第十一讲四大立体图形的表面积和体积——2022-2023学年小升初数学典型题（原卷版+解析版）

2022-2023学年小升初数学典型例题系列之

第十一讲四大立体图形的表面积和体积（原卷版）

编者的话：

《2022-2023学年小升初数学典型例题系列》是基于教材知识点和历年真题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分主要分为计算篇和应用篇两大篇章，每篇章皆按讲次顺序进行编辑，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和小升初真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第十一讲四大立体图形的表面积和体积。本部分内容是小学阶段学习的四大立体图形的表面积和体积与面积，包括长方体、正方体、圆柱、圆锥，一共划分为七个考点，每个考点又分为多个类型题，内容极其丰富详细，建议根据学生掌握情况选择性进行讲解，欢迎使用。

【考点一】长方体的表面积。

【方法点拨】

长方体的表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高)，用字母表示为：S=　  2(ab+ah+bh)。

【典型例题1】长方体的表面积。

小军做一个长方体抽纸盒，长15cm，宽10cm，高10cm，她想给抽纸盒的侧面贴上彩纸，至少需要（      ）平方厘米的彩纸。

【对应练习1】

用铁丝做一个长9厘米，宽8厘米，高7厘米的长方体框架，至少需要铁丝(      )厘米。如果在这个长方体框架外糊一层纸，至少需要(      )平方厘米的纸。

【对应练习2】

一个长方体的长和宽都是10厘米，高是5厘米。这个长方体的表面积是(        )平方厘米，做这个长方体框架至少要(        )厘米长的铁丝。

【对应练习3】

楼房的外墙壁用于引水的铁皮水管，形状是长方体（如图），横截面是一个长方形，长1分米，宽0.6分米．如果每节水管长15分米，做这样一节水管至少要用铁皮（      ）平方分米。

【典型例题2】长方体表面积的增减变化问题。

如图所示，将一个长、宽、高分别是10cm，6cm，5cm的长方体木块平均分成两块后，木块的表面积增加了（      ）cm2。

【对应练习1】

一根长方体木料，长3米，宽2米，高1米，把它锯成2段，表面积最少增加（      ）平方米。

【对应练习2】

如图所示，按图中标注的方法把一个长方体木块锯成四块同样大小的小长方体木块，四块小长方体木块表面积之和比原来长方体增加了52平方分米，这个大长方体的体积是(        )立方分米。   

【对应练习3】

把一个长12厘米，宽5厘米，高7厘米的长方体，截成两个同样大小的小长方体，表面积最少增加(        )平方厘米。

【对应练习4】

一个长方体长6分米、宽5分米、高4分米，把它分成两个长方体，表面积最小增加(     )平方分米，最多增加(     )平方分米。

【典型例题3】长方形的拼接长问题。

用两个长6厘米、宽3厘米、高1厘米的长方体，拼成的长方体，它的表面积最大是（      ），最小是（      ）。

【对应练习1】

下图表示棱长2分米的正方体，它的表面积是(      )平方分米，3个这样的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是(      )平方分米。

【对应练习2】

用3个棱长为2分米的立方体拼成一个长方体。这个长方体的体积是（      ）立方分米，表面积是（      ）平方分米。

【对应练习3】

有12个1立方分米的立方体商品，请你为它设计一个长方体包装箱，共有（      ）种不同的包装法；当包装箱的长是（      ）分米、宽是（      ）分米、高是（      ）分米时，最节省包装纸，至少需要包装纸（      ）平方分米（接头处忽略不计）。

【考点二】正方体的表面积。

【方法点拨】

正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为：S=6a2。

【典型例题1】正方体的表面积。

用60厘米长的铁丝焊接一个正方体框架（没有剩余），这个正方体框架的棱长是(        )厘米。在这个框架的各个面糊上彩纸，至少需要(        )平方厘米的彩纸。

