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苏科版八年级数学下学期期中易错精选50题-八年级数学下册重难点专题提优训练（苏科版）
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苏科版八年级数学下学期期中易错精选50题
考试范围：第一章-第三章的内容，共50小题.
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目录
【第7章 数据的收集、整理、描述典型例题】 1
【易错点一 对普查与抽样调查定义理解不清易错】 1
【易错点二 对总体、个体、样本、样本容量定义理解不清易错】 3
【易错点三 频数发布表和频数发布直方图易错】 5
【第8章 认识概率典型例题】 11
【易错点一 对确定事件与随机事件定义理解不清易错】 11
【易错点二 对频率与概率定义理解不清易错】 12
【第9章 中心对称图形——平行四边形典型例题】 15
【易错点一 特殊平行四边形中折叠问题易错】 15
【易错点二 特殊平行四边形中旋转问题易错】 19
【易错点三 特殊平行四边形中最值问题易错】 25
【易错点四 特殊平行四边形中中点四边形问题易错】 29
【第7章 数据的收集、整理、描述典型例题】
【易错点一 对普查与抽样调查定义理解不清易错】
例题：（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）下列调查方式中，适宜的是（ ）
A．某校为合唱团成员定制服装，对成员的服装尺寸大小采用抽样调查 B．某大型食品厂为了解所生产的食品的合格率，采用全面调查
C．对乘坐某高铁的乘客进行安检，采用全面调查 D．我市为了解中学生的作业负担，选取下辖的某中学七年级学生进行抽样调查
【答案】C
【分析】根据全面调查的定义（为了一定目的而对考察对象进行的全面调查，称为全面调查）和抽样调查的定义（抽样调查是指从总体中抽取样本进行调查，根据样本来估计总体的一种调查）逐项判断即可得．
【详解】解：A、某校为合唱团成员定制服装，对成员的服装尺寸大小，调查的人数较少，对于精确度要求高，适宜采用全面调查，则此项错误，不符合题意；
B、某大型食品厂为了解所生产的食品的合格率，这个调查具有一定的破坏性，适宜采用抽样调查，则此项错误，不符合题意；
C、对乘坐某高铁的乘客进行安检，这个调查事关乘客的安全，适宜采用全面调查，则此项正确，符合题意；
D、我市为了解中学生的作业负担，应调查不同学校、不同年级的学生，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查，熟记相关概念是解题关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【变式训练】
1．（2023·安徽池州·校联考一模）下列选项中，最适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．检测神舟十五号飞船的零部件 B．调查某市中学生的视力状况
C．调查安徽省中学生的体育运动情况 D．调查一批节能灯的使用寿命
【答案】A
【分析】直接利用利用全面调查与抽样调查的意义进而分析得出答案．
【详解】解：A、测神舟十五号飞船的零部件，适合全面调查，故该选项符合题意；
B、调查某市中学生的视力状况，适合抽样调查，故该选项不符合题意；
C、调查安徽省中学生的体育运动情况，适合抽样调查，故该选项不符合题意；
D、调查一批节能灯的使用寿命，适合抽样调查，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）下列调查中，适合于采用普查方式的是（ ）
A．调查央视“春节联欢晚会”的收视率
B．了解外地游客对我县旅游景点的印象
C．了解一批新型节能灯的使用寿命
D．了解某中巴车上乘客的“健康码”情况
【答案】D
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间比较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A.调查央视“春节联欢晚会”的收视率，适合抽样调查，不符合题意；
B.了解外地游客对我县旅游景点的印象，适合抽样调查，不符合题意；
C.了解一批新型节能灯的使用寿命，适合抽样调查，不符合题意；
D.了解某中巴车上乘客的“健康码”情况，适合普查，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．（2023春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考开学考试）下列调查中，适合抽样调查的是（ ）
A．调查你所在的班级中观看卡塔尔世界杯的人数
B．了解一摞人民币中有无假钞
C．了解一批口罩的质量情况
D．了解运载火箭零件的质量情况
【答案】C
【分析】根据抽样调查与全面调查的特点逐一判断即可；
【详解】解：A、调查你所在的班级中观看卡塔尔世界杯的人数，人数少，容易调查，因而适合全面调查，不符合题意；
B、了解一摞人民币中有无假钞，容易调查，适合全面调查，不符合题意；
C、了解一批口罩的质量情况，具有破坏性，适合抽样调查，符合题意；
D、了解运载火箭零件的质量情况，涉及安全性，适合全面调查，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【易错点二 对总体、个体、样本、样本容量定义理解不清易错】
例题：（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）为了解某市参加中考的26000名学生的身高情况，抽查了其中1300名学生的身高进行统计分析，下面叙述正确的是（ ）
A．26000名学生是总体 B．1300名学生的身高是样本
C．样本容量是1300名 D．这次调查是全面调查
【答案】B
【分析】根据总体、个体、样本，样本的容量以及全面调查和抽样调查的定义求解即可．
【详解】解：A、总体是26000名学生的身高情况，故A不符合题意；
B、1300名学生的身高是总体的一个样本，故B符合题意；
C、样本容量是1300，故C不符合题意；
D、该调查是抽样调查，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）在国家：“双减”政策背景下，我区某学校为了解九年级620名学生的睡眠情况，抽查了其中的100名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述中，正确的是（ ）
A．以上调查属于全面调查 B．620是样本容量
C．100名学生是总体的一个样本 D．每名学生的睡眠时间是一个个体
【答案】D
【分析】根据样本（被抽取的个体组成一个样本）、个体（组成总体的每一个考察对象）、总体（要考察的全体对象）、样本容量的定义（样本中个体的数目称为样本容量）逐项判断即可得．
【详解】解：A．以上调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B．样本容量是100，故B选项不符合题意；
C.100名学生的睡眠情况是总体的一个样本，故C选项不符合题意；
D.每名学生的睡眠时间是一个个体，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了样本、个体、总体、样本容量，熟记各概念是解题关键．
2．（2023·全国·七年级专题练习）为了解某市七年级的68000名学生的视力情况，随机抽查了其中800名学生的视力进行统计分析，下面叙述正确的是（ ）
A．68000名学生是总体 B．800名学生的视力情况是总体的一个样本
C．样本容量是800名学生 D．这次调查是全面调查
【答案】B
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：A、68000名学生的视力情况是总体，故A不符合题意；
B、800名学生的视力情况是总体的一个样本，故B符合题意；
C、样本容量是800，故C不符合题意；
D、这次调查是抽样调查，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3．（2023秋·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期末）为了解某校初一年级900名学生每天花费在数学学习上的时间，抽取了100名学生进行调查，以下说法正确的是（ ）
A．900名学生每天花费在数学学习上的时间是总体 B．每名学生是个体
C．从中抽取的100名学生是样本 D．样本容量是100名
【答案】A
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义解答即可．
【详解】A．900名学生每天花费在数学学习上的时间是总体，正确；
B．每名学生每天花费在数学学习上的时间是个体，故不正确；
C．从中抽取的100名学生每天花费在数学学习上的时间是样本，故不正确；
D．样本容量是100，故不正确；
故选A．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
4．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）为了解我县七年级10000名学生的身高，从中抽取了500名学生，对其身高进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．10000名学生是总体 B．每个学生是个体
C．每个学生的身高是个体 D．500名学生是抽取的一个样本
【答案】C
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐项判断即可得出结论．
【详解】A、10000名学生的身高是总体，故A错误；
B、每个学生的身高是个体，故B错误；
C、每个学生的身高是个体，故C正确；
D、500名学生的身高是抽取的一个样本，故D错误；
故选：C
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
【易错点三 频数发布表和频数发布直方图易错】
例题：（2023·湖南岳阳·统考一模）某校为了了解九年级学生周末在家体育锻炼情况，从九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，以下是根据调查数据绘制的部分统计图表和扇形统计图，根据信息回答下列问题：
等级等级
体育锻炼时间（分
人数
(1)本次调查共 人，表中 ，
(2)扇形统计图中，“”所对应的扇形圆心角的度数为 ；
(3)若该校九年级共有名学生，请你估计周末体育锻炼超过分钟的学生人数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等级的调查人数和所占的百分数即可求得总共调查的人数；
