第16讲 组合图形的周长与面积——2022-2023学年小升初数学基础版真题专项汇编讲义（原卷版+解析版）

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第16讲 组合图形的周长与面积
知识精讲
知识点一：平面图形的周长和面积计算公式一览表
知识点二：组合图形的周长和面积
实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？
我们可以针对这些图形通过实施平移、旋转、割补、等量代换等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了.
提高达标百分练
一、精挑细选(共5题；每题1分，共5分)
1．（1分）计算下面图形的周长的正确算式是（ ）。
A．3.14×4+42B．3.14×4+4×3C．3.14×4÷2+4×3
【答案】C
【规范解答】解：计算下面图形的周长的正确算式是3.14×4÷2+4×3 。
故答案为：C。
【思路点拨】π×直径÷2=圆周长的一半，正方形的边长×3=正方形的3边之和，圆周长的一半+正方形的3边之和=图形的周长。
2．（1分）（2021六上·福田期末）如果图A与图B是两个边长相等的正方形，那么图A和图B的阴影部分的周长和面积相比较，它们的（ ）。
A．周长、面积都相等B．面积、周长都不相等
C．周长相等、面积不相等D．面积相等、周长不相等
【答案】D
【规范解答】解：图A阴影部分的周长=正方形的周长＋圆的周长；
面积=正方形的面积-圆的面积；
图B阴影部分的周长=圆的周长；
面积=正方形的面积-圆的面积。
故答案为：D。
【思路点拨】图A和图B的阴影部分的周长和面积相比较，它们的面积相等、周长不相等。
3．（1分）（2020六上·赛罕期末）下列各图形中阴影部分的周长最大的是（ ）。（单位：cm）
A．
B．
C．
【答案】B
【规范解答】解：A：3.14×8÷2=12.56（厘米）
B：3.14×（3+5）÷2+3.14×3÷2+3.14×5÷2=12.56+4.71+7.85=25.12（厘米）
C：3.14×8÷2+8=12.56+8=20.56（厘米）
故答案为：B。
【思路点拨】A：阴影部分的周长=直径是8厘米的圆的周长的一半；
B：阴影部分的周长=直径是8厘米的圆的周长的一半+直径是3厘米的圆的周长的一半+直径是5厘米的圆的周长的一半；
C：阴影部分的周长=直径是8厘米的圆的周长的一半+直径。
4．（1分）（2021六上·微山期末）我国古代建筑中常用到“外圆内方”的图案，下图中圆的直径是20厘米，正方形的面积是多少？列式正确的是（ ）。
A．20×20
B．20×（20÷2）÷2
C．20×（20÷2）÷2×2
【答案】C
【规范解答】圆的直径是20厘米，圆的直径把正方形分成两个完全一样的直角三角形；正方形的面积是：20×（20÷2）÷2×2。
故答案为：C
【思路点拨】圆的直径是20厘米，圆的直径把正方形分成两个完全一样的直角三角形；直角三角形的底是20厘米，高是10厘米，三角形的面积是：20×10÷2；正方形的面积是：20×10÷2×2。
5．（1分）（2021六上·温江期末）如图，大圆内有3个大小不等的小圆，这四个圆的圆心都在同一直线上，若大圆的直径是5厘米，则三个小圆的周长之和是（ ）厘米.
