专题04《因数和倍数的认识》 ——2022-2023学年小学数学六年级下册小升初全国通用版专题复习讲义（原卷版+解析版）

这是一份专题04《因数和倍数的认识》 ——2022-2023学年小学数学六年级下册小升初全国通用版专题复习讲义（原卷版+解析版），文件包含专题04《因数和倍数的认识》2022-2023学年小学数学六年级下册小升初全国通用版专题复习讲义解析版docx、专题04《因数和倍数的认识》2022-2023学年小学数学六年级下册小升初全国通用版专题复习讲义原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年小升初数学举一反三重难点培优讲义专题04 因数和倍数的认识考点梳理知识要点高分妙招因数与倍数的意义在整数除法中，如果商是整數而没有余数,我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。1.研究因数和倍数时，所涉及的数都是自然数(一般不包括0)2.一个数的最小因数是1，最大因数是它本身;一个数的最小倍数是它本身,没有最大的倍数。3.一个数的因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。因数与倍数是相互依存的。2,3，5的倍数的特征 1.2的倍数的特征:个位上是0、2、4、6、8。2.3的倍数的特征:各个数位上数字的和是3的倍数。3.5的倍数的特征：个位上是0或5。同时是2、3、5的倍数的数的特征:个位上的数字是0,并且各个数位上的数字之和是3的倍数。奇数和偶数1.在自然数中,是2的倍数的数叫做偶数,不是2的倍数的数叫做奇数。2.最小的奇数是1，最小的偶数是0,没有最大的奇数和偶数。奇数±奇数=偶数奇数×奇数=奇数偶数±偶数=偶数偶数×偶数=偶数奇数±偶数=奇数偶数×奇数=偶數质数、合数与分解质因数1.质数:一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数(素数)。2.合数:一个数，如果除了1和它本身外还有其他的因数,这样的数叫做合数。3.质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这几个质数都叫做这个合数的质因数。4.分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。5.互质数:只有公因数1的两个数叫做互质数。1.0和1既不是质数,也不是合数。2.分解质因数的方法:(1)塔式分解如：    30=2×3×5(2)短除法如：    60=2×2×3×53.最小的质数是2,最小的合数是4。公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数1.公因数和最大公因数:几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。2.公倍数和最小公倍数:几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个公倍数叫做这几个数的最小公倍数。1.如果两个数互质，那么它们的最大公因数是1,最小公倍数是这两个数的乘积。2.如果两个数中较小数是较大数的因数，则较小数是这两个数的最大公因数,较大数是这两个数的最小公倍数。高频考点01：公倍数和最小公倍数【典例精讲01】（2022•二七区）“六一”儿童节，老师给六（3）班的同学分面包，不管是每人分12个还是每人分5个，最后都剩余1个。老师准备的面包总数可能是（　　）个。A．60 B．62 C．61 D．59【思路点拨】根据不管是每人分12个还是每人分5个，最后都剩余1个可知，把面包数减去1，就是12和5的公倍数；先找出12和5的最小公倍数，然后加上1，如果没有选项符合条件的话，再找它们公倍数的倍数，再加1，看哪个选项符合情况。【规范解答】解：12和5互质，所以它们的最小公倍数是：12×5＝6060+1＝61（个）所以老师准备的面包总数可能是61个。故选：C。【考点评析】此题需要学生掌握求最小公倍数的方法，并能熟练运用。【举一反三01】（2020•岳麓区）用长12厘米，宽9厘米的长方形拼正方形，最少要用该长方形纸（　　）张．A．8 B．6 C．24 D．12【思路点拨】12和9的最小公倍数是36，用长12厘米，宽9厘米的长方形拼正方形，这个正方形的边长最小应是36厘米．拼成正方形需要长方形的个数是（36÷12）×（36÷9），据此解答．【规范解答】解：12和9的最小公倍数是36，用长12厘米，宽9厘米的长方形拼正方形，这个正方形的边长最小应是36厘米．拼成正方形需要长方形的个数是：（36÷12）×（36÷9），＝3×4，＝12（个）；故选：D．【考点评析】本题考查了根据最小公倍数求组合图形个数的知识．【举一反三02】（2022•宿迁）在50以内，6和8的公倍数有 　24、48　；9和27的最大公因数是 　9　。