【对应练习1】

一个正方体礼品盒，棱长1.2dm。如果包装这个礼品盒的用纸是其表面积的1.5倍，至少要用包装纸（      ）dm2。

【对应练习2】

用铁丝做一个棱长为的正方体框架，至少需要(        )的铁丝。如果在框架外面贴上一层包装纸，至少需要包装纸(        )。

【对应练习3】

做一对正方体水箱，棱长是2.5米，共需铁皮（      ）平方米。

【对应练习4】

一根铁丝恰好可以焊接成一个长5厘米，宽3厘米，高4厘米的长方体框架。若这根铁丝也恰好能焊接成一个正方体框架。

（1）这个正方体框架的棱长是多少厘米？

（2）给这个正方体框架的表面焊接上铁皮，铁皮的面积是多少平方厘米？

【典型例题2】正方体表面积的增减变化问题。

一个大正方体正好切分成个数最少的小正方体，表面积增加了，这个大正方体的表面积是(        )。

【对应练习1】

一个正方体木块，表面积是200平方厘米，如果把它平均截成体积相等的8个小正方体，那么每个小正方体的表面积是（      ）平方厘米。

【对应练习2】

一个表面涂满红色、表面积为100平方厘米的正方体，被等分成27个小正方体，表面积增加了(      )平方厘米，一面涂红色的小正方体有(      )个。

【对应练习3】

一个正方体木块表面积是96平方厘米，如果把它锯成体积相等的8个小正方体木块，那么每个小正方体木块的表面积是(         )平方厘米。

【对应练习4】

把表面积是8平方米的正方体切成体积相等的8个小正方体，每个小正方体的表面积是(      )。

【对应练习5】

把一个如下图的长方体切成棱长是2cm的小正方体能得到多少个小正方体？表面积增加了多少？

【对应练习6】

用棱长的小正方体拼成一个较大的正方体，至少需要(        )个，拼出的正方体的表面积是(        )。

【考点三】长方体的体积。

【方法点拨】

长方体的体积=长×宽×高      V=abh         

长=体积÷宽÷高     a=V÷b÷h 

宽=体积÷长÷高     b=V÷a÷h            

高=体积÷长÷宽     h=V÷a÷b

【典型例题1】长方体的体积。

要挖一个长60米，宽40米，深2米的游泳池，共需挖出(        )立方米的土，这个游泳池的占地面积是(        )。

【对应练习1】

一个长方体纸箱，长、宽、高分别是60cm，5cm、20cm。它的表面积是(          )cm2，体积是(          )cm3。

【对应练习2】

一个长方体的棱长总和是144cm，长、宽、高的比是5∶4∶3，这个长方体的表面积是(          )cm2，体积是(          )cm3。

【对应练习3】

一个长方体蓄水池，长5米，宽2.5米，高4米。池中水深2.8米。请算一算池中水有多少升？

【对应练习4】

游泳馆建了一个长150米、宽16米、深20分米的长方体游泳池。

（1）将游泳池的四壁和下底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？

（2）在游泳池内壁1.6米高处用红漆画一条水位线，按水位线注入水，应注入水多少立方米？

【对应练习5】

小刚在花鸟市场买了一个长方体鱼缸（无盖），他从前面测得长是4分米，宽是2分米，从右面测得长是3分米，宽是2分米。

（1）做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？

（2）如果在鱼缸内注入20升水，那么水的高度是多少分米？（玻璃厚度忽略不计）

【对应练习6】

用120cm的铁丝做成一个长方体框架，长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体的体积是多少？

【典型例题2】表面积的增减变化引起的体积变化。

把一根长6分米的长方体木料平均锯成3段，它的表面积增加了3.6平方分米，这根木料的体积是（       ）立方分米。

A．0.9 B．1.8 C．3.6 D．5.4

【对应练习1】

如图所示，按图中标注的方法把一个长方体木块锯成四块同样大小的小长方体木块，四块小长方体木块表面积之和比原来长方体增加了52平方分米，这个大长方体的体积是(        )立方分米。   

【对应练习2】

一个长方体的长宽高分别是A米、B米、C米，如果高增加2米，体积比原来增加(      )。

【对应练习3】

一根3米长的长方体木料，平均截成6段后，表面积增加12平方米，这根木料原来的体积是(       )立方米。

【对应练习4】

一个底面是正方形的长方体，截去3cm长的一段后，表面积减少了60cm2，剩下的部分刚好是一个正方体，原长方体的体积是多少立方厘米？

【典型例题3】长方体的体积比。

两个长方体，长的比为1∶3，宽的比为1∶2，高的比为2∶3，那么，这两个长方体的体积比为(          )。

【对应练习】

一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，那么它的体积就扩大到原来的(        )倍。

【典型例题4】熔铸问题。

把一个长方体的铁块熔铸成一个正方体，它的（      ）不变，（      ）发生变化；将它分割成两个长方体，它的（      ）也不变，（      ）增加了。

【对应练习1】

有一个棱长是80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个横截面是20平方分米的长方体，这个长方体的长是多少分米？

