初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试学案

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试学案，共14页。学案主要包含了知识点一，知识点二，知识点三，知识点四等内容，欢迎下载使用。
 1.课程目标要求授课内容目标层级1.二次函数区间上的最值理解并掌握2.二次函数与经济利润问题理解3.二次函数与轨迹问题理解4.二次函数与面积问题理解并掌握5.二次函数与函数图象问题理解 2.实时考向本讲内容难度一般，实际问题的最值通常在某一范围取到，区间上的最值可出新定义。经济利润问题常出现在月考解答题中，轨迹问题和面积问题出现频次较少，函数图象问题常结合一次函数来考察，在考试中出现概率较大。此外，二次函数与动点问题的结合，常见于压轴题中。1．定轴定区间对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值）（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值．（2）若，如图②，当，；当，．（3）若，如图③，当，；当，．（4）若，，如图④，当，；当，． 2．动轴或动区间对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小．例1、己知二次函数为常数），在自变量的值满足的情况下，与其对对应的函数值的最小值为10，则的值为　　A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6变式1、已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为3，则的取值范围为（  ）A． B． C． D．例2、已知函数在范围内的最小值为，写出函数关于的函数解析式．   例3、已知函数在区间有最大值，求实数a的值．   例4、若函数在区间上的最小值为2a，最大值为2b．求a、b的值．   例5、（2020青一八下期末）阅读下面材料：对于二次函数，当时，二次函数在何处取得最值？对此，我们可做如下探究：当时，观察图①到图④：(1)由图①可知，当时取最小值，当时取最大值，点离对称轴越近，函数值越小；(2)由图②、图③可知，当时取最小值，点离对称轴越近，函数值越小；(3)由图④可知，当时取最小值，当时取最大值，点离对称轴越近，函数值越小.结论：1.当抛物线开口向上时，抛物线上的点，离对称轴越近，其对应的函数值越小；2.若对称轴在自变量的取值范围内，则二次函数在时取最小值；3.若对称轴不在自变量的取值范围内，则二次函数在离对称轴最近的点处取得最小值.请结合以上结论，解决下列问题：(1)已知二次函数，当时，此时函数的最大值和最小值；(2)已知二次函数数在的范围内有最小值，求出的值；(3)二次函数，当时，，求出此时的，的值.         1.利润=售价-进价（成本）      2.总利润=单件利润×数量3.       4.例6、（2020广益八下期末）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元.市场调查发现，这种双肩包每天的销售量(单位：个)与销售单价(单位：元/个)有如下关系：.设这种双肩包每天的销售利润为元.(1)求与之间的函数关系式；(2)这种双肩包销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得元的销售利润，那么销售单价应定为多少？    变式1、（2020长郡/明德八下期末）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为元/件，每天销售量(件)与销售单价(元)之间存在一次函数关系，如图所示.(1)求与之间的函数关系式；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.     变式2、（2020师梅八下期末）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用元采购型商品的件数是用元采购型商品的件数的倍，一件型商品的进价比一件型商品的进价多元.(1)求一件，型商品的进价分别为多少元？(2)若该欧洲客商购进，型商品共件进行试销，其中型商品的件数不大于型的件数，且不小于件，已知型商品的售价为元/件，型商品的售价为元/件，且全部售出，设购进型商品件，求该客商销售这批商品的利润与之间的函数关系式，并写出的取值范围；(3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，求该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益.      1.建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放到坐标系中。2.从已知和图象中获得求二次函数图象所需条件。3.利用待定系数法求二次函数的解析式。4.运用已求二次函数的解析式解决问题。例7、某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是________   变式1、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；    ②小球运动的时间为6s；③小球抛出3秒时，速度为0；     ④当t＝1.5s时，小球的高度h＝30m．其中正确的是（　　）A．①④ B．①② C．②③④ D．②④例8、 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．①求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；②王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？③经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．        变式1、如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（　　）A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米 一般地，抛物线的顶点就是抛物线的最低（高）点，当时，二次函数有最小（大）值。但二次函数应用于动点产生的图形面积问题时，当自变量的范围中不包含顶点的横坐标时，要根据抛物线的增减规律来确定。 例9、（1） 拟建中的一个温室的平面图如图1所示，如果温室外围是一个矩形，周长为120m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x（cm），种植面积为y（m2）．则y与x的函数关系式为　     　，当x=　  　时，种植面积最大=　   　m2．（2） 如图2，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．