专题20《探索规律》 ——2022-2023学年小学数学六年级下册小升初全国通用版专题复习讲义（原卷版+解析版）

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2022-2023学年小升初数学举一反三重难点培优讲义专题20 探索规律小升初数学中的找规律问题主要包括数字规律、图形规律、算式规律、数与形结合的规律，周期规律等。我们需要通过观察分析,找到数列中的规律,然后填空解答知识点一：数字中的规律1.一组数中，在相邻的两个数的和、差、倍、商（比）的关系中发现规律；2.一组数中，每个位置上的数分别是它所在位置序号的平方或者立方；重要提示：根据规律找到空缺的数后注意与前后数运用规律检验知识点二：图形中的规律1.根据图形的排列特点，找出图形的排列规律，通常有对称、结合、按顺时针（逆时针）旋转变换.....2.可通过观察、分析、猜想等方法探索知识点三：算式中的规律1.先要真正观察算式与结果的特点，再根据规律计算出这一类算式结果2.可运用计算器计算，发现得数的规律。知识点四：数形结合中的规律1.通过考虑图形的排列、次序与数的排列规律，解决实际问题2.可将“形”转化为“数"，再探索变化规律。知识点五：周期规律1.找出图形或数字依次重复出现的现象，从而找出规律解决问题2.关键是找准周期，并了解每个周期的构成。知识点六：找规律问题常见策略1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。5.对于几列数组成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的方法，有时需要综合运用其他知识，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；6.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关，这是我们解这类题的突破口。重要提示：对于找到的规律，应该适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式.高频考点01：算术中的规律【典例精讲01】（2022•漳平市校级模拟）根据你发现的规律，算式1234567×8+7的得数是（　　）1×8+1＝912×8+2＝98123×8+3＝987A．9876 B．98765 C．987654 D．9876543【思路点拨】根据题意，1×8+1＝9，12×8+2＝98，123×8+3＝987，发现：第二个因数都是8，加号右边的数与等号右边个位上的数之和＝10，第一个因数与等号右边数的各个位上的数的和是10，进而完成选择。【规范解答】解：1+9＝2+8＝3+7＝4+6＝5+5＝6+4＝7+3，算式1234567×8+7＝9876543。故选：D。【考点评析】此题重点考查根据已知式子总结出规律，应用规律解决问题。【举一反三01】（2022•九江）将化成小数后，小数点后第1980位上的数字是 　 　．【举一反三02】（2022•岷县模拟）商店出售的鞋子规格大小有两种表示方法：“厘米”“码”．一般鞋子上标的号为厘米数，如“22”，表示22.5．厘米，口语称其为“35码”，21厘米称为“32码”，“17码”是13厘米…小明穿34码地鞋子，鞋子上标号应是      厘米，爸爸的鞋上标有“26”，他的鞋码是       　．【举一反三03】（2021•海门市模拟）有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，如246，1347等等，这类数中最大的自然数是                 高频考点02：数列中的规律【典例精讲02】（2021•固始县）有一串数，，，，，…则第50个数是（　　）A． B． C．【思路点拨】＝，＝，＝，这样这列数就变成了：，，，，……分子依次增加1，而且比它的项数多1；分母依次增加2，而且是项数的2倍；由此分别找出第50项的分子和分母，从而解决问题．【规范解答】解：第50项的分子是：50+1＝51分母是：50×2＝100所以第50个数是：．故选：C．【考点评析】解决本题注意把给出的分数进行变形，分别找出分子和分母的变化规律，再根据这个规律求解．【举一反三04】．（2022•长寿区）数学课上，小林构思了一组有规律的数，你能发现是什么规律吗？请你按规律接着写一个数。4，7，13，25，　        　。【举一反三05】（2021•建昌县）找规律：1，，，，　　，……  【举一反三06】（2020•肇源县）一列分数的前5个是、、、、．根据这5个分数的规律可知，第6个分数是　　．  高频考点03：“式”的规律【典例精讲03】（2021•泉州）（1）观察各算式，请写两个这样的算式。7＝2+2+39＝3+3+311＝2+2+713＝3+3+715＝3+5+7……①　17＝5+5+7　②　19＝3+5+11　（2）观察这些算式，我发现：　7以上的奇数（包括7）都可以表示成三个质数的和　。【思路点拨】观察各式发现：7以上的奇数（包括7）都可以表示成三个质数的和，据此回答即可。【规范解答】解：（1）①17＝5+5+7；②19＝3+5+11；（答案不唯一）（2）观察这些算式，我发现：7以上的奇数（包括7）都可以表示成三个质数的和。（答案不唯一）故答案为：17＝5+5+7；19＝3+5+11；7以上的奇数（包括7）都可以表示成三个质数的和。