【对应练习2】

一个密封的长方体容器如图，长4dm，宽2dm，高3dm，里面水深25cm。如果以这个容器的左侧面为底，把长方体容器竖起来，这时水深多少cm？

【对应练习3】

有两个正方体铁块，它们的表面积分别是24dm2和54dm2，现将这两个铁块熔铸成一个长方体铁块，铁块的宽是5dm，高是5cm，长是多少？

【典型例题5】排水法。

在一个长16cm，宽10cm，高20cm的长方体玻璃缸中装入一个棱长为8cm的正方体铁块，然后往玻璃缸中注一些水，让水完全淹没这个正方体铁块。当正方体铁块从玻璃缸中取出时，玻璃缸中的水会下降多少厘米？

【对应练习1】

一个长方体容器中装有一些水，把一个马铃薯完全浸没在水中，水满了且没有溢出（如图），这个马铃薯的体积是（       ）cm3。

A．360 B．580 C．840 D．1200

【对应练习2】

一个正方体玻璃容器（无盖）的棱长是2分米。

（1）做这个玻璃容器至少需要多少平方分米的玻璃？

（2）向容器中倒入5升水，再把一个土豆没入水中。这时量得容器内水深14厘米。土豆的体积是多少？（玻璃的厚度忽略不计）

【对应练习3】

一个长方体水箱，长10dm，宽8dm，水深4.5dm，把一块石头放入水箱后（石头完全浸没水中），水位上升到6dm，这块石头的体积是多少？

【考点四】正方体的体积。

【方法点拨】

正方体的体积= 棱长×棱长×棱长  

V=a×a×a=a³读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）。

【典型例题1】正方体的体积。

棱长是4厘米的正方体的表面积是(        )平方厘米，体积是(        )立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体(        )个。

【对应练习1】

如图是由棱长为1cm的小正方体搭成的，这个立体图形的体积是(        )cm3，表面积是(        )cm2。

【对应练习2】

一个正方体的棱长是5dm，它的体积是(        )dm3。

【对应练习3】

一个正方体的棱长总和是36厘米，它的表面积是(        )平方厘米，体积是(        )立方厘米。

【对应练习4】

用一根60厘米长的铁丝，做一个正方体框架。如果用纸片将它围起来，至少需要(        )平方厘米的纸片。这个正方体的体积是(        )立方厘米。（纸的厚度忽略不计）

【典型例题2】扩倍问题及比。

一个正方体的棱长扩大3倍，它的表面积扩大(          )倍，体积扩大(          )倍。

【对应练习1】

大小两个正方体的棱长比是3∶2，那么大小正方体的表面积比是(        )，体积比是(        )。

【对应练习2】

两个正方体的棱长比是2∶3，这两个正方体的表面积比是（       ），体积比是（       ）。

【对应练习3】

有两个正方体，其中小正方体的棱长是2厘米，大正方体的棱长是4厘米。小正方体和大正方体的棱长的比是（       ），表面积的比是（       ），体积的比是（       ）。

【考点五】圆柱的表面积。

【方法点拨】

1.圆柱的侧面积=底面周长×高，用字母表示为：S侧=πdh(或2πrh)　

2.圆柱的表面积=底面积×2+侧面积，用字母表示为：S= 2πr2+2πrh　　

【典型例题1】圆柱的侧面积。

用彩带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如下图），底面直径是40厘米、高是20厘米，打结处用去的彩带长10厘米。扎这个盒子至少用去彩带多少厘米？若要在它的整个侧面贴上商标，商标的面积至少多少平方厘米？