（2）根据等级所占的百分数求出等级的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查中周末体育锻炼超过分钟的百分数即可全校周末锻炼超过分钟的人数．
【详解】（1）解：∵等级的人数为人，等级所占的百分数为：，
∴本次调查的总人数为：（人），
∴(人)．
（2）解：∵等级所占的人数为人，
∴等级所占的圆心角的度数：，
（3）解：∵抽样调查中周末体育锻炼超过分钟的人数为人，抽样调查的总人数为：人，
∴全校九年级学生周末体育锻炼超过分钟的学生人数：（人）；
【点睛】本题考查了频数统计表，扇形统计图，掌握频率频数总数是正确解答的前提．
【变式训练】
1．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）某市为增强学生的卫生防疫意识，组织全市学生参加卫生防疫知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题．
组别
成绩x/分
频数
A组
a
B组
8
C组
12
D组
14
(1)一共抽取了___________位参赛学生的成绩，表中___________；
(2)补全频数分布直方图；
(3)计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数；
【答案】(1)40，6
(2)见解析
(3)
【分析】（1）D组的频数是14，占调查人数的，可求出调查人数，进而确定的值，
（2）根据各个组的频数，即可补全频数分布直方图；
（3）“B”占调查人数的，因此相应的圆心角度数占的
【详解】（1）解：（人），
（人），
故答案为：40，6；
（2）补全频数分布直方图如图所示：
（3），
答：扇形统计图中“B”对应的圆心角度数为．
【点睛】本题考查频数分布直方图的意义和制作方法，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提．
2．（2022秋·河南新乡·九年级校考期末）4月23日是“世界读书日”，某校团委发起了“让阅读成为习惯”的读书活动，鼓励学生利用周末积极阅读课外书籍，为了解该校学生周末两天的读书时间，校团委随机调查了八年级部分学生的读书时间x（单位：分钟）．把读书时间分为四组，，，．部分数据信息如下：
B组和C组的所有数据；
根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)被调查的学生共有 人，B组的频数为 ，D组的频数为 ；
(2)在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角是 °；
(3)若该校八年级共有名学生，请估计八年级学生中周末两天读书时间不少于分钟的人数．
【答案】(1)，8，2；
(2)；
(3)估计八年级学生中周末两天读书时间不少于分钟的人数为人．
【分析】（1）由利用扇形图和条形图中A组数据即可求得总人数，再根据题意解得C组的人数，继而解得D组的人数；
（2）根据C组人数占总人数的比例乘以即可解题；
（3）根据（1）的信息，先求得八年级学生中周末两天读书时间不少于分钟的人数占总人数的比，再乘以即可解题．
【详解】（1）由扇形图和直方图可知，总人数为：
（人）
由题意可知B组和C组频数为，
由直方图可知C组频数为6，
所以，C组频数为8，
所以，D组频数为
故答案为：，8，2；
（2）C组所对应的扇形圆心角：
故答案为108；
（3）读书时间不少于分钟的人数，为C组和D组．
（人）
【点睛】本题考查了扇形统计图与条形统计图、计算扇形的圆心角、用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题关键．
3．（2022秋·陕西榆林·七年级校考期末）某校七年级开展了“勿忘历史，吾辈自强”历史知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表（每组成绩含前一个分数，不含后一个分数，最后一组前后分数均包含）：
成绩/分
频数
百分比
第1段
2
第2段
6
第3段
9
b
第4段
a
第5段
15
请根据所给信息，解答下列问题
(1)______，______；
(2)请补全频数分布直方图：
(3)现要将调查结果绘制成扇形统计图，求成绩在“”这一分数段所对应的扇形圆心角是多少度？
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先求出所调查学生的总人数，然后求出a、b的值即可；
（2）根据所求出的a的值，补全频数分布直方图即可；
（3）用乘以成绩在“”这一分数段学生所占总调查人数的百分比进行解答即可．
【详解】（1）解：抽取的学生总数为：（人），
则（人），
．
故答案为：；．
（2）解：补全频数分布直方图，如图所示：
（3）解：，
所以成绩在“”这一分数段所对应的扇形圆心角是．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识，解题的关键是理解题意，准确进行计算．
【第8章 认识概率典型例题】
【易错点一 对确定事件与随机事件定义理解不清易错】
例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件
C．不可能事件 D．确定事件
【答案】A
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：射击运动员射击一次，命中靶心，这个事件是随机事件，
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能够确定一个事件是何种事件是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·山东临沂·九年级统考期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6 B．篮球队员在罚球线上投篮一次，投中
C．经过红绿灯路口，遇到绿灯 D．打开电视机，它正在播广告
【答案】A
【分析】利用必然事件的定义：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件直接得出答案即可．
【详解】解：A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6，是必然事件，故此选项符合题意；
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，投中，是随机事件，故此选项不合题意；
C．经过有信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故此选项不合题意；
D．打开电视机，它正在播广告，是随机事件，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了必然事件的定义，解题的关键是了解能够确定发生的事件称为必然事件．
2．（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）下列事件是不可能事件的是（ ）
A．在足球赛中，弱队战胜强队 B．在干燥的环境中，种子发芽
C．抛掷10枚硬币，5枚正面朝上 D．彩票的中奖概率是，买100张有2张会中奖
【答案】B
【分析】根据随机事件的相关概念可进行排除选项．
【详解】解：A、在足球赛中，弱队战胜强队；属于随机事件，故不符合题意；
B、在干燥的环境中，种子发芽；属于不可能事件，故符合题意；
C、抛掷10枚硬币，5枚正面朝上，属于随机事件；故不符合题意；
D、彩票的中奖率是，买100张有2张会中奖；属于随机事件，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查随机事件，熟练掌握随机事件的相关概念是解题的关键．
3．（2023秋·福建厦门·九年级校联考期末）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．在三个偶数中任选一个能被整除 B．两个有理数相除，结果是无理数
C．一个四边形的内角和是 D．用一个平面去截圆柱体，得到的截面是矩形
【答案】D
【分析】利用偶数的性质以及四边形内角和定理以及圆柱体的截面特点进而分析得出答案．
【详解】解：A、在三个偶数中任选一个能被2整除，是必然事件，故此选项错误；
B、两个有理数相除，结果是有理数，选项是不可能事件，故此选项错误；
C、一个四边形的内角和是，是不可能事件，故此选项错误；
D、用一个平面去截圆柱体，得到的截面是矩形，是随机事件，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了随机事件，正确把握相关图形以及几何体的性质是解题关键．
【易错点二 对频率与概率定义理解不清易错】
例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
b
295
480
601
摸到白球的频率
a
0.64
0.58
0.59
0.60
0.601
(1)上表中的a=________，b=________；
(2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）；
(3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
【答案】(1)0.59，116
(2)0.6
(3)除白球外，还有大约12个其它颜色的小球．
【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数．
【详解】（1）解：a=59÷100=0.59，b=200×0.58=116．
故答案为：0.59，116；
（2）解：“摸到白球的”的概率的估计值是0.6；
故答案为：0.6；
（3）解：18÷0.6-18=12（个）．
答：除白球外，还有大约12个其它颜色的小球．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
1000
2000
3000
5000
8000
10000
摸到黑球的次数m
650
1180
1890
3100
4820
6013
摸到黑球的频率
0.65
0.59
0.63
0.62
0.6025
0.6013
(1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
(2)试估计袋子中有黑球 个；
(3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个．
【答案】(1)0.6
(2)30
(3)10，10
【分析】（1）观察摸到黑球的频率后观察表格即可得到；
（2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数；
（3）使得黑球和白球的数量相等即可．
【详解】（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；
