专题25《综合与实践》 ——2022-2023学年小学数学六年级下册小升初全国通用版专题复习讲义（原卷版+解析版）

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2022-2023学年小升初数学举一反三重难点培优讲义专题25 综合与实践知识点一：邮票中的数学问题探索合理的邮资支付的方式：（1）首先确定信函处于不同质量范围内应付的邮资；（2）再根据这些邮资的数值寻找满足条件的邮票组合。重要提示：要做到经济、合理、不浪费知识点二：有趣的平衡竹竿保持平衡的规律是：必须使“左边的刻度×左边的重量=右边的刻度×右边的重量"知识点三：统筹优化1. 合理安排时间：（1）弄清所做事情的顺序，即先做什么，后做什么；（2）根据生活实际判断哪些事情可以同时做，哪些事情只能单独做。2.用天平找次品规律：(1)把所有物品尽可能平均地分成3份，（如余1则放入到最后一份中；如余2则分别放入到前两份中），保证找出次品而且称的次数一定最少。(2)数目与测试的次数的关系：2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次244～729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次重要提示：若不知道次品是重还是轻，则上述次数加1知识点四：抽屉原理1.抽屉原理（一）：一般来说将（n+1）个或更多个物体放到n个抽屉里，就一定有一个抽屉放进了2个物体。2.抽屉原理（二）：把多于mn个的物体放进n个抽屉里，则一定有一个抽屉里至少放进了（m+1）个物体。3.物体数抽屉数=商……余数       商+1=至少数知识点五：数字编码1.邮政编码：邮政编码由六位阿拉伯数字组成，前两位表示省（自治区、直辖市），第三位表示邮区，第四位表示县（市），最后两位表示投递局（所）。2.身份证编码：身份证的号码由18位数字组成，第1，2位为各省级政府的代码；第3.4位为地，市级政府的代码；第5，6位为县、区级政府的代码；第7-14位为出生年月日；第15-17位为顺序号及性别区分，单数为男性分配码，双数为女性分配码，第18位为校验码高频考点01：数字编码【典例精讲01】（2017•广陵区）育才小学用入学年份、班级数、学号和性别代码给学生编号．如200901301前四位“2009”表示2009年入学上一年级，接下来的两位“01”表示1班，再后面的两位“30”表示学号是30号，最后一位表示性别，男生为“1”，女生为“2”．那么编号为200410012表示的是（　　）A．2006级1班1号女生 B．2004级10班1号女生 C．2005级10班1号女生 D．2004级 1班10号女生【思路点拨】根据编号的方案可知：前四位数字代表入学年份，第五、六位数字表示班级，第七、八位表示学号；最后一位表示性别，1表示男生，2表示女生，由此求解即可．【规范解答】解：根据题意，编号为200410012表示的是2004年入学上一年级，接下来的两位“10”表示10班，再后面的两位“01”表示学号是1号，最后一位表示性别，2为女生，所以表示的是：2004级10班1号女生．故选：B。【考点评析】本题主要考查数字编码问题，先根据给出的编号方案，找出各个位上数字的含义，再由此求解．【举一反三01】（2022•昌平区模拟）北京普通小客车“一牌难求”！北京小客车指标办数据显示，截止2018年2月8日24时，普通小客车指标申请个人共有2800927个有效编码，2月26日将从有效编码中随机摇出个人普通小客车指标6460个，中签率仅为0.05%。王叔叔从2013年1月就参加摇号，至今没有中签。根据以上信息，下面说法正确的是（　　）A．中签率仅为0.05%，王叔叔肯定摇不上号 B．虽然中签率仅为0.05%，但也有可能摇上号 C．王叔叔明年肯定能摇上号 D．王叔叔五年都没摇上号，他认为再摇5年也一定摇不上号【思路点拨】根据题目可知，中签率仅为 0.05%，根据可能性的大小来分析即可。【规范解答】解：A．中签率仅为0.05%，还是有一定几率中签，所以肯定摇不上号不符合题意；B．中签率仅为0.05%，还是有可能摇上号；符合题意；C．王叔叔明年的中签率还是0.05%，明年也有可能摇不上号；不符合题意；D．王叔叔五年没摇上号，下一年可能摇上号，原题说的太绝对；不符合题意。故选：B。【考点评析】本题主要理解可能性，能够清楚的理解它的含义并灵活运用。【举一反三02】（2022•怀远县）学校为每个学生编号，设定末尾1表示男生：0表示女生，“201013321”表示“2010年入学的一年级三班的32号男同学。”“王芳是2012年入学的一年级二班的28号女同学”，她的学号是（　　）。A．201213280 B．201212281 C．201212280 D．201213281【思路点拨】分析编号“201013321”：前四位表示入学年份，第五位表示年级，第六位表示班级，第七～第八位表示个人编号，末位表示性别，根据这一规则给王芳编学号。【规范解答】解：王芳是2012年入学的一年级二班的28号女同学”，她的学号是201212280。故选：C。【考点评析】分析编码，得出编码规则，并根据这一规则解决问题。【举一反三03】．（2022•武昌区模拟）你们即将进入初中。新学校会根据你的入学时间和所在年级、班级，班级顺序号，编辑你的学号。例如202070309表示2020年就读七年级（3）班，09号。如果你被分到七年级（12）班，排8号。请你试着编写你的学号 　202071208　。【思路点拨】从左边开始，前四位数表示入学年份，第 5 位数表示年级，第 6、7 位数表示班级，第 8、9位数表示学号，据此填空。【规范解答】解：根据分析，我被分到七年级（12）班，排8号。我的学号是202071208。故答案为：202071208。【考点评析】用数字编码有着重大的意义：有序、好统计、不重复。高频考点02：找次品【典例精讲02】（2022•红谷滩区）有38盒饼干，其中有一盒吃了两块，如果用天平称，至少要称（　　）次能保证找到这盒饼干。