专题10《比例的认识及问题解决》 ——2022-2023学年小学数学六年级下册小升初全国通用版专题复习讲义（原卷版+解析版）

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2022-2023学年小升初数学举一反三重难点培优讲义专题10 比例的认识及问题解决考点梳理知识要点高分妙招比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例比例的基本性质1.组成比例的四个数，叫做比例的项,两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。2.比例的基本性质:在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。用式子表示:若a:b=c:d或(b,d不为0),则ad= bc。1.当比例的形式为 时,a和d仍为外项,b和c仍为内项。2.根据比例的基本性质不仅能判断两个比是 否能组成比例,还能解比例。3.根据一个比例，可以另外写出几个不同的比例，但内项的积始终和外项的积相等。解比例求比例中的未知项叫做解比例根据比例的基本性质,已知比例中的任何三项,就可以求出比例中的另外一个未知项。正比例与反比例1.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也    随着变化，如果这两种量中相对应的两个  数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的  量，它们的关系叫做正比例关系。用式子表示为:=k(一定)；2.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也  随着变化，如果这两种量中相对应的两个数  的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的 量,它们的关系叫做反比例关系。用式子表示为:xy=k(一定)。1.正比例的判定:先判断两种量是不是相关的量,即一种量变化,另一种量也随着变化,再判断这两种量相对应的两个数的比值是否一定。正比例关系的图象是一条经过原点的直线。2.反比例的判定:先判断两种量是不是相关的量，再判断这两种量相对应的两个数的乘积是否一定。反比例关系的图象是一条光滑的曲线。正、反比例的应用解决正、反比例的实际问题的方法:1.找出题目中两种相关联的量2.判断它们是不是成正比例或反比例的关系,设未知数3.根据正比例或反比例的意义列出比例4.最后解比例5.检验6.作答根据题目中的数量关系,判断两种量是否成比例，列出对应关系解答。比例尺1.比例尺:一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。2.公式:图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺。3.比例尺可分为数值比例尺和线段比例尺。比例尺是比,不能带计量单位。求比例尺时，图上距离和实际距离的单位要统一,比例尺一般写成前项为“1”或后项为“1”的形式。高频考点01：比例的意义和基本性质【典例精讲01】（2022•坪山区）下面各式中，能与5：6组成比例的是（　　）A． B．1.5：1.6 C． D．6：5【思路点拨】先求出5：6的比值，然后逐项求出每一个比的比值，再根据比例的意义，与5：6的比值相等的两个比就能组成比例。【规范解答】解：5：6＝；A.：＝÷＝，＝，能组成比例；B.1.5：1.6＝，≠；不能组成比例；C.：＝÷＝，≠，不能组成比例；D.6：5＝，≠，不能组成比例。故选：A。【考点评析】此题考查比例的意义和性质的运用：判断两个比能否组成比例，可以用求比值的方法：两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例；也可以根据比例的性质：两外项的积等于两内项的积判断。【举一反三01】．（2022•武进区模拟）下面各比中，（　　）能与：4组成比例。A．5：4 B．20：1 C．1：20 D．5：【举一反三02】（2022•淮上区）a的等于b的，求a与b的最简比。在写出等式a×＝b×后，小华和小明使用了两种不同的方法。（1）小华假设了一个具体的数值。例如，假设等号两边的积都等于1，那么，a＝　　，b＝　　，a与b的最简比是 　。（2）小明运用比例的基本性质，根据上面的等式直接写出比例a：b＝　 　，再化简成最简比就可以。【举一反三03】（2022•殷都区）把2.4×5＝2×6改写成比例为 　               　。