①求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；②若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围．                           图1                                       图2    变式1、如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段再围三面篱笆，形成一个矩形花园（院墙长25米）．现有40米长的篱笆．（1）请你设计一种围法（篱笆必须用完），使矩形花园的面积为150米．（2）如何设计可以使得围成的矩形面积最大？最大面积是多少？    例10、在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm／s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm／s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，分别到达B、C两点后就停止移动．①运动第t秒时，△PBQ的面积y(cm²)是多少？②此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．③t为何值时s最小，最小值时多少？   函数图象问题一般为一次函数的图象，做题时可先观察图象，确定两个变量的关系，再并根据题意来确定相应的关系式或最值例11、某制衣企业直销部直销某类服装，价格（元与服装数量（件之间的关系如图所示，现有甲乙两个服装店，计划在“五一”前到该直销部购买此类服装，两服装店所需服装总数为120件，乙服装店所需数量不超过50件，设甲服装店购买件，如果甲、乙两服装店分别到该直销部购买服装，两服装店需付款总和为元．①求关于的函数关系式，并写出的取值范围．②若甲服装店购买不超过100件，请说明甲、乙两服装店联合购买比分别购买最多可节约多少钱？    变式1、小王从同事小李手中接收一批生产任务，派单方要求必须在15天内完成，届时承以每件60元的价格全部回收，小王在接受任务之后，其生产的任务（件与生产的天数（天关系如图1所示，其中在生产6天之后，每天的生产数量达到了30件．（1）求与之间的函数表达式；（2）设第天生产的产品成本为元件，与的函数图象如图2所示，若小王第天的利润为元，求与的关系式，并求出第几天后小王的利润可达到最大值，最大值为多少？   1、（2020南雅八下期末）今年在全球大疫情的影响下，人们更加关注身边的空气质量.某电商代理销售、两种型号的智能空气净化器，已知每台型智能空气净化器比每台型智能空气净化器的售价高元；台型的智能空气净化器的售价与台型的智能空气净化器的售价相等.(1)求、两种智能空气净化器每台的售价分别多少元？(2)若卖出、两种智能空气净化器的每台利润分别为元与元，七月份前平均每周可以分别卖出、型号智能空气净化器台与台；进入七月份后，开始降价促销，、两种型号的智能空气净化器都是每降价元平均每周可多卖台；问该电商要得到最大利润，问每台智能空气净化器应降价多少元最大利润多少元？       2、某小区想借助如图所示的直角墙角（两足够长），用32米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆AB、BC两边），设AB＝x米．（1）若花园的面积为192平方米，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是18米和8米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．     3、如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h，已知球网与O点的水平距离为9m，球网高度为2.43m，球场另一边的底线距O点的水平距离为18m．（1）当h＝2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出底线？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，且刚好落在底线上，求h的值．     4、在等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，，动点P从点C出发沿C求D方向向终点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动。（1）求AD的长；（2）设CP=，问当为何值时，的面积达到最大？求出最大值。      5、圣诞节来临，利华精品玩具店以每个60元的价格购进某种玩具，决定每个玩具不得低于80元出售．玩具的销售单价m（元/个）与每天的销售数量n（个）之间的函数关系如图所示．（1）试求表示线段AB的函数的解析式，并求出当销售数量n＝20时单价m的值；（2）写出该店当每天销售n（30≥n≥10）个时，所获得利润w（元）与n（个）之间的函数关系式；（3）店长李虎经过一段时间的销售发现，每天卖27个赚的钱反而比每天卖30个赚的钱多，如果不采用直接求值的方式，你能用所学的数学知识解释这一现象吗？   6、某网店正在热销一款电子产品，其成本为10元/件，销售中发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在如图所示的关系：（1）请求出y与x之间的函数关系式；（2）该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元；（3）由于武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出300元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于450元，如何确定该款电子产品的销售单价？   7、疫情期间，某公司以3万元/吨的价格向养殖户收购海产后，分拣成A，B两类．A类海产包装后直接销售，B类海产深加工后再销售．A类海产的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）（单位：吨）之间的函数关系图所示；B类海产深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系式s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．提示：毛利润＝销售收入﹣营业总成本．（1）求该公司A类海产的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）（单位：吨）之间的函数关系式；（2）该公司准备投入112万元，试设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润是多少？ 8、已知函数在上有最大值2，求a的值． 温馨提示：可按对称轴进行讨论：