最新小升初数学讲通练透 【小升初提高版】第19讲 组合图形的认识、表面积与体积

备考小升初数学的四大复习攻略

小升初数学考试有以下几个特点：时间短，题目多，计算量大，考得很灵活。在备考时，必须要严格按照以下四步给孩子进行辅导：夯实基础；提高拓展；精做精练；查漏补缺。

1、夯实基础。基础知识是整个数学知识体系中最根本的基石。

2、提高拓展。涉及的有关知识点要进行过关、强化训练，做到知识点之间能够融会贯通。

3、精做精练。精选几套模拟试题，其中包括历年联考试题。

4、查漏补缺。订正比做题更重要，对比错解和订正后的正确过程，就能发现错误的原因。

提高版（通用）

小升初数学讲通练透讲义

第19讲 组合图形的认识、表面积与体积

小学阶段所学的立体图形主要有长方体、正方体、圆柱体和圆锥体，这四种立体图形的表面积和体积的计算是小升初数学的热点内容，特别是涉及到立体图形的切拼时，立体图形的表面积和体积发生了变化，牢固掌握这些立体图形的特征和有关的计算方法及切拼时表面积和体积的变化规律是解题的关键，本讲将在前面两讲学习的基础上进一步总结整理立体图形切拼时表面积和体积的变化规律。

知识点一：立体图形的表面积和体积计算常用公式：

知识点二：解决立体图形的表面积和体积问题时的注意事项

（1）要充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点.

（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形拼合到一起，减少的表面积等于重合部分面积的两倍。

（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来；若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。

2.解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：

（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积；把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积，这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积.

（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变.

（3）求一些不规则物体体积时，可以通过变形的方法求体积。

（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。

一、精挑细选(共5题；每题2分，共10分)

1．（2021五下·龙湾期末）由8个小正方体拼成的大正方体，拿走了其中一个小正方体（如右下图所示），下列说法中正确的是（　　）。

A．体积、表面积都减少 B．体积减少，表面积不变

C．体积不变，表面积减少 D．体积减少，表面积增加

2．（2021·坪山）如图，将一个圆柱转化成一个长方体。体积（　　）。

A．不变 B．增加 C．减少

3．（2021五下·福田期末）下图是用8个小正方体拼成的，如果拿走上面1个。以下说法，正确的是（　　）。

A．表面积不变，体积不变 B．表面积不变，体积变小

C．表面积变大，体积变小 D．表面积变小，体积变小

4．（2021五下·牡丹期末）用棱长1cm的小正方体拼成如下的大正方体后，把它们的表面积涂上颜色。三面、两面、一面涂色的分别为（　　）个。

A．6、8、12 B．8、12、6 C．12、6、8 D．8、6、12

5．（2021六下·陇县期中）如图，在一个底面半径是6cm的圆柱形容器中，放入一个底面半径2cm的圆锥形物体（完全浸没），水面上升了4m（水没有溢出），圆锥形物体的体积是多少？下面列式正确的是（　　）。 

A．3.14×22×4 B．3.14×62×4

C．314×62×4×  D．3.14×22×4×

二、判断正误(共5题；每题2分，共10分)

6．（2021五下·沈阳月考）由8个小正方体组成的大正方体上拿走任意一个小正方体，表面积不变。（　　）

7．（2020五下·海珠期末）把一块不规则的橡皮泥捏成长方体形状（均为实心），橡皮泥的形状和体积都发生了改变。（　　）  

8．小丽将一块建筑用砖放入一个里面长40cm、宽30cm的水槽中，完全浸没，过一会她将砖块拿出后发现水面下降0.8cm，所以砖块的体积是40×30×0.8=960（cm2）。（　　）  

9．（2019五下·嘉陵期末）一个棱长为3cm的正方体，表面涂满了红色，现将这个大正方体切成了27个边长为1cm的小正方体。其中三个面涂红色的小正方体有8个，一个面涂红色的小正方体也有8个。（　　）  

