最新小升初数学讲通练透 【小升初提高版】第18讲 圆柱和圆锥的认识、表面积与体积

备考小升初数学的四大复习攻略

小升初数学考试有以下几个特点：时间短，题目多，计算量大，考得很灵活。在备考时，必须要严格按照以下四步给孩子进行辅导：夯实基础；提高拓展；精做精练；查漏补缺。

1、夯实基础。基础知识是整个数学知识体系中最根本的基石。

2、提高拓展。涉及的有关知识点要进行过关、强化训练，做到知识点之间能够融会贯通。

3、精做精练。精选几套模拟试题，其中包括历年联考试题。

4、查漏补缺。订正比做题更重要，对比错解和订正后的正确过程，就能发现错误的原因。

提高版（通用）

小升初数学讲通练透讲义

第18讲 圆柱和圆锥的认识、表面积与体积

知识点一：圆柱与圆锥的认识

1.圆柱的定义:以长方形的一条边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作圆柱。

2.圆锥的定义:以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周,得到的几何体叫作圆锥。

3.圆柱和圆锥的特征:

知识点二：圆柱与圆锥的测量

1.圆柱的侧面积、表面积。

(1)圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示为:S侧=πdh(或2πrh)　

(2)圆柱的表面积=底面积×2+侧面积　,用字母表示为:S= 2πr2+2πrh　　

2.圆柱的体积=底面积×高,用字母表示为:V=πr2h   。 

3.圆锥的体积=×底面积×高,用字母表示为:V=　πr2h　

知识点三：用排水法计算不规则物体的体积

1.体积小的物体可以直接放入有水的长方体或圆柱等规则的容器里,观察水面所处的刻度的变化　体积差　就是物体的体积。 

2.体积大的物体,可以放入装满水的长方体或圆柱等规则的容器里,排出水的　体积　就是物体的体积。

一、精挑细选(共5题；每题2分，共10分)

1．（2021·牡丹）如果一个圆锥体的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的 ，它的体积是原来体积的（　　）。

A．2倍 B． C．不变 D．无法确定

2．（2021·苏州）一个圆柱和一个圆锥底面半径比是3：4，圆柱的高是圆锥的 ，圆柱和圆锥的体积比是（　　）。

A．8：9 B．9：16 C．9：8 D．16：9

3．（2021·龙岗）如图，△ABC是直角三角形，绕BC边旋转一周，得到的圆锥体积是（　　）cm3。

A．12π B．16π C．36π D．48π

4．（2021·苏州）如图，将侧面积是50π平方厘米的圆柱体，切拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加（　　）平方厘米。

A．50 B．42 C．48 D．25

5．（2021·龙湾）一个密封的瓶子里装着一些水，请你根据图中标出的数据，计算瓶中水的体积占瓶子容积的（　　）。

A． B． C． D．

二、判断正误(共5题；每题2分，共10分)

6．一个圆柱的底面直径和高相等，它的侧面展开图一定是正方形。

7．（2021·承德）当圆柱的底面直径与高都是10m时，圆柱的侧面展开图一定是一个正方形。（　　）

8．（2021六下·京山期中）体积相等的两个圆柱，它们一定等底等高。（   ） 

9．（2021六下·陇县期中）底面积相等，高也相等的长方体、正方体和圆柱的体积相等。（　　）

10．（2021六下·昌黎期中）将一个圆柱沿着底面直径平均切成两半，一个半圆柱的表面积是原来圆柱表面积的 。（　　）

三、仔细想，认真填(共8题；每空1分，共11分)

11．（2021·建邺）把一个棱长为6分米的正方体木块切削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是　     　立方分米。

12．（2021·蒙城）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差18立方分米，那么这个圆锥的体积是　     　立方分米，圆柱的体积是　     　立方分米。

13．（2021·临西）把一个底面直径和高都是5cm的圆柱侧面沿下图的虚线剪开，得到一个平行四边形，这个平行四边形的面积是　     　cm2。

14．（2021·大埔）如图，一个沙漏上面的圆锥装满沙子，如果每分钟上面沙漏漏掉31.4立方厘米的沙子到下面的沙漏中，那么上面沙漏的沙子全部漏掉到下面的沙漏中，漏完要　     　分钟。