（答案不唯一）【考点评析】本题主要考查式的规律，关键是先根据算式找到规律，再求解。【举一反三07】（2020秋•泾县期末）1+3＝4＝221+3+5＝9＝321+3+5+7＝16＝421+3+5+7+…+97+99＝　              　2．分的变化规律后直接利用规律求解．【举一反三08】（2022•登封市）观察如图所示图形与算式的规律并解决问题。 （1）根据前三个图形与算式的规律，写出上面图形对应的算式。（2）根据以上观察，n2﹣（n﹣1）2＝　          　。（3）利用上面发现的规律计算下面算式的结果。102﹣92+82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣12＝　        　。 【举一反三09】（2021•永康市）观察算式105＝3×35＝5×21；而3×35＝192﹣162；5×21＝132﹣82。由此得到平方和等式：192+82＝162+132。请仿照这种方法，通过对99进行不同的因数分解，写出类似的所有可能的平方和等式。   高频考点04：数与形结合的规律【典例精讲04】（2022•房山区模拟）某餐厅里，一张桌子可坐6人，如图，按照上面的规律，n张桌子能坐（　　）人。A．6n+4 B．4n+4 C．4n+2 D．6n+6【思路点拨】1张桌子可坐6人，即4×1+2；2张桌子可坐10人，即4×2+2；3张桌子可坐14人，即4×3+2；……n张桌子能坐的人数为：4n+2。【规范解答】解：根据分析可知，n张桌子能坐（4n+2）人。故选：C。【考点评析】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1张桌子就多坐4人是解本题的关键。【举一反三10】（2022•兴平市）观察下面图形的规律，其中第1个图形由4个小正方形组成，第2个图形由7个小正方形组成，第3个图形由10个小正方形组成，…按此规律排列下去，则第n个图形由（　　）个小正方形组成。A．4n B．2n﹣1 C．3n+1 D．3n﹣1【举一反三11】（2023•东城区模拟）按如图的规律排列，第一个图形由4张卡片组成，第四个图形由 　          　张卡片组成。  【举一反三12】（2022•昆明）下图是一组有规律的图案，第①个图案由4个基础图形组成，第②个图案由7个基础图形组成，那么第③个图案由       　个基础图形组成，第⑩个图案由 　       　个基础图形组成。高频考点05：数表中的规律【典例精讲05】（2021•平原县模拟）观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a、b、c的值分别为（　　）A．20、29、30 B．18、30、26 C．18、20、26 D．18、30、28【思路点拨】从表一中可以看出，第一行和第一列为1、2、3、4…，第二行、第二列的数是4＝2×2，第三行、第四列的数是12…第n行、第m列的数是n×m，由此来判断即可得解．【规范解答】解：表二：12、15、a，因为3×4＝12，3×5＝15，可以判断出a为第三列、第六行，即a＝3×6＝18；表三：4×5＝20，4×6＝24，5×5＝25，可以判断出b在第五行、第六列，即b＝5×6＝30；表四：3×6＝18，4×8＝32，可以判断出c在第四列、第七行，即c＝4×7＝28；故选：D．【考点评析】此题考查了数表中的规律，认真观察表一，得出普遍规律，在表二、表三、表四中代入数值依次推出a、b、c所在行和列是解决此题的关键．【举一反三13】（2017•长沙）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：输入…12345…输出……那么，当输入数据是8时，输出的数据是（　　）A． B． C． D．【举一反三14】（2021•罗湖区）如图是一张月历卡，用形如 的长方形去框月历卡里的日期数，每次同时框出3个数．框出的3个数的和最大是　   　，一共可以框出            　种不同的和． 【举一反三15】（2018•岳麓区）观察如图，第1、2、3、4排各排数据的和分别是1、2、4、8，则第5排各数据的和是　            　．高频考点06：事物的间隔排列规律【典例精讲06】（2021•乌鲁木齐）广场上有一排彩旗，按一面红旗，二面黄旗，三面绿旗的顺序排列，第2021面是  　颜色。【思路点拨】根据题意，每1+2+3＝6（面）彩旗一循环，计算第2021面彩旗是第几组循环零几面，即可判断其颜色。【规范解答】解：2021÷（1+2+3）＝2021÷6＝336（组）……5（面）所以第2021面与第5面一样，是绿色的。答：第2021面是绿颜色。故答案为：绿。【考点评析】先找到规律，再根据规律求解。【举一反三16】（2021•平舆县）在□□□〇〇△△□□□〇〇△△……中，左起第200个图形是 　 ，前100个图形中共有 　        　个△。【举一反三17】（2020•百色）军军用100张多米诺骨牌按照5张红牌，3张黄牌，5张红牌，3张黄牌……的规律排列，第100张多米诺牌的颜色是 　      　色。【举一反三18】（2022•英德市）海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光，如图是表示前15秒灯光明暗的变化情况：第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第47秒是 　 　的。