10．（2020五下·九台期末）把一个棱长为1分米的正方体放在桌面上，露在外面的面的面积是5平方分米。（　　）

三、仔细想，认真填(共9题；每空1分，共14分)

11．（2021五下·宝安期末）把5个棱长为8厘米的正方体木块放在墙角处（如图），有　     　个面露在外面，露在外面的面积是　     　平方厘米。

12．（2021五下·龙华期末）如下图（单位：厘米）：奇思用土豆和红薯做测量体积实验，可测得红薯的体积是　     　立方厘米。

13．（2021六下·京山期中）将一个体积为942立方厘米的金属零件完全浸没在底面半径是10厘米，高50厘米的圆柱形盛水容器里，水面会上升　     　厘米。

14．（2021五下·惠阳期中）一个长方体的玻璃缸，底面积是3dm2，放入一块石头后水面升高了0.3dm，这块石头的体积是　     　。

15．（2021五下·南召期末）把一个棱长是5dm的正方体橡皮泥改造成底面积是25dm2长方体，这个长方体的高是　     　dm。

16．（4分）（2021五下·牡丹期末）下图是用棱长1cm的小正方体搭成的几何体，它的表面积是　     　 cm2，体积是　     　 cm3；下图从左面看到的图形是　     　，至少再添上　     　个这样的小正方体才能拼成一个较大的正方体。

17．（2021五下·城区期末）如下图，一些棱长为1厘米的小正方体堆放在墙角处。露在外面的面积是　     　平方厘米。改变摆法，露在外面的面　     　（填“会”或“不会”）发生变化。

18．（2021五下·惠来期末）一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，里面水深2.5分米，投入一块铁块后（完全浸没），这时缸里溢出水8升，这块铁块体积是　     　立方分米。

19．（2021五下·宽城期中）右图是由同样大小的小正方体靠墙角堆积起来的，每个小正方体的棱长是1分米，这堆小正方体露在外面的面积是　     　平方分米。

四、计算能手(共1题；共4分)

20．（4分）（2018五下·云南期中）求物体的体积。(单位：cm)

五、解答问题(共10题；共62分)

21．（5分）（2021·昌黎）小明利用一个底面周长18.84厘米、高15厘米的圆柱形水杯测量一个土豆的体积，他先在水杯中加上6厘米高的水，再放进土豆，土豆浸没在水中后，水面上升到 12 厘米处，这个土豆的体积是多少立方厘米？

22．（5分）（2021五下·良庆期末）如图所示，一个长方体的玻璃缸，从里面量长3dm、宽2dm、高4dm，水深3dm。如果投入一块体积6.8dm3的石头，缸里的水溢出多少升？

23．（6分）（2021五下·惠阳期中）一个长方体玻璃容器（里面装有水），底面是一个长3分米、宽2分米的长方形，小明放入一块石头后水面上升了5厘米，这块石头的体积是多少立方分米？

24．（6分）（2021五下·昌黎期中）在一个装满水的棱长4分米（从里面量）的正方体玻璃缸中，有一块被水浸没了的长方体铁块，它的长是16厘米，宽是1分米。当把铁块取出，水位下降了2厘米，这个长方体铁块的高是多少分米？

25．（6分）有一个长方体的铁块，底面积是 ，高是4cm．把它锻造成一个截面是正方形的长方体，截面长是4cm(锻造的过程中没有损耗)．求这个长方体的长是多少厘米．

26．（6分）（2018五下·光明期末）一个正方体容器,从里面量棱长是10厘米。这个容器里的水深6厘米,浸没一块石头后,水深变为8.5厘米,这块石头的体积是多少立方厘米?
 