（2）黑球的个数为50×0.6=30个，
故答案为：30；
（3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同，
即：在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个，
故答案为：10，10．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑球的次数m
65
118
189
310
482
602
摸到黑球的频率
0.65
0.59
0.63
0.62
0.603
0.602
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 个；
（3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为 50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个
【答案】（1）0.6；（2）；（3）10；10．
【分析】（1）观察表格中摸到黑球的频率可得结果；
（2）用总数乘以黑球的频率即可得到结果；
（3）根据摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，据此计算即可．
【详解】解：（1）观察表格得：当n很大时，
摸到黑球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；
（2）黑球有：个，
故答案为：；
（3）原来白球的数量为：50-30=20，
摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，
∴若保持黑球数量不变，则白球数量：20+10=30，
若保持白球的数量不变，则黑球数为：30-10=20，
∴要使摸到黑球的可能性大小为50%，
则需要增加相同的白球10个，或减少黑球10个，
故答案为：10；10．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【第9章 中心对称图形——平行四边形典型例题】
【易错点一 特殊平行四边形中折叠问题易错】
例题：（2023春·八年级课时练习）长方形纸片中，，，点是边上一动点，连接，把沿折叠，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为______．
【答案】或3
【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点落在矩形内部时，如答图所示．连接，先利用勾股定理计算出 ，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，然后在中运用勾股定理可计算出．②当点落在边上时，如答图所示．此时为正方形．
【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况：
当点落在矩形内部时，如答图所示．连接，
在中，，
，
沿折叠，使点落在点处，
，
当为直角三角形时，只能得到，
点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，
，
，
设，则，
在中，
，
解得： ；
②当点落在边上时，如答图所示．
此时为正方形，
．
故答案为：或；
【点睛】本题考查了勾股定理以及折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为______．
【答案】或或或或
【分析】分类讨论：如图 ，当 时，如图 ，当 时，如图 中，当 时，分别求出即可．
【详解】解：如图 ，当 时，点 与 重合或在点 处．
当 与 重合时， 与 也重合，此时 ；
在菱形 中， ，
作 于 ，
在 中， ， ， ，
；
如图 ，当 时，点 与 重合或在 处，
点 与 重合， 是 的垂直平分线，
，
当 在 处时，过 作 于 ，
则可得 ，
则，
；
如图 中，当 时，
，
．
综上所述：当 为等腰三角形时， 的长为 或 或 或 或 ．
故答案为 或 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，分类讨论是解题关键．
2．（2023·安徽·校联考一模）如图．已知正方形纸片的边，点P在边上，将沿折叠，点A的应点为．
（1）若时，的长为______﹔
（2）若点到边或的距离为1，则线段的长为______．
【答案】 2 或
【分析】（1）由折叠得，根据平行线的性质得到，利用三角形内角和得到，进而推出，即可得到答案；
（2）若，则，根据勾股定理求出，设，直角中，根据勾股定理得，求出；若，根据勾股定理求出，设，在直角中，根据勾股定理得，求出．
【详解】（1）由折叠得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）如图1，若，则．
由折叠知．在直角中，．
设，则．
在直角中，，
解得，
即线段的长为﹔
如图2，若，则．
由折叠知．
在直角中，．
设，则．
在直角中，，
解得，
即线段的长为．
综上，线段的长为或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟记正方形的性质及折叠的性质是解题的关键．
【易错点二 特殊平行四边形中旋转问题易错】
例题：（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．
(1)求证：EDC≌HFE；
(2)连接BE，CH．
①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论；
②若BC长为2，则AB的长为 时，四边形BEHC为菱形（写出AB长度的求解过程）．
【答案】(1)证明见解析
(2)①四边形是平行四边形，证明见解析；②
【分析】（1）由旋转和矩形的性质可知，，．再根据平行线的性质得出，然后利用定理即可得证；
（2）①由矩形性质可知，再根据全等三角形的性质可得．由旋转得，从而可得，然后根据平行四边形的判定即可得出结论；
②根据菱形的性质和旋转的性质可得，即证明为等边三角形，得出，从而求出，最后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得．
（1）
证明：∵将矩形绕点旋转得到矩形，
∴，，，
∴．
在和中，
∴．
（2）
解：①四边形是平行四边形，证明如下：
如图，连接，
∵四边形为矩形，
∴，即．
∵，
∴．
∵将矩形绕点旋转得到矩形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②∵四边形是菱形，长为2，
∴，
∵将矩形绕点旋转得到矩形，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点．熟练掌握矩形和旋转的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其他顶点均不重合，连接BE、DG．
(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：．
(2)如图3，如果，，，求点G到BE的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质得到，由正方形的性质得到，，然后依据 “”可证明，然后依据全等三角形的性质进行证明即可；
（2）连接、，延长交于点，当时，可证明为等腰直角三角形，然后可求得和的长，然后依据等腰三角形三线合一的性质可得到，最后在中，利用等积法可求得点到的距离．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，
由正方形的性质可知，，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接、，延长交于点，
当时，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∵和同底等高，
∴，
设点G到BE的距离为h，，
，即，
解得，
∴点到的距离为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知识，综合性比较强，对学生综合解题能力要求较高，注意等积法在解题中的应用．
2．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心，将菱形ABCD逆时针旋转α（0°＜α＜30°）得到菱形，交对角线AC于点M，边AB的延长线交于点N．
（1）当时，求α的度数；
（2）如图2，对角线B'D'交AC于点H，交AN于点G，延长交AD于点E，连接EH，若菱形ABCD的周长为正数a，试探索：在菱形ABCD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜30°）的过程中，的周长是否为定值，若是，试求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）α＝15°；（2）为定值，
【分析】（1）先利用SAS判断出△AD'M≌△AB'N（SAS），得出∠D'AM＝∠B'AN＝α，再判断出∠CAD＝30°＝2α，即可得出结论；
（2）先判断出AB'＝AD'＝，再判断出∠AB'G＝∠AD'E＝60°，进而利用ASA判断出△AB'G≌△AD'E，得出B'G＝D'E，AG＝AE，进而判断出△AGH≌△AEH（ASA），得出HE＝HG，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵菱形AB'C'D'是由菱形ABCD旋转所得，
∴AB'＝AD'，∠AB'N＝∠AD'M，
又∵，
∴△AD'M≌△AB'N（SAS），
∴∠D'AM＝∠B'AN＝α，
又∵AC为菱形ABCD的对角线，且∠BAD＝60°，
∴∠CAD＝30°＝∠D'AM+∠D'AD＝2α，
∴α＝15°；
（2）∵菱形AB'C'D'是由菱形ABCD旋转所得，
∴∠B'AG＝∠D'AE＝α，
∵菱形ABCD的周长为a，
∴AB'＝AD'＝ ，
又∵∠B'AD'＝∠BAD＝60°，
∴∠AD'C'＝120°，
且∠AD'E＝60°，
∴
∴△AB'G≌△AD'E（ASA），
∴B'G＝D'E，AG＝AE，
又∠GAH＝∠HAE＝30°，
∴△AGH≌△AEH（ASA），
∴HE＝HG，
∵AB'＝AD'，∠B'AD'＝60°，
∴△AB'D'是等边三角形，
∴B'D'＝AB'＝，
∴△EHD'的周长＝HD'+HE+D'E＝HD'+HG+B'G＝B'D'＝，
∴三角形EHD'的周长为定值．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△AB'G≌△AD'E是解本题的关键．
【易错点三 特殊平行四边形中最值问题易错】
例题：（2023春·八年级课时练习）如图，在边长为2的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__________．