【对应练习】

用彩带捆扎一个圆柱形的礼品盒（如图）。打结处正好是底面圆心，打结用去彩带25厘米。

（1）捆扎这个礼品盒至少用去彩带多少厘米？

（2）在蛋糕盒的整个侧面贴上商标纸（结头处重合2厘米），商标纸的面积是多少平方厘米？

【典型例题2】圆柱的表面积。

一个圆柱形铁皮水桶（无盖），高10dm，底面直径是6dm，做这个水桶大约要用多少铁皮？

【对应练习1】

一个没有盖的圆柱形铁皮水桶，高是8dm，底面周长是12.56dm，做这个水桶至少需要铁皮多少平方分米？

【对应练习2】

李村要修建一个底面周长为25.12m、高为4m的圆柱形蓄水池，将这个蓄水池四周及底部抹上水泥。如果每平方米需要16kg，一共需要多少千克水泥？

【典型例题3】圆柱的旋转构成法。

1.把长为4、宽为3的长方形绕着它的一条边旋转一周，则所得到的圆柱的表面积是多少？（结果保留π）

2.正方形的边长为4厘米，按照下图中所示的方式旋转，那么得到的旋转体的表面积是多少？

3.请计算下图长方形绕虚线旋转一周后得到的圆柱的表面积。

【典型例题4】圆柱表面积的增减变化问题。

1.一个圆柱被截去10厘米后（如下图），圆柱的表面积减少了628平方厘米，原来圆柱的表面积是多少平方厘米？（π取3.14）

2.如图，一根长4米，横截面是半径为2分米的圆柱形木料被截成同样长的2段后。表面积比原来增加了多少平方分米？（π取3.14）

3.工人把一根高是1米的圆柱形木料，沿底面直径平均分成两部分，这时两部分的表面积之和比原来增加了0.8平方米。求这根木料原来的表面积。

【对应练习1】

一个圆柱体，高减少2厘米，表面积就减少了50.24平方厘米，圆柱的底面积是多少平方厘米？

【对应练习2】

把一段长1米，侧面积18.84平方米的圆柱体的木料，沿着平行于底面的方向截成两段，这时它的表面积增加了多少平方米？

【对应练习3】

一个底面半径4cm，高5cm的圆柱，如果沿底面直径把它平均切成两半，它的表面积增加了多少平方厘米？

【考点六】圆柱的体积。

【方法点拨】

1.圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为:V=πr2h。

2.圆锥的体积=×底面积×高，用字母表示为:V=πr2h。

【典型例题1】圆柱的体积。

一个圆柱形钢锭，底面积是6平方分米，高5分米，体积是多少立方分米？如果每立方分米重2千克，这个钢锭重多少千克？

【对应练习1】

一段圆柱形钢坯底面直径是1.2分米，长1米。如果每立方分米的钢材重7.8kg，这段钢坯重多少千克？（结果保留两位小数）

【对应练习2】

绿苑小区安装了一个圆柱体蓄水罐供居民用水，底面半径1米，长5米。如果小区每天用水6立方米，蓄水罐注满水后，罐内存储的水最多用几天就需要重新注满？（得数保留整数）

【典型例题2】圆柱与比。

1.已知两个圆柱的底面积相等，高的比是1∶2，体积比是（      ）。

2.已知两个圆柱的高相等，底面积比是2∶3，体积比是（      ）。

3.两个圆柱高的比是2∶3，半径比是1∶2，则体积比是多少?

【对应练习】

1.两个圆柱的高相等，半径比是1∶2，则体积比是多少?

2.两个等高的圆柱底面半径的比是4∶3，它们的体积比是多少

【典型例题3】表面积的增减变化在体积中的运用。

一个圆柱，如果把它的高截短3m，它的表面积就会减少，那么这个圆柱的体积减少多少立方米？

【对应练习1】

把一根长4米的圆柱形钢材截成两段，表面积比原来增加15.7平方厘米。这根钢材的体积是多少立方厘米？

【对应练习2】

将一根底面直径是的圆柱形木料，沿高切成形状、大小完全相同的两块后，表面积增加了。这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？

【典型例题4】长方体与正方体的拼切转化问题。

把一个底面半径是的圆柱切拼成一个近似的长方体后（如图），表面积增加了，原来圆柱的体积是多少立方厘米？

【对应练习】

把一个高为1米的圆柱体切成底面是许多相等的扇形，再拼成一个近似的长方体，已知拼成后长方体表面积比原来圆柱表面积增加了40平方分米，原来圆柱体的体积是多少立方分米？

【典型例题5】等积转化问题。

把一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铅块和一个棱长是5厘米的正方体铅块，铸成一个圆柱。这个圆柱的底面直径是20厘米，高是多少厘米？