27．（10分）（2021六上·偃师期末）如图：一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为3dm、体积为4dm3的假山石。现在需要向鱼缸中注水完全淹没假山石。

（1）（5分）至少需要多少升水？

（2）（5分）如果取出假山石，水面会下降多少dm？

28．（6分）（2021五下·天河期末）把3颗石块浸没在盛了620毫升水的量杯中，取出全部石块后，水位下降至500毫升，平均每个石块的体积是多少立方厘米？

29．（6分）如图，一个棱长为5的正方体，在它的上下、左右、前后各面中心挖去一个底面是1的正方形，高为2的长方体洞，求挖后此形体的表面积是多少？ 

30．（6分）（2015·深圳）如图是一个棱长4厘米的正方体，在正方体上面正中向下挖一个棱长是2厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长是1厘米正方体小洞，最后得到的立方体图形的表面积是多少平方厘米？

答案教师版

1．【答案】B

【完整解答】解：由8个小正方体拼成的大正方体，拿走了其中一个小正方体后体积减少，表面积不变。
故答案为：B。

【思路引导】拿走了其中一个小正方体后，体积少了一个小正方体的体积，所以体积减少；表面积少了3个小正方体的面，又增加了3个小正方体的面，所以表面积不变。

2．【答案】A

【完整解答】解：将一个圆柱转化成一个长方体，体积不变。
故答案为：A。

【思路引导】因为还是原来的圆柱，所以体积不变。

3．【答案】B

【完整解答】 下图是用8个小正方体拼成的，如果拿走上面1个。以下说法，正确的是表面积不变，体积变小。

故答案为：B。
【思路引导】观察图可知，通过平移面，可以发现：现在图形的表面积与原来正方体的表面积相等；拿走一个小正方体后，体积变小了。

4．【答案】B

【完整解答】解：三面涂色的小正方体的个数是8顶点的个数；
两面涂色：12×（3-2）
=12×1
=12（个）
一面涂色：6×（3-2）2
=6×12

=6（个）。
故答案为：B。
【思路引导】用n表示大正方体每条棱上小正方体的块数，三面涂色的小正方体的块数=8（顶点的个数）；两面涂色的小正方体的块数=12（n-2）；一面涂色的小正方体的块数=6（n-2）2。

5．【答案】B

【完整解答】解：列式为：3.14×62×4。
故答案为：B。

【思路引导】圆锥形物体的体积=上升水的体积=圆柱的底面积×水面上升的高度。

6．【答案】（1）正

【完整解答】解：由8个小正方体组成的大正方体上拿走任意一个小正方体，表面积不变，原题干说法正确。
故答案为：正确。

【思路引导】因为每个小正方体都在顶点处，每个小正方体都外露3个面，如果拿走任意一个小正方体，就会外露相同的3个面，所以它的表面积与原来相比不变。

7．【答案】（1）错误

【完整解答】把一块不规则的橡皮泥捏成长方体形状（均为实心），橡皮泥的形状发生了改变，但体积不变。
故答案为：错误。
【思路引导】橡皮泥的形状发生了变化，但体积是没有变的，仍然与原来的体积相等。

8．【答案】（1）正

【完整解答】 小丽将一块建筑用砖放入一个里面长40cm、宽30cm的水槽中，完全浸没，过一会她将砖块拿出后发现水面下降0.8cm，所以砖块的体积是40×30×0.8=960（cm2） ，此题说法正确。
故答案为：正确。
【思路引导】此题主要考查了不规则物体的体积计算，将砖块从水槽中拿出来时，下降部分的水的体积就是砖块的体积，长方体的长×宽×下降的水位=砖块的体积，据此列式解答。

9．【答案】（1）错误

【完整解答】 一个棱长为3cm的正方体，表面涂满了红色，现将这个大正方体切成了27个边长为1cm的小正方体。其中三个面涂红色的小正方体有8个，一个面涂红色的小正方体有6个，原题说法错误。
故答案为：错误。
【思路引导】此题主要考查了立体图形的切拼，根据切割特点，只有在顶点上的小正方体才有三个面露在外面，所以三面涂红色的小正方体处在8个顶点上，三面涂红色的小正方体有8个，两个面涂有红色的有12个，一个面涂有红色的有6个，六个面都没涂色的有1个，据此判断。