高频考点02：正比例和反比例的意义【典例精讲02】（2022•无棣县）下面表格中，如果a和b成反比例，那么空格中应该填 　0.25　；如果a和b成正比例，那么空格中应该填 　0.64　。a58b0.4 【思路点拨】两个相关联的量，若两个量成正比例关系，则其比值一定；若两个量成反比例关系，则其乘积一定。【规范解答】解：若a和b成反比例，则：   8b＝5×0.4    8b＝28b÷8＝2÷8     b＝0.25若a和b成正比例，则：5：0.4＝8：b      5b＝0.4×8      5b＝3.2  5b÷5＝3.2÷5        b＝0.64故答案为：0.25，0.64。【考点评析】解决本题的关键是根据成哪种比例关系列出比例式，再根据等式的性质解比例。【举一反三04】（2022•富县）自行车前齿轮转的圈数×前齿轮齿数＝后齿轮转的圈数×后齿轮齿数．　 　（判断对错）【举一反三05】（2022•宁强县）某台榨油机的生产时间与产量的关系如下。生产时间/时0123456产量/吨04812162024（1）判断这台榨油机的生产时间与产量是不是成正比例，并说明理由。（2）根据表中数据，在图中描出这台榨油机的生产时间与产量所对应的点，再把这些点依次连接起来。（3）这台榨油机4.5时可以榨 　   　吨油；榨70吨油需要 　       　时。【举一反三06】（2020•清丰县）已知x与y成正比例关系，在下表的空格中填写合适的数。x12 45 20y2.5 7.5  20    高频考点03：正比例【典例精讲03】（2020•木兰县）下列各题中的两种量，成正比例的是（　　）A．小东的身高和体重 B．圆的半径和面积 C．圆的半径和周长【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。【规范解答】解：A.身高和体重的比值不一定，所以小东的身高和体重不成比例；B.圆的面积÷半径＝圆周率×半径，圆周率乘半径的乘积不一定，所以圆的面积和圆的半径不成比例；C.圆的周长÷圆周率÷2＝半径（一定），所以圆的半径和周长成正比例。故选：C。【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。【举一反三07】（2022•防城港模拟）图是超市出售一种笔的支数和总价的关系图。（1）图中总价是随着支数的变化而变化，这两种量成 　 　比例。（2）售出2支笔的总价是 　    　元，售出 　 　支笔的总价是32元。（3）售出了12支笔，总价是        　元。【举一反三08】（2021•平舆县）车轮周长一定，所行驶的路程和车轮的转数成　 　比例．【举一反三09】（2022•临县）一辆轿车在公路上行驶的时间和路程的情况如表。时间/时0123456…路程/km090180270360450540…（1）判断轿车行驶的路程与时间是否成正比例，并说明理由。（2）在图中描出轿车行驶的路程与时间相对应的点，并将这些点连接起来。（3）这辆轿车3.5时可以行驶 　   　km；行驶495km需要 　     　时。  高频考点04：反比例【典例精讲04】（2021•东莞市）表中，如果a和b成反比例关系，空格里应填（　　）a46b 12A．2 B．8 C．18 D．24【思路点拨】如果a和b成反比例关系，则a与b的乘积一定，据此列比例式解答。【规范解答】解：如果a和b成反比例关系，则：    4b＝6×124b÷4＝72÷4     b＝18故选：C。【考点评析】两种相关联的量成反比例关系，则两种量的乘积一定。【举一反三10】（2022春•平乡县校级月考）成反比例的量是（　　）A．A和B互为倒数 B．圆柱的高一定，体积和底面积 C．被减数一定，减数与差 D．除数一定，商和被除数【举一反三11】（2022•玉田县）面粉厂要包装一批面粉，每袋面粉的质量和所用的袋数情况如下表：根据所给数据将表格填写完整。每袋质量（千克）510152025所用袋数（袋）1200600400　 　　  　【举一反三12】（2016•舟山校级模拟）从甲城出发到乙城，汽车的速度与所需的时间成反比例．　 　（判断对错）高频考点05：辨识成正比例的量与成反比例的量【典例精讲05】（2022•惠城区）下面说法中错误的是（　　）A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例 B．铺地面积一定，方砖的面积与所需的块数成反比例 C．一个圆的面积和它的半径成正比例 D．正方形的周长和它的边长成正比例【思路点拨】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。平行四边形的面积（一定）＝底×高，铺地的总面积（一定）＝每块方砖的面积×需要的块数，圆的面积÷它的半径＝圆周率×半径，正方形的周长÷边长＝4（一定），结合正比例和反比例的意义即可判断。【规范解答】解：A．