2022年湖南省邵阳市新宁县中考数学一模试卷（含答案）

2022年湖南省邵阳市新宁县中考数学一模试卷

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）的相反数是（　　）

A．2022 B． C． D．﹣2022

2．（3分）黄河是中华民族的母亲河，发源于巴颜喀拉山脉北麓，注入渤海，流域面积为750000km2，将数750000用科学记数法表示为（　　）

A．7.5×104 B．75×104 C．75×105 D．7.5×105

3．（3分）一个几何体如图所示，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．a2+2a＝3a3 B．（﹣a2）3＝﹣a6 C．a6÷a2＝a3 D．a2•a3＝a6

5．（3分）如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝120°，则∠D的度数为（　　）

A．30° B．60° C．50° D．40°

6．（3分）小明用计步器记录自己一个月（30天）每天走的步数，并绘制成如下统计表：

在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（　　）

A．1.3，1.25 B．1.3，1.3 C．1.4，1.3 D．1.3，1.1

7．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＜2且m≠1 B．m＞2 C．m＜﹣2 D．m＜2

8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（　　）

A．4 B．5 C． D．2

9．（3分）如图，等边△ABC的边长为4，D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别以A、B、C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是（　　）

A．π B．2π C．4π D．6π

10．（3分）如图，AB是半圆O的直径，且AB＝4cm，动点P从点O出发，沿OA→→BO的路径以每秒1cm的速度运动一周．设运动时间为t，s＝OP2，则下列图象能大致刻画s与t的关系的是（　　）

A． B． 

C． D．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．（3分）单项式﹣x2y的系数是 　     　．

12．（3分）因式分解：ax2﹣4ay2＝　                　．

13．（3分）关于x的不等式组有且只有三个整数解，求a的最大值是 　   　．

14．（3分）如图，淇淇从点A出发，前进3米后向右转20°，再前进3米后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．则淇淇一共走了 　     　米．

15．（3分）为了健康和环保，某超市提供了一种尖底圆锥形纸杯供顾客饮水，如图所示．经过测量，纸杯口的直径为8cm，母线长为10cm，则生产100个这种纸杯需要原纸 　        　cm2．（结果保留π）

16．（3分）如图，点A是双曲线y＝（x＜0）上一动点，连接OA，作OB⊥OA，且使OB＝3OA，当点A在双曲线y＝上运动时，点B在双曲线y＝上移动，则k的值为　     　．

三．解答题（共9小题，满分72分）

17．（6分）计算：（1﹣π）0﹣2cos30°+|﹣|﹣（）﹣1．

18．（6分）先化简，再求值：，再从﹣1、0、1三个数中选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值．

19．（6分）如图，在▱ABCD中，AD＞AB．

（1）尺规作图：作DC边的中垂线MN，交AD边于点E（要求：保留作图痕迹，不写作法）；

（2）连接EC，若∠BAD＝130°，求∠AEC的度数．

20．（8分）某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了n名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为x分）分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：

（1）n的值为 　     　，a的值为 　   　，b的值为 　     　；

（2）请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为 　      　°；

（3）竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀（x≥80）的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．

21．（8分）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．本次冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离GD为1.04m，上身与大腿夹角∠GFE＝53°，膝盖与滑雪板后端的距离EM长为0.8m，∠EMD＝30°．

（1）求此滑雪运动员的小腿ED的长度；

（2）求此运动员的身高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

22．（9分）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．

（1）A，B两种花卉每盆各多少元？

（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？

23．（9分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA．

（1）若AB＝90cm，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由；

（2）若，求阴影部分的面积．（结果保留π）

24．（10分）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．

（1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．

（2）【应用】如图②，直角三角形ABC纸片中，∠ACB＝90°，点D是AB边上的中点，连结CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若BC＝3，那么CE＝　              　．

（3）【拓展】如图③，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，D是边AB中点，E，F分别是边AC，BC上的动点，且DE⊥DF，当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径长是多少？

25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接BC，点P为BC下方抛物线上一动点，连接BP、CP，当△PBC的面积最大时，请求出P点的坐标和△PBC的面积最大值；