【思路点拨】公倍数是两个数公有的倍数，先找出两个数的倍数，从中找出公有的倍数；公因数是两个数公有的因数，先求出两个数的因数，然后找出公有的因数即可，公因数中最大的一个就是这两个数的最大公因数，据此找出9和27的最大公因数。【规范解答】解：50以内6和8的倍数是：6的倍数是：6、12、18、24、30、36、42、48，8的倍数是：8、16、24、32、40、48，50以内6和8的公倍数有：24、48；9的因数有：1、3、9，27的因数有：1、3、9、27，9和27的公因数有：1、3、9；9和27的公因数1、3、9中，9是最大的，所以9和27的最大公因数是9。故答案为：24、48；9。【考点评析】此题需要学生掌握倍数，公倍数，因数、公因数和最大公因数。【举一反三03】（2021•南京）如果a、b是连续的非零自然数，那么a和b的最大公因数是 　1　，最小公倍数是 　ab　。【思路点拨】公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。最大公因数指两个或多个整数共有约数中最大的一个。【规范解答】解：因为a、b是连续的非零自然数，所以a和b共有的约数只有一个，是1，也就是a，b的最大公因数是1；a，b为连续的自然数，所以它们的倍数中最小的为a×b，即他们的最小公倍数是 ab。故答案为：1；ab。【考点评析】题目的关键点在a，b是连续的自然数。根据公倍数和公因数的定义即可求解。高频考点02：因数、公因数和最大公因数【典例精讲02】（2022•兴平市）淘气买圆珠笔花了10元，笑笑买圆珠笔花了8元。如果他们买的圆珠笔的单价是一样的，那么这种圆珠笔的单价最高是（　　）元。（淘气和笑笑买圆珠笔的单价和数量都是整数）。A．2 B．4 C．20 D．40【思路点拨】淘气买圆珠笔花了10元，笑笑买圆珠笔花了8元，因为他们买的圆珠笔的单价是一样的，所以圆珠笔的单价是10、8的公因数；求这种圆珠笔的单价最高是多少元，就是求10、8的最大公因数。【规范解答】解：10＝2×58＝2×2×2所以10、8的最大公因数是：2；因此这种圆珠笔的单价最高是2元。故选：A。【考点评析】此题需要学生掌握求最大公因数的方法并灵活运用。【举一反三04】（2022•遂川县）24和36的公因数有（　　）个。A．3 B．4 C．5 D．6【思路点拨】先分别找出24和36的因数，然后再找出它们的公因数。【规范解答】解：24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；24和36的公因数有：1、2、3、4、6、12；共6个。故选：D。【考点评析】此题需要学生熟练掌握求一个数因数的方法，以及求两个数公因数的方法。【举一反三05】（2022•广安）12和32的最大公因数是 　4　，最小公倍数是 　96　。【思路点拨】对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，这两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；当两个数成倍数关系，最大公因数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数即这两个数的乘积。【规范解答】解：12＝2×2×332＝2×2×2×2×2最大公因数是：2×2＝4最小公倍数是：2×2×3×2×2×2＝96故答案为：4；96。【考点评析】熟练掌握两个数的最大公因数和最小公倍数的求法是解题关键。【举一反三06】（2020•梓潼县）有两根钢管，它们的长度分别是240cm和150cm，如果把他们截成同样长的小段，每小段最长可以是 　30　cm，一共可以截成 　13　段。【思路点拨】根据题意，把长度分别是240cm和150cm，截成同样长的小段，那么小段的长度就是能同时被240和150整除，也就是说小段的长度是240和150的公因数，由于求得是每小段最长可以是多少厘米，所以每小段长度是240和150的最大公因数；求出每小段长度后，进而可以求出共截成了多少段。【规范解答】解：240＝2×2×2×2×3×5150＝2×3×5×5所以240和150的最大公因数为：2×3×5＝30，因此每小段最长可以是30cm；240÷30＝8（段）150÷30＝5（段）8+5＝13（段）所以一共可以截成13段。故答案为：30；13。【考点评析】此题主要考查学生对最大公因数的理解与实际应用。高频考点03：求几个数的最大公因数的方法【典例精讲03】．（2022春•济宁期末）已知A＝2×2×3，B＝2×3×5，那么，A和B的最大公因数是（　　）A．2 B．4 C．6 D．60【思路点拨】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，由此解决问题即可．【规范解答】解：A＝2×2×3，B＝2×3×5，A和B的最大公因数为2×3＝6；故选：C．【考点评析】此题主要考查求两个数的最大公约数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；数字大的可以用短除法解答．