A．5 B．4 C．3 D．2【思路点拨】有38盒饼干，其中有一盒吃了两块，即其中一盒质量轻一些。把38盒分成（18，18，2）三组，天平每边放18盒，两种情况：平衡，轻的在2盒，天平每边放1盒，再称1次即可找出；不平衡，轻的一盒在轻的一边（称第一次）。把18盒分成（8，8，2）三组，天平每边放8盒，两种情况：平衡，轻的在2盒，天平每边放1盒，再称1次即可找出；不平衡，轻的一盒在轻的一边（称第二次）。把8盒分成（3，3，2）三组，天平每边放8盒，两种情况：平衡，轻的在2盒，天平每边放1盒，再称1次即可找出；不平衡，轻的一盒在轻的一边（称第三次）。把3盒分成（1，1，1）三组，再称一次即可找出轻的一盒（称第四次）。【规范解答】解：称第一次：把38盒分成（18，18，2）三组，天平每边放18盒，两种情况：平衡，轻的在2盒，天平每边放1盒，再称1次即可找出；不平衡，轻的一盒在轻的一边；称第二次：把18盒分成（8，8，2）三组，天平每边放8盒，两种情况：平衡，轻的在2盒，天平每边放1盒，再称1次即可找出；不平衡，轻的一盒在轻的一边；称第三次：把8盒分成（3，3，2）三组，天平每边放8盒，两种情况：平衡，轻的在2盒，天平每边放1盒，再称1次即可找出；不平衡，轻的一盒在轻的一边；称第四次：3盒分成（1，1，1）三组，再称一次即可找出轻的一盒。答：至少要称4次能保证找到这盒饼干。故选：B。【考点评析】合理分组是关键，也是难点。分组方法不同，称的次数也会不同。【举一反三04】（2022•南通）乐乐在水果市场买了6千克桔子，用“公平秤”称了一下，发现只有5千克。乐乐去找卖水果的老板，老板发现是自己的秤出了问题，他按照乐乐的要求，用自己的秤又称了1千克桔子进行补偿，请您从数学的角度谈谈对这件事情的看法。 　因为乐乐买6千克桔子在“公平秤”一秤，只有5千克，即老板的秤的重量比公平秤秤的重量轻，那么老板又称了1千克桔子，这1千克桔子的实际重量要少于1千克，所以乐乐实际得到的桔子重量还是少于6千克。　.【思路点拨】根据题意可知：乐乐买6千克桔子，结果用“公平秤”称了一下，发现只有5千克，说明了老板的秤的重量比公平秤秤的重量轻，那么老板又称了1千克桔子，这1千克桔子的实际重量要少于1千克，所以乐乐实际得到的桔子重量还是少于6千克，据此解答。【规范解答】解：因为乐乐买6千克桔子在“公平秤”一秤，只有5千克，即老板的秤的重量比公平秤秤的重量轻，那么老板又称了1千克桔子，这1千克桔子的实际重量要少于1千克，所以乐乐实际得到的桔子重量还是少于6千克。【考点评析】解答本题的关键是根据给出的故事判断出卖水果的老板的秤所称的水果的重量要比水果的实际重量轻。【举一反三05】（2022•潢川县）有15盒饼干，其中14盒质量相同，另有1盒少了几块，如果能用天平秤，至少秤 　3　次可以保证找出这盒饼干。【思路点拨】把15分成（5，5，5），其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组，再把5分成（2，2，1），然后再把2个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，如不平衡，可再把2分成（1，1）再放在天平上称，可找出次品，据此解答。【规范解答】解：15 （5，5，5），其中任意两组放在天平上称，可找出有次品的一组，再把5分成（2，2，1），然后再把2个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，需要2次；如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，则需要3次；所以至少3次保证可能找出这盒饼干。故答案为：3。【考点评析】本题主要考查了学生根据天平的原理解答问题的能力。【举一反三06】（2022•增城区）（1）有15盒木糖醇，其中一盒少了一颗。如果用天平称，至少称 　3　次可以保证找出这盒木糖醇。（2）用圆片摆成这样的图形。如果继续摆下去，第8个图形共有 　64　个圆片。【思路点拨】（1）根据找次品的规矩，有1个质量不同，且知道轻重的情况下：2、3个物体是称1次；4～9个是称2次；10～27个是称3次，……据此解答即可。（2）观察与比较每个图案相同点与不同点，得出后一个图案总是在与之相邻的前一个图案基础上有规律地增加圆点数，即第一个图案的圆片数是12，第二个图案的圆片数是22，第三个图案的圆片数是32，第四个图案的圆片数是42，也就是第几个图案的圆片数就是几的平方，从而解决该题。【规范解答】解：（1）第一次称：把15盒木糖醇平均分成3份，每份5盒，任取2份，分别放在天平称两端，若天平称平衡，则少一颗的那盒即在没称的5盒中；若不平衡，则少一颗的那盒即在天平称较高端5盒木糖醇中；第二次称：从在天平称较高端5盒木糖醇或者没称的5盒中，任取4盒，平均分成2份，每份2盒，分别放在天平称两端，若天平称平衡，则未取的那盒即为少一颗的；若不平衡，第三次称：把在较高端2盒分别放在天平称两端，较高端的那盒即为少一颗的那盒木糖醇。（2）82＝64所以第8个图形共有64个圆片。故答案为：3，64。【考点评析】此题考查了学生的推理能力。高频考点03：抽屉原理【典例精讲03】（2022•峡江县）把红、黄、蓝三种颜色的小球各12个放到一个盒子里，要保证一次摸到两个同色的小球，一次至少要摸出（　　）个小球。A．13 B．4 C．5 D．25【思路点拨】要保证一次摸到两个同色球，一次摸两个，可能两种颜色，一次摸3个，可能有三种颜色，那么一次摸四个必定有两个是同色的。【规范解答】解：根据分析可得，把红、黄、蓝三种颜色的小球各12个放到一个盒子里，要保证一次摸到两个同色的小球，一次至少要摸出4个小球。故选：B。【考点评析】用极限思想来思考是解决本题的关键。【举一反三07】（2022•西山区）随意找13个人。他们中至少有 　2　人生日的月份相同。【思路点拨】从最不利的情况出发，如果每个月都有一个人过生日，一年有12个月，用13除以12，得到商是1，余数是1，剩余的1人无论生日是哪个月的，都会出现有2人生日的月份相同。