江西省重点中学盟校2022-2023学年高三数学（理）下学期第二次联考试题（Word版附答案）

江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考

数学（理）试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，则A∩B＝（    ）

A. （－2，3）   B. （－2，2）   C． （－1，2）   D. （0，3）

【解析】由得：，即；由得：，即；

∴．故选：C．

2. 已知复数，是z的共轭复数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【解析】因为，则，所以，故选：B．

3. 设是等差数列{}的前n项和，，则公差d＝（    ）

A. －1   B. －  C.  D. 1

【解析】∵，∴，∴．故选：A．

4. 若实数x，y满足约束条件，则勺最大值为（    ）

A. －  B. 2   C. 5   D. 8

【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，

由解得，设A（1，2），

目标函数在点A（1，2）处取得最大值，故选：C．

5.“”是“函数为奇函数”的（    ）

A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件

C. 充要条件     D. 既不充分也不必要条件

【解析】时，f（x）为奇函数，故选：A．

6.双曲线C的离心率最小时，C的渐近线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

解：由已知：，离心率，

当且仅当，即时等号成立，此时，故选C．

7.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．函数g（x）在处取得极值，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【解析】由，所以．

又是函数g（x）的一个极值点，所以，

得．当时，所以．故选：A．

8. 设函数，在区间（0，2）随机抽取两个实数分别记为a，b，则恒成立的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【解析】

当且仅当时，取“＝”，所以f，于是恒成立就转化为成立；因为若，所以等价于，由几何概型，其概率为．故选：D．

9. 如图，一个棱长1分米的正方体型封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（    ）

A. （，）   B. ，）   C.，）   D. ，）

解析：将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如图，水最少的临界情况为，水面为面，水最多的临界情况为多面体，水面为，

因为，

所以，即． 故选：A．

10. 已知斜率为k的直线l过抛物线C：的焦点，且与抛物线C交于两点，抛物线C的准线上一点M（－1，－1）满足，则|AB|＝（    ）

A. 3  B. 4  C. 5   D. 6

【解析】易知，设A（，），B（，），则，，∵，∴（，

化简得，设A，B中点坐标为（，），则①

又由直线的斜率公式得

∴，即②

由①、②解得

∴，答案选C．

11. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

解析：令，所以在上单调递减，又，所以，即．

令，则，则，即，

所以．由，得，所以，

综上． 故选：B．

12.伯努利双纽线（简称双纽线）是瑞土数学家伯努利（1654~1705）在1694年提出的．伯努利将椭圆的定义作了类比处理，指出是到两个定点距离之积的点的轨迹是双纽线；曲线的形状类似打横的阿拉伯数字8，或者无穷大的符号．在平面直角坐标系xOy中，到定点A（－a，0），B（a，0）的距离之积为的点的轨迹C就是伯努利双纽线，若点P（，）是轨迹C上一点，则下列说法正确的是（    ）

①曲线C关于原点中心对称；      ②；

③直线与曲线C只有一个交点；   ④曲线C上不存在点P，使得．

A. ①②   B. ①③   C. ②④   D． ③④

【解析】由定义：曲线C：，如图所示：所以①正确，④错误；

令，解得或，得，所以②错误；

根据曲线，可知，

可得直线与曲线C只有一个交点，所以③正确，故选：B．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量的夹角为，且，则___．

解：；

【答案】－2

14. 已知函数则当时，f（f（x））的展开式中的系数为___．

解析：时，，，

展开式第项，故时，，

∴x4的系数270．

【答案】270

15.某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第n项为，若序列的所有项都是2，且，则＝___．

解析：的第项为，故，即

因为，所以，，．

【答案】．

16. 如图，在直三棱柱中，，点E，F分别是棱，AB上的动点，当最小时，三棱锥外接球的表面积为___．

【解析】如图：把侧面沿展开到平面与平面共面的位置．延长到，使得

当，E，F，四点共线时，的长度最小，

此时，，所以，所以三棱锥外接球的直径为，半径，表面积为．

【答案】10π．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17.已知△ABC的内角的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，．