15．（2021·长春）如图，水深 5 米，那么此容器还能装 　     　 立方米的水（π取 3）．

16．（2021·宝安）如图，把一个底面半径是3厘米，高是18厘米的圆柱体，切拼成一个近似的长方体，长方体的体积是　     　立方厘米，长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了　     　平方厘米。

17．（2021·承德）下图的容器由一个圆柱和一个圆锥组成该容器圆锥部分装满水，水的体积是12.56毫升，如果将这个容器倒过来放置，此时水深　     　厘米；将容器正放，装满这个容器还需要　     　毫升水。

18．（2021六下·良庆期中）如图，下边的木棒底面半径为2dm，高为1m，把它截成2段后，表面积之和比原来增加了　     　dm2。

四、计算能手(共1题；共6分)

19．（6分）求下列图形的体积。（单位：dm）

（1）（3分）

（2）（3分）

五、解答问题(共11题；共63分)

20．（5分）某工厂要生产100节圆柱形铁皮通风管，已知每节通风管的管口半径是0.2米，长是1.4米。生产这批圆柱形通风管，至少需要铁皮多少平方米？（通风管的接口、损耗料忽略不计，得数保留整数）

21．（5分）（2021·商丘）一个圆锥形沙堆，底面积是24平方米，高是1.8米。用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？

22．（5分）有一个近似圆锥形的小麦堆，测得麦堆底面直径4米，高1.5米，如果每立方米小麦重740千克，这堆小麦大约重多少千克？  

23．（5分）（2021·建邺）把一个圆柱底面平均分成若千个扇形，沿高切开拼成一个近似长方体。这个长方体的宽是4厘米，高是20厘米，这个圆柱的体积是多少？

24．（5分）（2018六下·深圳期末）在一个从里面量底面半径4厘米、高18厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个圆锥形铁块，铁块底面半径3厘米、高8厘米。注水将铁块全部淹没，当铁块取出后，水面下降了多少厘米?

25．（5分）一个圆柱形油桶,高是48厘米,底面直径是20厘米,做这个油桶至少要用铁皮多少平方厘米?

26．（13分）超市卖一种圆柱形的罐装饮料，底面直径6厘米，高10厘米。

（1）（4分）在一个圆柱形饮料罐的整个侧面贴上商标，至少需要多少平方厘米的商标纸？（重叠部分不计）

（2）（4分）一个圆柱形饮料罐的容积约是多少？（厚度不计）

（3）（5分）12罐这样的饮料装一箱（如下图）。做一个这样的纸箱，至少要用硬纸板多少平方厘米？（纸箱盖和箱底的重叠部分按600平方厘米计算）

27．（5分）如图所示，一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包含瓶颈），容积是400毫升，现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料的高度为12厘米（饮料不漫过圆柱形瓶身），倒放时，空余部分的高度为6厘米。瓶内有饮料多少毫升？

28．（5分）有一个底面积是40平方厘米、高10厘米的长方体，里面盛有8厘米深的水。现在把一个底面半径是2厘米、高是6厘米的圆锥形铁块浸没到水中，这时水面上升多少厘米？

29．（5分）（2021·合肥）一个底面周长是3.14 分米的圆柱形玻璃杯内盛有一些水，恰好占杯子容量的 。将两个同样大小的鸡蛋放入杯子中，浸没在水里．这时水面上升了 8 厘米，刚好与杯子口相平，求玻璃杯的容积。

30．（5分）在一个棱长是20厘米的正方体密闭容器的下底固定了一个实心圆柱体，容器内盛有m升水，水面恰好没过圆柱体的上底面，如果将容器倒置，那么圆柱体有8厘米露出水面。已知圆柱体的底面积是正方体底面积的 ，实心圆柱体的体积是多少? 