【举一反三07】（2022•阜平县）24和36的最大公因数是 　12　；在24和36的公倍数中，最小的四位数是 　1008　。【思路点拨】两个数的所有公有质因数之积是最大公因数，两个数的所有公有质因数和独有质因数之积是最小公倍数。【规范解答】解：24＝2×2×2×336＝2×2×3×324和36的最大公因数为：2×2×3＝12；24和36的最小公倍数为：2×2×3×2×3＝72，那么24和36的公倍数中，最小的四位数是：72×14＝1008。故答案为：12；1008。【考点评析】此题需要学生熟练掌握求两个数最大公因数和最小公倍数的方法。【举一反三08】（2022•温州模拟）已知M＝2×5×7，N＝2×3×7，那么M与N的最大公因数是 　14　，最小公倍数是 　210　。【思路点拨】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式；两个合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数；据此解答。【规范解答】解：M＝2×5×7N＝2×3×7M和N的最大公因数是：2×7＝14；M和N的最小公倍数是：2×5×7×3＝210。故答案为：14；210。【考点评析】掌握用分解质因数的方法求两个数的最大公因数、最小公倍数是解题的关键。【举一反三09】（2022春•舞阳县期末）求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数．①3和22       ②17和68      ③52和78．【思路点拨】①3和22是互质数，是互质数的两个数，它们的最大公约数是1，最小公倍数即这两个数的乘积；②因为68÷17＝4，即17和68是倍数关系，当两个数成倍数关系时，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数，较小的那个数，是这两个数的最大公约数；③先把52和78进行分解质因数，这两个数的最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．【规范解答】解：①3和22是互质数，所以这两个数的最大公因数是：1，最小公倍数为：3×22＝66； ②68÷17＝4，即17和68是倍数关系，则这两个数的最大公因数是：17，最小公倍数为：68； ③52＝2×2×13，78＝2×3×13，所以这两个数的最大公因数是：2×13＝26，最小公倍数为：2×2×3×13＝156．【考点评析】此题主要考查了求两个数的最大公因数：对于一般的两个数来说，这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公约数，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；对于两个数为倍数关系时的最大公约数和最小公倍数：两个数为倍数关系，最大公约数为较小的数，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数；是互质数的两个数，它们的最大公约数是1，最小公倍数即这两个数的乘积．高频考点04：求几个数的最小公倍数的方法【典例精讲04】（2022•梁平区）已知数a＝2×3×5，b＝3×3×5，那么（1）a和b的最大公因数是多少？　A　（2）a和b的最小公倍数是多少？　D　A.15B.30C.45D.90【思路点拨】先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。【规范解答】解：（1）因为a＝2×3×5，b＝3×3×5，所以a和b的最大公因数是3×5＝15；（2）因为a＝2×3×5，b＝3×3×5，所以a和b的最小公倍数是2×3×3×5＝90。故答案为：A；D。【考点评析】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。【举一反三10】（2022•遂川县）A、B是自然数，A与B的比值是，则A与B的最小公倍数是 　B　。【思路点拨】因为A、B是自然数，A与B的比值是，也就是A÷B＝，那么A＝B，则5A＝B，因此B÷A＝5，可知B是A的5倍；两个自然数成倍数关系，那么较大数就是最小公倍数；据此解答。【规范解答】解：A与B的比值是，也就是A÷B＝，那么A＝B，则5A＝B，因此B÷A＝5；所以A与B的最小公倍数是B。故答案为：B。【考点评析】此题需要学生掌握当两数成倍数关系时，较小数就是最大公因数，较大数就是最小公倍数。【举一反三11】（2019•岳阳模拟）一条72米长的路，原来从一端起，每隔9米有一盏路灯．现在重新安装，要从一端起每隔6米装一盏．为节省施工成本，有些位置的路灯是不需要重新安装的．不需要重新安装的路灯至少有多少盏？（先画一画，再解答）【思路点拨】根据题意，不需要重新安装的是9米与6米的公倍数的路灯，即18米倍数的路灯不移动，也就是求出每隔18米路灯的盏数，加上开头的那一盏即可．