（3）如图2，点N为线段OC上一点，连接AN，求的最小值．

2022年湖南省邵阳市新宁县中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1． 解：﹣的相反数是．

故选：B．

2． 解：750000＝7.5×105．

故选：D．

3． 解：从左边看，是一个矩形．

故选：B．

4． 解：A、a2与2a不是同类项，不能合并，不符合题意；

B、（﹣a2）3＝﹣a6，正确，符合题意；

C、a6÷a2＝a4，原计算错误，不符合题意；

D、a2•a3＝a5，原计算错误，不符合题意．

故选：B．

5． 解：∵AB∥CD，

∴∠A+∠C＝180°，

∵∠A＝120°，

∴∠C＝60°，

∵DE⊥AC，

∴∠C+∠D＝90°，

∴∠D＝30°．

故选：A．

6． 解：在这组数据中出现次数最多的是1.3，即众数是1.3．

要求一组数据的中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数的平均数，所以中位数是＝1.25．

故选：A．

7． 解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（m﹣1）×1＝8﹣4m＞0，

解得：m＜2，

∵m﹣1≠0，

∴m≠1，

∴m的取值范围是：m＜2且m≠1．

故选：A．

8． 解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠D＝60°，

∴BC＝AC＝2，

故选：D．

9． 解：依题意知：图中三条圆弧的弧长之和＝×3＝2π．

故选：B．

10． 解：利用图象可得出：当点P在半径AO上运动时，s＝OP2＝t2；

在弧AB上运动时，s＝OP2＝4；

在OB上运动时，s＝OP2＝（2π+4﹣t）2．

故选：C．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11． 解：根据单项式系数的定义，单项﹣x2y的系数是﹣1．

故答案为：﹣1．

12． 解：原式＝a（x2﹣4y2）＝a（x+2y）（x﹣2y），

故答案为：a（x+2y）（x﹣2y）．

13． 解：，

解①得x＞1，

解②得，x＜a，

依题意得不等式组的解集为1＜x＜a，

又∵此不等式组有且只有三个整数解，整数解只能是x＝2，3，4，

∴4＜a≤5，

∴a的最大值为5，

故答案为：5．

14． 解：∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，

∴360÷20＝18，

∵18×3＝54（米），

∴淇淇一共走了54米，

故答案为：54．

15． 解：∵纸杯口的直径为8cm，

∴纸杯口的周长为π×8＝8π（cm），

∵母线长为10cm，

∴纸杯展开后所得扇形的面积＝＝40π（cm2），

∴生产100个这种纸杯需要原纸为100×40π＝4000π（cm2）．

故答案为：4000π．

16． 解：∵点A是反比例函数y＝（x＜0）上的一个动点，

∴可设A（x，），

∴OC＝﹣x，AC＝﹣，

∵OB⊥OA，

∴∠BOD+∠AOC＝∠AOC+∠OAC＝90°，

∴∠BOD＝∠OAC，且∠BDO＝∠ACO，

∴△AOC∽△OBD，

∵OB＝3OA，

∴＝＝＝，

∴OD＝3AC＝﹣，BD＝3OC＝﹣3x，

∴B（﹣，3x），

∵点B在反比例函数y＝图象上，

∴k＝﹣×3x＝﹣9，

故答案为：﹣9．

三．解答题（共9小题，满分72分）

17． 解：原式＝1﹣2×+﹣4

＝1﹣+﹣4

＝﹣3．

18． 解：原式＝[﹣]•

＝•

＝，

要使分式有意义，x不能取﹣1，1，

则当x＝0时，原式＝＝﹣1．

19． 解：（1）如图，直线MN，点E即为所求；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A+∠D＝180°，