答案教师版

1．【答案】A

【完整解答】解：体积是原来体积的4倍。
故答案为：A。

【思路引导】圆锥的体积=底面积×高×，当底面半径扩大到原来的2倍时，底面积就扩大4倍，高缩小到原来的，那么体积就是原来体积的4倍。

2．【答案】C

【完整解答】解：圆柱的高是圆锥的，所以圆柱的高：圆锥的高=2：3，（32×2）：（42×3）×=9：8，所以圆柱和圆锥的体积比是9：8。
故答案为：C。

【思路引导】圆柱的高是圆锥的，所以圆柱的高：圆锥的高=2：3，所以圆柱的体积：圆锥的体积=（圆柱的底面半径2×圆柱的高占的份数）：（圆锥的底面半径2×圆锥的高占的份数）。

3．【答案】A

【完整解答】解：×32×π×4=12π cm3，所以得到的圆锥体积是12π cm3。
故答案为：A。
【思路引导】得到的圆锥体积=×BC2×π×AB2，据此作答即可。

4．【答案】A

【完整解答】解：设底面半径是r厘米，高是h厘米。
2πr×h=50π
则2rh=50
所以表面积比原来增加50平方厘米。
故答案为：A。
【思路引导】表面积比原来增加的部分是左右两个面的面积，这两个面的一条边是圆柱的底面半径，另一条边是圆柱的高。这样设底面半径是r厘米，高是h厘米，2πr×h表示圆柱的表面积，πr表示左右一个面的面积，2πr就表示增加的左右两个面的面积。

5．【答案】C

【完整解答】解：7-5=2（厘米）
4÷（4＋2）
=4÷6
=
故答案为：C。

【思路引导】水的体积=4厘米高的圆柱的体积，空气的体积=2厘米高的圆柱的体积；瓶中水的体积占瓶子容积的的分率=水的高度÷（水的高度＋空气的高度）。

6．【答案】（1）错误

【完整解答】 一个圆柱的底面周长和高相等，它的侧面展开图一定是正方形，原题说法错误。
故答案为：错误。
【思路引导】此题主要考查了圆柱的侧面展开图，将圆柱的侧面展开有很多种分法，当沿高把一个圆柱的侧面展开时，如果圆柱的底面周长和圆柱的高相等，它的侧面展开图是一个正方形；但如果不是沿高展开，它的侧面展开图就不是一个正方形，据此判断。

7．【答案】（1）错误

【完整解答】解：3.14×10=31.4（米）
31.4米＞10米，圆柱的侧面展开图不是正方形。
故答案为：错误。

【思路引导】圆柱的侧面展开图是一个正方形时，圆柱的底面积周长和高相等，底面周长=π×直径，底面周长＞高，所以不是正方形。

8．【答案】（1）错误

【完整解答】解：体积相等的两个圆柱，它们的底和高不一定相等。
故答案为：错误。

【思路引导】圆柱的体积=底面积×高，体积相等的两个圆柱，它们的底和高不一定相等。

9．【答案】（1）正

【完整解答】解：底面积相等，高也相等的长方体、正方体和圆柱的体积相等，原题干说法正确。
故答案为：正确。

【思路引导】长方体体积=正方体体积=圆柱的体积=底面积×高。

10．【答案】（1）错误

【完整解答】解：将一个圆柱沿着底面直径平均切成两半，一个半圆柱的表面积是原来圆柱表面积的一半加上横截面的面积。
故答案为：错误。

【思路引导】将一个圆柱沿着底面直径平均切成两半，一个半圆柱的表面积=一个底面积＋侧面积的一半＋横截面的面积。

11．【答案】56.52

【完整解答】解：×（6÷2）2×3.14×6=56.52立方分米，所以这个圆锥的体积是56.52立方分米。
故答案为：56.52。

【思路引导】把正方体木块切削成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径=圆锥的高=正方体的棱长，所以圆锥的体积=×（底面直径÷2）×π×h。

12．【答案】9；27

【完整解答】18÷（3-1）=9（立方分米）；
9×3=27（立方分米）。
故答案为：9；27。
【思路引导】圆锥体积=×与圆锥等底等高的圆柱体积，把圆锥的体积看成1份，圆柱的体积就是3份，那么体积差就是2份也就是18立方米，即可用除法得出1份是多少，据此解答。