高频考点07：简单周期现象中的规律【典例精讲07】（2022•如东县模拟）12345679被称为“缺8数”。小敏用它排成一排：123456791234567912345679……从左往右数，排在第30位上的数字是 　6　，这前30个数字的和是 　132　。【思路点拨】由题意可知，这列数的循环周期是8，用30除以8，求出商和余数，根据余数是几，排在第30位上的数字就是循环周期的第几个数字；计算出1+2+3+4+5+6+7+9＝37，再用循环周期的个数乘37，再加上余数个数字的和。【规范解答】解：30÷8＝3（个）……6所以排在第30位上的数字是6。1+2+3+4+5+6+7+9＝3737×3+（1+2+3+4+5+6）＝111+21＝132答：排在第30位上的数字是6，这前30个数字的和132。故答案为：6；132。【考点评析】找出循环周期是解题的关键。【举一反三19】（2022•昌江县模拟）有88个图形按……的顺序排列，第46个图形是 　        　。【举一反三20】（2022•科左中旗一模）※〇〇□※〇〇□※〇〇□…左起第22个图是 　 　，前62个图形中共有              　个※．【举一反三21】（2021•上蔡县）＝0.4285，小数点后第100位上的数是5。 　 　（判断对错）一．选择题1．（2022•淅川县）如图所示，用白色小正方形和黑色长方形按照下面的摆法，组成不同的长方形。当摆5个黑色长方形时，四周需要摆（　　）个白色小正方形。A．16 B．20 C．26 D．362．（2022•金溪县）华罗庚说：数缺形时少直观，形缺数时难入微。下列数与形表达错误的是（　　）A．把整个长方形看作1公顷，涂色部分表示公顷的 B．大正方形的面积是1dm2 C．下面最大正方形的面积是a2+2ab+b2 D．如图从甲到乙的路程设为x千米，则可列出的方程是：（1﹣）x＝503．（2021•泾阳县）用小火柴摆“小金鱼“，如图所示。摆第1个图用了6根小火柴，摆第2个图用了10根小火柴，摆第3个图用了14根小火柴。按照这样的规律接着摆，摆第12个图需要（　　）根小火柴。A．54 B．48 C．46 D．504．（2021•神木市）观察如图所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第九个图中共有（　　）个〇。A．26 B．28 C．30 D．325．（2021•白水县）如图图形是由大小相同的小正方形按照某种规律排列而成的，第1个图中有8个小正方形，第2个图中有13个小正方形，第3个图中有18个小正方形，按照这样的规律，第20个图中有（　　）个小正方形。A．103 B．113 C．118 D．108二．填空题6．（2022•管城区）用同样大小的黑色五角星按如图的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，摆第6个图案需要 　   　个黑色五角星，摆第10个图案需要 　   　个黑色五角星。7．（2022•龙川县）摆三角形。三角形个数摆成的图形小棒根数1 32 53 7………（1）用含有字母的式子表示摆n个三角形需要的小棒根数是 　   　。（2）如果摆50个三角形，需要 　   　根小棒。8．（2022•金安区）按照如图的方式将照片钉在墙上。5张照片需要 　   　个钉子，n张照片需要 　   　个钉子。9．（2022•双台子区）如图是琳琳用小棒摆出的“房子”，想一想，琳琳要摆出10间这样房子要用 　   　根小棒。10．（2022•米脂县）将黑色棋子按照一定规律排列成一系列如图所示的图案，第1个图中有8枚黑棋子，第2个图中有13枚黑棋子，第3个图中有18枚黑棋子，按照此规律，第9个图中有 　   　枚黑棋子。11．（2022•江都区）数学中规定：连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。正多边形…… 边数456……一个顶点可画对角线数量123……对角线总数量 259……聪聪是个喜欢思考的学生，他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律（如图），照这样的规律，正七边形共有 　   　条对角线，正n边形共有 　   　条对角线。12．（2022•郏县）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA……的顺序沿正方形的边循环移动。（1）第一次到达G点时移动了 　   　cm。（2）当微型机器人移动了2022cm时，它停在点 　   　。13．（2022•邢台）  （1）摆4个连着的五边形需要 　   　根小棒。（2）摆2022个连着的五边形需要的小棒，可组成 　   　正方形相框。三．解决问题14．（2018•黄陂区）小明用面积为1cm2的正方形卡纸拼摆图形．（1）像这样拼下去，第（5）个图形要用多少张小正方形卡纸？（2）如果要在第n个图形的外围用铁丝镶上一圈边框，至少需要多少厘米铁丝？     15．（2017•长治）地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同？