∵∠A＝130°，

∴∠D＝50°

∵MN垂直平分线段CD，

∴ED＝EC，

∴∠D＝∠ECD＝50°，

∴∠AEC＝∠D+∠ECD＝100°．

20． 解：（1）n＝18÷30%＝60，

∴a＝60×10%＝6，

∴b＝60﹣6﹣18﹣24＝12，

故答案为：60，6，12；

（2）补全频数分布直方图如下：

扇形统计图中表示“C”的圆心角的度数为：360°×＝144°，

故答案为：144；

（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，

∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为＝．

21． 解：（1）在Rt△DEM中，EM＝0.8m，∠EMD＝30°，

sin30°＝＝，

解得DE＝0.4，

∴此滑雪运动员的小腿ED的长度为0.4m．

（2）由（1）得，DE＝0.4m，

∴GE＝GD﹣ED＝1.04﹣0.4＝0.64（m），

∵EF∥AB，

∴∠GEF＝∠EDB＝90°，

在Rt△GEF中，∠GFE＝53°，GE＝0.64m，

tan53°＝≈，

sin53°＝≈，

∴EF＝0.48，FG＝0.8，

∴运动员的身高为GF+EF+DE＝0.8+0.48+0.4＝1.68（m）．

22． 解：（1）设A种花卉每盆x元，B种花卉每盆（x+0.5）元，

根据题意，得：＝，

解这个方程，得：x＝1，

经检验，x＝1是原方程的解，并符合题意，

此时，x+0.5＝1+0.5＝1.5（元），

∴A种花卉每盆1元，B种花卉每盆1.5元；

（2）设购买A种花卉t盆，购买这批花卉的总费用为w元，

由题意，得：w＝t+1.5（6000﹣t）＝﹣0.5t+9000，

∵t≤（6000﹣t），

解得：t≤1500，

∵w是t的一次函数，﹣0.5＜0，

∴w随t的增大而减小，

∴当t＝1500时，w最小，

wmin＝﹣0.5×1500+9000＝8250（元），

∴购买A种花卉1500盆时购买这批花卉总费用最低，最低费用是8250元．

23． 解：（1）连接OD，

∵D为弧BC的中点，

∴∠CAD＝∠BAD，

∵OA＝OD，

∴∠BAD＝∠ADO，

∴∠CAD＝∠ADO，

∵DE⊥AC，

∴∠E＝90°，

∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，

∴OD⊥EF，

∴OD的长是圆心O到“杠杆EF”的距离，

∵AB＝90cm，

∴OD＝OA＝45cm；

（2）∵DA＝DF，

∴∠F＝∠BAD，

由（1）得：∠CAD＝∠BAD，

∴∠F＝∠BAD＝∠CAD，

∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°，

∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°，

∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD，

∵DF＝6，

∴（2OD）2﹣OD2＝（6）2，

解得：OD＝6，

∴S阴影＝S扇形BOD+S△AOD＝+×6××6＝6π+9．

24． （1）证明：延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，BE，则CD＝CE，

∵CD是斜边AB上的中线，

∴AD＝BD，

∴四边形ACBE是平行四边形，

∵∠ACB＝90°，

∴平行四边形ACBE是矩形，

∴CE＝AB，

∴CD＝AB；

（2）解：如图2中，设CE交AB于点O．

∵∠ACB＝90°，AD＝DB，

∴CD＝AD＝DB，

∴∠A＝∠ACD，

由翻折的性质可知∠ACD＝∠DCE，

∵CE⊥AB，

∴∠BCE+∠B＝90°，

∵∠A+∠B＝90°，

∴∠BCE＝∠A，

∴∠BCE＝∠ACD＝∠DCE＝30°，

∴CO＝CB•cos30°＝，

∵DA＝DE，DA＝DC，

∴DC＝DE，

∵DO⊥CE，

∴CO＝OE＝，

∴CE＝3

故答案为：3；

（3）过点D作DG⊥AC，DH⊥BC，如图，

∵DG⊥AC，AC⊥BC，

∴DG∥BC．

∵D是边AB中点，

∴DG＝BC，

同理：DH＝AC，

∵AC＝BC，

∴DG＝DH．

∴四边形DGCH为正方形，

∴∠GDH＝90°．

∴∠GDF+∠FDH＝90°，

∵∠EDF＝90°，

∴∠GDF+∠EDG＝90°．

∴∠EDG＝∠FDH．

在△EDG和△FDH中，

，

∴△EDG≌△FDH（SAS）．

∴DE＝DF．

∴△EDF为等腰直角三角形，

当点E从点A运动到点C时，EF的中点M所经过的路径为AC，BC中点的连线，

即M所经过的路径为AB，

∵AC＝BC＝4，∠C＝90°，

∴AB＝AC＝4

∴EF的中点M所经过的路径长为2．

25． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，

∴，

解得：，

∴y＝x2﹣3x﹣4；

（2）y＝x2﹣3x﹣4，

当x＝0时，y＝﹣4，

∴C（0，﹣4），

设直线BC的解析式为：y＝kx+m（k≠0），

则：，

解得：，

∴直线BC的解析式为：y＝x﹣4，

过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，设P（t，t2﹣3t﹣4），则：E（t，t﹣4），

∴PE＝t﹣4﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，

∴；

∵﹣2＜0，

∵点P为BC下方抛物线上一动点，

∴0＜t＜4，

∴当t＝2时，S△BPC的面积最大为8，此时P（2，4﹣6﹣4），即：P（2，﹣6）；

（3）过点C在y轴右侧作直线CF交x轴于点F，使∠OCF＝30°，过点N作NM⊥CF于点M，

则：，

∴，

∴当A，N，M三点共线时，的值最小，即为AM的长，如图：

∵A（﹣1，0），C（0，﹣4），

∴OA＝1，OC＝4，

∵∠FCO＝30°，

∴∠AFM＝60°，，

∴，

∴；

∴的最小值为．