【答案】
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值．
【详解】解：如图，与相交于点，
在中，，
四边形是平行四边形，
，．
当取最小值时，线段最短，此时．
点是的中点，
，
，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为_____________．
【答案】
【分析】过点M作，垂足为P，连接，由旋转的性质得到，，，根据正方形的性质求出，证明，得到，，利用勾股定理求出，根据即可求出的最小值．
【详解】解：过点M作，垂足为P，连接，
由旋转可得：，，，
在正方形中，，E为中点，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵C，M位置固定，
∴，即，
∴，即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，两点之间线段最短，知识点较多，解题的关键是构造全等三角形，求出的长，得到．
2．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形PBFE为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为 ；最小值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）①；②36，
【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；
（2）①根据矩形的性质和勾股定理求得AE的长，再在Rt△APE中求得PE，即菱形的边长；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6，即可得出答案．
【详解】解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，
又∵EF∥AB，
∴∠BPF＝∠EFP，
∴∠EPF＝∠EFP，
∵EP＝EF，
∴BP＝BF＝EF＝EP，
∴四边形BFEP为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，∠A＝∠D＝90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE＝BC＝10，
在Rt△CDE中，DE＝＝8，
∴AE＝AD﹣DE＝2；
在Rt△APE中，AE＝2，AP＝6-PB＝6﹣PE，
∴，解得：，
∴菱形BFEP的边长为；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2，，
，
当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6，
，
∴菱形的面积范围：．
菱形PBFE面积的最大值是36，最小值是．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE是本题的关键．
【易错点四 特殊平行四边形中中点四边形问题易错】
例题：（2022春·陕西西安·八年级西北大学附中校考期末）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．
【详解】解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH=BD，EH//BD，FG=BD，FG//BD，EF=AC，EF//AC，HG=AC，HG//AC，
∴EH=FG，EH//FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
当对角线AC⊥BD时，则∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，故①符合题意；
当对角线BD=AC时，则EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形，故②符合题意；
当四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD不一定互相平分，故③不符合题意；
若四边形EFGH是正方形，
∴EH⊥HG，EH=HG，
∴AC⊥BD，AC=BD，
∴AC与BD互相垂直且相等，故④符合题意；
综上，正确的是①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．
【变式训练】
1．（2021春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD中，，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．
（1）判断四边形EFGH是怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）当四边形ABCD再满足______________时，四边形EFGH为正方形？（只添一个条件）
【答案】（1）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（2）或
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到GH∥AD，GH=AD，EF∥AD，EF=AD，得到四边形EFGH是平行四边形，根据题意得到EF=EH，根据菱形的判定定理证明结论；
（2）根据正方形的判定定理解答即可．
【详解】解：（1）四边形EFGH是菱形，
理由如下：在△ACD中，G、H分别是CD、AC的中点，
∴GH∥AD，GH=AD，
同理，EF∥AD，EF=AD，
∴GH∥EF，GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
在△ABC中，E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH=BC，
∵AD=BC，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形；
（2）当AD⊥BC或∠DAB+∠ABC=90°时，四边形EFGH为正方形，
理由如下：∵EH∥BC，
∴∠AEH=∠ABC，
同理，∠BEF=∠BAD，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH为正方形，
故答案为：AD⊥BC（或∠DAB+∠ABC=90°）答案不唯一．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．
2．（2021秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形．
(1)四边形的形状是______，请证明你的结论；
(2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形；
(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．
【答案】(1)平行四边形．证明见解析
(2)；
(3)矩形的中点四边形是菱形．
【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形；
（2）根据有一组是邻边的平行四边形是菱形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形；
（3）矩形的中点四边形是菱形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再根据矩形对角线相等，然后根据四边相等的四边形是菱形．
【详解】（1）四边形的形状是平行四边形．理由如下：
如图，连接．
、分别是、中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形．理由如下：
如图，连接、．
、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，，，
，
，
又四边形是平行四边形
平行四边形是菱形；
故答案为：；
（3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下：
连接、．
、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，，，，，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键．
3．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【概念理解】
(1)在已经学过的“平行四边形；矩形；菱形；正方形”中，______的“中点四边形”一定是正方形，因此它一定是“中方四边形”（填序号）．
【性质探究】
(2)如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的一条结论：______．
【问题解决】
(3)如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．
求证：四边形是“中方四边形”．
【答案】(1)
(2)或
(3)见解析
【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案；
（2）由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且分别是、、、的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案；
（3）连接交于，连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论．
【详解】（1）解：概念在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：
因为正方形的对角线相等且垂直，
故答案为：④；
（2）解：或，
理由如下：
四边形是“中方四边形”，
是正方形且分别是、、、的中点，
，，，，，，
，，
故答案为：或；
（3）解：如图2，连接交于，连接交于，
四边形各边中点分别为，
分别是、、、的中位线，
，，，，，，
，，
，，，，
四边形是平行四边形，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
，
即，
在和中，
，
，，
，，
，
是菱形，
∵，
．
，，
，
，
，，
，
菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键．
苏科版八年级数学下学期期中易错精选50题
考试范围：第一章-第三章的内容，共50小题.
