,H分别是AD,AC的中点,
所以EF=AB,HG=AB,FG=CD,EH=CD,
又因为AB=CD,
所以EF=FG=GH=EH,
所以四边形EFGH是菱形.
25.(1)证明:因为E是AD的中点,所以AE=ED,
因为AF∥BC,
所以∠AFE=∠DBE,
∠FAE=∠BDE,
在△AFE和△DBE中,

所以△AFE≌△DBE(AAS),
所以AF=BD,
因为AD是BC边中线,
所以CD=BD,
所以AF=CD.
(2)解:四边形ADCF的形状是菱形.
证明:因为AF=DC,AF∥BC,
所以四边形ADCF是平行四边形,
因为AB⊥AC,所以∠CAB=90°,
因为AD为中线,所以AD=DC=BD=BC,
所以平行四边形ADCF是菱形.
(3)解:AB=AC.
26.解:(1)作图如图(a)所示,
因为△ABD和△ACE都是等边三角形,
所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,
因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,
∠BAE=∠BAC+∠CAE,
所以∠DAC=∠BAE.
在△DAC和△BAE中,

所以△DAC≌△BAE(SAS),所以BE=CD.
(2)BE=CD.

理由:因为四边形ABFD和ACGE是正方形,
所以AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=90°,
因为∠DAC=∠DAB+∠BAC,∠BAE=∠BAC+∠CAE,
所以∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,

所以△DAC≌△BAE(SAS),
所以BE=CD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,以边AB为直角边向
△ABC外作等腰直角三角形ABD,如图(b)所示.
则∠BAD=90°,AD=AB,∠ABD=45°.
在Rt△ABD中,AD=AB=100米,
由勾股定理得,BD==100米.
因为∠ABC=45°,
所以∠DBC=∠DBA+∠ABC=45°+45°=90°,
则△DBC为直角三角形.
在Rt△DBC中,BC=100米,由勾股定理得,DC==100米.
由(1)可知,BE=DC=100米.
所以BE的长为100米.

第十九章 一次函数

19.1函数与变量
例2、答案：(1)和(3)不是函数关系，(2)是函数关系。
练习：答案：(1)(2)(4)是，(3)(5)(6)不是。
例3、 答案：D 练习：C 例4：D；
例5- 练习：(1)x取任意实数(2)x取任意实数(3)(4)(5)
(6)
例7、答案：(1)；(2)；
例8、B
练习：1、B 2、A 3、C 4、D
例9-练习：1、C 2、A
例10、令x=0，则y=1；
令y=0,则−2x+1=0,解得：x=.
故函数y=−2x+1的图象过点(0,1),(,0).
找出点(0,1),(,0)，过该两点作直线即可，如图所示。

巩固练习
一、选择题
1-5、CCCBB 6-10、BAAAC 11-12、BD
13、(1) 100 (2) 甲 (3) 8
14、(1) (2)BC边上的高；底边BC的长和△ABC的面积 (3) 36；9
15、(1) (2)x=-4,y=2；x=-2,y=-2 (3)y=0,x=-3，-1，4；y=4，x=1.5
(4)时，y的值最大为4；时，y的值最小为-2
(5)当时，y随x的增大而增大；当或时，y随x的增大而减小.
16、
17、(1) ，如图

(2)再过2天,即n=6+2=8时，h=12+0.5×8=16(m)，再过2天水位高度将达到16米.
19.2正比例函数
例1.A 练习：1.A 2.C 例2.y=-6x 练习1.-1 2.m=2 3.k=1 4.B
例3. 练习：1. 2.0 3.
例4.-3 二、四
练习：1. 4 一 三 2.D 3.C 4.k>2 5.C 6.D 7.A
例5.B 练习：a 2. 3. 4.D 5.> 6.A 例9.D 练习：1.D 2.(1)k=9 (2)k=10 (3)k3
例10. 练习：1. 2. 3. 4.
例11-练习：1.(1) (2)2.25 2.9 3.(2,0)(0，-4) 4
课后巩固
一、填空题
1.(3，0)(0,6) 9 2、1 3.(1)4 2 (2)-2 4 (3)-6 -13 4. 2 5. 6. 7. 8.< 9.> > < < < > 10.二 11.(10,0)(0，-5)
12.(1)m400，
则当月生产量大于400件时，选择方案一所获得利润较大；
则当月生产量等于400件时，两种方案所获得利润一样大；
则当月生产量小于400件时，选择方案二所获得利润较大。
练习：(1)，
(2)分为三种情况：
若，则，
解得：。
当时，选择优惠方法①、②均可。
若，即。
当且为整数时，选择优惠方法②。
若，即，
当，且为整数时，选择优惠方法①。
(3)最佳购买方案是：用优惠方法①购买4个书包，获赠4支水性笔；再用优惠方法②购买8支水性笔。
课后巩固
1.(1)每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元。(2)求函数关系式为：y= (3)小明家5月份水费70元。
2.(1)2cm (2) (3)10个
3.(1) (2)(3)个体车主
4.(1)由图象可知，A. B两地的距离是300千米，甲车出发1.5小时到达C地；
(2)