A．7.85B．15.7C．31.4D．78.5
【答案】B
【规范解答】解：3.14×5=15.7（厘米）
故答案为：B。
【思路点拨】圆的直径=π×直径，因为大圆内3个圆的直径等于大圆的直径，所以这三个小圆的周长之和等于大圆的周长。
二、仔细想，认真填(共8题；每空1分，共9分)
6．（1分）（2022六下·巧家期中）请算出下面面图形的面积是 cm2。
【答案】50
【规范解答】解：10×5=50cm2，所以图形的面积是50cm2。
故答案为：50。
【思路点拨】从图中可以看出，将这个图形左边的半圆平移到右边，刚好得到一个长方形，这个长方形的面积=长×宽。
7．（2分）（2020六上·合山期末）一个半圆，它的半径是r，它的直径是 ，周长是 。
【答案】2r；πr+2r或5.14r
【规范解答】解：直径=r×2=2r；
周长=π×2r÷2+2r
=2πr÷2+2r
=πr+2r。
故答案为：2r；πr+2r。
【思路点拨】直径=半径×2；半圆的周长=圆的周长（π×圆的直径）÷2+直径，代入数值计算即可。
8．（1分）（2020六上·赛罕期末）如图所示，圆的直径20cm，阴影部分的面积是 cm2。
【答案】114
【规范解答】解：20÷2=10（厘米）
1.14×10×10=114（平方厘米）
故答案为：114。
【思路点拨】外圆内方：正方形和圆之间的面积=1.14×半径的平方。
9．（1分）（2020六上·福田月考）如图，半圆的半径是2分米，则封闭图形的周长为 分米。
【答案】16.56
【规范解答】解：2×2×3.14+2×2=12.56+4=16.56分米，所以封闭图形的周长为16.56分米。
故答案为：16.56。
【思路点拨】从图中可以看出，这个封闭图形的周长=一个整圆的周长+半径×2，其中圆的周长=2πr，据此代入数据作答即可。
10．（1分）（2020·海安模拟）如图，在一大一小两个正方形拼成的图形中，阴影部分的面积是50平方厘米，则小正方形的面积是 平方厘米。
【答案】100
【规范解答】50×2=100（平方厘米）
故答案为：100。
【思路点拨】据图可得阴影部分是一个三角形，以小正方形的一个边为底，三角形的高也等于小正方形的边长；根据三角形的面积公式和正方形的面积公式，可知：小正方形的面积是阴影三角形面积的2倍。
11．（1分）（2020·广州模拟）下图中三个正方形的边长分别为10厘米、20厘米、30厘米，那么图中阴影部分的面积是 。
【答案】600平方厘米
【规范解答】解：（10+30）×（10+20+30）÷2-（10+20）×10÷2-30×30÷2
=40×60÷2-30×10÷2-450
=1200-150-450
=600（平方厘米）
故答案为：600平方厘米。
【思路点拨】阴影部分的面积可以看作是一个梯形面积减去梯形内部空白部分两个三角形的面积，根据公式结合图中数据计算即可。
12．（1分）（2020·龙华）下图直角梯形中，阴影部分的面积是 平方厘米。
【答案】15
【规范解答】解：阴影部分的面积=（4+7）×4÷2-7×2÷2
=11×4÷2-14÷2
=22-7
=15（平方厘米）
故答案为：15。
【思路点拨】阴影部分的面积=梯形的面积-三角形的面积，梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，三角形的面积=底×高÷2，代入数值计算即可。
13．（1分）如图，已知两个圆的半径都是2分米，两个涂色部分的面积相等，则长方形的面积是 平方分米。
【答案】6.28
【规范解答】长方形的面积=2××3.14×22-两圆相交部分阴影部分的面积+两圆外阴影部分的面积
=×3.14×4
=6.28（平方分米）
所以长方形的面积是6.28平方分米。
故答案为：6.28。
【思路点拨】长方形的面积=两个圆的面积之和-两圆相交部分阴影部分的面积+两圆外阴影部分的面积，根据题意可得两圆相交部分阴影部分的面积=两圆外阴影部分的面积，即可得出长方形的面积。
三、巧妙作图(共2题；共15分)
14．（6分）（2023六上·昌平期末）作图题
（1）（3分）下边的图案你会画吗？请你用圆规在空白正方形中画一画。
（2）（3分）若图中的正方形边长是4厘米，请你计算阴影部分的面积是多少平方厘米？
【答案】（1）解：
（2）解：圆的半径=4÷2=2（厘米）
阴影部分的面积：4×4-3.14×2×2
=16-12.56
=3.44（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.44平方厘米。
【思路点拨】（1）以正方形的边长除以2作为圆的半径，以正方形的顶点作为圆心画4个圆即可；
（2）正方形面积-圆的面积=阴影部分的面积。
15．（9分）（2022·衡山）如图中（一个小正方形的边长是1厘米）
（1）（3分）画出正方形按2：1放大后的图形。