【规范解答】解：13÷12＝1（人）……1（人）1+1＝2（人）答：他们中至少有2人生日的月份相同。故答案为：2。【考点评析】本题考查抽屉原理的应用，解题关键是从最不利的情况思考问题，理解：如果每个月都有一个人过生日，一年有12个月，用13除以12，得到商是1，余数是1，剩余的1人无论生日是哪个月的，都会出现有2人生日的月份相同的道理。【举一反三08】（2022•成武县）黄老师给家人买衣服，有红、黄、白三种颜色，但结果总是至少有两个人的颜色一样，她家里至少有　4　人．【思路点拨】把颜色的种类看作“抽屉”，把家人的数量看作物体的个数，根据抽屉原理得出：家人的人数至少比颜色的种类多1时，才能至保证少有两个家人的颜色一样；据此解答即可．【规范解答】解：3+1＝4（个）答：她家里至少有4人．故答案为：4．【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．【举一反三09】（2019•芜湖模拟）如果有25个小朋友乘6只小船游玩，至少要有几个小朋友坐在同一只小船里，为什么？【思路点拨】把6只船看做6个抽屉，考虑最差情况：25个小朋友，最差情况是：每只船上分的人相等，25÷6＝4（个）…1（人）；那剩下1人，随便分给哪一个船，都会使得一个船分得4+1＝5人，据此解答．【规范解答】解：25÷6＝4（人）…1（人），4+1＝5（人），答：至少要有5个小朋友坐在同一只小船里．因为最差情况是：每只船上先分相等的4人，那剩下1人，随便分给哪一个船，都会使得一个船分得5人．【考点评析】抽屉原理问题的重点是建立抽屉，关键是在考虑最差情况的基础上得出均分数（商）；然后根据：至少数＝商+1（在有余数的情况下）求解．高频考点04：沏茶问题【典例精讲04】（2022•凌河区）小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟，扫地要用6分钟，擦家具要用10分钟，晾衣服要用5分钟，他经过合理安排。做完这些事情至少要花（　　）分钟。A．21 B．25 C．26 D．30【思路点拨】用洗衣机洗衣服的同时，可以扫地，擦家具，可节约扫地要用的6分钟和搬家具要用的10分钟，所以做完这件事至少需要洗衣服要用的20分钟与晾衣服要用的5分钟的和，共25分钟。【规范解答】解：可以设计如下工序：20+5＝25（分钟）答：做完这些事情至少要花25分钟.故选：B。【考点评析】此题属于合理安排时间问题，既要节约时间又不使每道工序相矛盾。【举一反三10】（2022•固始县）兰兰星期天想帮妈妈做下面几件事：①用洗衣机洗衣服20分钟；②拖地用6分钟；③擦家具用10分钟；④晾衣服用5分钟；她经过合理安排，做完这些事至少要花（　　）分钟。A．21 B．25 C．26【思路点拨】用洗衣机洗衣服（同时拖地、擦家具）→晾衣服，据此计算时间即可。【规范解答】解：20+5＝25（分钟）答：做完这些事至少要花25分钟。故选：B。【考点评析】此题的关键是明确做事顺序，然后再进一步解答。【举一反三11】（2021•大埔县）小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用5分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花（　　）分钟．A．21 B．25 C．26【思路点拨】用洗衣机洗衣服20分钟内，可以同时扫地和擦家具，如此合理的安排时间能节约花费的时间．【规范解答】解：合理安排时间如下图设计，20+5＝25（分钟），所以做完这些至少要花费25分钟．洗衣服的20分钟内同时扫地、擦家具，节约6+10＝16分钟故选：B．【考点评析】此题考查了合理安排时间的统筹思想．【举一反三12】（2022•灌南县）小明在家学做小厨师，下面是他必做的一些事情和做每件事情所需的时间。怎样安排才能在最短的时间内吃上饭菜？用你喜欢的方式表达。【思路点拨】小明先淘米，用时4.5分钟；接着，用电饭锅煮饭，在煮饭的同时，洗菜，切菜，和炒菜三件事，不过炒菜炒了20﹣4.5﹣5＝10.5（分钟）后饭熟了，小明继续炒菜1.5分钟，菜熟了；据此解答即可。【规范解答】解：小明先淘米，接着，用电饭锅煮饭，在煮饭的同时，洗菜，切菜，和炒菜三件事，不过炒菜炒了20﹣4.5﹣5＝10.5（分钟）后饭熟了，小明继续炒菜1.5分钟，菜熟了。2.5+20+（4.5+5+12﹣20）＝2.5+20+1.5＝24（分钟）答：小明先淘米，再用电饭锅煮饭，在煮饭的同时，洗菜，切菜，和炒菜。【考点评析】本题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答。高频考点05：逻辑推理【典例精讲05】（2022•丰都县）警察抓住了3个偷东西的嫌疑人，其中的一个人是主谋。审问谁是主谋时，甲说：我不是主谋。乙说：我不知道谁是主谋。丙说：甲是主谋。已知他们3人中只有一个人说了真话。主谋是（　　）A．甲 B．乙 C．丙【思路点拨】根据题意，甲和丙说的话矛盾，其中必有一真一假，因为只有一个人说了真话，所以乙说的是假话，如果假设丙说的是真话，则甲说的是假话，据此得解。【规范解答】解：甲和丙说的话矛盾，其中必有一真一假，因为只有一个人说了真话，所以乙说的是假话，如果假设丙说的是真话，则甲说的是假话，即甲是主谋，合理。答：主谋是甲。故选：A。【考点评析】本题主要考查逻辑推理问题，关键根据题意，三个人中只有一个说的是真话。【举一反三13】（2022•洋县）甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行乒乓球训练，每局2人进行比赛，另1人当裁判，每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战，半天训练结束时，发现甲共打了15局，乙共打了21局，而丙共当裁判5局，那么整个训练中的第3局当裁判的是谁？