【规范解答】解：如图所示：9与6的最小公倍数是18；72÷18+1，＝4+1，＝5（盏）．答：不需要重新安装的路灯至少有5盏．【考点评析】本题的关键是求出什么样的路灯不移动，然后再按照两端栽树的方法进行计算即可．【举一反三12】（2019•岳阳模拟）甲每9天到图书馆一次，乙每6天到图书馆一次，7月29日两人到图书馆．请问几天后，两人又在图书馆见面？是什么时候？【思路点拨】根据题干分析可得：两人再次见面时间应是9和6的最小公倍数，由此求得9和6的最小公倍数，根据月份的特点：7月是大月，29日后面还有2天，用得出的天数﹣2即可得出见面的日期．【规范解答】解：9＝3×3，6＝2×3，所以9和6的最小公倍数是2×3×3＝18；所以甲乙二人是在18天后相见；18﹣2＝16，二人见面的时间是在8月16日．答：18天后，两人又在图书馆见面，是在8月16日．【考点评析】此题考查了求两个数的最小公倍数在实际问题中的灵活应用，这里要注意灵活应用月份与时间的推算方法．高频考点05：合数与质数【典例精讲05】（2022•金湾区）“歌德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”。下面四个等式，符合哥德巴赫猜想的是（　　）A．30＝1+29 B．19＝17+2 C．40＝23+17 D．26＝15+11【思路点拨】根据题意“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，进行逐一分析解答即可。【规范解答】解：选项A中1不是质数，因此选项A不符合题意。选项B中19不是偶数，因此选项B不符合题意。选项C中40是偶数，23和17是质数，因此选项C符合题意。选项D中15不是质数，因此选项D不符合题意。故选：C。【考点评析】本题考查对质数和合数的认识，结合题意分析解答即可。【举一反三13】．（2022春•凉山州期末）下列说法正确的是（　　）A．所有的质数都是奇数 B．整数都比分数大 C．两个奇数的差一定是奇数 D．是4的倍数的数一定是偶数【思路点拨】本题根据质数、奇数、偶数及整数、分数的意义对各个选项分别进行分析即能得出正确选项．【规范解答】解：A，最小的质数为2，2为偶数，所以所有的质数都是奇数的说法的是错误的；B，假分数≥1，所以整数都比分数大是错误的．C，将两个奇数表示为2m+1，2n+1，则它们的差为2m+1﹣（2n+1）＝2m﹣2n＝2（m﹣n），所以两个奇数的差一定是偶数，而不是奇数，则两个奇数的差一定是奇数的说法错误；D，4＝2×2，4能被2整除，则4的倍数也一定能被2整除，自然数中，能被2整除的数为偶数，所以是4的倍数的数一定是偶数说法正确．故选：D．【考点评析】自然数中，除了1和它本身外没有别的因数的数为质数，除了1和它本身外还有别的因数的数为合数；是2的倍数的数为偶数，不是2的倍数的数为奇数．【举一反三14】（2021•吴中区）200多年前，德国数学家哥德巴赫发现：每一个大于4的偶数，都可以表示成两个奇素数之和。下面第（　　）个算式符合上面的发现。A．45＝2+43 B．40＝11+29 C．38＝25+13【思路点拨】既是奇数又是质数的数叫奇素数，要反映每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和，一要看这个数是大于4的偶数，二是写成两个数的和中的每个加数必须都是奇素数，据此解答。【规范解答】解：A.45＝2+43，43是奇素数但2不是奇素数，故不符合题意；B.40＝11+29，11和29都是奇素数，故符合题意；C.38＝25+13，25和13都是奇数，但25不是质数，故不符合题意。故选：B。【考点评析】此题要反映这个猜想必须具备两个条件：一个数是大于4的偶数，并且表示出两个奇素数的和。【举一反三15】（2016春•襄城县校级月考）把能被2、3、5整除的最小三位数分解质因数是　120＝2×2×2×3×5　．【思路点拨】能同时被2、3、5整除的数要满足个位上的数是0，而且各个数位上的数的和是3的倍数，据此可知这样的最小三位数是120；进而根据分解素因数就是把一个合数写成几个素数的连乘积形式，一般先从简单的素数试着分解得解．【规范解答】解：能同时被2、3、5整除的最小三位数是120120＝2×2×2×3×5．故答案为：120＝2×2×2×3×5．【考点评析】本题主要考查了2、3、5的倍数特征和分解质因数的方法．高频考点06：2、3、5的倍数特征【典例精讲06】（2022•二七区）为了保障民生，二七区各个小学响应国家政策，开展课后延时服务，某小学六年级参加课后延时的总人数是一个三位数，百位上是3的倍数，十位上是最小的合数，个位上是一个质数，六年级参加课后延时的总人数可能是（　　）A．621 B．847 C．342 D．632【思路点拨】个位上是一个质数，所以个位可能是2或3或5或7；十位上是最小的合数，最小的合数是4，即十位上是4；百位上是3的倍数，即百位上是3或6或9，据此写出这个三位数。【规范解答】解：根据分析可得：个位是2或3或5或7；十位上是4；百位上是3或6或9，所以这个三位数是342。