平行四边形的面积（一定）＝底×高，是乘积一定，所以底和高成反比例；原句正确；B．铺地的总面积（一定）＝每块方砖的面积×需要的块数，是乘积一定，所以方砖的边长与所需的块数成反比例；原句正确；C．一个圆的面积÷它的半径＝圆周率×半径，半径不一定，则圆周率×半径就不一定，是比值不一定，所以圆的面积和它的半径不成正比例，原句错误；D．正方形的周长÷边长＝4（一定），是对应的比值一定，所以正方形的周长和边长成正比例，原句正确。故选：C。【考点评析】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，还是对应的其它量一定，再做出判断。【举一反三13】（2022•黔东南州），当A一定时，B与C成　 　比例；当C一定时，A与B成　 比例．【举一反三14】（2022•济宁）正方体的一个面的面积和它的表面积成正比例．　 ．（判断对错）     【举一反三15】（2022•华阴市）五一期间，购买华山门票的张数与应付金额如表：张数/张01234……应付金额/元0180360540720……（1）购买门票的张数与应付金额成正比例吗？为什么？（2）先根据上表描点，再顺次连接各点。（3）某旅行社五一期间购买了65张华山门票，一共需要多少元？     高频考点06：解比例【典例精讲06】（2022•青州市）解比例（方程）。x：＝：＝8x﹣2.4×5＝36【思路点拨】（1）将比例式化成方程后两边同时除以；（2）将比例式化成方程后两边同时除以9；（3）先算2.4×5，然后方程的两边同时加上2.4×5的积，最后两边同时除以8。【规范解答】解：（1）x：＝：                x＝×         x÷＝÷                    x＝2（2）＝              9x＝0.45×1.6          9x÷9＝0.72÷9                x＝0.08（3）8x﹣2.4×5＝36             8x﹣12＝36        8x﹣12+12＝36+12              8x÷8＝48÷8                    x＝6【考点评析】本题考查了解方程和解比例，解题过有要利用等式的性质。【举一反三16】（2022•云南）求未知数x的值。（每题3分，共9分）1.4x+5.7＝9.2    【举一反三17】（2022•惠阳区）解比例．0.7：18＝21：x              ＝               6：x＝：．   【举一反三18】（2019春•西安期末）解方程或比例．x+x＝5           x：32＝0.4：6.4    高频考点07：比例的应用【典例精讲07】（2022•睢县模拟）在一个此例中，两个内项互为倒数数，一个外项是，则另一个外项是 　　。如果5a＝9b，那么 　b　：　a　＝5：9。【思路点拨】根据比例的基本性质，在一个比例中，两个内项互为倒数，则两个外项也互为倒数，互为倒数的两个数的乘积是1，所以用1除以一个外项就等于另一个外项。根据比例的性质，9和b是外项，5和a是内项，据此写出比例。【规范解答】解：1÷＝答：另一个外项是。因为5a＝9b，所以b：a＝5：9。故答案为：；b，a。【考点评析】本题考查了倒数的意义和比例的基本性质。【举一反三19】（2021•汶上县）甲杯糖水中糖与水的质量之比是1：4，乙杯糖水中糖与水的质量之比是2：7，乙杯中的糖水甜一些。 　 　（判断对错）【举一反三20】（2022•鼓楼区）为了抗击疫情，先锋口罩厂计划生产一批口罩，如果每天生产4万只，需要25天才能完成，实际只用20天就完成任务，实际每天生产多少万只口罩？（用比例知识解）   【举一反三21】（2021•西安）一个筑路队铺一段铁路，原计划每天铺3.2千米，实际每天比原计划多铺25%，实际铺完这段铁路用了12天，原计划用多少天铺完？（用比例解）   一．选择题1．（2022•电白区）下面各题，两种量成正比例关系的是（　　）A．汽车的速度一定，行驶的时间和路程 B．圆的面积与它的半径 C．平行四边形面积一定，它的底和高 D．长方形周长一定，它的长和宽2．（2022•阳信县）下面说法正确的有（　　）个。①圆的面积与半径成正比例。②0是整数，但不是负数。③一个班有男生25人、女生22人，至少有2个女生是同一个月出生的。④方程一定是等式，等式不一定是方程。⑤一吨的铁要比一吨的棉花重。A．1 B．2 C．3 D．43．（2022•黄陵县）下面各组中的两个比，可以组成比例的是（　　）A．6：3和1.2：6 B．：8和8： C．9：6和6：4 D．1.2：和：54．（2022•巩义市）下面说法错误的是（　　）A．6，4，2和5这四个数能组成比例 B．