（1）求cosC；

（2） 若，，求b．

解：（1）由已知，由余弦定理，

得，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

得，所以，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）由正弦定理得，

，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

所以，由，得，．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

所以，由正弦定理：．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

18.如图，四棱锥中，除EC以外的其余各棱长均为2

（1）证明：平面BDE⊥平面ACE；

（2）若平面ADE⊥平面ABE，求直线DE与平面BCE所成角的正弦值．

解：（1）证明：由已知四边形ABCD为菱形；所以，

设AE的中点为O，连结OB，OD，因为，

所以，所以AE⊥平面OBD，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

又BD平面OBD，所以，又，所以BD⊥平面ACE，

又BD平面BDE，所以平面BDE⊥平面ACE；．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）因为平面ADE⊥平面ABE，平面ADE∩平面，，

所以DO⊥平面ABE，且，．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

以O为原点，分别为x，y，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则－1，0），B（，0，0），D（0，0，），E（0，1，0）

所以

设直线DE与平面BCE所成角为，

平面BCE的法向量，

则，取，

得

则为所求． ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19.文具盒里装有7支规格一致的圆珠笔，其中4支黑笔，3支红笔．某学校甲、乙、丙三位教师共需取出3支红笔批阅试卷，每次从文具盒中随机取出一支笔，若取出的是红笔，则不放回；若取出的是黑笔，则放回文具盒，继续抽取，直至将3支红笔全部抽出．

（1）在第2次取出黑笔的前提下，求第1次取出红笔的概率；

（2）抽取3次后，记取出红笔的数量为X，求随机变量X的分布列；

（3） 因学校临时工作安排，甲教师不再参与阅卷，记恰好在第n次抽取中抽出第2支红笔的概率为，求的通项公式．

解析：（1）记事件A：第1次取出红笔；事件B：第2次取出黑笔．则

，

所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2）随机变量X可取0，1，2，3.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

所以，，

，

，

．

所以X分布列为：

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）由题意知：前n－1次取了1次红笔，第n次取红笔．则

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20.设为椭圆E：上的三点，且点关于原点对称，．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若点B关于原点的对称点为D，且，证明：四边形ABCD的面积为定值．

解：（1）设A（，），B（，），则，

两式相减，得，

又因为，所以，

所以椭圆E的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）由对称性，四边形ABCD为平行四边形，所以，

设直线AB的方程为，联立，消去y得：

，则，

且，．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

由得，

．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

原点到直线直线AB的距离，

所以为定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21. 已知函数．

（1） 当时，求曲线在（1，f（1））处的切线方程；

（2） 若f（x）存在最小值m，且，求a的取值范围．

解析：（1）当时，，，

，所以曲线在（1，f（1））处的切线方程为．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2）

当时，，此时在递增，f（x）无最小值，不符题意；

当时，在单调递减，且

所以，有，此时f（x）在（0，）递增，在（，＋∞）递减，f（x）无最小值，不符题意； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．5分

当时，令，则，

设，则，令得，

所以t（x）在（0，1）递减，在递增，．．．．．．．．．．．． ．．．．．6分

（i）若，则，即，在递增，即在（＋∞）递增．

又，所以有，

即，且f（x）在（0，）递减，在（，＋∞）递增，

此时，

，

设，则，所以在递增．

由于，此时，不成立；．．． ．．．．．8分

（ii） 当时，由上分析易知：f（x）在（0，1）递减，在递增，

，此时符合题意；．．．．．．．．．．．．．． ．．．．9分

（iii） 当时，由于，，

所以存在有．

所以在递增，在递减，在递增．

又因为，

设，求导易知．由于，

故存在，有．则在递减，在递增．

此时，

由于，此时成立． ．．．．．．．．．．11分

综上，a的取值范围是（0，1]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．． ．．．．．．．．．12分

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22.[选修4－4：坐标系与参数方程]

已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，点P的极坐标是，）．

（1）求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离；

（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求△PMN的面积．

解：（1）由消去t，得，∴，所以直线l的极坐标方程为．

点）到直线l的距离为．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）由，得，所以，

所以，

则△PMN的面积为．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

23.[选修4－5：不等式选讲]已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，且对任意恒成立，求m的最小值．

解：（1）当时，，

原不等式等价于或或，

解得：或无解或，所以的解集为．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）∵．

则

所以函数f（x）在上单调递减，在[－，]上单调递减，在上单调递增．

所以． 因为对任意恒成立，

所以．又因为，所以，

解得（不合题意）．所以m的最小值为1.．．．．．．．．．．．．．．．．10分