【思路点拨】先确定出甲乙、甲丙、乙丙之间各打了几局，进而确定出三人一共打的局数和甲当裁判的局数，即可得出结论。【规范解答】解：丙当了5局裁判，则甲乙进行了5局；甲一共打了15局，则甲丙之间进行了15﹣5＝10（局）；乙一共打了21局，则乙丙之间进行了21﹣5＝16（局）；三人之间共打了5+10+16＝31（局）；由于乙与丙打了16局，所以甲当了16局裁判，而从1﹣31一共15个偶数，16个奇数，所以甲当裁判的局数是奇数局，即：第1局、第3局、第5局……第31局，所以整个训练中的第3局当裁判的是甲。故答案为：甲。【考点评析】此题要首先能够判断出比赛的总场数以及三人各自当裁判的次数，然后根据甲当的裁判次数和总的场数进行分析求解。【举一反三14】（2020•岳麓区）张凯靓、王全美、余鑫盈三位老师共同担任五（2）班的语文、数学、英语、音乐、美术和体育六门课的教学，每人教两门，现在知道：（1）英语老师和数学老师是邻居；（2）王全美年纪最小；（3）张凯靓喜欢和体育老师、数学老师来往；（4）体育老师比语文老师年龄大；（5）王全美、语文老师、音乐老师三人经常一起做操。请判断各人分别教的是哪两门课程.【思路点拨】根据题意可知：（1）英语老师和数学老师不是一个人；（2）王全美老师最年轻；（3）张凯靓老师不是体育老师，也不是数学老师，而且体育老师和数学老师不是一个人；（4）王全美不是体育老师；（5）王全美老师不是语文老师，也不是音乐老师，而且音乐老师和语文老师是两个人。综合条件（3）（4）可知，体育老师是余鑫盈老师，数学老师是王全美老师。可知，王全美老师不是音乐老师和语文老师，语文老师是张凯靓老师；所以音乐老师是谁暂时不能确定；由于英语老师和数学老师是邻居，所以英语老师不是王全美老师，而王全美老师只能是美术老师；由于王全美老师与音乐老师和语文老师经常一起做操，所以张凯靓老师教语文不教音乐，所以音乐老师是余鑫盈老师；张凯靓老师是英语老师。据此解答。【规范解答】解：根据题意知：（1）英语老师和数学老师不是一个人；（2）王全美老师最年轻；（3）张凯靓老师不是体育老师，也不是数学老师，而且体育老师和数学老师不是一个人；（4）王全美不是体育老师；（5）王全美老师不是语文老师，也不是音乐老师，而且音乐老师和语文老师是两个人。综合条件（3）（4）可知，体育老师是余鑫盈老师，数学老师是王全美老师。由条件（5）可知，王全美老师不是音乐老师和语文老师，语文老师是张凯靓老师；所以音乐老师是谁时不能确定；由于英语老师和数学老师是邻居，所以英语老师不是王全美老师，而王全美老师只能是美术老师；由于王全美老师与音乐老师和语文老师经常一起做操，所以张凯靓老师教语文不教音乐，所以音乐老师是余鑫盈老师；张凯靓老师是英语老师。答：张凯靓老师教语文和英语；王全美老师教数学和美术；余鑫盈老师教体育和音乐。【考点评析】本题主要考查逻辑推理，关键是根据三个老师各教两门学科，结合所给的条件，利用排除法、假设法等，找到符合题意的答案。【举一反三15】（2019•保定模拟）编号为1、2、3、4、5的5个学生比赛乒乓球，每2人要比赛一场，到现在为止，1号已经赛了4场，2号赛了3场，3号赛了2场，4号赛了1场．问：5号已经赛了几场？【思路点拨】因为编号为1、2、3、4、5的5个学生比赛乒乓球，每2人要比赛一场，到现在为止，1号已经赛了4场，所以1﹣2、1﹣3、1﹣4、1﹣5，4号已经赛了1场，所以1﹣4，2号已经赛了3场，所以1﹣2、2﹣3、2﹣5，3号已经赛了2场，所以1﹣3、2﹣3，所以5号已经赛了2场，1﹣5、2﹣5．【规范解答】解：因为编号为1、2、3、4、5的5个学生比赛乒乓球，每2人要比赛一场，到现在为止，1号已经赛了4场，所以1﹣2、1﹣3、1﹣4、1﹣5，4号已经赛了1场，所以1﹣4，2号已经赛了3场，所以1﹣2、2﹣3、2﹣5，3号已经赛了2场，所以1﹣3、2﹣3，所以5号已经赛了2场，1﹣5、2﹣5．答：5号已经赛了2场．【考点评析】本题的关键是根据1号赛了4场，4号赛了1场进行推理一．选择题1．（2022•东莞市模拟）有23个零件，其中22个质量相等，有1个是次品，次品质量轻一些，用天平秤，至少称（　　）次就能找出这个次品。A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】根据找次品的规律，把23个零件分成（8、8、7）三组；第一次称天平两边各放8个，有两种情况：如果天平平衡，则没称的那7个里有1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的8个里有1个是次品。天平平衡的情况：把没称的7个分成（3、3、1）三组，第二次称，天平两边各放3个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的3个里有1个是次品；把较轻的3个分成（1、1、1）三组，第三次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。天平不平衡的情况：把较轻的8个分成（3、3、2）三组，第二次称，天平两边各放3个，有两种情况：①如果天平平衡，则没称的2个里有1个是次品，把没称的2个分成（1、1）两组，第三次称，天平两边各放1个，天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。②如果天平不平衡，则较轻的那一端的3个里有1个是次品；把较轻的3个分成（1、1、1）三组，第三次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。【规范解答】解：把23个零件分成（8、8、7）三组；第一次称天平两边各放8个，有两种情况：如果天平平衡，则没称的那7个里有1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的8个里有1个是次品。