最新小升初数学讲通练透 【小升初提高版】第15讲 圆的认识、周长与面积
展开备考小升初数学的四大复习攻略
小升初数学考试有以下几个特点:时间短,题目多,计算量大,考得很灵活。在备考时,必须要严格按照以下四步给孩子进行辅导:夯实基础;提高拓展;精做精练;查漏补缺。
1、夯实基础。基础知识是整个数学知识体系中最根本的基石。
2、提高拓展。涉及的有关知识点要进行过关、强化训练,做到知识点之间能够融会贯通。
3、精做精练。精选几套模拟试题,其中包括历年联考试题。
4、查漏补缺。订正比做题更重要,对比错解和订正后的正确过程,就能发现错误的原因。
提高版(通用)
小升初数学讲通练透讲义
第15讲 圆的认识、周长与面积
知识点一:圆的认识
1.在同圆或等圆中,所有的直径都相等,所有的半径都相等。
2.圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴,圆的对称轴就是直径所在的直线。
知识点二:圆的周长和面积
1.圆的周长
(1)圆周率:圆的周长与直径的比值叫作圆周率。圆周率用希腊字母“π”表示,它是一个无限不循环 小数。经过精密计算:π=3.1415926…在小学数学中,我们常常取圆周率的近似值3.14
(2)圆的周长=圆周率×直径或圆周率×半径×2 用字母表示为:C=πd或2πr
2.圆的面积:把一个圆平均分成若干份,剪开后拼成一个近似的平行四边形,如果分的份数越多,拼成的图形越接近长方形,这个近似长方形的长等于圆周长的一半,宽等于圆的半径 ,由此圆的面积S=πr2
3.圆环的面积
(1)同一个圆心的两个半径不相等的圆,它们之间的部分叫作 圆环
(2)面积公式: S=πR2-πr2
知识点三:组合图形的面积
1.求组合图形面积的方法。
(1)分割法:把阴影部分分割成几个基本图形,利用求几个基本图形面积的 和 求出阴影部分的面积。
(2)添补法:在阴影部分上添补一个基本图形,使其变成另一个基本图形,计算出这个基本图形的面积后 减去 补上的基本图形的面积,从而求出阴影部分的面积。
一、精挑细选(共5题;每题2分,共10分)
1.在一个正方形内画一个最大的圆,这个圆的面积是正方形面积的( )。
A. B. C. D.
2.(2021六上·英德期末)一个圆环,环宽是5cm,则大圆的周长比小圆的周长长( )cm。
A.5 B.10 C.15.7 D.31.4
3.(2021六上·南郑期末)一根绳子长6.28米,把它围成以下几个不同的图形(接口不计),( )的面积最大。
A.正方形 B.长方形 C.圆 D.半圆
4.在一个长1.25米,宽0.8米的长方形里,最多能剪( )个半径为20厘米的圆。
A.5 B.7 C.6 D.24
5.(2021六上·惠阳期中)一块长方形铁板,长10分米,宽8分米,在这块铁板中裁下一个最大的圆,这个圆的面积是( )平方分米。
A.50.24 B.45.76 C.96
二、判断正误(共5题;每题2分,共10分)
6.(2021六上·红塔期末)用同样长的铁丝分别围成正方形和圆,正方形的面积更大。( )
7.(2021·苏州)用4个圆心角都是90°的扇形,一定可以拼成一个圆。( )
8.(2020六上·合山期末)当一个圆的半径是2厘米时,它的周长和面积相等。( )
9.(2021六上·定州期中)用三根同样长的铁丝分别围成一个长方形、一个正方形和一个圆形,所围成的这三个图形的面积中,圆的面积最大。( )
10.一个圆的周长是9.42米,剪成两个半圆后每个半圆的周长是4.71米.( )
三、仔细想,认真填(共7题;每空1分,共10分)