10．【答案】（1）正

【完整解答】解：1×1×5
=1×5
=5（平方分米）。
故答案为：正确。

【思路引导】露在外面的面的面积=露在外面的面的个数×正方体每个面的面积；其中，正方体每个面的面积=棱长×棱长。

11．【答案】11；704

【完整解答】从正面看露在外面的有4个面，从上面是4个，从右面是3个，一共是：4＋4＋3＝11（个）；8×8×11＝704（平方厘米）。
故答案为：11；704。
【思路引导】可以从不同的方向观察露在外面的有几个面；然后先计算一个面的面积，再乘个数即可。

12．【答案】240

【完整解答】解：12×8×（12-9.5）
=12×8×2.5
=240（立方厘米）
故答案为：240。
【思路引导】长方体的底面积×（放入红薯后水面的高度-放入土豆后水面的高度）=红薯的体积。

13．【答案】3

【完整解答】解：942÷（3.14×102）
=942÷（3.14×100）
=942÷314
=3（厘米）
故答案为：3。

【思路引导】水面上升的高度=体积÷底面积；其中，底面积=π×半径2。

14．【答案】0.9dm3

【完整解答】解：3×0.3=0.9（dm3）
故答案为：0.9dm3。
【思路引导】长方体玻璃缸的底面积×水面升高的高度=这块石头的体积。

15．【答案】5

【完整解答】解：5×5×5÷25
=25×5÷25
=125÷25
=5（分米）。
故答案为：5。

【思路引导】这个长方体的高=这个长方体的体积÷底面积；其中，这个长方体的体积=正方体的体积=棱长×棱长×棱长。

16．【答案】18；4；；4

【完整解答】解：3×6=18（平方厘米）
1×4=4（立方厘米）
从左面看到的图形是：；
2×2×2-4
=4×2-4
=8-4
=4（个）， 至少再添上4个这样的小正方体才能拼成一个较大的正方体。
故答案为：18；4；；4。

【思路引导】它的表面积=平均每个面的面积×面的个数；体积=每个小正方体的体积×个数；从左面看，看到两层，下面一层两个正方形，上面一层一个正方形，并且是右侧对齐；拼成一个较大的正方体的棱长是2，体积=棱长×棱长×棱长=8立方厘米=8个，减去现在小正方形的个数就是添上的个数。

17．【答案】17；会

【完整解答】解：1×17=17（平方厘米），露在外面的面积是17平方厘米，改变摆法，露在外面的面会发生变化。
故答案为：17；会。

【思路引导】露在外面的面积=露在外面的面的个数×平均每个面的面积；改变摆法，露在外面的面会发生变化。

18．【答案】80

【完整解答】解：（4-2.5）×8×6
=1.5×8×6
=12×6
=72（立方分米）
8升=8立方分米
8＋72=80（立方分米）
故答案为：80。

【思路引导】这块铁块体积=长方体玻璃缸没有水的容积＋溢出水的体积；其中，长方体玻璃缸没有水的容积=长×宽×（高-水的高度）。

19．【答案】15

【完整解答】6+4+5=15（个）
1×1×15
=1×15
=15（平方分米）
故答案为：15。

【思路引导】此题主要考查了露在外面的面，从正面观察，可以看到6个面露在外面；从上面观察，可以看到4个面露在外面；从右边观察，可以看到5个面露在外面，用加法求出一共有几个面露在外面；然后用一个正方形的面积×露在外面的个数=露在外面的总面积，据此列式解答。

20．【答案】10×5×3=150cm3
10×(5-2)×(3-1.5)=45cm3

150-45=105cm3

答：物体的体积是105cm3。

【思路引导】本题中物体是一个不规则物体，我们可以将它补成一个长方体，补成后长方体的体积=10×5×3=150，填补的物体是一个长为10cm，宽为5-2=3cm，高为3-1.5=1.5cm的长方体，填补的长方体的体积=10×（5-2）×（3-1.5）=45，补成后的长方体-填补的长方体=150-45=105。