天平平衡的情况：把没称的7个分成（3、3、1）三组，第二次称，天平两边各放3个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的3个里有1个是次品；把较轻的3个分成（1、1、1）三组，第三次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。天平不平衡的情况：把较轻的8个分成（3、3、2）三组，第二次称，天平两边各放3个，有两种情况：①如果天平平衡，则没称的2个里有1个是次品，把没称的2个分成（1、1）两组，第三次称，天平两边各放1个，天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。②如果天平不平衡，则较轻的那一端的3个里有1个是次品；把较轻的3个分成（1、1、1）三组，第三次称，天平两边各放1个，如果天平平衡，则没称的1个是次品，如果天平不平衡，则较轻的那一端的1个是次品。所以至少称3次就能找出这个次品。故选：C。【考点评析】此题考查了对找次品规律的灵活运用，关键是分成三组。2．（2021•河口县模拟）有10瓶口香糖，其中有一瓶少装了2粒．用天平称，至少称（　　）次能保证找出这瓶少装2粒的口香糖．A．2 B．3 C．4【思路点拨】第一次：把10瓶口香糖平均分成两份，每份5瓶，分别放在天平秤两端；第二次：把天平秤较高端5瓶口香糖，任取4瓶，平均分成两份，每份2瓶，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡则未取的那瓶即为少2粒的口香糖，若天平秤不平衡；第三次：把天平秤较高端2瓶口香糖，分别放在天平秤两端，较高端那瓶即为少了2粒口香糖，据此即可解答．【规范解答】解：第一次：把10瓶口香糖平均分成两份，每份5瓶，分别放在天平秤两端；第二次：把天平秤较高端5瓶口香糖，任取4瓶，平均分成两份，每份2瓶，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡则未取的那瓶即为少2粒的口香糖，若天平秤不平衡；第三次：把天平秤较高端2瓶口香糖，分别放在天平秤两端，较高端那瓶即为少了2粒口香糖．答：用天平称，至少称3次能保证找出这瓶少装2粒的口香糖．故选：B．【考点评析】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力．3．（2019•永州模拟）45个球最多放在（　　）个盒子里，才能保证至少有一个盒子里不少于7个球．A．8 B．7 C．9 D．10【思路点拨】把需要的盒子看做抽屉；根据“至少有一个盒子里有7个球”，从最不利的情况去考虑，假设只有一个盒子里有7个球；那么每个盒子先放6（7﹣1）个，需要的盒子数是：45÷6＝7（个）…3（个），那么还剩的3个球，在三个盒子中分别放一个，都能保证至少有一个盒子里有7个球，则可以得出最多放进7个盒子．【规范解答】解：45÷（7﹣1）＝7（个盒子）…3（个球），答：把45个球最多放进7个盒子，才能保证至少有一个盒子里不少于7个球．故选：B．【考点评析】本题在建立抽屉的基础上求出最不利的放法的个数是本题解答的关键．此题考查了抽屉原理（二），知识点是：元素总数÷（最少数﹣1）＝抽屉个数+余数．4．（2019•安顺）把红、黄、白三种颜色的球各4个，放在一个盒子里，至少取出（　　）个球，可以保证取到4个颜色相同的球．A．8 B．9 C．10 D．11【思路点拨】因有三种颜色的球，所以最差情况是取3次各取到一种颜色的球，所以要取把3个同一颜色球的最差机会是取（4﹣1）×3＝9次，再取1次，不论取的是什么颜色的球，都可以保证取到4个颜色相同的球．据此解答．【规范解答】解：（4﹣1）×3+1，＝3×3+1，＝9+1，＝10（个）．答：至少取出10个球，可以保证取到4个颜色相同的球．故选：C．【考点评析】本题的关键是先求出保证几次取到3个颜色相同的球，再根据抽屉原理，求出取到4个相同颜色球的个数．5．（2018•西安模拟）甲、乙两个小队的同学去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵，乙小队有（　　）人．A．42 B．43 C．44 D．45【思路点拨】根据题意，把乙队人数的选项逐一代入，根据乙队人数求出树的棵数，然后求甲队人数．符合题意的选项就对．【规范解答】解：根据题意，运用代入法A、若乙有42人，（42﹣1）×10+8＝418（棵），（418﹣12）÷13结果除不尽，说明乙队42人不对．A选项不对．B、若乙有43人，（43﹣1）×10+8＝428（棵），（428﹣12）÷13＝32（人）符合题意．C、若乙有44人，（44﹣1）×10+8＝438（棵），（438﹣12）÷13除不尽，不符合题意．D、若乙有45人，则（45﹣1）×10+8＝448（棵），（448﹣12）÷13也除不尽，也不符合题意．故选：B。【考点评析】本题主要利用倒推法，把选项代入条件中，找出符合题意的选项．二．填空题6．（2022•郑州）把一个正方体的6个面分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色（每个面只涂一种颜色）。无论怎么涂，至少有 　2　个面涂的颜色相同。【思路点拨】把红、黄、蓝、绿四种颜色看做4个抽屉，6个面看做6个元素，利用抽屉原理最差情况：要使涂的颜色相同的面数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答。【规范解答】解：6÷4＝1（个）…2（个）1+1＝2（个）答：至少有2个面涂的颜色相同。故答案为：2。【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。7．（2022•南通）乐乐在水果市场买了6千克桔子，用“公平秤”称了一下，发现只有5千克。乐乐去找卖水果的老板，老板发现是自己的秤出了问题，他按照乐乐的要求，用自己的秤又称了1千克桔子进行补偿，请您从数学的角度谈谈对这件事情的看法。 　