6个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人 C．一辆变速自行车，前齿轮的齿数为：48，40；后齿轮的齿数为：28，24，20，18，16，14。一共有12种组合5．（2022•章丘区模拟）如图所示，圆的面积与长方形面积相等，则阴影部分的周长与圆周长的比是（　　）A．5：4 B．1：1 C．3：4 D．4：5二．填空题6．（2022•未央区）如果3a＝4b（a、b都不为0），那么a和b成 　   　比例。当b＝0.6时，a＝　   　。7．（2022•立山区）已知0.6×80＝40×1.2，分别写出两个不同的比例。 　   　8．（2022•虞城县）a和b均不为0，如果＝b，那么a与b成 　   　比例，如果＝，那么a与b成 　   　比例。9．（2022•方城县）一个比例的两个外项的积是最小的质数，其中一个内项是，另一个内项是 　   　。10．（2022•长沙）用a、4、5、12四个数可以组成比例，a最大是 　   　。11．（2022•新密市）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是2.4，则另一个内项是 　   　。12．（2018•阆中市）一个数能与3，4，5组成比例，这个数最大是　   　．三．判断题13．（2022•惠东县）如果7A＝9B（A、B都不等于0），那么A：B＝9：7。 　   　（判断对错）14．（2022•鲁山县模拟）小圆周长与半径的比和大圆周长与半径的比不可以组成比例。 　   　（判断对错）15．（2022•泌阳县模拟）变速自行车蹬同样的圈数时，前后轮齿数比的比值越大，自行车走得越远。 　   　（判断对错）四．计算题16．（2022•扬州）解方程或比例。 （4.8+x）÷4＝2.5x+＝x：6.5＝4：3.25  17．（2022•西安）解方程。：x＝0.5：0.220x÷4＝0.25 五．应用题18．（2021•府谷县）工人加工一批零件，每小时加工个数与加工时间如表：每小时加工个数/个10203050…加工时间/时60302012…（1）每小时加工个数与加工时间是不是成反比例？说明理由。（2）如果工人每小时加工40个零件，加工完这批零件需要多少小时？   19．（2022•崂山区）测量小组测量教学楼的影子长是22.5米，同时量得附近一个3米高的篮球架的影子长是4.5米，教学楼高多少米？（用比例知识解答）   20．（2019•天河区模拟）晴晴全家“五一”到中山公园游玩，拍了许多照片，她买了一本相册，如果每页放6张照片，刚好放16页，现在晴晴打算每页只放4张，25页够放下这些照片吗？（用比例解） 六．操作题21．（2022•薛城区）芳芳用水和蜂蜜为一家人调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情况如表。四杯蜂蜜水的配比情况统计表 第一杯第二杯第三杯第四杯蜂蜜/mL12111014水/mL60446070（1）其中最甜的一杯给弟弟，弟弟喝的是第 　   　杯蜂蜜水，你判断的理由是 　   　。（2）同样甜的两杯给爸爸和妈妈，请你根据这两杯蜂蜜水的配比情况把它们组成一个比例 　   　。七．解答题22．（2021•邻水县）某工厂每天的烧煤量和烧的天数的情况如表。每天的烧煤量（吨）461218烧的天数（天）9632（1）表中两种量成什么关系？说明理由。（2）如果每天烧5吨煤，照这样计算，可以烧几天？（3）如果10天烧完，每天烧多少吨煤？   23．（2022•石泉县）王奶奶家装修房子，用面积是9平方分米的方砖铺地要用160块，如果改用边长为4分米的方砖铺地，要用多少块？（用比例解）      24．（2021•合阳县）某造纸厂造纸吨数和造纸时间如表。造纸时间/时0123456……造纸吨数/吨00.511.522.53……（1）造纸吨数与造纸时间是否成正比例关系？为什么？（2）根据表中的数据，在图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。（3）该造纸厂4.5小时可以造纸 　   　吨，造3.75吨纸需要 　   　小时。 25．（2021•阎良区）某环保节能造纸厂生产总量与所用时间如表。时间/天012345……生产总量/吨01224364860……（1）生产总量和时间成正比例关系吗？说明理由。（2）在图中描出时间与生产总量对应的点，再顺次连接。（3）8天可以生产 　   　吨纸，生产90吨纸需要 　   　天。 26．（2019•杭州模拟）买来一批煤，计划每天烧吨，可烧20天；实际每天比原来节约20%，这样可以烧多少天？（用比例解答）    27．（2019•杭州模拟）一个晒盐场用100克的海水，可以晒出3克盐．如果一块盐田一次放入5000吨的海水，可以晒出多少吨盐？