故选：C。【考点评析】本题考查了数的组成及3的倍数特征。【举一反三16】（2022•漳平市）在一个四位数4□20里填上一个数字，使它同时是2、3、5的倍数。方框里最多有（　　）种填法。A．2 B．3 C．4 D．5【思路点拨】根据2、3、5的倍数的特征，个位上是0、2、4、、6、8的数都是2的倍数；一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数，由此可知，同时是2、3、5的倍数的数，个位上必须是0且各位上的数字之和是3的倍数。据此解答。【规范解答】解：一个四位数4□20，个位上0满足了同时是2、5的倍数的特征，因为4+2＝6，6是3的倍数，所以□里可以填0、3、6、9。由此可知，方框里最多有4种填法。故选：C。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征及应用，关键是明确：同时是2、3、5的倍数的数，个位上必须是0且各位上的数字之和是3的倍数。【举一反三17】（2021秋•渭南期末）有一个两位数5□，如果它是5的倍数，□里可以填　0或5　．如果它是3的倍数，□里可以填　1或4或7　，如果它同时是2、5的倍数，□里可以填　0　．【思路点拨】能被5整除的数的特征：个位上是0或5；能被3整除的数的特征：各个数位上的数的和能被3整除；能被2、5整除的数的特征：个位上是0；根据特征填空即可．【规范解答】解；有一个两位数5□，如果它是5的倍数，□里可以填：0或5；如果它是3的倍数，□里可以填：1或4或7；如果它同时是2、5的倍数，□里可以填：0．故答案为：0或5，1或4或7，0．【考点评析】此题考查能被2、3、5整除的数的特征．【举一反三18】（2022•湛江）从0、4、5、7中选择三个数字组成一个能同时被2、3、5整除的最大三位数，这个三位数是　750　，把它分解质因数是　750＝2×3×5×5×5　．【思路点拨】能同时被2、3、5整除的数，必须具备个位数是0，各个数位上的数字和是3的倍数，符合条件的三位数有450、540、570、750，其中最大三位数是750．将一个数分解质因数，是把这个数写成几个质因数相乘的形式，一般从较小的开始．【规范解答】解：符合条件的三位数有450、540、570、750，其中最大三位数是750；750＝2×3×5×5×5；故答案为：750，750＝2×3×5×5×5．【考点评析】此题属于考查能被2、3、5整除的数的特征，熟记能被2、3、5整除的数的特征，并正确解答；将一个数分解质因数，是把这个数写成几个质因数相乘的形式．一．选择题1．（2022•崇川区）杨大伯在生态农庄放养了一些鸡和鸭。鸡的只数是鸭的，它们的总只数在130～140之间。鸡有（　　）只。A．51 B．78 C．81 D．84【思路点拨】由题意可知：鸡和鸭共有：1+＝，鸡和鸭的总只数是8的倍数，于是即可求出共有的只数，又因鸡与鸭的只数比是3：5，从而利用按比例分配的方法，即可得解。【规范解答】解：1+＝鸡和鸭的总只数是8的倍数，17×8＝136（只）136÷×＝136×＝51（只）答：鸡有51只。故选：A。【考点评析】先求出鸡和鸭的总只数，再求出鸡的只数占二者总量的几分之几，是解答本题的关键。2．（2022•云南）下面说法正确的是（　　）A．如果a+1的和是奇数，那么a一定是奇数 B．2022年的第一季度有89天 C．一支铅笔2元，也可以表示成200%元 D．一个三角形，它的一条边长是6厘米，另一条边长是5厘米，这个三角形的周长有可能是15cm【思路点拨】分析如下：如果a+1的和是奇数，那么a一定是偶数；2022年是平年，2022年的第一季度有31+28+31＝90（天）；百分数不能带单位；根据三角形三边之间的关系，15﹣6﹣5＝4（厘米），4+5＞6，可以组成三角形。据此解答即可。【规范解答】解：A.如果a+1的和是奇数，那么a一定是偶数，所以本选项说法错误；B.2022年是平年，2022年的第一季度有31+28+31＝90（天），所以本选项说法错误；C.百分数不能带单位，所以本选项说法错误；D.根据三角形三边之间的关系，15﹣6﹣5＝4（厘米），4+5＞6，可以组成三角形。所以本选项说法正确。故选：D。【考点评析】本题考查了奇数、偶数、平年、闰年、百分数以及三角形三边的关系等知识，结合题意分析解答即可。3．（2022•黔江区）下面各数中，既是6的倍数，又是54的因数的是（　　）A．9 B．12 C．18 D．30【思路点拨】根据找一个数因数和倍数的方法，分别找出6的倍数和54的因数，然后再进行选择。【规范解答】解：6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、......6的倍数有：6、12、18、24、30、......54＝1×54＝2×27＝3×18＝6×954的因数有：1、2、3、6、9、18、27、54；因此选项A、B、C、D中既是6的倍数，又是54的因数的是18。故选：C。【考点评析】此题需要学生熟练掌握求一个数因数和倍数的方法。