【对应练习1】

把一个底面积为，高为6cm的圆柱形铁块熔铸成一个长为5cm、宽为4cm的长方体铁块，铸成的长方体铁块高多少cm？

【对应练习2】

甲圆柱形瓶子中有2厘米深的水。乙长方体瓶子里水深6.28厘米。将乙瓶中的水全部倒入甲瓶，这时甲瓶的水深多少厘米？（如图）

【对应练习3】

小军有一个密封的瓶子（图A）。里面装了250毫升的果汁，如果把它倒过来（图B），空白部分的容量是50毫升假如把瓶里装满果汁，那么一共能装多少毫升？

【典型例题6】排水法。

1.在一个底面直径是6dm的圆柱形容器内装了一部分水，水中完全浸没着一个高4dm的圆锥形铁块，当铁块从水中取出时，水面下降了5cm，这个圆锥形铁块的体积是多少？

2.有一只底面半径为3dm的圆柱形水桶，桶内盛满水，并浸有一块底面为正方形边长为2dm的长方体铁块（完全浸没水中）。当铁块从水中完全取出时，桶内的水面下降了5cm，求这块长方体铁块的高。（得数保留一位小数）

3.在一个装有部分水的圆柱形容器中（如图）放入一块石头，结果溢出了的水。这块石头的体积是多少立方厘米？

【对应练习1】

爸爸拿出一个钢球，对小洁说：“你能求出这个钢球的体积吗？”小洁说：“当然能。”于是，小洁将家中一个底面直径是20cm的圆柱形玻璃杯装一部分水，量得水深10cm，然后把钢球完全浸没在水中，这时又量得水面高度是12cm。你知道这个钢球的体积是多少吗？

【对应练习2】

把一个铁圆锥放入底面半径是10cm的盛满水的圆柱形容器里，溢出了150.72cm³的水，如果取出这个圆锥，容器里的水面将下降多少？

【对应练习3】

将石块放入A容器中（全部淹没水中），水位上升2.5厘米，如果将其放入B容器中（全部淹没水中），水位会上升多少厘米？（水没有溢出）   

【考点七】圆锥的体积。

【方法点拨】

1.圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为:V=πr2h。

2.圆锥的体积=×底面积×高，用字母表示为:V=πr2h。

【典型例题1】圆锥的体积。

一个圆锥形小麦堆，底面积是21平方米，高是1.5米，如果每立方米小麦重700千克，这堆小麦重多少千克？

【对应练习1】

一个圆锥形小麦，高1.5米，底面积是12.56平方米，如果每立方米小麦重700千克，这堆小麦共重多少千克？

【对应练习2】

一圆锥形沙堆，测得它的底面积周长是12.56米，高0.6米，每立方米沙约重1.5吨，这堆沙约重多少吨？（得数保留一位小数）

【典型例题2】圆锥的旋转构成法。

1.以下图直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周，可以得到一个什么图形?所得的图形的底面直径和高各是多少厘米?

2.下图是一个直角三角形，如果以边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是多少立方厘米？

【对应练习】

一个等腰直角三角形的直角边为6cm，以一条直角边为轴旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的高、底面直径和体积分别是(        )cm、(        )cm、(        )立方厘米。

【典型例题3】圆锥的切面积问题。

一个圆锥的底面半径2厘米，高是7厘米，沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每个切面的面积是多少平方厘米?

【对应练习1】

将一个底面直径18厘米，高是8厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米?

【对应练习2】

把一个底面直径是10cm的圆锥沿着高切开后，表面积增加了60cm2，这个圆锥的体积是多少cm3？

【典型例题4】圆锥与比。

1.两个圆锥的底面积相等，高比是1∶2，体积比（      ）。

2.两个圆锥的高相等，底面积比是2∶3，体积比是（      ）。

3.两个圆锥高的比是3∶4，半径比是1∶3，则体积比是多少?

【对应练习】

有一块体积为60的圆柱形橡皮泥，如果把这块橡皮泥重新捏成底面积和高均和圆柱相等的圆锥，问剩余的橡皮泥体积是多少?

【典型例题5】等积转化问题。

1.一块圆柱形橡皮泥，体积是200，把这块橡皮泥重新捏成一个圆锥，已知圆锥的底面半径是10，求圆锥的高。（π取3）

2.一个棱长是4dm的正方体容器装满水后，倒入一个底面积是12dm2的圆锥形容器里，正好装满，这个圆锥的高是多少dm？

3.一个圆锥形砂堆，底面面积是12.56平方米，高是3米，用这堆砂在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米？

【对应练习1】

把一个体积是800的圆柱体铁块，熔铸成一个底面积是600的圆锥体，这个圆锥体的高是多少?（π取3）

【对应练习2】

将一个棱长为5分米的正方体铁块熔铸成底面积是60平方分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？

【对应练习3】

一辆货车车厢是一个长方体，车厢里面量得长是4米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸完沙后，堆成一个高是2米的圆锥形，圆锥底面积是多少平方米？