因为乐乐买6千克桔子在“公平秤”一秤，只有5千克，即老板的秤的重量比公平秤秤的重量轻，那么老板又称了1千克桔子，这1千克桔子的实际重量要少于1千克，所以乐乐实际得到的桔子重量还是少于6千克。　.【思路点拨】根据题意可知：乐乐买6千克桔子，结果用“公平秤”称了一下，发现只有5千克，说明了老板的秤的重量比公平秤秤的重量轻，那么老板又称了1千克桔子，这1千克桔子的实际重量要少于1千克，所以乐乐实际得到的桔子重量还是少于6千克，据此解答。【规范解答】解：因为乐乐买6千克桔子在“公平秤”一秤，只有5千克，即老板的秤的重量比公平秤秤的重量轻，那么老板又称了1千克桔子，这1千克桔子的实际重量要少于1千克，所以乐乐实际得到的桔子重量还是少于6千克。【考点评析】解答本题的关键是根据给出的故事判断出卖水果的老板的秤所称的水果的重量要比水果的实际重量轻。8．（2022•成武县）黄老师给家人买衣服，有红、黄、白三种颜色，但结果总是至少有两个人的颜色一样，她家里至少有　4　人．【思路点拨】把颜色的种类看作“抽屉”，把家人的数量看作物体的个数，根据抽屉原理得出：家人的人数至少比颜色的种类多1时，才能至保证少有两个家人的颜色一样；据此解答即可．【规范解答】解：3+1＝4（个）答：她家里至少有4人．故答案为：4．【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．9．（2022春•衡山县期末）有13个乒乓球，有12个质量相同，另有一个较轻一点，如果用天平称，至少称　三　次保证能找出这个乒乓球．【思路点拨】第一次：把13个乒乓球分成4个，4个，5个三份，把4个，4个的两份，分别放在天平秤两端，若天平秤不平衡，则较轻的乒乓球，即在天平秤较高端的4个乒乓球中，（再按照下面第三次方法即可找出），若平衡，则较轻的即在未取的5个乒乓球中，再从5个乒乓球中任取4个乒乓球，分成2份，每份2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那个即为较轻的乒乓球，若不平衡；第三次：把在天平秤较高一端2个乒乓球，分别放在天平秤两端，较高端乒乓球即为较轻一点乒乓球，据此即可解答．【规范解答】解：第一次：把13个乒乓球分成4个，4个，5个三份，把4个，4个的两份，分别放在天平秤两端，若天平秤不平衡，则较轻的乒乓球，即在天平秤较高端的4个乒乓球中；若平衡，则较轻的即在未取的5个乒乓球中；第二次：A：较轻的在4个中：平均分成2份，每份2个，找出较轻的一组；B：较轻的即在未取的5个乒乓球中，再从5个乒乓球中任取4个乒乓球，分成2份，每份2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那个即为较轻的乒乓球，若不平衡；第三次：把在天平秤较高一端2个乒乓球，分别放在天平秤两端，较高端乒乓球即为较轻一点乒乓球，故答案为：三．【考点评析】本题主要考查学生运用天平秤平衡原理解决问题的能力．10．（2022•孟津县）若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有　5　人．【思路点拨】家长比老师多，所以老师少于22÷2＝11人，也就是不超过10人，家长就不少于22﹣10＝12人．在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12÷2＝6人，也就是不少于7人．因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人，但老师最多就10个，并且还至少有1个男老师，所以老师必须是10个（9个女老师，1个男老师），家长12个人中，有7个妈妈，那么爸爸就有12﹣7＝5人．【规范解答】解：由题意可知，老师少于22÷2＝11人，也就是不超过10人，则家长就不少于12人．在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12÷2＝6人，也就是不少于7人．则女老师不少于7+2＝9人，所以老师必须是10个（9个女老师，1个男老师），家长12个人中，有10﹣3＝7个妈妈，那么爸爸就有12﹣7＝5人．故答案为：5．【考点评析】完成本题要的关键是抓住条件中的数据之间、称呼之间的逻辑关系认真分析，从而得出正确结论．11．（2021•罗湖区）端午节妈妈包粽子。淘米、洗粽叶要用20分，包粽子要用1时30分，把粽子煮熟要用50分，整理餐桌要用5分。如果想在中午12时吃到粽子，妈妈最迟从上午 　9时20　分开始动手做。【思路点拨】根据题意，先求得淘米、洗粽叶、包粽子、把粽子煮熟一共要用多少时间，用12时减去共需要的时间就是开始动手的时间。【规范解答】解：淘米、洗粽叶要用20分，包粽子要用1时30分，把粽子煮熟要用50分，煮粽子的同时，整理餐桌，20分+1时30分+50分＝2时40分12时﹣2时40分＝9时20分答：妈妈最迟从上午9时20分开始动手做。故答案为：9时20。【考点评析】解答此题要注意是从中午12时向前逆推得出开始的时间。12．（2023•铁山区模拟）甲、乙、丙三个小朋友赛跑，得第一名的不是甲，得第二名的不是丙，乙看着甲和丙都在自己的前面到达终点。得第一名的是 　乙。　。【思路点拨】得第一名的不是甲，那么是乙或丙，得第二名的不是丙，那么丙是第一名或第三名，然后根据乙看着甲和丙都在自己的前面到达终点，即可推断出第一名。【规范解答】解：得第一名的不是甲，那么是乙或丙；得第二名的不是丙，那么丙是第一名或第三名；又因为乙看着甲和丙都在自己的前面到达终点，那么丙比乙快，所以得第一名的是乙。答：得第一名的是乙。故答案为：乙。【考点评析】本题考查了简单的逻辑推理问题，解答本题关键是明确丙比乙快。13．（2022•东莞市）张阿姨把15个苹果放在8个盘子里，总有一个盘子里至少放了 　2　个苹果。【思路点拨】在此类抽屉问题中，至少数＝被分配的物体数除以抽屉数的商+1（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是15，抽屉数是8，据此计算即可。