【易错点导航】
目录
【第7章 数据的收集、整理、描述典型例题】 1
【易错点一 对普查与抽样调查定义理解不清易错】 1
【易错点二 对总体、个体、样本、样本容量定义理解不清易错】 3
【易错点三 频数发布表和频数发布直方图易错】 5
【第8章 认识概率典型例题】 11
【易错点一 对确定事件与随机事件定义理解不清易错】 11
【易错点二 对频率与概率定义理解不清易错】 12
【第9章 中心对称图形——平行四边形典型例题】 15
【易错点一 特殊平行四边形中折叠问题易错】 15
【易错点二 特殊平行四边形中旋转问题易错】 19
【易错点三 特殊平行四边形中最值问题易错】 25
【易错点四 特殊平行四边形中中点四边形问题易错】 29
【第7章 数据的收集、整理、描述典型例题】
【易错点一 对普查与抽样调查定义理解不清易错】
例题：（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）下列调查方式中，适宜的是（ ）
A．某校为合唱团成员定制服装，对成员的服装尺寸大小采用抽样调查 B．某大型食品厂为了解所生产的食品的合格率，采用全面调查
C．对乘坐某高铁的乘客进行安检，采用全面调查 D．我市为了解中学生的作业负担，选取下辖的某中学七年级学生进行抽样调查
【答案】C
【分析】根据全面调查的定义（为了一定目的而对考察对象进行的全面调查，称为全面调查）和抽样调查的定义（抽样调查是指从总体中抽取样本进行调查，根据样本来估计总体的一种调查）逐项判断即可得．
【详解】解：A、某校为合唱团成员定制服装，对成员的服装尺寸大小，调查的人数较少，对于精确度要求高，适宜采用全面调查，则此项错误，不符合题意；
B、某大型食品厂为了解所生产的食品的合格率，这个调查具有一定的破坏性，适宜采用抽样调查，则此项错误，不符合题意；
C、对乘坐某高铁的乘客进行安检，这个调查事关乘客的安全，适宜采用全面调查，则此项正确，符合题意；
D、我市为了解中学生的作业负担，应调查不同学校、不同年级的学生，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查，熟记相关概念是解题关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【变式训练】
1．（2023·安徽池州·校联考一模）下列选项中，最适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．检测神舟十五号飞船的零部件 B．调查某市中学生的视力状况
C．调查安徽省中学生的体育运动情况 D．调查一批节能灯的使用寿命
【答案】A
【分析】直接利用利用全面调查与抽样调查的意义进而分析得出答案．
【详解】解：A、测神舟十五号飞船的零部件，适合全面调查，故该选项符合题意；
B、调查某市中学生的视力状况，适合抽样调查，故该选项不符合题意；
C、调查安徽省中学生的体育运动情况，适合抽样调查，故该选项不符合题意；
D、调查一批节能灯的使用寿命，适合抽样调查，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．（2023秋·湖南怀化·七年级统考期末）下列调查中，适合于采用普查方式的是（ ）
A．调查央视“春节联欢晚会”的收视率
B．了解外地游客对我县旅游景点的印象
C．了解一批新型节能灯的使用寿命
D．了解某中巴车上乘客的“健康码”情况
【答案】D
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间比较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A.调查央视“春节联欢晚会”的收视率，适合抽样调查，不符合题意；
B.了解外地游客对我县旅游景点的印象，适合抽样调查，不符合题意；
C.了解一批新型节能灯的使用寿命，适合抽样调查，不符合题意；
D.了解某中巴车上乘客的“健康码”情况，适合普查，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．（2023春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考开学考试）下列调查中，适合抽样调查的是（ ）
A．调查你所在的班级中观看卡塔尔世界杯的人数
B．了解一摞人民币中有无假钞
C．了解一批口罩的质量情况
D．了解运载火箭零件的质量情况
【答案】C
【分析】根据抽样调查与全面调查的特点逐一判断即可；
【详解】解：A、调查你所在的班级中观看卡塔尔世界杯的人数，人数少，容易调查，因而适合全面调查，不符合题意；
B、了解一摞人民币中有无假钞，容易调查，适合全面调查，不符合题意；
C、了解一批口罩的质量情况，具有破坏性，适合抽样调查，符合题意；
D、了解运载火箭零件的质量情况，涉及安全性，适合全面调查，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【易错点二 对总体、个体、样本、样本容量定义理解不清易错】
例题：（2023秋·湖南邵阳·七年级统考期末）为了解某市参加中考的26000名学生的身高情况，抽查了其中1300名学生的身高进行统计分析，下面叙述正确的是（ ）
A．26000名学生是总体 B．1300名学生的身高是样本
C．样本容量是1300名 D．这次调查是全面调查
【答案】B
【分析】根据总体、个体、样本，样本的容量以及全面调查和抽样调查的定义求解即可．
【详解】解：A、总体是26000名学生的身高情况，故A不符合题意；
B、1300名学生的身高是总体的一个样本，故B符合题意；
C、样本容量是1300，故C不符合题意；
D、该调查是抽样调查，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）在国家：“双减”政策背景下，我区某学校为了解九年级620名学生的睡眠情况，抽查了其中的100名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述中，正确的是（ ）
A．以上调查属于全面调查 B．620是样本容量
C．100名学生是总体的一个样本 D．每名学生的睡眠时间是一个个体
【答案】D
【分析】根据样本（被抽取的个体组成一个样本）、个体（组成总体的每一个考察对象）、总体（要考察的全体对象）、样本容量的定义（样本中个体的数目称为样本容量）逐项判断即可得．
【详解】解：A．以上调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B．样本容量是100，故B选项不符合题意；
C.100名学生的睡眠情况是总体的一个样本，故C选项不符合题意；
D.每名学生的睡眠时间是一个个体，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了样本、个体、总体、样本容量，熟记各概念是解题关键．
2．（2023·全国·七年级专题练习）为了解某市七年级的68000名学生的视力情况，随机抽查了其中800名学生的视力进行统计分析，下面叙述正确的是（ ）
A．68000名学生是总体 B．800名学生的视力情况是总体的一个样本
C．样本容量是800名学生 D．这次调查是全面调查
【答案】B
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：A、68000名学生的视力情况是总体，故A不符合题意；
B、800名学生的视力情况是总体的一个样本，故B符合题意；
C、样本容量是800，故C不符合题意；
D、这次调查是抽样调查，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3．（2023秋·安徽合肥·七年级合肥市第四十五中学校考期末）为了解某校初一年级900名学生每天花费在数学学习上的时间，抽取了100名学生进行调查，以下说法正确的是（ ）
A．900名学生每天花费在数学学习上的时间是总体 B．每名学生是个体
C．从中抽取的100名学生是样本 D．样本容量是100名
【答案】A
【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义解答即可．
【详解】A．900名学生每天花费在数学学习上的时间是总体，正确；
B．每名学生每天花费在数学学习上的时间是个体，故不正确；
C．从中抽取的100名学生每天花费在数学学习上的时间是样本，故不正确；
D．样本容量是100，故不正确；
故选A．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
4．（2023秋·江西吉安·七年级统考期末）为了解我县七年级10000名学生的身高，从中抽取了500名学生，对其身高进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．10000名学生是总体 B．每个学生是个体
C．每个学生的身高是个体 D．500名学生是抽取的一个样本
【答案】C
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐项判断即可得出结论．
【详解】A、10000名学生的身高是总体，故A错误；
B、每个学生的身高是个体，故B错误；
C、每个学生的身高是个体，故C正确；
D、500名学生的身高是抽取的一个样本，故D错误；
故选：C
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
【易错点三 频数发布表和频数发布直方图易错】
例题：（2023·湖南岳阳·统考一模）某校为了了解九年级学生周末在家体育锻炼情况，从九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，以下是根据调查数据绘制的部分统计图表和扇形统计图，根据信息回答下列问题：
等级等级
体育锻炼时间（分
人数
(1)本次调查共 人，表中 ，
(2)扇形统计图中，“”所对应的扇形圆心角的度数为 ；
(3)若该校九年级共有名学生，请你估计周末体育锻炼超过分钟的学生人数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等级的调查人数和所占的百分数即可求得总共调查的人数；
（2）根据等级所占的百分数求出等级的圆心角的度数；
（3）根据抽样调查中周末体育锻炼超过分钟的百分数即可全校周末锻炼超过分钟的人数．
【详解】（1）解：∵等级的人数为人，等级所占的百分数为：，
∴本次调查的总人数为：（人），
∴(人)．
（2）解：∵等级所占的人数为人，
∴等级所占的圆心角的度数：，
（3）解：∵抽样调查中周末体育锻炼超过分钟的人数为人，抽样调查的总人数为：人，
∴全校九年级学生周末体育锻炼超过分钟的学生人数：（人）；
【点睛】本题考查了频数统计表，扇形统计图，掌握频率频数总数是正确解答的前提．
【变式训练】
1．（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）某市为增强学生的卫生防疫意识，组织全市学生参加卫生防疫知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题．