4．（2022•宝应县）古希腊人认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完美数”。下面各数中，是“完美数”的是（　　）A．14 B．28 C．35 D．51【思路点拨】将每个选项中数的因数写出来，再将除本身之外的所有因数相加，看是否等于它本身即可。【规范解答】解：A.14的因数有：1、2、7、14，1+2+7≠14，不是“完美数”；B.28的因数有：1、2、4、7、14、28，1+2+4+7+14＝28，是“完美数”；C.35的因数有：1、5、7、35，1+5+7≠35，不是“完美数”；D.51的因数有：1、3、17、51，1+3+17≠51，不是“完美数”。故选：B。【考点评析】读懂题意，明确“完美数”的含义是解答本题的关键。5．（2022•天桥区）用3，5，8，2四张数字卡片摆出的所有四位数（　　）A．一定是2的倍数 B．一定是3的倍数 C．一定是5的倍数 D．一定是2，3，5的倍数【思路点拨】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：各个数位上数字之和能被3整除；5的倍数特征：个位上是0或5的数。【规范解答】解：用3，5，8，2四张数字卡片摆出的所有四位数中有的数个位不是2、8、5，所以摆出的数字不一定是2、5的倍数；因为3+5+8+2＝18、18是3的倍数，所以3，5，8，2四张数字卡片不管怎么摆一定都是3的倍数。故选：B。【考点评析】此题需要学生熟练掌握2、3、5的倍数特征，并灵活运用。6．（2022•平阴县）下面说法中，正确的是（　　）A．偶数都是合数 B．2022年的第一季度一共有92天 C．任何两个等底等高的梯形都能拼成一个平行四边形 D．14本书放进4个抽屉，总有一个抽屉至少放4本书【思路点拨】A、根据偶数、合数、质数的意义，是2的倍数的数叫做偶数，一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。据此判断。B、根据闰年的判断方法，公历年份是4的倍数时，这年是闰年，如果公历年份是整百数时，必须是400的倍数才是闰年，闰年二月有29天。据此判断。C、等底等高不一定完全一样，应该是两个完全一样的梯形都能拼成一个平行四边形。据此判断。D、根据抽屉原理，把14本书放进4个抽屉中，14÷4＝3（本）…2（本），即平均每个抽屉放入3本后，还余2本书没有放入，即至少有一个抽屉里要放进3+1＝4本书。据此判断。【规范解答】解：A、2是偶数，2也是质数，因此题干中的结论是错误的。B、2022年是平年，二月有28天，所以第一季度是90天，因此题干中的结论是错误的。C、两个完全一样的梯形都能拼成一个平行四边形，等底等高不一定完全一样。因此题干中的结论是错误的。D、14÷4＝3（本）…2（本）3+1＝4（本）所以总有一个抽屉至少放4本书。因此题干中的结论是正确的。故选：D。【考点评析】此题考查的目的是理解偶数、质数、合数的意义及应用，闰年的判断方法及应用，梯形、平行四边形的特征及意义，抽屉原来及应用。二．填空题7．（2022•丰都县）48和24的最大公约数是 　24　，最小公倍数是 　48　。【思路点拨】因为48÷24＝2，即48和24成倍数关系，当两个数成倍数关系时，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，较小的那个数是这两个数的最大公约数。【规范解答】解：因为48÷24＝2，即48和24成倍数关系，所以48和24的最大公约数是24，最小公倍数是48。故答案为24；48。【考点评析】此题考查了求两个数的最大公约数和最小公倍数的方法。8．（2022•青川县）（1）一个三位小数，保留两位小数后的近似值是3.28，这个三位小数最小是 　3.275　；（2）一个数，如果将它的小数点向右移动一位，得到的数比原数大2.25，原数是 　0.25　。（3）已知x是不为0的自然数，那么16x和24x的最大公因数是 　8x　，最小公倍数是 　48x　。【思路点拨】（1）要考虑3.28是一个三位小数的近似数，“五入”得到的3.28最小是3.275，由此解答问题即可；（2）一个小数向右移动一位会扩大10倍，增加的2.25对应的是9倍，用2.25÷9即可解答；（3）分别把16x和24x分解质因数，两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。【规范解答】解：（1）一个三位小数，保留两位小数后的近似值是3.28，这个三位小数最小是3.275；（2）2.25÷9＝0.25，所以一个数，如果将它的小数点向右移动一位，得到的数比原数大2.25，原数是0.25；（3）16x＝2×2×2×2×x24x＝2×2×2×3×x16x和24x的最大公因数是：2×2×2×x＝8x；16x和24x的最小公倍数是：2×2×2×x×2×3＝48x。所以已知x是不为0的自然数，那么16x和24x的最大公因数是8x，最小公倍数是48x。故答案为：3.275；0.25；8x；48x。