【规范解答】解：15÷8＝1（个）……7（个）1+1＝2（个）答：总有一个盘子里至少放2个苹果。故答案为：2。【考点评析】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答。14．（2022•铜官区）10本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进了 　4　本书。【思路点拨】把10本书放进3个抽屉中，10÷3＝3（本）……1（本），即平均每个抽屉放入3本后，还余一本书没有放入，即至少有一个抽屉里要放进3+1＝4（本）书。【规范解答】解：10÷3＝3（本）……1（本）3+1＝4（本）答：总有一个抽屉里至少放进了4本书。故答案为：4。【考点评析】把多于m×n个元素放入n个抽屉中，那么，一定有一个抽屉里至少有m+1个或者m+1个以上的元素。三．判断题15．（2022•汉川市）在9个外形一样的零件中，有一个次品质量较重，其余的质量相同，用天平去称，至少称2次，保证能找到次品。 　√　（判断对错）【思路点拨】根据找次品的规律，把9个零件分成（3、3、3）三组，第一次称，天平两边各放三个，如果天平平衡，则没称的3个有较重的零件，如果天平不平衡，则较重的那一端的3个里有较重的零件。第二次称把没称的3个或者是较重的3个分成（1、1、1）三组，天平两边各放1个，如果天平平衡则没称的1个是较重的零件，如果天平不平衡则较重的那一端的1个是较重的零件。【规范解答】解：把9个零件分成（3、3、3）三组，第一次称，天平两边各放三个，如果天平平衡，则没称的3个有较重的零件，如果天平不平衡，则较重的那一端的3个里有较重的零件。第二次称把没称的3个或者是较重的3个分成（1、1、1）三组，天平两边各放1个，如果天平平衡则没称的1个是较重的零件，如果天平不平衡则较重的那一端的1个是较重的零件。所以用天平去称，至少称2次，保证能找到次品。所以题干是正确的。故答案为：√。【考点评析】此题考查了对找次品规律的灵活运用，关键是分成三组。16．（2022•永定区）六（1）班有50位同学，他们中至少有5人同一个月过生日。 　√　（判断对错）【思路点拨】把一年12个月看作12个抽屉，把50名同学看作50个元素，利用抽屉原理最差情况，要使在同一个月过生日的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均即可。【规范解答】解：50÷12＝4（个）……2（个）4+1＝5（个）即他们中至少有5人同一个月过生日，所以原题说法正确。故答案为：√。【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。17．（2022•沂南县模拟）42名学生中，至少有4人属相相同。 　√　（判断对错）【思路点拨】把12个属相看作12个抽屉，42人看作42个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最少，只要使每个抽屉里的元素数尽量平均分，据此解答即可。【规范解答】解：42÷12＝3（人）……6（人）3+1＝4（人）即42名学生中，至少有4人属相相同，所以原题说法正确。故答案为：√。【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。四．应用题18．（2021•西安）花店的张阿姨要把50枝玫瑰花插到7个花瓶中，总有一个花瓶里至少要插入8枝玫瑰花，为什么？【思路点拨】在此类抽屉问题中，至少数＝被分配的物体数除以抽屉数的商+1（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是50，抽屉数是7，据此计算即可。【规范解答】解：50÷7＝7（枝）……1（枝）7+1＝8（枝）总有一个花瓶里至少要插入8枝玫瑰花，因为最平均的情况是每瓶7枝花，多余的1枝无论插入哪个花瓶，都会使那个花瓶里有8枝花。【考点评析】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数＝元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答。19．（2021•白水县）把11支圆珠笔发给5名同学，不管怎么发，总有一名同学至少发到3支圆珠笔。为什么？【思路点拨】把5名同学看作5个抽屉，11支圆珠笔看作11个元素，利用抽屉原理最差情况：要使每名同学的支数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均分即可。【规范解答】解：11÷5＝2（支）……1（支）2+1＝3（支）答：总有一名同学至少发到3支圆珠笔。【考点评析】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。20．（2019•保定模拟）A、B、C、D、E五个人如下排列：A在C前面6米；B在C后面8米；A在E前面2米；E在D前面7米．请回答下列问题：（1）C与E之间有多少米？（2）紧跟在C后面的是谁？相距多少米？（3）最前与最后之间有多少米？【思路点拨】（1）根据题示用线段图表示各点位置，然后计算CE的距离为：6﹣2＝4（米）；（2）由图示可知，紧跟C后的是D，CD相距：7﹣4＝3（米）；（3）最前面的A和最后面的B之间的距离为：8+6＝14（米）．【规范解答】解：如图：用线段图表示A、B、C、D、E之间的位置关系，（1）6﹣2＝4（米）答：C与E之间有4米． （2）7﹣4＝3（米）答：紧跟在C后面的是D，相距3米． （3）8+6＝14（米）答：最前与最后之间有14米．【考点评析】本题主要考查逻辑推理问题，关键根据题意画出线段图，并标出距离．21．（2022•洋县）甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行乒乓球训练，每局2人进行比赛，另1人当裁判，每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战，半天训练结束时，发现甲共打了15局，乙共打了21局，而丙共当裁判5局，那么整个训练中的第3局当裁判的是谁？