组别
成绩x/分
频数
A组
a
B组
8
C组
12
D组
14
(1)一共抽取了___________位参赛学生的成绩，表中___________；
(2)补全频数分布直方图；
(3)计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数；
【答案】(1)40，6
(2)见解析
(3)
【分析】（1）D组的频数是14，占调查人数的，可求出调查人数，进而确定的值，
（2）根据各个组的频数，即可补全频数分布直方图；
（3）“B”占调查人数的，因此相应的圆心角度数占的
【详解】（1）解：（人），
（人），
故答案为：40，6；
（2）补全频数分布直方图如图所示：
（3），
答：扇形统计图中“B”对应的圆心角度数为．
【点睛】本题考查频数分布直方图的意义和制作方法，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提．
2．（2022秋·河南新乡·九年级校考期末）4月23日是“世界读书日”，某校团委发起了“让阅读成为习惯”的读书活动，鼓励学生利用周末积极阅读课外书籍，为了解该校学生周末两天的读书时间，校团委随机调查了八年级部分学生的读书时间x（单位：分钟）．把读书时间分为四组，，，．部分数据信息如下：
B组和C组的所有数据；
根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)被调查的学生共有 人，B组的频数为 ，D组的频数为 ；
(2)在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角是 °；
(3)若该校八年级共有名学生，请估计八年级学生中周末两天读书时间不少于分钟的人数．
【答案】(1)，8，2；
(2)；
(3)估计八年级学生中周末两天读书时间不少于分钟的人数为人．
【分析】（1）由利用扇形图和条形图中A组数据即可求得总人数，再根据题意解得C组的人数，继而解得D组的人数；
（2）根据C组人数占总人数的比例乘以即可解题；
（3）根据（1）的信息，先求得八年级学生中周末两天读书时间不少于分钟的人数占总人数的比，再乘以即可解题．
【详解】（1）由扇形图和直方图可知，总人数为：
（人）
由题意可知B组和C组频数为，
由直方图可知C组频数为6，
所以，C组频数为8，
所以，D组频数为
故答案为：，8，2；
（2）C组所对应的扇形圆心角：
故答案为108；
（3）读书时间不少于分钟的人数，为C组和D组．
（人）
【点睛】本题考查了扇形统计图与条形统计图、计算扇形的圆心角、用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题关键．
3．（2022秋·陕西榆林·七年级校考期末）某校七年级开展了“勿忘历史，吾辈自强”历史知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表（每组成绩含前一个分数，不含后一个分数，最后一组前后分数均包含）：
成绩/分
频数
百分比
第1段
2
第2段
6
第3段
9
b
第4段
a
第5段
15
请根据所给信息，解答下列问题
(1)______，______；
(2)请补全频数分布直方图：
(3)现要将调查结果绘制成扇形统计图，求成绩在“”这一分数段所对应的扇形圆心角是多少度？
【答案】(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先求出所调查学生的总人数，然后求出a、b的值即可；
（2）根据所求出的a的值，补全频数分布直方图即可；
（3）用乘以成绩在“”这一分数段学生所占总调查人数的百分比进行解答即可．
【详解】（1）解：抽取的学生总数为：（人），
则（人），
．
故答案为：；．
（2）解：补全频数分布直方图，如图所示：
（3）解：，
所以成绩在“”这一分数段所对应的扇形圆心角是．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识，解题的关键是理解题意，准确进行计算．
【第8章 认识概率典型例题】
【易错点一 对确定事件与随机事件定义理解不清易错】
例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ）
A．随机事件 B．必然事件
C．不可能事件 D．确定事件
【答案】A
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：射击运动员射击一次，命中靶心，这个事件是随机事件，
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能够确定一个事件是何种事件是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·山东临沂·九年级统考期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6 B．篮球队员在罚球线上投篮一次，投中
C．经过红绿灯路口，遇到绿灯 D．打开电视机，它正在播广告
【答案】A
【分析】利用必然事件的定义：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件直接得出答案即可．
【详解】解：A．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6，是必然事件，故此选项符合题意；
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，投中，是随机事件，故此选项不合题意；
C．经过有信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故此选项不合题意；
D．打开电视机，它正在播广告，是随机事件，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了必然事件的定义，解题的关键是了解能够确定发生的事件称为必然事件．
2．（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）下列事件是不可能事件的是（ ）
A．在足球赛中，弱队战胜强队 B．在干燥的环境中，种子发芽
C．抛掷10枚硬币，5枚正面朝上 D．彩票的中奖概率是，买100张有2张会中奖
【答案】B
【分析】根据随机事件的相关概念可进行排除选项．
【详解】解：A、在足球赛中，弱队战胜强队；属于随机事件，故不符合题意；
B、在干燥的环境中，种子发芽；属于不可能事件，故符合题意；
C、抛掷10枚硬币，5枚正面朝上，属于随机事件；故不符合题意；
D、彩票的中奖率是，买100张有2张会中奖；属于随机事件，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查随机事件，熟练掌握随机事件的相关概念是解题的关键．
3．（2023秋·福建厦门·九年级校联考期末）下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．在三个偶数中任选一个能被整除 B．两个有理数相除，结果是无理数
C．一个四边形的内角和是 D．用一个平面去截圆柱体，得到的截面是矩形
【答案】D
【分析】利用偶数的性质以及四边形内角和定理以及圆柱体的截面特点进而分析得出答案．
【详解】解：A、在三个偶数中任选一个能被2整除，是必然事件，故此选项错误；
B、两个有理数相除，结果是有理数，选项是不可能事件，故此选项错误；
C、一个四边形的内角和是，是不可能事件，故此选项错误；
D、用一个平面去截圆柱体，得到的截面是矩形，是随机事件，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了随机事件，正确把握相关图形以及几何体的性质是解题关键．
【易错点二 对频率与概率定义理解不清易错】
例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
b
295
480
601
摸到白球的频率
a
0.64
0.58
0.59
0.60
0.601
(1)上表中的a=________，b=________；
(2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）；
(3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？
【答案】(1)0.59，116
(2)0.6
(3)除白球外，还有大约12个其它颜色的小球．
【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数．
【详解】（1）解：a=59÷100=0.59，b=200×0.58=116．
故答案为：0.59，116；
（2）解：“摸到白球的”的概率的估计值是0.6；
故答案为：0.6；
（3）解：18÷0.6-18=12（个）．
答：除白球外，还有大约12个其它颜色的小球．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
1000
2000
3000
5000
8000
10000
摸到黑球的次数m
650
1180
1890
3100
4820
6013
摸到黑球的频率
0.65
0.59
0.63
0.62
0.6025
0.6013
(1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
(2)试估计袋子中有黑球 个；
(3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个．
【答案】(1)0.6
(2)30
(3)10，10
【分析】（1）观察摸到黑球的频率后观察表格即可得到；
（2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数；
（3）使得黑球和白球的数量相等即可．
【详解】（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；
（2）黑球的个数为50×0.6=30个，
故答案为：30；
（3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同，
即：在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个，
故答案为：10，10．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑球的次数m
65
118
189
310
482
602
摸到黑球的频率
0.65
0.59
0.63
0.62
0.603
0.602
（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（2）试估计袋子中有黑球 个；