13．【答案】78.5

【完整解答】解：3.14×5×5=78.5（cm2）
故答案为：78.5。

【思路引导】得到的平行四边形底就是圆柱的底面周长，高就是圆柱的高，因此用圆柱的底面周长乘高即可求出平行四边形的面积。

14．【答案】5

【完整解答】解：3.14×（10÷2）2×6×÷31.4
=3.14×50÷31.4
=157÷31.4
=5（分钟）
故答案为：5。

【思路引导】圆锥的体积=底面积×高×，根据圆锥的体积公式计算出沙子的体积，用沙子的体积除以每分钟掉的沙子体积即可求出漏完需要的时间。

15．【答案】

【完整解答】解：设有水部分底面半径为r，则r：4=5：7，7r=20，所以r=；
3×42×3+3×42×7×-3××5×
=144+112-3××5×
=256-
=（立方米）
故答案为：。
【思路引导】这个圆锥中，水面的高度与圆锥高的比等于水面的底面半径与圆锥底面半径的比，这样先求出有水部分的底面半径。用圆柱的容积加上圆锥的容积，然后减去水的体积就是还能装水的体积。

16．【答案】508.68；108

【完整解答】解：3.14×32×18
=3.14×9×18
=28.16×18
=508.68（立方厘米）
18×3×2
=54×2
=108（平方厘米）
故答案为：508.68；108。
【思路引导】在推导圆柱体积公式时，通过切拼，可以将圆柱拼成一个近似的长方体，近似长方体的底面积等于圆柱的底面积，近似长方体的高等于圆柱的高，所以圆柱的体积=近似长方体的体积=底面积×高；长方体比圆柱体增加的表面积=半径×高×2。

17．【答案】1；50.24

【完整解答】解：12.56÷÷3
=37.68÷3
=12.56（平方厘米）
12.56÷12.56=1（厘米）
12.56×4=50.24（立方厘米）
50.24立方厘米=50.24毫升。
故答案为：1；50.24。
【思路引导】此时水深=圆锥的体积÷底面积=水的体积÷底面积；其中，底面积=圆锥的体积÷ ÷圆锥的高；将容器正放，装满这个容器还需要水的体积=圆柱的容积=底面积×高。

18．【答案】25.12

【完整解答】解：3.14×22×2
=3.14×4×2
=12.56×2
=25.12（dm2）
故答案为：25.12。

【思路引导】把它截成2段后，表面积之和比原来增加了两个横截面的面积；其中，一个横截面的面积=底面积=π×半径2。

19．【答案】（1）πr2h=3.14×82×10=2009.6（dm3）

（2） πr2h=×3.14×（20÷2）2×24=2512（dm3）

【思路引导】根据圆柱的体积公式V=sh=πr2h，圆锥的体积公式V= sh=πr2h，代入数据即可求解。

20．【答案】解：3.14×2×0.2×1.4×100
=6.28×0.2×1.4×100
=1.256×1.4×100
=1.7584×100
≈176（平方米）

答：至少需要铁皮176平方米。

【思路引导】至少需要铁皮的面积=平均每个圆柱形铁皮通风管的侧面积×节数；其中，平均每个圆柱形铁皮通风管的侧面积=π×半径×2×高。

21．【答案】解：24×1.8×÷（7.5×4）
=14.4÷30
=0.48（米）
0.48米=48厘米
答：沙坑里沙子的厚度是48厘米。

【思路引导】沙子的体积是不变的。圆锥的体积=底面积×高×，先计算出沙子的体积，然后用沙子的体积除以沙坑的底面积即可求出沙坑内沙子的厚度。

22．【答案】解：3.14×（4÷2）²×1.5××740
=3.14×4×0.5×740
=3.14×1480
=4647.2（千克）
答：这堆小麦约重4647.2千克。

【思路引导】圆锥的体积=底面积×高×，根据公式计算出小麦的体积，再乘每立方米小麦的重量即可求出总重量。

23．【答案】解：42×3.14×20
=50.24×20
=1004.8（立方厘米）
答：这个圆柱的体积是1004.8立方厘米。

【思路引导】从图中可以看出，长方体的宽=圆柱的底面半径，长方体的高=圆柱的高，那么这个圆柱的体积=πr2h，据此作答即可。

24．【答案】解：×3.14×32×8÷(3.14×42)
=×3.14×32×8÷(3.14×16)
=×3.14×32×8÷50.24
=3.14×3×8÷50.24
=9.42×8÷50.24
=75.36÷50.24
=1.5（厘米）.
答：水面下降了1.5厘米.