21．【答案】解：3.14×（18.84÷3.14÷2）²×（12-6）

＝3.14×9×6

＝169.56（cm³）

答：这个土豆的体积是169.56立方厘米。

【思路引导】圆柱的底面半径=底面周长÷π÷2，所以土豆的体积=底面半径2×π×水面上升的高度，据此代入数据作答即可。

22．【答案】解：6.8-3×2×（4-3）
=6.8-6
=0.8（立方分米）
0.8立方分米=0.8升
答：缸里的水溢出0.8升。

【思路引导】根据溢出水的体积=石头的体积-缸内剩余体积，缸内剩余体积=长×宽×（高-水深），注意单位的换算，据此解答即可。

23．【答案】解：5厘米=0.5分米，
石头的体积=3×2×0.5
=6×0.5
=3（立方分米）
答：这块石头的体积是3立方分米。

【思路引导】本题中这块石头的体积=水面上升的部分长方体容器的体积，再根据长方体的体积=长×宽×水面上升的高度，代入数值计算即可。

24．【答案】解：16厘米=1.6分米；2厘米=0.2分米；
长方体的高=（4×4×0.2）÷（1.6×1）
=（16×0.2）÷1.6
=3.2÷1.6
=2（分米）
答：这个长方体铁块的高是2分米。

【思路引导】正方体的体积=棱长×棱长×棱长，长方体的体积=长×宽×高；本题中水位下降部分的体积=长方体铁块的体积=棱长×棱长×水位下降的高度，再根据长方体铁块的高=长方体铁块的体积÷（铁块的长×铁块的宽），本题注意将单位统一成分米数，再进行计算。

25．【答案】解：32×4÷(4×4)=8(cm)

【完整解答】解：32×4÷（4×4）
=128÷16
=8（厘米）
答：这个长方体的长是8厘米。

【思路引导】锻造前后铁块的体积是不变的，用原来的底面积乘高求出体积；用体积除以横截面的面积即可求出长方体的长。

26．【答案】解：10×10×(8.5-6)
=100×2.5
=250(立方厘米)
答：这块石头的体积是250立方厘米。

【思路引导】由于石头浸没在水中，所以水面上升部分水的体积就是石头的体积，因此用容器的底面积乘水面上升的高度即可求出石头的体积。

27．【答案】（1）解：8×4×3-4
=96-4
=92（立方分米）
=92（升）
答：至少需要92升水。

（2）解：4÷4÷8
=1÷8
=0.125（分米）
答：如果取出假山石，水面会下降0.125分米。

【思路引导】（1）鱼缸的底面积×假山石的高-假山石的体积=至少需要加水的升数；

（2）假山石的体积÷鱼缸的底面积=水面会下降的高度。

28．【答案】解：（620-500）÷3
=120÷3
=40（毫升）
40毫升=40立方厘米
答：平均每个石块的体积是40立方厘米。

【思路引导】平均每个石块的体积=（放入石块后水的体积-取出全部石块后水的体积）÷石块的数量。

29．【答案】解：大正方体的表面积为：5×5×6=150； 

一个小长方体的表面积（不包括前后面）：（1×2+1×2）×2=8；

6个小长方体的表面积（不包括前后面）：8×6=48；

所以这个图形的面积为：150+48=198；

答：挖后此形体的表面积是198．

【思路引导】此题可先求出大正方体的表面积，然后求出一个小长方体的表面积就能求得六个小孔的表面积（去掉前面和后面的面积），由此即可解决问题．此题中小正方体要去掉小孔部分前后面的面积，这是此题的关键． 

30．【答案】解：42×6+22×4+12×4，=96+16+4，=116（平方厘米）答：最后得到的立方体图形的表面积是116平方厘米.

【思路引导】把棱长是2厘米的正方体的底面向上平移，把棱长是1厘米的正方体底面向上平移，则容易看出：求最后得到的立方体图形的表面积，即棱长为4厘米的正方体的表面积与棱长为2厘米的正方体四个侧面和棱长为1厘米的正方体四个侧面的面积之和；根据“正方体的表面积=棱长2×6”求出棱长为4厘米的正方体的表面积，根据“正方体的侧面积=棱长2×4”分别求出棱长为2厘米的正方体四个侧面和棱长为1厘米的正方体四个侧面的面积，然后相加即可．