11.(2021六上·澄江期末)在圆的面积公式推导中,通过切开和拼拢把圆转化成长方形,圆的周长的一半相当于长方形的 ,圆的 相当于长方形的宽。
12.(2021六上·天河期末)如图,已知线段OA是圆的半径,那么线段BC的长度是 厘米。
13.(2021六上·九台期末)在一个长8厘米、宽4厘米的长方形中画一个最大的圆,这个圆的面积是 平方厘米。
14.(2021六上·泾阳期中)如图,其中一个圆的直径是 厘米,长方形的长是 厘米。
15.(2021六上·通榆期末)在标准400m跑道上,参加200m跑,每条跑道宽1.25m,相邻跑道中两人之间的起跑位置大约相差 m。(π取3.14)
16.东方广场有一个圆形喷泉,周长是37.68m,面积是 m2,现围着这个喷泉外围修一条宽2m的环形小路,小路的面积是 m2。
17.(2021六上·定州期中)把一个圆平均分成若干份后,拼成的一个近似长方形,长方形的长是12.56厘米,这个圆的面积是 平方厘米。
四、巧妙作图(共2题;共14分)
18.(5分)先画一个直径是4厘米的圆,然后在圆中画一个圆心角是125°的扇形。
19.(9分)(2021六上·澄江期末)动手画一画。
(1)(4分)请画一个半径1厘米的圆,再在圆中画个圆心角为45度的扇形。
(2)(5分)请画出下面所给图形的所有对称轴。
五、计算能手(共1题;共4分)
20.(4分)(2020六上·兴义期末)求下图中阴影部分的面积。
六、解答问题(共11题;共52分)
21.(4分)(2021六上·通榆期末)一个运动场如下图,求这个运动场的周长和面积。
22.(4分)(2021六上·九台期末)一个圆形蓄水池。它的周长约是31.4米,它的占地面积约是多少?
23.(4分)(2020六上·凉州期末)一个圆形游乐场的周长是62.8米,扩建时,半径增加了1米,面积增加了多少平方米?
24.(4分)(2020六上·永昌期末)一个圆形花坛的周长是18.84米,在花坛的周围有一条宽1米的环形小路,这条小路的面积是多少平方米?
25.(4分)如图,线段AB长20厘米,一只蚂蚁从A到B沿着四个半圆爬行,这只蚂蚁的行程是多少厘米?( 值取3.14)
26.(4分)在下图中,已知正方形的面积是10平方厘米,这个圆的面积是多少平方厘米?
27.(4分)(2020·成都模拟)图中正方形的面积是100平方厘米,内半圆面积是外半圆面积的 ,则阴影部分的面积为多少平方厘米?(结果保留π)
28.(4分)(2021六上·乐昌期末)一个圆形的桌面,直径为80厘米,现在要在桌上安放一块同样大小的玻璃,这块玻璃的面积是多少平方米?如果给这块玻璃镶上钢制边框,边框长多少米?
29.(4分)(2021六上·南郑期末)学校买来三类图书,其中故事书有400本,科技书有360本,文艺书有240本,如果要制成扇形统图,用圆表示买来的三类图书之和,那么表示故事书的扇形占圆面积的百分之几?
30.(12分)(2021六上·龙华期末)如图,两个圆只有一个公共点C,大圆直径AC为50厘米,小圆直径BC为30厘米。甲、乙两只蚂蚁同时从C点出发,甲蚂蚁以每秒0.6厘米的速度顺时针沿着大圆圆周爬行,乙蚂蚁以同样的速度顺时针沿着小圆圆周爬行。(本题圆周率π计算时取3)
(1)(4分)乙蚂蚁第一次爬回到C点时,需要多少秒?
(2)(4分)当乙蚂蚁第一次爬回到C点时,甲蚂蚁是否已经经过A点?
(3)(4分)甲乙两蚂蚊各自沿着圆周不间断地反复爬行,它们是否会在C点相遇?如果相遇,此时甲蚂蚁至少爬了几圈?如果不能相遇,请说明理由。
31.(4分)下面是两个相互咬合的齿轮示意图,大齿轮的半径是2分米,小齿轮的半径是8厘米,如果大齿轮转动200周,小齿轮要转动多少周?