(3)即乙车出发小时或3小时，两车相距150千米。
5.(1)3，31 (2)加油前油箱剩油量y与行驶时间t的函数关系式是.
(3)由图可知汽车每小时用油(50−14)÷3=12(升)，
所以汽车要准备油210÷70×12=36(升)，因为45升>36升，所以油箱中的油够用.
6.(1)符合题意的生产方案有两种：
①生产A种产品25件，B种产品15件；
②生产A种产品26件，B种产品14件。
(2)一件A种产品的材料价钱是：7×50+4×40=510(元)，
一件B种产品的材料价钱是：3×50+10×40=550(元)，
方案①的总价钱是：25×510+15×550=21000(元)，
方案②的总价钱是：26×510+14×550=20960(元)，
由此可知：方案②的总价钱比方案①的总价钱少，所以方案②较优。
即生产A种产品26件，B种产品14件较优。
7.(1)加工方案有三种：
①加工一般糕点24盒、精制糕点26盒；
②加工一般糕点25盒、精制糕点25盒；
③加工一般糕点26盒、精制糕点24盒。
(2)按方案③加工利润最大，最大利润为24×1.5+26×2=88(元).
8.(1)x取整数有：甲3 乙3，甲4 乙3，甲5 乙1，共有三种方案。
(2)租车方案及其运费计算如下表。
方案
甲种车
乙种车
运费(元)
一
3
3
1000×3+700×3=5100
二
4
2
1000×4+700×2=5400
三
5
1
1000×5+700×1=5700
答：共有三种租车方案，其中第一种方案最佳，运费是5100元。
9.(1)三种生产方案：
方案一：生产A种产品30件，生产B种产品20件；
方案二：生产A种产品31件，生产B种产品19件；
方案三：生产A种产品32件，生产B种产品18件；
(2)设生产A种产品x件,则生产B种产品(50−x)件，由题意，得

由一次函数的性质知，y随x的增大而减小。
因此，当x=30时，y取最大值，且ymax=45000.
10.(1)
该单位这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有33户．
11.(1).
(2)根据题意，得：y⩾2x，
∴150−x⩾2x，解得：x⩽50，
又∵x⩾0，150−x⩾0，
∴0⩽x⩽50，
∴p=600x+1000(150−x)，
=−400x+150000.
又∵p随x的增大而减小，并且0⩽x⩽50，
∴−400×50+150000⩽p⩽−400×0+150000，即130000⩽p⩽150000.
12.(1)根据题意得；
(2)设实际医疗费为x元，根据题意得
2600=x−y=x−(0.7x−350)=0.3x+350，
解得x=7500.
答：若自付医疗费2600元，则实际医疗费为7500元；
(3)设实际医疗费为y元，根据题意得
4100⩽y−(10000−500)×70%−(y−10000)×80%.
解得y⩾13750.
答：若自付医疗费4100元，则实际医疗费至少为13750元。

第二十章 数据的分析
20.1数据的集中趋势
例1、 小关：78.65分 小兵：78.9分 例2. =597.5小时
练习1、 =86.9 =87.5 乙被录取 2、答案 ：165.5
例3、(1)中位数210件、众数210件 (2)不合理。因为15人中有13人的销售额达不到320件(320虽是原始数据的平均数，却不能反映营销人员的一般水平)，销售额定为210件合适，因为它既是中位数又是众数，是大部分人能达到的额定。
例4、(1)1.2匹 (2)通过观察可知1.2匹的销售最大，所以要多进1.2匹，由于资金有限就要少进规格为2匹空调。
练习：1. 众数90 中位数 85 平均数 84.6
2.(1)15，15，15；平均数、中位数或众数(2).16；5；4、5、6，众数、中位数
例5、解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，
乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，
丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，
∴ 候选人丙将被录用．
(2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，
乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，
丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，
∴ 候选人甲将被录用．
练习：解：小王平时测试的平均成绩(分)．
所以(分)．
答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．
例6-练习：解：(1) ＝50－15－20－5＝10．
(2)众数是15．
平均数为×(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．
课后巩固
1. 2. 3. 53人
4. 约3.33万元 5. 约35.5岁 6. 65.4分贝 7、9，8； 8. 22； 9.B； 10.C；
11.(1)15. (2)约97天 12.(1)约2091 、1500、1500(2)3288、1500、1500
(3)中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平。
13.(1)3.2 (2)2.1 (3)中位数
20.2数据的波动程度
例1、6 例2、1.(1)甲、乙两种农作物的苗平均高度相同，均为10cm ；
(2) ，，甲整齐.
练习：1、段巍的成绩比金志强的成绩要稳定。
答案： 2. ＞、乙；3. =1.5、=1.65、＝1. 5、＝0.65，乙机床性能好
4. ＝10.9、S＝0.02；
＝10.9、S＝0.01
选择小兵参加比赛。
例2、解：(1)由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30，
则＝30－7－7－5－7＝4， 30÷5＝6，
故答案为：4，6；
(2)如图所示：
；
(3)①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，
故答案为：乙；