【思路点拨】先确定出甲乙、甲丙、乙丙之间各打了几局，进而确定出三人一共打的局数和甲当裁判的局数，即可得出结论。【规范解答】解：丙当了5局裁判，则甲乙进行了5局；甲一共打了15局，则甲丙之间进行了15﹣5＝10（局）；乙一共打了21局，则乙丙之间进行了21﹣5＝16（局）；三人之间共打了5+10+16＝31（局）；由于乙与丙打了16局，所以甲当了16局裁判，而从1﹣31一共15个偶数，16个奇数，所以甲当裁判的局数是奇数局，即：第1局、第3局、第5局……第31局，所以整个训练中的第3局当裁判的是甲。故答案为：甲。【考点评析】此题要首先能够判断出比赛的总场数以及三人各自当裁判的次数，然后根据甲当的裁判次数和总的场数进行分析求解。22．（2019•衡阳模拟）把9本书放进2个抽屉里，总有一个抽屉至少放进5本书，为什么？【思路点拨】把9本书放进2个抽屉，9÷2＝4（本）…1（本），即平均每个抽屉放4本后，还余1本，所以至少有一个抽屉至少要放：4+1＝5本；据此即可解答．【规范解答】解：9÷2＝4（本）…1（本）．4+1＝5（本）．所以把9本书放进2个抽屉里，总有一个抽屉至少要放5本．【考点评析】在此类抽屉问题中，至少数＝物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下）．23．（2019•北京模拟）甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车，甲说：“我会开”．乙说：“我不会开．”丙说：“甲不会开．”三人的话只有一句是真话，会开车的是谁？为什么？【思路点拨】根据题意，假设结论（即会开车的分别是甲、乙或丙），然后根据他们所说的话，推出与题意矛盾的即为错误结论，从而得出正确答案．【规范解答】解：假设甲会开车，那么，甲和乙说的是真话，所以和已知矛盾，所以甲不会开车，假设乙会开车，那么甲和乙说的是假话，丙说的是真话，符合题意，假设丙会开车，那么乙和丙说的是真话，也和题意矛盾所以，乙会开车，答：会开车的是乙．【考点评析】解答此题的关键是，利用假设法，即假设会开车的甲、乙或丙，然后根据假设结论来推导（能推导出与条件矛盾的即为错误结论），从而得出答案．24．（2018•市南区）推理题：某足球邀请赛有16个城市参加，每市派出甲乙两个队，根据比赛规则，每两个队之间至多赛一场，并且同一城市的两个队之间不进行比赛，比赛若干场后进行统计，发现除A市甲队外，其他各队已经比赛过的场数各不相同，问A市乙队已赛多少场？【思路点拨】依比赛规则，每队至多赛30场，其他各队已经比赛过的场数各不相同，所以除A市甲队之外，其它各队已赛过场次依次为0，1，2，……29，30．赛过30场和0场的队，此两队必为同城队：接下来依次配对（29，1），（28，2），……，（14，16）．只有15没有配对，这就是乙队赛过15场．【规范解答】解：每市的任意一支球队都要和另外15个城市的2支球队进行比赛，所以每队最多会赛：15×2＝30（场）其他各队已经比赛过的场数各不相同，其他各队已赛过场次依次为0，1，2，……29，30．赛过30场和0场的队，经简单推理知此两队必为同城队；接下来依次配对（29，1），（28，2），……，（14，16）．只有15没有配对，这就是乙队；于是乙队赛过15场．答：A市乙队已赛15场．【考点评析】解决本题根据明确得出每个城市的两支球队配对的情况，从而找出没有配对的数据，得出结论．25．（2018•徐州）甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘．到目前为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．问：小强已经赛了几盘？【思路点拨】甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘，则每位同学都要与其他四位同学各赛一盘．即每人都要赛4盘，已知此时甲已经赛了4盘，则甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘；由于丁此时只赛了1盘，则丁这一盘是与甲赛的，与其他人还没有下；乙赛了三盘，则乙这三盘是与甲、丙、小强赛的；丙赛了2盘，则这两盘是与甲、乙赛的．所以此时小强也赛了两盘，是与甲、乙赛的．【规范解答】解：由于此时甲已经赛了4盘，则甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘；丁此时只赛了1盘，则丁这一盘是与甲赛的，与其他人还没有下；乙赛了三 盘，则乙这三盘是与甲、丙、小强赛的；丙赛了2盘，则这两盘是与甲、乙赛的．所以此时小强也赛了两盘，是与甲、乙赛的．答：小强已经赛了2盘．【考点评析】根据每人需要赛的总盘数及此时每人已赛的盘数进行分析推理是完成此类问题的关键．26．（2018•济南）同学们去旅游，男生背红包，女生背黄包，一个男生说：“我看见红包的个数为黄包的1.5倍．”一个女生说：“我看见红包的个数为黄包的2倍．”他们说的都对，那么女生有多少人？【思路点拨】一个男生说：“我看见红包的个数为黄包的1.5倍”，由于男生背的是红包，这个男生没看到自己的背包，所以男生的人数减去1人是女生人数的1.5倍；一个女生说：“我看见红包的个数为黄包的2倍”，女生背的是黄包，这个女生没有看到自己的背包，所以这个男生的人数是女生人数减少1人的2倍，设女生有x人，根据男生的说法可知男生有：1.5x+1人，根据女生的说法可知男生的人数有2（x﹣1）人，根据两种方法表示的男生的人数相等列出方程求解．【规范解答】解：设女生有x人，则：1.5x+1＝2（x﹣1）1.5x+1＝2x﹣22x﹣1.5x＝1+2    0.5x＝3        x＝6答：女生有6人．【考点评析】解决本题关键是找出两种不同表述方式不同的原因，设出未知数，找清楚等量关系列出方程求解