答案教师版
1.【答案】D
【完整解答】解:假设正方形的边长是1
正方形的面积:1×1=1
最大圆的面积:1÷2=
××π
=×π
=π
π÷1
=。
故答案为:D。
【思路引导】这个圆的面积是正方形面积的分率=这个圆的面积÷正方形的面积;其中,正方形的面积=边长×边长,圆的面积=π×半径2。
2.【答案】D
【完整解答】解:3.14×(5+5)=31.4(cm)。
故答案为:D。
【思路引导】环宽是5厘米,说明大圆的直径比小圆的直径多(5+5)厘米,用3.14乘直径的差即可求出大圆的周长比小圆周长长多少厘米。
3.【答案】C
【完整解答】解:圆的面积最大。
故答案为:C。
【思路引导】周长相等时,圆的面积最大。
4.【答案】C
【完整解答】解:1.25米=125厘米
0.8米=80厘米
20×2=40(厘米)
125÷40=3(个)······5(厘米)
80÷40=2(个)
3×2=6(个)。
故答案为:C。
【思路引导】先单位换算,最多能剪圆的个数=(长方形的长÷圆的直径) ×(长方形的宽÷圆的直径);其中,圆的直径=半径×2。
5.【答案】A
【完整解答】解:8÷2=4(分米)
3.14×42
=3.14×16
=50.24(平方分米)
故答案为:A。
【思路引导】这个圆的面积=π×半径2;其中,半径=长方形的宽÷2。
6.【答案】(1)错误
【完整解答】解:用同样长的铁丝分别围成正方形和圆,圆的面积更大。原题说法错误。
故答案为:错误。
【思路引导】周长相等的长方形、正方形和圆,圆的面积是最大的。
7.【答案】(1)错误
【完整解答】解:用4个半径相等且圆心角都是90°的扇形,一定可以拼成一个圆。
故答案为:错误。
【思路引导】圆的半径相等,圆心角是360°,所以用4个半径相等且圆心角都是90°的扇形,一定可以拼成一个圆。
8.【答案】(1)错误
【完整解答】解:当一个圆的半径是2厘米时,它的周长和面积无法进行比较,原题说法错误。
故答案为:错误。
【思路引导】圆的周长=π×圆的半径×2,圆的面积=π×圆的半径的平方,圆的周长表示围成圆的一周的长度,而圆的面积是圆所占的位置的大小,圆的周长单位是cm,圆的面积单位是平方厘米,两者是不同的计量单位,无法进行比较。
9.【答案】(1)正
【完整解答】解:假设铁丝的长是6.28米,设长方形的长是2米,宽是1.14米,则面积:2×1.14=2.28平方米;正方形的面积为:(6.28÷4)×(6.28÷4)=2.4649平方米;圆的面积为:3.14×(6.28÷3.14÷2)2=3.14平方米;因为:3.14>2.4649>2.28,所以圆的面积最大。
故答案为:正确。
【思路引导】设铁丝的长是6.28米,长方形的周长=(长+宽)×2,正方形的周长=正方形的边长×4,长方形的面积=长×宽,正方形的面积=正方形的边长×正方形的边长,可得出长方形的长和宽约接近,面积越大,可设长方形的长是2米,宽是1.14米,计算出长方形的面积,再计算出正方形的面积;圆的周长=π×圆的半径×2计算出圆的半径,再根据圆的面积=π×圆的半径的平方,计算出圆的面积,最后将三者的面积进行比较即可得出答案。
10.【答案】(1)错误
【完整解答】解:9.42÷2+9.42÷3.14
=4.71+3
=10.71(米)
原题计算错误。
故答案为:错误。
【思路引导】每个半圆的周长是所在圆周长的一半加上一条直径的长度,由此计算并判断即可。
11.【答案】长;半径
【完整解答】解:在圆的面积公式推导中,通过切开和拼拢把圆转化成长方形,圆的周长的一半相当于长方形的长,圆的半径相当于长方形的宽。
故答案为:长;半径。
【思路引导】把一个圆平均分成若干份,重新拼接成一个长方形,长方形的长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径。长方形面积=长×宽,长是πr,宽是r,那么面积就是πr2。
12.【答案】5
【完整解答】解:2.5×2=5厘米,所以线段BC的长度是5厘米。
故答案为:5。
【思路引导】从图中可以看出,OA是圆的半径,BC是圆的直径,直径=半径×2。
13.【答案】12.56
【完整解答】解:4÷2=2(厘米)
3.14×2×2=12.56(平方厘米)
故答案为:12.56。
【思路引导】最大的圆的直径是长方形的短边,是4厘米;直径÷2=半径,圆的面积=π×半径的平方。
14.【答案】4;6
【完整解答】解:一个圆的直径=2×2=4(厘米);
长方形的长=4+2=6(厘米)。
故答案为:4;6。
【思路引导】圆的直径=圆的半径×2,本题中一个圆的直径=2×2;长方形的长=一个圆的半径+一个圆的直径,计算即可得出答案。