（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）    16．（2022•建阳区）探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如：（1）根据上面这组乘法算式的特点，在右边横线上再写一组这样的算式　   　。（2）观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？（3）奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是 　   　。A.（a+1）×（a﹣1）＝a2+1B.（a+1）×（a﹣1）＝a2C.（a+1）×（a﹣1）＝a2﹣1D.（a+2）×（a﹣2）＝a2+2（4）根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝　   　。         17．（2022•丹江口市）根据如图所示中小正方体的摆放方式填表。小正方体的个数12345……a露在外面的面的个数5    ……     18．（2022•新晃县）探究题：（1）一张平底锅每次最多只能煎两条鱼，煎一条鱼要6分钟（正、反面各3分钟），那么煎7条鱼至少要用 　   　分钟。（2）李叔叔要给房间的四壁涂上不同的颜色，可不管怎么涂，总有两面墙壁的颜色是一致的。李叔叔用的颜料最多有 　   　种颜色。（3）菱形纸片按照规律拼成如下图案，第 　   　个图案中恰好有2020个菱形纸片。         19．（2019•杭州模拟）仔细观察图形，找出变化规律，想一想空白处应该怎样填？试着画一画吧！20．（2018•海安县）平面内6个点最多可以连成多少条线段？8个点呢？学着下面的图画一画、数一数，你一定能发现其中的规律．  21．（2023•海淀区模拟）实践与探索：甲袋有2005个白球和1000个黑球，乙袋装有2006个黑球，小江每次从甲袋中取出2个球，如果同色，就从乙袋中取出一个球放到甲袋（取出的两个球不放回）；如果异色，就将白球放回甲袋（黑球不放回），请你探索：（1）小江每次取出的2个球的颜色有几种情况？（2）小江每次操作后甲袋中球的个数有何变化？为什么？（3）小江这样的操作进行3003次后，试确定甲袋中剩余球的颜色及其个数，并说明理由．        22．（2022•南城县）平衡中发现!下面是粗细均匀的木杆，在木杆的最中间位置放置一个平衡装置将木杆的左右两点刻上长度均匀的线，并标上数字，如图。（1）若在左侧数字5的位置悬挂6个质量均为50克的砝码，那么在平衡点右侧数字6位置需悬挂 　   　个同样质量砝码才能保持木杆平衡。（2）若右侧数字3处放置400克的物品，那么在左侧数字6处要放置 　   　克的物品才能保持木杆平衡。（3）我发现：要使木杆平衡，必须满足物品的质量与放置的位置所标的数字成 　   　比例。    23．（2022•南城县）原来如此!将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第一图形有4个小圆，第二个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，.....，依次规律，第99个图形的小圆有 　   　个。A.8802 B.9902 C.8856 D.18624．（2022•黄骅市）找规律填空。（1）1，2，3，5，8，13，21，　   　••••••（2）1，4，9，16，25，　   　••••••（3）一些小球按如图的方式堆放，第9堆有 　   　个小球。   25．（2022•如皋市）计算2+4+6+8+10+12……这样的算式有简便方法吗？丁丁遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图形研究。（1）观察表格，请把下面的等式补充完整。序号1234……图形　小圆片个数22+42+4+62+4+6+8……2＝1×22+4＝2×32+4+6＝3×42+4+6+8＝　   　×　   　（2）若按此规律继续摆，则序号为12的图形共有 　   　个小圆片；序号为n的图形共有 　   　个小圆片。   26．（2022•南山区）如图，直角三角形三条边的长度分别是3cm、4cm、5cm。（1）请算出这个直角三角形的面积。（2）分别绕这个直角三角形的两条直角边旋转一周，能够形成两个圆锥，请算出体积较大的那个圆锥的体积。（3）笑笑有3cm、4cm、5cm的小棒若干根，他设计了如图的拼图方案：照这样拼下去，第⑧个图形需要小棒 　   　根，第a个图形需要小棒 　   　根。   27．（2022•南通）根据正方形与直角三角形个数之间的关系把下表填写完整。正方形个数234……8……　   　……n直角三角形个数4812……　   　……100……　   　28．（2022•南通）计算2+4+6+8+10+12……这样的算式有简便方法吗？丁丁遇到这个问题时，想到用“数形结合”的方法来探索，于是他用小圆片摆图形研究。（1）观察表格，请把如表的等式补充完整。序号1234…圆形…小圆片个数22+42+4+62+4+6+8…2＝1×22+4＝2×32+4+6＝3×42+4+6+8＝　   　×　   　（2）若按此规律继续摆，则序号为12的图形共有 　   　个小圆片：序号为n的图形共有 　   　个小圆片。