（3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为 50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个
【答案】（1）0.6；（2）；（3）10；10．
【分析】（1）观察表格中摸到黑球的频率可得结果；
（2）用总数乘以黑球的频率即可得到结果；
（3）根据摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，据此计算即可．
【详解】解：（1）观察表格得：当n很大时，
摸到黑球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；
（2）黑球有：个，
故答案为：；
（3）原来白球的数量为：50-30=20，
摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，
∴若保持黑球数量不变，则白球数量：20+10=30，
若保持白球的数量不变，则黑球数为：30-10=20，
∴要使摸到黑球的可能性大小为50%，
则需要增加相同的白球10个，或减少黑球10个，
故答案为：10；10．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【第9章 中心对称图形——平行四边形典型例题】
【易错点一 特殊平行四边形中折叠问题易错】
例题：（2023春·八年级课时练习）长方形纸片中，，，点是边上一动点，连接，把沿折叠，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为______．
【答案】或3
【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点落在矩形内部时，如答图所示．连接，先利用勾股定理计算出 ，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，然后在中运用勾股定理可计算出．②当点落在边上时，如答图所示．此时为正方形．
【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况：
当点落在矩形内部时，如答图所示．连接，
在中，，
，
沿折叠，使点落在点处，
，
当为直角三角形时，只能得到，
点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，
，
，
设，则，
在中，
，
解得： ；
②当点落在边上时，如答图所示．
此时为正方形，
．
故答案为：或；
【点睛】本题考查了勾股定理以及折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，在菱形中，，，点为线段上一动点，过点作交于点，沿将折叠，点的对称点为点，连接、、，当为等腰三角形时，的长为______．
【答案】或或或或
【分析】分类讨论：如图 ，当 时，如图 ，当 时，如图 中，当 时，分别求出即可．
【详解】解：如图 ，当 时，点 与 重合或在点 处．
当 与 重合时， 与 也重合，此时 ；
在菱形 中， ，
作 于 ，
在 中， ， ， ，
；
如图 ，当 时，点 与 重合或在 处，
点 与 重合， 是 的垂直平分线，
，
当 在 处时，过 作 于 ，
则可得 ，
则，
；
如图 中，当 时，
，
．
综上所述：当 为等腰三角形时， 的长为 或 或 或 或 ．
故答案为 或 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，分类讨论是解题关键．
2．（2023·安徽·校联考一模）如图．已知正方形纸片的边，点P在边上，将沿折叠，点A的应点为．
（1）若时，的长为______﹔
（2）若点到边或的距离为1，则线段的长为______．
【答案】 2 或
【分析】（1）由折叠得，根据平行线的性质得到，利用三角形内角和得到，进而推出，即可得到答案；
（2）若，则，根据勾股定理求出，设，直角中，根据勾股定理得，求出；若，根据勾股定理求出，设，在直角中，根据勾股定理得，求出．
【详解】（1）由折叠得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）如图1，若，则．
由折叠知．在直角中，．
设，则．
在直角中，，
解得，
即线段的长为﹔
如图2，若，则．
由折叠知．
在直角中，．
设，则．
在直角中，，
解得，
即线段的长为．
综上，线段的长为或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟记正方形的性质及折叠的性质是解题的关键．
【易错点二 特殊平行四边形中旋转问题易错】
例题：（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．
(1)求证：EDC≌HFE；
(2)连接BE，CH．
①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论；
②若BC长为2，则AB的长为 时，四边形BEHC为菱形（写出AB长度的求解过程）．
【答案】(1)证明见解析
(2)①四边形是平行四边形，证明见解析；②
【分析】（1）由旋转和矩形的性质可知，，．再根据平行线的性质得出，然后利用定理即可得证；
（2）①由矩形性质可知，再根据全等三角形的性质可得．由旋转得，从而可得，然后根据平行四边形的判定即可得出结论；
②根据菱形的性质和旋转的性质可得，即证明为等边三角形，得出，从而求出，最后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得．
（1）
证明：∵将矩形绕点旋转得到矩形，
∴，，，
∴．
在和中，
∴．
（2）
解：①四边形是平行四边形，证明如下：
如图，连接，
∵四边形为矩形，
∴，即．
∵，
∴．
∵将矩形绕点旋转得到矩形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②∵四边形是菱形，长为2，
∴，
∵将矩形绕点旋转得到矩形，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点．熟练掌握矩形和旋转的性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·甘肃庆阳·九年级统考期末）如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其他顶点均不重合，连接BE、DG．
(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：．
(2)如图3，如果，，，求点G到BE的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由旋转的性质得到，由正方形的性质得到，，然后依据 “”可证明，然后依据全等三角形的性质进行证明即可；
（2）连接、，延长交于点，当时，可证明为等腰直角三角形，然后可求得和的长，然后依据等腰三角形三线合一的性质可得到，最后在中，利用等积法可求得点到的距离．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，
由正方形的性质可知，，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接、，延长交于点，
当时，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∵和同底等高，
∴，
设点G到BE的距离为h，，
，即，
解得，
∴点到的距离为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理等知识，综合性比较强，对学生综合解题能力要求较高，注意等积法在解题中的应用．
2．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心，将菱形ABCD逆时针旋转α（0°＜α＜30°）得到菱形，交对角线AC于点M，边AB的延长线交于点N．
（1）当时，求α的度数；
（2）如图2，对角线B'D'交AC于点H，交AN于点G，延长交AD于点E，连接EH，若菱形ABCD的周长为正数a，试探索：在菱形ABCD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜30°）的过程中，的周长是否为定值，若是，试求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）α＝15°；（2）为定值，
【分析】（1）先利用SAS判断出△AD'M≌△AB'N（SAS），得出∠D'AM＝∠B'AN＝α，再判断出∠CAD＝30°＝2α，即可得出结论；
（2）先判断出AB'＝AD'＝，再判断出∠AB'G＝∠AD'E＝60°，进而利用ASA判断出△AB'G≌△AD'E，得出B'G＝D'E，AG＝AE，进而判断出△AGH≌△AEH（ASA），得出HE＝HG，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵菱形AB'C'D'是由菱形ABCD旋转所得，
∴AB'＝AD'，∠AB'N＝∠AD'M，
又∵，
∴△AD'M≌△AB'N（SAS），
∴∠D'AM＝∠B'AN＝α，
又∵AC为菱形ABCD的对角线，且∠BAD＝60°，
∴∠CAD＝30°＝∠D'AM+∠D'AD＝2α，
∴α＝15°；
（2）∵菱形AB'C'D'是由菱形ABCD旋转所得，
∴∠B'AG＝∠D'AE＝α，
∵菱形ABCD的周长为a，
∴AB'＝AD'＝ ，
又∵∠B'AD'＝∠BAD＝60°，
∴∠AD'C'＝120°，
且∠AD'E＝60°，
∴
∴△AB'G≌△AD'E（ASA），
∴B'G＝D'E，AG＝AE，
又∠GAH＝∠HAE＝30°，
∴△AGH≌△AEH（ASA），
∴HE＝HG，
∵AB'＝AD'，∠B'AD'＝60°，
∴△AB'D'是等边三角形，
∴B'D'＝AB'＝，
∴△EHD'的周长＝HD'+HE+D'E＝HD'+HG+B'G＝B'D'＝，
∴三角形EHD'的周长为定值．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△AB'G≌△AD'E是解本题的关键．
【易错点三 特殊平行四边形中最值问题易错】
例题：（2023春·八年级课时练习）如图，在边长为2的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__________．
【答案】
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值．
【详解】解：如图，与相交于点，
在中，，
四边形是平行四边形，
，．
当取最小值时，线段最短，此时．
点是的中点，
，
，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为_____________．