15.【答案】3.925
【完整解答】解:3.14×(1.25×2)÷2
=3.14×2.5÷2
=7.85÷2
=3.925(m)
故答案为:3.925。
【思路引导】因为是200m跑,因此只需要经过一个弯道,那么相邻两人起跑位置相差的就是弯道处圆周长一半的长度,那么用π乘跑道的宽度的2倍就是相差一个圆的长度,再除以2就是相差圆周长一半的长度,也就是相邻两人起跑相差的长度。
16.【答案】113.04;87.92
【完整解答】解:37.68÷3.14÷2
=12÷2
=6(米)
3.14×62
=3.14×36
=113.04(平方米)
6+2=8(米)
3.14×(82-62)
=3.14×(64-36)
=3.14×28
=87.92(平方米)。
故答案为:113.04;87.92。
【思路引导】圆形喷泉的面积=π×半径2, 其中,半径=周长÷π÷2;小路的面积=π×(R2-r2),其中,R=r+2米。
17.【答案】50.24
【完整解答】解:圆的半径=12.56÷3.14=4(厘米);
圆的面积=3.14×42
=3.14×16
=50.24(平方厘米)。
故答案为:50.24。
【思路引导】把一个圆平均分成若干份后,拼成的一个近似长方形,可得长方形的长=圆周长的一半(π×圆的半径),据此即可计算出圆的半径,再根据圆的面积=π×圆的半径的平方,代入数值计算即可得出答案。
18.【答案】解:如图所示:
【思路引导】半径=直径÷2,以圆规两脚之间的距离为2厘米画一个圆,然后以其中任何一条半径为扇形的一条边,以圆心为扇形的圆心角,用量角器量出125度的角,即在圆中画的圆心角是125°的扇形。
19.【答案】(1)
(2)
【思路引导】(1)先确定圆心,把圆规两脚间的距离确定为1cm,画出一个半径为1厘米的圆。用量角器测量出扇形的圆心角,画出一个圆心角为45度的扇形;
(2)这个图形有3条对称轴,用虚线画出它的3条对称轴即可。
20.【答案】解:3.14×42-3.14×(4÷2)2×2
=50.24-25.12
=25.12(cm2)
【思路引导】从图中可以看出,阴影部分的面积=大圆的面积-空白部分的面积,其中空白部分的四个扇形合起来的面积是2个圆的面积,圆的面积=πr2=π(d÷2)2。
21.【答案】解:周长:
2×3.14×32+100×2
=200.96+200
=400.96(m)
面积:3.14×322+100×32×2
=3215.36+6400
=9615.36(m2)
【思路引导】这个运动场的周长包括2条长100m的直跑道长度,还包括一个半径32m的圆的周长;这个图形的面积是中间长方形面积加上半径32m的圆面积。
22.【答案】解:31.4÷3.14÷2=5(米)
3.14×5×5=78.5(平方米)
答:它的占地面积约是78.5平方米。
【思路引导】圆的周长÷π÷2=圆的半径,π×半径的平方=圆的面积。
23.【答案】解:内圆半径:62.8÷3.14÷2=10(米),外圆半径:10+1=11(米),
面积:3.14×(112-102)
=3.14×(121-100)
=3.14×21
=65.94(平方米)
答:面积增加了65.94米。
【思路引导】用游乐场的周长除以3.14再除以2求出内圆半径,用内圆半径加上1即可求出外圆半径,然后根据圆环面积公式计算面积。S=π(R2-r2)。
24.【答案】解:花坛的半径:18.84÷3.14÷2=3(米)
3+1=4(米)
小路的面积:3.14×(42-32)
=3.14×7
=21.98(平方米)
答:小路的面积是21.98平方米。
【思路引导】小路是一个圆环。用花坛的周长除以3.14再除以2求出花坛半径,用花坛半径加上小路的宽度求出外圆的半径;然后根据圆环面积公式计算小路的面积,圆环面积:S=π(R2-r2)。
25.【答案】解:3.14×20÷2=31.4(厘米)
【完整解答】解:3.14×20÷2=31.4(厘米)
答:这只蚂蚁的行程是31.4厘米。
【思路引导】蚂蚁爬行的是半圆,直径的长度和是20厘米,根据圆周长公式计算出直径是20厘米的圆的周长再除以2就是蚂蚁的行程。
26.【答案】解:设这个圆的半径为r厘米,则直径为2r厘米,
r×2r××2=10
2r2=10
2r2÷2=10÷2
r2=5
圆的面积:3.14×5=15.7(平方厘米)
答:这个圆的面积是15.7平方厘米。
【思路引导】连接正方形的对角线可知,正方形的面积可以转化成两个三角形的面积之和,三角形的底是圆的直径,三角形的高是圆的半径,设这个圆的半径为r厘米,则直径为2r厘米,用三角形的面积×2=正方形的面积,据此列方程求出r2,然后用圆的面积公式:S=πr2,据此列式解答.