【思路引导】根据题意可知，水面下降的体积等于圆锥的体积，先求出圆锥的体积，用公式：V=πr2h，然后再求出圆柱的底面积，用公式：S=πr2，最后用圆锥的体积÷圆柱的底面积=水面下降的高度，据此列式解答.

25．【答案】解：3.14×(20÷2)2×2+3.14×20×48=3642.4(平方厘米)

【完整解答】解：3.14×(20÷2)2×2+3.14×20×48
=3.14×200+3.14×960
=628+3014.4
=3642.4（平方厘米）
答：做这个油桶至少要用铁皮3642.4平方厘米。
【思路引导】圆柱的表面积=底面积×2+侧面积，圆柱的侧面积=底面周长×高，根据公式计算即可。

26．【答案】（1）解： 3.14×6×10
=18.84×10
=188.4（平方厘米）

答：至少需要188.4平方厘米的商标纸。

（2）解： 3.14×（6÷2）2×10
=3.14×9×10
=28.26×10
=282.6（立方厘米）

282.6立方厘米=282.6毫升

答：一个圆柱形饮料罐的容积约是282.6毫升。

（3）解： 6×4=24（厘米）   
6×3=18（厘米）

（24×18+24×10+18×10）×2+600
=（432+240+180）×2+600
=852×2+600
=1704+600
=2304（平方厘米）

答：至少要用硬纸板2304平方厘米。

【思路引导】（1）要求圆柱的侧面积，应用公式：S=πdh，据此列式计算；

（2）要求一个圆柱形饮料罐的容积，应用公式：V=πr2h， 据此列式解答；
（3）要求做一个这样的纸箱，至少要用硬纸板多少平方厘米？ 就是求长方体的表面积，最后加上重叠部分的面积，据此列式解答。

27．【答案】解：400÷（12＋6）×12
=400÷18×12
=×12
=（立方厘米）
立方厘米=毫升
答：瓶内有饮料毫升。

【思路引导】瓶内有饮料的体积=圆柱的底面积×饮料的高度；其中，圆柱的底面积=饮料瓶的容积÷高；然后单位换算。

28．【答案】解： 40×（10-8）
=40×2
=80（立方厘米）

3.14×22×6×
=3.14×4×6×
=12.56×6×
=75.36×
=25.12（立方厘米）

80立方厘米>25.12立方厘米，所以水没有溢出。

 25.12÷40=0.628（厘米）

答：这时水面上升0.628厘米。

【思路引导】这时水面上升的高度=放入圆锥的体积÷长方体的底面积；其中， 放入圆锥的体积=底面积×高×，底面积=π×半径2。

29．【答案】解：杯子高是：8÷（1-）；
=8÷
=8×3
=24（厘米）
3.14分米=31.4厘米
玻璃杯的容积：3.14 ×(31.4 ÷3.14÷ 2)2×24
=3.14×25×24
=3.14×25×24
=1884(立方厘米)
答:玻璃杯子的容积是1884立方厘米。

【思路引导】根据题意，可以先求出圆柱形杯子的高，已知原来杯子里面的水占杯子容量的，即杯中水的高也占杯子高的，将两个同样大小的鸡蛋放入杯子中，浸没在水中。这时水面，上升8厘米，刚好与杯子口相平。把杯子的高看作单位“1”， 8厘米占杯子高的(1-)，由此可以求出杯子的高；再根据圆柱体的体积(容积) 公式，v=sh，列式即可解答。

30．【答案】解：圆柱体底面积=20×20× =50（厘米2）

设实心柱体的高是h厘米

（20X20-50）h=(20X20-50)X(h-8)+20X20X(20-h)

h=13

50×13=650(厘米3)