【考点评析】此题考查了近似值的求法，小数点移位后小数大小变化的理解与应用，以及求两个数最大公因数和最小公倍数的方法。9．（2022•邢台）有4个孩子，恰好一个比一个大一岁，他们年龄相乘的积等于840，这四个孩子中年龄最大的是 　7　岁，最小的是 　4　岁。【思路点拨】根据题意有4个孩子，恰好一个比一个大一岁，说明他们四个的岁数是4个连续的自然数，把840分解质因数：840＝2×2×2×3×5×7，再把几个因数分开相乘，找出4个连续的自然数即可。【规范解答】解：840＝2×2×2×3×5×72×2＝42×3＝64×5×6×7＝840所以其中年龄最大是7岁，最小的是4岁。故答案为：7，4。【考点评析】本题主要考查分解质因数的运用。先把840分解质因数，再把质因数写成4个连续的自然数相乘的形式是解题的关键。10．（2020•定州市）已知a＝2×2×3×5，b＝2×3×m，如果a和b的最大公因数是12，那么m＝　2　，a和b的最小公倍数是　60　．【思路点拨】两个数的最大公因数等于两个数公有的质因数的乘积，最小公倍数等于两个数公有的质因数和独有的质因数的乘积；据此解答即可．【规范解答】解：由分析知：2×3×m＝12，所以m＝2；a和b的最小公倍数是：2×2×3×5＝60；故答案为：2，60．【考点评析】此题主要考查根据两个数分解质因数情况求最大公因数和最小公倍数．11．（2020•衢州）两个数的最大公约数是1，最小公倍数是323，这两个数是 　1　和 　323　，或 　17　和 　19　．【思路点拨】由两个数的最大公约数是1可知：这两个数是互质数，互质数的最小公倍数是这两个数的乘积，据此找出乘积是323的算式，找出是互质数的两个因数即可．【规范解答】解：乘积是323的算式有1×323，17×19，其中1和323，17和19是互质数，所以两个数的最大公约数是1，最小公倍数是323，这两个数是1和323或17和19．故答案为：1，323；17，19．【考点评析】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法，解答本题关键是理解：两个数的最大公约数是1可知这两个数是互质数．12．（2022•阎良区）73□是一个三位数，要使73□既是3的倍数，又是5的倍数，□里可以填 　5　；要使73□既是2的倍数，又是3的倍数，□里最大可以填 　8　。【思路点拨】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数的数；5的倍数特征：个位上是0或5的数。【规范解答】解：一个数是5的倍数，个位只能是0或者5；当个位是0时，7+3+0＝10，10不是3的倍数，所以要使73□既是3的倍数，又是5的倍数，□里不能填0；当个位是5时，7+3+5＝15，15是3的倍数，所以要使73□既是3的倍数，又是5的倍数，□里可以填5；因为7+3+2＝12、7+3+5＝15、7+3+8＝18，都是3的倍数，所以73□的□里填2、5、8，可以使73□是3的倍数；又因为是2的倍数，所以□只能填2、8，□里最大可以填8。故答案为：5；8。【考点评析】此题需要学生熟练掌握2、3、5的倍数特征并灵活运用。13．（2022•凤凰县）在1～50的自然数中，8的倍数有 　8，16，24，32，40，48　，从中选出四个写成一个比例 　16：8＝32：16　。【思路点拨】找一个数的倍数，直接把这个数分别乘1、2、3、4、5、6、......，一个数的倍数的个数是无限的；表示两个比相等的式子叫做比例。【规范解答】解：8×1＝88×2＝168×3＝248×4＝328×5＝408×6＝48在1～50的自然数中，8的倍数有8，16，24，32，40，48；16：8＝16÷8＝232：16＝32÷16＝2所以16：8＝32：16。（答案不唯一）故答案为：8，16，24，32，40，48；16：8＝32：16。（答案不唯一）【考点评析】此题需要学生熟练掌握求一个数倍数的方法以及比例的意义。14．（2022•大渡口区）要使三位数8□□同时是2、3、5的倍数，则这个三位数最大是 　870　。【思路点拨】要使这个三位数同时是2，5的倍数，个位上只能是0；要想同时是3的倍数，则各个数位上的数字之和是3的倍数；据此解答即可。【规范解答】解：因为三位数8□□是2、5的倍数，所以个位是0；而8+0+1＝9，8+0+4＝12，8+0+7＝15，是3的倍数，所以十位填1、4、7，这个数也是3的倍数，因为这个数还要最大，所以十位为7；则这个三位数最大是870。故答案为：870。【考点评析】此题需要学生熟练的掌握2、3、5的倍数特征并熟练运用。三．判断题15．（2022•阿荣旗）已知：a（a与b都是非0自然数，b≠0）那么a与b的最大公因数是a，最小公倍数是b。 　√　（判断对错）【思路点拨】因为a，所以b÷a＝5，而a与b都是非0自然数，当两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数。