人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试学案

1.课程目标要求

2.实时考向

本讲内容是一次函数的延续，题目一般比较简单。但对于二次函数的平移，需要学生能充分的理解并掌握，因为一般二次函数的平移若出题较隐蔽，则会成为本章考试的难题之一。

1．二次函数图象与系数的关系

（1）a决定抛物线的开口方向

当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．反之亦然．

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异”

当时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧．

（3）的大小决定抛物线与y轴交点的位置

当时，抛物线与y轴的交点为原点；当时，交点在y轴的正半轴；当时，交点在y轴的负半轴．

2．二次函数的图象信息

（1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性．

（2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性．

（3）根据抛物线与y轴的交点，判断c的正负性．

（4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性．

（5）根据抛物线的对称轴可得与的大小关系，可得的正负性．

（6）根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a，b，c的等式．

（7）根据抛物线的顶点，判断的大小．

例1、（2020郡维八下期中）下列命题：①若，则；②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；④若，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是或.其中正确的是(   )

A.只有①②③   B.只有①③④   C.只有①④   D.只有②③④

例2、（2020长郡八下期末）二次函数的图象如右图所示，则下列结论正确的是(   )

A.

B.

C. 

D.

变式1、（2020师博八下期末）已知抛物线与轴最多有一个交点.现有以下四个结论：

①该抛物线的对称轴在轴左侧； ②关于的方程无实数根；

③；  ④的最小值为.

其中，正确结论的序号是________.(只填序号)

例3、（2020师梅八下期末）.二次函数的图象如图1所示，有下列结论：

①；②若为任意实数，则；③；④；⑤若，且，则.其中，正确结论的个数为(   )

A.     B.      C.     D.

                  图1                 图2                     图3

变式1、（2020郡维八下期中）已知二次函数的图象如图2所示，它与轴的两个交点分别为，.对于下列命题：①；②；③；④.其中正确的有(   )

1.     个        B.个              C.个    D.个

变式2、如图3，函数的图象过点和，请思考下列判断：

①；②；③；④；⑤正确的是　　

A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤

【随堂练习】

1.平移步骤：

⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；

⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2.平移规律：

函数的平移可概括成八个字“左加右减，上加下减”．

3.二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达．

（1）关于x轴对称

关于x轴对称后，得到的解析式是．

关于x轴对称后，得到的解析式是．

（2）关于轴对称

关于y轴对称后，得到的解析式是．

关于y轴对称后，得到的解析式是．

（3）关于原点对称

关于原点对称后，得到的解析式是．

关于原点对称后，得到的解析式是．

（4）关于顶点对称

关于顶点对称后，得到的解析式是．

关于顶点对称后，得到的解析式是

（5）关于点对称

关于点对称后，得到的解析式是

3．二次函数图象的翻折

函数的图象可以由函数通过关于x轴的翻折变换得到．

具体规则为函数图象在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分翻折到x轴上方．

例4、（2020青一八下期末）将二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后的得到图象函数表达式是________.

变式1、（2020明德八下期末）抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的(   )

A.先向右平移个单位，再向上平移个单位    B.先向左平移个单位，再向下平移个单位

C.先向右平移个单位，再向下平移个单位    D.先向左平移个单位，再向上平移个单位

变式2、（2020长培八下期中）若将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的抛物线所对应的函数解析式为____________.

变式3、（2020师梅八下期末）将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线的表达式为(   )

A. B.    C.  D.

变式4、在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（　　）

A．向左平移2个单位  B．向右平移2个单位 C．向左平移4个单位  D．向右平移4个单位

例5、把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点和原点，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为___________

例6、（2020明德八下期末）如图，已知抛物线经过，两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)将直线向下平移个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点，求的值.

例7、已知二次函数，求：

（1）与此二次函数关于x轴对称的二次函数解析式；

（2）与此二次函数关于y轴对称的二次函数解析式；

（3）与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为．

变式1、已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线．若两条抛物线C、关于直线x＝1对称．则下列平移方法中，正确的是（   ）．

A．将抛物线C向右平移个单位    B．将抛物线C向右平移3个单位

C．将抛的线C向右平移5个单位    D．将抛物线C向右平移6个单位

变式2、在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则符合条件的，的值为　　

A．， B．， C．， D．，

变式3、在平面直角坐标系中，先将抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，则经两次变换后所得的新抛物线的解析式为________．

例8、已知二次函数的图象是．

（1）求关于点中心对称的图象的解析式；

（2）设曲线、与y轴的交点分别为A，B，当时，求a的值．

例9、将抛物线绕其对称轴上一点旋转，得到一个新抛物线，若、两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则点坐标为　　

A． B． C． D．

例10、（2020广益八下期末）如图，一段抛物线为，与轴交于，两点，顶点为；将绕点旋转得到，顶点为；与组成一个新的图象，垂直于轴的直线与新图象交于点，，与线段交于点，设，，均为正数，，则的取值范围是(   )

A.        

B.

C.        

D.

例11、（2020长郡八下期末）已知二次函数，截取该函数图象在间的部分记为图象，设经过点且平行于轴的直线为，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，图象在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象，若函数的最大值与最小值的差不大于，则的取值范围是(   )

A.  B.    C.  D.或

例12、已知关于x的一元二次方程有实数根，k为正整数．

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

1、已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点,用待定系数法能求出抛物线解析式的为（　　）

A．E，F      B．E，G       C．E，H      D．F，G

2、如图1所示，已知抛物线y＝的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为 (   )

      A.(2，3)     

B.(3，2)  

  C.(3，3)    

D.(4，3)

3、若二次函数的x与y的部分对应值如下表：

则当x＝1时，y的值为 (    )

A．5       B．-3       C．-13      D．-27

4、（2020长郡八下期末）把抛物线向上平移个单位，再向右平移个单位，则平移后抛物线的解析式为(   )

A. B.   C.   D.

5、（2020广益八下期中）将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，将得到的抛物线为(   )

A.  B.  C.   D.

6、在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移1个单位长度，然后绕原点旋转得到抛物线．则原抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

7、（2020明德八下期末）已知二次函数经过点和点，交轴于，两点，交轴于，则：

①；

②无论取何值，此二次函数图象与轴必有两个交点，函数图象截轴所得的线段长度必大于；

③当函数在时，随的增大而增大；

④若，则.

以上说法正确的有(   )

A.个    B.个    C.个    D.个

8、（2020广益八下期末）如图1，抛物线经过点，与轴交于，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中中：①；②方程的解为和；③；④，其中正确的结论有(   )

A.个         B.个

C.个         D.个

                   图1                                      图2

9、（2020南雅八下期末）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，抛物线与轴的交点在，之间(包含端点)，则下列结论：①；②对于任意实，总成立；③关于的方程有两个相等的实数根；④，其中结论正确的个数有(   )

A.个    B.个    C.个    D.个

10、如图3所示，已知二次函数的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为________．

图3         图4                     图5

11、在如图4所示的直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，-2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．

（1）点C的坐标为          ；

（2）若抛物线经过点C，则抛物线的解析式为                  

12、如图5，在平面直角坐标中，抛物线的顶点为，且过点：

①将抛物线向右平移2个单位得抛物线，则抛物线的解析式_____________；

②写出阴影部分的面积_____________．

13、（2021明德九上期末改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴相交于两点,顶点为D,其中，，设点是轴的正半轴上一点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线。

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)若抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，求的取值范围；