（2）（3分）在放大后的正方形内画一个最大的圆（剩下用阴影部分表示）。
（3）（3分）计算出阴影部分的面积。
【答案】（1）
（2）
（3）解：8×8﹣3.14×42
＝64﹣50.24
＝13.76（平方厘米）
【思路点拨】（1）根据题意，先数一数可知，原来正方形的边长是4格，要求画出正方形按2：1放大后的图形，则放大后的正方形边长是8格，据此作图；
（2）根据题意可知，先连接正方形的对角线，对角线的交点是圆的圆心，以4格为半径，在正方形内画圆，据此作图；
（3）观察图可知，正方形的面积-圆的面积=阴影部分的面积，据此列式解答。
四、计算题(共4题；共17分)
16．（4分）（2020·南关模拟）求图中阴影部分的面积之和。（单位：cm）
【答案】解：4×（4÷2）
＝4×2
＝8（平方厘米）
答：阴影部分的面积之和为8平方厘米。
【思路点拨】如图：把下面的阴影部分分别移动到红色部分，则阴影部分的面积实际就是一个长方形的面积，长是4厘米，宽是2厘米，根据长方形面积公式计算阴影部分的总面积即可。
17．（4分）（2020·成都模拟）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，点D是半圆周的中点，BC是半圆的直径，阴影部分的面积是多少？
【答案】解：
故图所示，延长AB，并过D点作BC的平行线，使他们交于一点E，
因为BC=AB，所以BC=10，所以BE=DE=5
AB：AE=10：（10+5）=2：3
所以BF：ED=2：3，所以BF=，OF=
然后连接圆心和D点，
那么阴影部分的面积是10×÷2+×52×3.14-5×÷2=32.125。
【思路点拨】如图所示，先利用比例关系求出BF的值，进而可以得到OF的值，那么阴影部分的面积=S△ABF+S圆O-S△OFD。
18．（4分）（2020·成都模拟）如图，平行四边形底是15厘米，底边上的高是10厘米，四个圆的半径是3厘米，圆心都在平行四边形的顶点上，求平行四边形内空白部分的面积。
【答案】解：15×10-3.14×32
=150-28.26
=121.74（平方厘米）
答：平行四边形内空白部分的面积是121.74平方厘米。
【思路点拨】平行四边形内空白部分的面积=平行四边形的面积（底×底边上的高）-半径为3的圆的面积（π×半径的平方），代入数值计算即可。
19．（5分）如图中四边形ABCD、CEFG均为正方形．已知正方形ABCD的边长是5厘米，连接BD、DF、BF．求三角形BDF的面积是多少平方厘米？
【答案】解：如图所示，连接CF，由分析可知
阴影部分的面积：
5×5÷2，
=25÷2，
=12.5（平方厘米）．
答：阴影部分的面积是12.5平方厘米
【思路点拨】如图所示，连接CF，则三角形BCF与三角形DCF等底等高，所以它们的面积相等，再分别减去公共部分三角形CHF的面积，剩余部分的面积仍然相等，即三角形BCH与三角形DHF的面积相等，于是阴影部分的面积就变成了小正方形的面积的一半，小正方形的边长已知，从而可以求出阴影部分的面积．解答此题的关键是作出合适的辅助线，将阴影部分的面积转化成和小正方形的面积有关的图形的面积．
五、解答题(共10题；共54分)
20．（5分）（2023六上·龙里期末）如图，幸福小学操场的跑道由正方形的两条对边和两个半圆组成，笑笑在操场上跑了4圈，一共跑了多少米？
【答案】解：（3.14×50+50×2）×4
=（157+100）×4
=257×4
=1028（米）
答：一共跑了1028米。
【思路点拨】一共跑的米数=（正方形的边长×2＋圆的周长）×跑的圈数；其中，圆的周长=π×直径。
21．（5分）（2023六上·沧县期末）求下面图形阴影部分的面积和周长。
【答案】解：面积：10×6=60（平方米）
周长：10×2＋3.14×6
=20＋18.84
=38.84（米）
【思路点拨】通过平移后，阴影部分的面积=长方形的面积=长×宽；阴影部分的周长=长方形的长×2＋圆的周长；其中圆的周长=π×直径。
22．（5分）如下图所示，园林工人要用绳子将一些半径为10cm的圆木捆绑在一起，捆绑三根圆木至少需要多少厘米长的绳子？（接头处忽略不计）
【答案】解：3.14×10×2+10×2×3
=3.14×20+60
=62.8+60
=122.8（厘米）
答：捆绑三根圆木至少需要122.8厘米长的绳子。
【思路点拨】观察图形可得至少需要绳子的长度=半径是10cm的圆的周长+3条长度是（10×2）cm的线段的长度，圆的周长=π×圆的半径×2，代入数值计算即可。
23．（5分）下图中点A，B，C分别是等边三角形三条边的中点。已知等边三角形的边长是12cm，阴影部分的周长是多少厘米？
【答案】解：观察图形可得阴影部分的周长是三个圆心角是60°，半径是6cm的弧的长度，即是一个半径是6cm的圆周长的一半，即