【规范解答】解：根据分析，因为a，所以b÷a＝5，而a与b都是非0自然数，所以a与b的最大公因数是a，最小公倍数是b，因此原题说法正确。故答案为：√。【考点评析】此题需要学生熟练掌握求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法。16．（2022•市北区）a（a＞1）的所有因数都小于a。 　×　（判断对错）【思路点拨】一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身，据此进行判断。【规范解答】解：例如：整数6的因数有1，2，3，6；其中6是最大的因数，就是6本身；整数10的因数有1，2，5，10；其中10是最大的因数，就是10本身；所以说一个数的因数一定不大于这个数。故答案为：×。【考点评析】此题要求学生熟练掌握求一个数因数的方法。17．（2022•广州模拟）36是倍数，9是因数．　×　（判断对错）【思路点拨】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可．【规范解答】解：因为36÷9＝4，所以36是9的倍数，9是36的因数，因数和倍数相互依存，不能单独存在，所以本题说法错误；故答案为：×．【考点评析】本题是考查因数与倍数的意义．要记住，因数和倍数是相互依存的．18．（2023•成华区模拟）4和7没有最大公因数。 　×　（判断对错）【思路点拨】两个数互质，则最大公因数是1。【规范解答】解：因为4和7两个数互质，所以它们的最大公因数是1。所以原题说法错误。故答案为：×。【考点评析】明确互质的两个数的最大公因数是1是解题的关键。19．（2022秋•临洮县期末）一个数的因数总比这个数的倍数小．　×　 （判断对错）【思路点拨】根据“一个数的因数最大是它本身，一个数的倍数最小是它本身”，进行分析，例如：8的最小倍数是8，最大因数是8；进而得出结论．【规范解答】解：由分析知：一个数的因数最大是它本身，一个数的倍数最小是它本身，即一个数的因数和倍数有相等的情况；所以一个数的因数总比这个数的倍数小说法错误；故答案为：×．【考点评析】此题应根据因数和倍数的关系进行解答．20．（2022•沾化区）N表示一个奇数，2N表示的一定是偶数。 　√　（判断对错）【思路点拨】如果N表示一个奇数，那么2N中一定有因数2，也就是2N是2的倍数，所以2N一定是偶数，据此解答。【规范解答】解：如果N表示一个奇数，那么2N中一定有因数2，也就是2N是2的倍数，所以2N一定是偶数，所以本题说法正确。故答案为：√。【考点评析】解答此题关键是掌握奇数、偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。四．解答题21．（2022•吴忠模拟）（1）用短除式把140分解质因数．（2）用短除式求56和42的最大公约数和最小公倍数．【思路点拨】（1）把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数．据此解答；（2）先把56和42分解质因数，再根据求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．【规范解答】解：（1） 140＝2×2×5×7（2） 所以56和42的最大公约数是2×7＝14最小公倍数2×7×4×3＝168．【考点评析】（1）此题考查的目的是理解掌握分解质因数的方法；（2）此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．22．（2016•吴忠模拟）按要求做：（1）用短除式把210分解质因数．（2）用短除式求28和42的最大公约数和最小公倍数．【思路点拨】（1）把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数．据此解答；（2）先把28和42分解质因数，再根据求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．【规范解答】解：（1）210＝2×3×5×7（2）28和42的最大公约数是2×7＝14；最小公倍数2×7×2×3＝84．【考点评析】（1）此题考查的目的是理解掌握分解质因数的方法；（2）此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．23．（2021•东莞市）将以下4个数填入图中的正确位置。36     11     12     2【思路点拨】根据质数和合数的意义：一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数。【规范解答】解：。【考点评析】此题考查的目的是正确理解质数和合数的意义。24．（2019•衡阳模拟）把下面的数分解质因数（从上到下，从左到右填写）．【思路点拨】明确分解质因数就是把一个合数写成几个质因数连乘积的形式，一般先从较小的质数试着分解．【规范解答】解：18＝2×3×3故完成填空如下：【考点评析】此题主要考查分解质因数的方法．