由于＜，所以上述判断正确．
②因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
练习：
解：(分)，
(分)．
甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分．
(2)由(1)知分，所以
，
．
①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同；
②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲；
③从方差来看，因为，，所以甲的成绩较稳定；
④从数据特点看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些；
⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力．
综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得成绩．
例3-练习：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均数是3×2-2=4；
∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为13，
∴数据3x1，3x2，3x3，3x4，3x5的方差是13×32=3，
∴数据3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的方差是3。
例4、A组极差：10 B组极差：10 ， 练习：1.D 2.5 3.-5 4.-2或4
课后巩固
一、 选择
1．【答案】A
【解析】10名学生的体育成绩中50分出现的次数最多，众数为50；
第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：49+492 =49；
平均数=46+2×47+48+2×49+4×5010=48.6，
方差= 110 [(46-48.6)2+2×(47-48.6)2+(48-48.6)2+2×(49-48.6)2+4×(50-48.6)2]≠50；
∴选项A正确，B、C、D错误；
故选：A。
2．【答案】D
【解析】由图可知丁射击10次的成绩为：8、8、9、7、8、8、9、7、8、8，
则丁的成绩的平均数为：110×(8+8+9+7+8+8+9+7+8+8)=8，
丁的成绩的方差为：(-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-9)2+(8-7)2+(8-8)2+(8-8)2]=0.4，
∵丁的成绩的方差最小，
∴丁的成绩最稳定，
∴参赛选手应选丁，
故选：D。
3．【答案】B
【解析】∵乙的10次射击成绩不都一样，
∴a≠0，
∵乙是成绩最稳定的选手，
∴乙的方差最小，
∴a的值可能是0.020，
故选：B。
4．【答案】B
【解析】甲同学四次数学测试成绩的平均数是14(87+95+85+93)=90，A错误；
甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分，B正确；
乙同学四次数学测试成绩的众数是80分和90分，C错误；
∵
∴甲同学四次数学测试成绩较稳定，D错误，
故选：B。
二、解答题
5．(1)x甲= 110(7+8+6+8+6+5+9+10+4+7)=7；
=[(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(4-7)2+(7-7)2]=3；
x乙=110(9+5+7+8+6+8+7+6+7+7)=7；
= 110 [(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=1.2；
∴因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，
∴乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛。
6．(1)甲的平均数= 110(585+596+…+601)=601.6，
乙的平均数= 110(613+618+…+624)=599.3；
(2)甲的极差为：613-585=28；
乙的极差为：624-574=50；= 110 [(585-600)2+(596-600)2+…+(601-600)2]=65.84，
= 110 [(613-600)2+(618-600)2+…+(624-600)2]=284.21。
(3)甲的成绩较稳定，乙的最好成绩好。
(4)若只想夺冠，选甲参加比赛；若要打破记录，应选乙参加比赛。
7．(1)甲种电子钟走时误差的平均数是15(1-3-4+4+2)=0，
乙种电子钟走时误差的平均数是：15(4-3-1+2-2)=0．
(2)=15 [(1-0)2+(-3-0)2+…+(2-0)2]= 15×46=9.2，
= 15 [(4-0)2+(-3-0)2+…+(-2-0)2]= 15×34=6.8，
∴甲乙两种电子钟走时误差的方差分别是9.2s2和6.8s2；
(3)因为乙的方差小于甲的方差，所以乙更稳定，故买乙种电子钟
8．(1)x学生奶=3，x酸牛奶=80，x原味奶=40，金键酸牛奶销量高；
(2)金键学生奶的方差=12.57；金键酸牛奶的方差=91.71；金键原味奶的方差=96.86，金键学生奶销量最稳定；
(3)酸奶进80瓶，原味奶进40瓶，学生奶平时不进或少进，周末进一些．
9．(1)将小勇成绩从小到大依次排列为580，590，596，597，597，630，631，中位数为597cm，
将小明成绩从小到大依次排列为589，596，602，603，604，608，612中位数为603cm，
小明成绩的平均数为：(589+596+602+603+604+608+612)÷7=602cm，
小勇成绩的平均数为：(603+589+602+596+604+612+608)÷7=603cm，
方差为：= 1 7 [(597-603)2+(580-603)2+…+(596-603)2]≈333cm2，
= 1 7 [(603-602)2+(589-602)2+…+(608-60)2]≈49cm2，
(2)从成绩的中位数来看，小明较高成绩的次数比小勇的多；从成绩的平均数来看，小勇成绩的“平均水平”比小明的高，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定；
(3)在跳远专项测试以及之后的6次跳远选拔赛中，小明有5次成绩超过6米，而小勇只有两次超过6米，从成绩的方差来看，小明的成绩比小勇的稳定，选小明更有把握夺冠。
(4)小勇有两次成绩分别为6.30米和6.31米，超过6.15米，而小明没有一次达到6.15米，故选小勇。