【答案】
【分析】过点M作，垂足为P，连接，由旋转的性质得到，，，根据正方形的性质求出，证明，得到，，利用勾股定理求出，根据即可求出的最小值．
【详解】解：过点M作，垂足为P，连接，
由旋转可得：，，，
在正方形中，，E为中点，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵C，M位置固定，
∴，即，
∴，即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，两点之间线段最短，知识点较多，解题的关键是构造全等三角形，求出的长，得到．
2．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．
（1）求证：四边形PBFE为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．
①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为 ；最小值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）①；②36，
【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；
（2）①根据矩形的性质和勾股定理求得AE的长，再在Rt△APE中求得PE，即菱形的边长；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6，即可得出答案．
【详解】解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，
∴点B与点E关于PQ对称，
∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，
又∵EF∥AB，
∴∠BPF＝∠EFP，
∴∠EPF＝∠EFP，
∵EP＝EF，
∴BP＝BF＝EF＝EP，
∴四边形BFEP为菱形；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，∠A＝∠D＝90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE＝BC＝10，
在Rt△CDE中，DE＝＝8，
∴AE＝AD﹣DE＝2；
在Rt△APE中，AE＝2，AP＝6-PB＝6﹣PE，
∴，解得：，
∴菱形BFEP的边长为；
②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝2，，
，
当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝6，
，
∴菱形的面积范围：．
菱形PBFE面积的最大值是36，最小值是．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，求出PE是本题的关键．
【易错点四 特殊平行四边形中中点四边形问题易错】
例题：（2022春·陕西西安·八年级西北大学附中校考期末）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．
【详解】解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH=BD，EH//BD，FG=BD，FG//BD，EF=AC，EF//AC，HG=AC，HG//AC，
∴EH=FG，EH//FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
当对角线AC⊥BD时，则∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，故①符合题意；
当对角线BD=AC时，则EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形，故②符合题意；
当四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD不一定互相平分，故③不符合题意；
若四边形EFGH是正方形，
∴EH⊥HG，EH=HG，
∴AC⊥BD，AC=BD，
∴AC与BD互相垂直且相等，故④符合题意；
综上，正确的是①②④，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．
【变式训练】
1．（2021春·江苏南京·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD中，，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点．
（1）判断四边形EFGH是怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）当四边形ABCD再满足______________时，四边形EFGH为正方形？（只添一个条件）
【答案】（1）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（2）或
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到GH∥AD，GH=AD，EF∥AD，EF=AD，得到四边形EFGH是平行四边形，根据题意得到EF=EH，根据菱形的判定定理证明结论；
（2）根据正方形的判定定理解答即可．
【详解】解：（1）四边形EFGH是菱形，
理由如下：在△ACD中，G、H分别是CD、AC的中点，
∴GH∥AD，GH=AD，
同理，EF∥AD，EF=AD，
∴GH∥EF，GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
在△ABC中，E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH=BC，
∵AD=BC，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形；
（2）当AD⊥BC或∠DAB+∠ABC=90°时，四边形EFGH为正方形，
理由如下：∵EH∥BC，
∴∠AEH=∠ABC，
同理，∠BEF=∠BAD，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH为正方形，
故答案为：AD⊥BC（或∠DAB+∠ABC=90°）答案不唯一．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．
2．（2021秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形．
(1)四边形的形状是______，请证明你的结论；
(2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形；
(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．
【答案】(1)平行四边形．证明见解析
(2)；
(3)矩形的中点四边形是菱形．
【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形；
（2）根据有一组是邻边的平行四边形是菱形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形；
（3）矩形的中点四边形是菱形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再根据矩形对角线相等，然后根据四边相等的四边形是菱形．
【详解】（1）四边形的形状是平行四边形．理由如下：
如图，连接．
、分别是、中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形；
故答案为：平行四边形；
（2）当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形．理由如下：
如图，连接、．
、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，，，
，
，
又四边形是平行四边形
平行四边形是菱形；
故答案为：；
（3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下：
连接、．
、、、分别为四边形四条边上的中点，
，，，，，，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键．
3．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【概念理解】
(1)在已经学过的“平行四边形；矩形；菱形；正方形”中，______的“中点四边形”一定是正方形，因此它一定是“中方四边形”（填序号）．
【性质探究】
(2)如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的一条结论：______．
【问题解决】
(3)如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．
求证：四边形是“中方四边形”．
【答案】(1)
(2)或
(3)见解析
【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案；
（2）由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且分别是、、、的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案；
（3）连接交于，连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论．
【详解】（1）解：概念在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：
因为正方形的对角线相等且垂直，
故答案为：④；
（2）解：或，
理由如下：
四边形是“中方四边形”，
是正方形且分别是、、、的中点，
，，，，，，
，，
故答案为：或；
（3）解：如图2，连接交于，连接交于，
四边形各边中点分别为，
分别是、、、的中位线，
，，，，，，
，，
，，，，
四边形是平行四边形，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
，
即，
在和中，
，
，，
，，
，
是菱形，
∵，
．
，，
，
，
，，
，
菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键．
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