27.【答案】解:外圆半径:10÷2=5(厘米);
外圆面积:π×5×5=25π平方厘米);
内圆面积:25π×=6.25π(平方厘米);
圆环面积:25π-6.25π=18.75π(平方厘米);
100-π×10×10÷4=100-25π(平方厘米);
阴影部分的面积:18.75π+100-25π=100-6.25π(平方厘米)。
答:阴影部分的面积为(100-6.25π)平方厘米。
【思路引导】正方形的面积是100平方厘米,正方形的边长是10厘米,即外圆直径是10厘米;
圆环面积=大圆面积-大圆面积×;
下面阴影部分面积=正方形面积-正方形面积÷4;
阴影部分的面积=圆环面积+下面阴影部分面积.
28.【答案】解:80÷2=40(厘米)=0.4(米)
面积:3.14×0.42=0.5024(平方米)
周长:3.14×0.8=2.512(米)
答:这块玻璃的面积是0.5024平方米,边框长2.512米。
【思路引导】直径÷2=半径;圆的面积=π×半径的平方;圆的周长=π×圆的直径。
29.【答案】解:400÷(400+360+240)
=400÷1000
=0.4
=40%
答:故事书的扇形占圆面积的40%。
【思路引导】故事书的本数+科技书的本数+文艺书的本数=总本数;故事书的本数÷总本数×100%=故事书的扇形占圆面积的百分之几。
30.【答案】(1)解:3×30÷0.6
=90÷0.6
=150(秒)
答:需要150秒。
(2)解:3×50÷2
=150÷2
=75(厘米)
75÷0.6=125(秒)
125秒<150秒
答:当乙蚂蚁第一次爬回到C点时,甲蚂蚁已经经过A点。
(3)解:125×2=250(秒)
150和250的最小公倍数是:2×5×5×3×5
=10×5×3×5
=50×3×5
=150×5
=750
750÷250=3(圈)
答:它们会在C点相遇,此时甲蚂蚁至少爬了3圈。
【思路引导】(1)需要的时间=小圆的周长÷乙蚂蚁的速度;其中,小圆的周长=π×直径;
(2)大圆的周长的一半=π×直径÷2,当甲蚂蚁到达A点时所用的时间=大圆的周长的一半÷甲蚂蚁的速度,所用的时间小于150秒,所以当乙蚂蚁第一次爬回到C点时,甲蚂蚁已经经过A点;
(3)乙蚂蚁第一次爬回到C点时,需要150秒,甲蚂蚁第一次爬回到C点时,需要250秒;它们在C点相遇至少爬的圈数=150和250的最小公倍数÷甲蚂蚁的速度,用短除法求出。
31.【答案】解,c=2πr,2分米等于20厘米
既:大齿轮的周长:2×3.14×20=125.69(厘米)
小齿轮的周长为:2×3.14×8=50.24(厘米)
200×125.6=25120(厘米)
25120÷50.24=500(圈)
答:如果大齿轮转动200圈小齿轮将转动500圈。
【思路引导】两个齿轮是咬合的,所以大齿轮转过的长度与小齿轮转过的长度相等, 如果大齿轮转动200周,小齿轮要转动的周数=大齿轮转动200周转动的长度÷小齿轮一周的长度,其中大齿轮转动200周转动的长度=大齿轮的一周的长度×200,大、小齿轮的一周长度=大、小齿轮的半径×2×π;1分米=10厘米。
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