3.14×（12÷2）×2÷2
=3.14×6
=18.84（cm）
答：阴影部分的周长是18.84cm。
【思路点拨】观察图形可得出阴影部分的周长是三个圆心角是60°，半径是6cm的弧的长度，将三个圆弧拼起来即可得出一个半径是6cm的半圆，所以阴影部分的周长等于半径是6cm的圆周长的一半，圆的周长=π×圆的直径（半径×2）÷2，计算即可得出答案。
24．（7分）学校操场的平面图如下：两头是半圆，中间是长方形。
（1）（3分）学校田径队的教练要求队员跑2000m，小明沿着跑道跑了5圈，他达到教练的要求了吗？
（2）（4分）学校要在操场内铺塑胶地面，每平方米塑胶需40元，一共要花多少钱？
【答案】（1）解：（3.14×50+121.5×2）×5
=（157+243）×5
=400×5
=2000（米）
2000米=2000米
答：他达到教练的要求了。
（2）解：[3.14×（50÷2）2+121.5×50]×40
=[3.14×252+6075]×40
=[1962.5+6075]×40
=8037.5×40
=321500（元）
答：一共要花321500元钱。
【思路点拨】（1）小明沿着跑道跑5圈的长度=平均每圈的长度×5；其中，平均每圈的长度=圆的周长＋长方形的长×2，圆的周长=π×直径；
（2）一共要花的钱数=单价×数量；其中，数量=长方形的面积＋圆的面积；其中，长方形的面积=长×宽，圆的面积=π×半径2。
25．（8分）求下面各图形阴影部分的面积。
（1）（4分）
（2）（4分）
【答案】（1）解：6×4.5- 6×4.5÷2
=27-27÷2
=27-13.5
=13.5（m2）
（2）解：42+22-（4+2）×4÷2
=16＋4-6×4÷2
=16＋4-24÷2
=16＋4-12
=20-12
=8（dm2）
【思路点拨】（1）阴影部分的面积=长方形面积-空白三角形的面积；其中，长方形的面积=长×宽，空白三角形的面积=底×高÷2；
（2）阴影部分的面积=大正方形面积＋小正方形面积-空白三角形的面积；其中，正方形面积=边长×边长，空白三角形的面积=底×高÷2。
26．（6分）（2021六上·惠城月考）计算下面图形的周长。
（1）（3分）
（2）（3分）
【答案】（1）解：8÷2=4（厘米）
3.14×8÷2＋3.14×4
=25.12÷2＋12.56
=12.56＋12.56
=25.12（厘米）
（2）解：40×2＋3.14×20
=80＋62.8
=142.8（厘米）
【思路点拨】（1）图形的周长=大圆的周长÷2＋小圆的周长；其中，圆的周长=π×半径×2；
（2）图形的周长=圆的周长＋长方形的长×2；其中，圆的周长=π×直径。
27．（4分）如图，在高2米、底宽4米、表面宽2米的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少是多少平方米？
【答案】解：2×4+2×2
=8＋4
=12（平方米）
答：地毯的面积至少是12平方米。
【思路点拨】地毯的面积至少=高×底面宽＋高×表面宽。
28．（5分）（2023六上·门头沟期末）篮球场上的3分线是由两条平行的线段和一个半圆组成的（如下图）。请你根据图中的数据计算出3分线的长度。（π=3）
【答案】解：1.57×2＋3×6.25
=3.14＋18.75
=21.89（米）
答：3分线长21.89米。
【思路点拨】3分线的长度=平均每条平行线段的长度×2＋圆的半径×π。
29．（4分）（2022·临泉）如图中空白四边形是正方形，求图中阴影部分的面积。（提示：你能把两个阴影三角形合成一个三角形吗？）
【答案】解：
7×4÷2
＝28÷2
＝14（平方厘米）
答：阴影部分的面积是14平方厘米。
【思路点拨】把直角三角形DEA绕点E逆时针旋转90度，两个阴影刚好拼成一个直角三角形，这个直角三角形的两条直角边分别是7厘米、4厘米，直角三角形面积=两条直角边的积÷2。名称
图形
字母意义
计算公式（S表示面积，C表示周长）
注意要领
长方形
表示长
表示宽
周长=（长+宽）×2 C=（）×2
面积=长×宽 S=
1求不规则的四边形的周长时，可以用平移的方法，把它变成基本图形，再利用周长公式来计算。
2.要求平行四边形的面积，必须先知道平行四边形的一组底和高。
3.半圆的面积是圆面积的一半，但半圆的周长不等于圆周长的一半。
正方形
表示边长
周长=边长×4 C=4a
面积=边长×边长 S=
平行四边形
表示底
h表示高
面积=底×高
S=
三角形
表示底
h表示高
面积=底×高÷2
S=
梯形
表示上底
表示下底
表示高
面积=（上底+下底）×高÷2
S=
圆
表示半径
表示直径
π表示圆周率
周长=直径×圆周率=半径×圆周率×2
C=
面积=π×半径2 S=
圆环
表示小圆半径
R表示大圆半径
圆环面积=大圆面积-小圆面积
扇形
表示半径
表示圆心角